逻辑主义和新逻辑主义（五）

0介绍

（我）

f（一）

∃！一个

（我）

⏟

⋮

⊥

0 =＃xf（x）

（我）

0消除

0 =＃xf（x）∃！tf（t）

⊥

（其中参数A可能仅在假设中发生）

为了锻炼刚才提到的适度承诺，所有衍生都是在自由逻辑中构建的，因此除了规则本身所产生的所有存在的承诺必须明确。[46] 所有存在的承诺，即建设性逻辑学家以这种方式遭受这种方式会受到倡导以其不受限制的形式倡导霍普的原则。 回想一下，不仅致力于所有自然数的数量，也是所有自我相同的东西的数量。

与HP-ER相比，建设性逻辑家的本体论票据更为温和。 建设性逻辑家甚至没有承诺（通过他划分的规则）才能存在所有自然数的数量。 根据需要的存在，在自然数字Seriatim中，承诺（通过雇用Frege's Trice）产生的承诺 但是，任何其他基本数字都没有产生承诺。

第25章第25章（1987），标题为“衍生算术的基本规律：或者，如何弗雷克林 - PEALOME”，提供了Dedekind-Peano公理的详细正式推导，在免费，直观相关的逻辑。 给出的所有派生都是直观的，符合上述反现实主义愿望，并且为了保证短语“建设性逻辑”中的形容词“建设性”。

Heck（1997b）处理所谓的“有限弗里德算术”。 他的治疗是古典的。 但是，由于建设性逻辑主义已成为，才能派生算术的基本定律，同时仅对自然数承诺产生基本规律。 为此，Heck限制了休谟的原则，以有限的延期谓词。 因此，自然猜想建设性逻辑主义是Heck的有限归零的直觉（相关）片段。

Tennant（1987）认为，任何逻辑学理论的充分性的条件是解释有限基团的适用性（见第234页）。 让∃nxfx是具有身份的一阶逻辑的公式，常规方式定义，说明恰好存在NFS。 让我们

n

_

是表示自然数n的数字，即“s ... s0”，具有第n个发生的继承符号s。 架构N是以下的Biconditional，其实例通过固定在特定的自然数N和开放式φ上获得。

＃xφx=

n

_

↔∃nxφx。

足够的数量理论将允许一个人导出模式n的每个例子; [47]和建设性逻辑论的理论是这样的。 吊环表明，这构成了对数量有限收集时自然数适用性的解决方案。

到目前为止讨论的所有逻辑学家账户只涉及零，继承者和“...是一个自然数”。 但它们之间存在重要差异。 它并不清楚，建设性逻辑与弗赖特算术的高一致性强度相同。 在建设性逻辑学系统中，似乎无法导出，存在表单的存在声称

∃y（y =＃xf（x）），

f的延伸是无限集（例如所有自然数的集合）。 与FA证明的事实相比

∃y（y =＃x（x是自然数））。

因此，本作者认为该系统的一致性 - 强度低于FA的一致性强度。

在Tennant（2009）中，建设性逻辑学家治疗延长以处理两种加法和乘法。 关键创新是“有序配对的逻辑”：一种自然扣除推断系统，用于从现有对象T和U中形成有序对π（t，u），以及左侧的投影λ（u）和ρ（u）右侧，任何有序对u的成员。

5.模态新逻辑

Zalta（1999）提出了一种有趣的不同，因为模态逻辑，到自然数。 虽然华尔塔并不是他自己对此进行分类，但他的方法似乎保证了形容词的“新逻辑家”。 （我们从关于模态逻辑的逻辑状态的问题中校验。）

Zalta采用具有身份的经典二阶模态逻辑（S5），以及一阶巴栏的公式'或公理方案

◊∃xψ（x）→∃x◊ψ（x）。

它的二阶相关性

◊∃fψ（f）→∃f◊ψ（f）。

一阶巴栏配方迫使一个人解释了量化器，以便超越所有可能的人，无论是域名的世界上的世界'或'收缩'，因为一个人遍历从可能的世界到可能的世界的可访问性关系。

逻辑是免费的，描述性术语（描述运算符ι是原始）的刚性解释 - 也就是说，如果它在那里的实际世界中的描述性术语表示，这是它在任何其他可能的世界中的表现。

通常的含有含有和可能性的含有和可能性（当然，当然）和现实运营商A.编码的关系XF可以在抽象对象x和属性F之间持有。

AX将意味着X是抽象对象。 抽象对象编码的属性是其性质的本质，因此对其身份至关重要。 （齐齐拉1993：396）

例如，柏拉图的三角形的形式编码了三角形的属性，但不符合它。

在齐尔塔的基本原则中是以下情况。

普通对象无法编码任何属性。

鉴于属性的任何条件，某些抽象对象仅编码那些会议的属性。

相同的个体是擅自萨尔瓦的争论。

相同的属性是擅自萨尔瓦的争论。

如果可能的话，必须进行特定的编码。

Zalta定义了一种等分的关系≈场所相对于普通物体 - 即可能具体的。 ≈在手中，Zalta提供了（红衣主教）编号的概念（Zalta 1993：630）：

数字（x，g）≡dfax∧∀f（xf↔f≈g）。

因此，X号码G只是在X的情况下是一个抽象对象，它确切地编码了以G的属性正确地（其中，NOTA Bene，仅相对于普通物体判断）。 它从zalta的第一个原则中轻松遵循“对于每个属性g，有一个数字g”的唯一对象。

Zalta的系统提供了休谟的原则：

＃f =＃g↔f≈g，

和以下明显的推论：

∀g∃y（y =＃g）。

在这方面，华尔塔的系统与赖特一样强大：它们都保证了每个属性的数字。 然而，赖特始于休谟的原则作为第一个原则，而齐齐拉从他自己的“更基本”（和可能更强大）的原则中夺回休谟的原则（作为Frege）。

我们在结束我们对拟达拉的系统博览会的结束时，我们注意到以下三点。 在他对“具体”和“摘要”的感觉中，

可以分配普通对象的属性，可以分配数字。

无法分配数字持有抽象对象（包括数字）的属性。

所有无限的自然数量都取决于不排他性的可能存在（但有限地）许多混凝土物体。

在（2）和（3）点中，Zalta明确地从Frege和上面讨论的所有其他（Neo-）逻辑学家出发。

6.最近由格雷克雷斯的启发或从中脱离的工作

自20世纪80年代初以来，我们已经看到自20世纪80年代初以来对新语中的兴趣复兴。 这一时期工作的方式之一试图从Freegean灾难中拯救逻辑主义（不完全牺牲基本法律V，而不会援引HP作为起点）一直是对各种“格雷克雷斯的碎片”的研究。 来自1987年的帕森斯派世的学者们的集体共享的想法如下：Frege的Grundgesetze屈服于罗素的悖论。 但弗雷格的系统是一个很大的系统。 让我们看看我们是否可以提取它的片段，这是（a）一致的，并且（b）足够强大，以负担不足的arithmetik。[48] 这是典型的标准一致性恢复恢复因素不一致的理论修订，但其主要目标是试图从残骸中挽救。 到目前为止，在这个方向上取得的进展值得报道。 我们将称这些理论努力“碎片化”。

刚刚提到的碎片学者刚刚以原始的是一个术语形成的可变绑定抽象运算符，适用于谓词形成单个术语。 他们为此运营商的符号选择各不相同。 在这里，我们将在@xa（x）的形式方面熟悉。 对于@，帕苏斯遵循弗雷格，使用放置在变量x上方的呼吸标记（如逗号）。 Heck使用在X之前立即放置的插座（环形），并在可变绑定前缀中x之后立即置于X后立即。 Wehmeier使用立即上方的插座。 Boccuni（不完全是下面的Fragmenter）使用配方{x：a（x）}与冒号一起使用当代设置理论师的冒号将具有固定：{x | x（x）}。 因此，每个作者都使用某种形式的设置或类抽象术语，通过可变绑定抽象运算符形成。

返回我们使用@作为覆盖这些特殊变体中的每一个的通用符号，我们提醒读者，以原理性形式（其中a（x）和b（x）是公式的占位符），将表示为

@xa（x）= @ xb（x）↔∀x（一个（x）↔b（x））。

基本法律v在公理形式将是二阶：

∀f∀g[@xf（x）= @ xg（x）↔∀x（f（x）↔g（x））]。

Parsons 1987给出了模型 - 理论证明，即模式V与一阶逻辑一致。 （这已由Schroeder-Herister 1987召集。）J. Burgess 1998给出了相同结果的证明理论和建设性证据。 Heck 1996延伸了Parsons的论点，以证明弗雷格系统的简单和分布的预测片段是一致的。 Wehmeier 1999为Monadic二阶逻辑的理论提供了一致性证据，包括Axiom V和更高级的理解原理。 Ferreira和Wehmeier 2002证明了Schema V和同一理解原则的一致性。 有问题的高阶原理被称为δ

1

1

-comprehension。[49]

最近的另一个创新类似于针对特写镜头的适当碎片的研究涉及使用多种量化逻辑的资源。 这当然将我们从Gundgesetze的真正碎片中取出。 但这些想法与上述碎片师的思想密切相关。

Boccuni 2011提供了一种录取多元量化的语言的解释，这是一个解释，即Boccuni所争辩的是构成她称之为PG的原则的每个原则的每个例子（'复数Grundgesetze的简短）。 这些是复数理解原则，预测理解原则和架构V.Boccuni 2013呈现为“一致的二阶制度”，该系统是针对二阶PEANO算术的一致二阶制度。[50]

最近探索了一个可行的新家学家对游泳池（双桶）抽象的追求的另一个创新，这是值得一提的是由Studd 2016年。正如他所指出的那样，

在这种风格中存在的关键缺陷[即，避免了“具有概念的难以理解的理解原则”的“完整的二阶逻辑”是，他们破坏了数学的新药学家回收。 Frege的定理依赖于完整的二阶逻辑。 预测理论及其分枝变体太弱，无法解释二阶算法，PA2（见John P. Burgess 2005，Ch。2）。

在他的博览会中，Steald避开了多种逻辑的使用，但是，沿着效果的言论，即一个人可以使用多种逻辑语言表达他的索赔，如果如此希望。 他恢复考虑抽象条款。 他诊断了找到“充足的标准......筛选”良好“[双管子-NT]抽象原则，如休谟的原则，就像基本法律v这样的”坏“的原则。” 他得出结论，这种对坏公司问题的方法

在错误的轨道上......如果新家主义者要保留与数学其他分支的算术扩展成功的野心，包括标准的Zermelo-Fraenkel集合理论。

Studd诊断了双管抽象原则的问题，因为它们是静态的事实。 他们被认为是一个全包域，它本身不能用左侧特征的抽象术语延伸。 Studd建议我们应该将抽象视为动态，以允许通过新抽象的抽象区域扩展域。 他制定了一个双桶抽象理论，可以允许这一点。

7.逻辑论问题摘要

我们从上述讨论中看出，文献中的逻辑主义或新逻辑主义的现存版本面临各种问题。 留下他们留下的读者将能够在一个更为批判的眼睛中检查任何提出的新的新逻辑家账户的细节。

其中一些问题面临任何版本的逻辑论，并且他们的解决方案可能是后者上后者的“充分性条件”。 这些问题中的其他人仅出现在响应所考虑的逻辑主义版本所采用的特定方法或Posits。 在上面的讨论中，以下问题似乎很大。

弗雷格的“概念化问题”

我们如何逮捕数字，如果我们被说服算术没有以康德的“纯粹的时间形式”; 弗雷格把它放在Grundlagen§62中：“如何......是为了给我们提供的数字，如果我们不能有任何想法或直觉？”

Frege's'julius caesar问题'

怎样才能表明，给出一个人是逻辑师的数字的性质，Julius Caesar不是一个数字？ 更一般：如何在这样的帐户上显示一个数字，没有数字是一个具体的个体？

“适用性问题”

逻辑员可以用于（i）如何在计数有限收集时应用自然数量，并且（ii）如何应用于测量连续变化的大小，例如长度，时间段等

“包含问题”

如何表明自然数N是与整数N，Rational Number N和实数n相同的抽象对象？ （见脚注40.）

'抽象问题'

数字抽象原则的正确形式是什么（被认为数字是逻辑抽象的人所支持）？

'分析问题'

人们可以证明一个人选择的数字抽象原则是分析的吗？

'存在问题'

可以逻辑致力于存在任何东西，或某种东西？[51]

'无限问题'

是允许简单地假设无限的公理的逻辑老师，效果，无限的东西（也许是一定的）？

'划界问题'

是什么让某种逻辑常数？ 哪些概念常见的概念实际上可以隐含地或以其他方式定义，或以其他方式定义逻辑中的正确配制的逻辑？[52]

'坏公司'，[53]或“富人的尴尬”

一些抽象原则是不一致的。 然而，其他人虽然是个人一致的，但却是相互不一致的。 那么我们如何知道，任何提议的抽象原则，我们是否应该接受它？

'理论不变性'

自然数是普遍适用的; 它们享受算术属性，并必须完全进入其算术关系，独立于其他类型的东西，以及这些事情可能是如何。 因此，自然数字的抽象原则应与任何关于话语领域的任何一致理论一致。 是吗？