逻辑主义和新逻辑主义（四）
∃r（r将φs1-1贴在φs上）。
这是那个左侧的那个HP实例的右侧
＃xφ（x）=＃xφ（x）。
现在，后者已建立为具有HP的二阶逻辑的定理方案。 因此在这个系统中，我们有定理计划
∃！＃xφ（x）。
总体主题是，尽管罗素在自身的课堂理论中发现悖论发现悖论，但我们可以兑换弗雷格的重点哲学见解，以及我们对他们的知识。 尽管如此，悖论仍然是逻辑对象，其特征是抽象的方法或原则 - 这当然不能像弗雷格的基本法V.这些原则一样雄心勃勃，这是一种独特的认识形式的数字。 通常的数学公理管理两种数字的数学公理将被导出（高阶）逻辑的结果基本上在Frege的演绎计划之后。 这些派生将利用有关数字理论品牌的原始常数，函数和谓词的适当定义。 （例如：0,1; s，+，×; ＜; n（x）; r（x）。）
主要区别是：Neo-Feegean不再接受Frege对数字的定义，作为等级别的类别。 相反，这些数字是由新选择的抽象原则提供的。 Wrightian Neo-逻辑家（以后：HP-ER）选择HP; 建设性逻辑家更加适用，允许引入零和继承者的规则更为温和。 然而，除了这一关键差异之外，新的家伙在弗雷格的整体演绎策略中，新的其他地方在推出Dedekind-Peano假设时，他在弗雷格的整体演绎战略中。
在这些假设的推导下，将不需要通过直觉或感官经验进行补充。 所涉及的推理列车只取决于我们对逻辑有效性的把握，补充了适当的定义。 据称结果（对于HP-ER）：因为HP是分析的，所以逻辑主义是验证的; 以这种方式导出的数学知识被揭示为分析，而不是合成的。
但是，有关这一声明结果的保留，请参阅Booleos（1997）。 HP-ER需要竞争的主要反对意见是休谟的原则既不是逻辑也不是分析真理。 它不能是逻辑的，所以反对意见会去，因为它具有如此庞大的本体承诺的巨大分类帐：对于每个概念，其所谓的号码。 它不能是分析的，因为双方的双方具有不同的本体论承诺：右侧没有对数字的承诺，而左侧是利用这种承诺来利用这种承诺。 为了防御这些异议，惠普需要做两件事。 首先，随着任何逻辑家需要做的事情 - 他需要挑战教条，没有逻辑原则可以承载任何本体承诺。 其次，他需要提供对分析性的陈述，即使在各方面的每一侧的明确本体论承诺不同。 （这些承诺将通过将每一方视为限制语言中的句子来判断，其词汇量足以允许允许有关句子的判决。）
HP-ER以其不受限制的形式倡导Hume的原则，从而正如我们所看到的那样犯下了表单{x |φ（x）}的每个术语的表明的存在。 HP-ER不仅致力于所有自然数量的数量，还致力于所有自我相同的东西的数量 - 或者至少是赖特在Wright（1983）中。 这个“通用数字”X（x：= x）有时被称为“抗归零”。 在n。 5在p。 187人读
值得注意的是，当然，这是绝对必要的，即NX：x = x; 因为不可能想象有什么样的地面可以承认nx：x≠x如果有疑问。
Boolecos（1987）在提高了普遍数量的QUARMS之后，提供了一种巧妙的模型（由GEACH（1975：446-7）非正式地预期），以避免与HP完整二阶逻辑的一致性的疑虑（该系统现在称为FA，为“弗雷格算术”）。 只需将自然数与不同的对象ω一起作为域的元素。 元素Ω用作αxxφ（x）的任何术语的表示，其中φ满足于无限的许多元素。 但是，请注意，此一致性证明仅在FA独立时运行。[38] 不能依赖Geach-Booolos模型来确保FA的一致性与其他理论，例如集合理论，即可能希望与FA扩展。 然而，由于计数有限扩展应该是一个普遍适用的智力运作，而不管主题如何，它将是例外而不是FA的规则仅适用于自然数（加上，也许是不自然的导法ω）。 相反，FA不仅适用于具体对象，还适用于抽象数学实体，如实数和集合。 仅提供了一个有问题的对象的标准的标准，一个应该能够计算它们的任何有限集合。
随后，在HALE和WRIGHT 2001（第315页）中，WRIGHT表达了对“x = x”计数为符合“x的数量”的“x x”的谓词来预留。 现在赖特在“想要抗零的驱魔”（第314页，重点补充）之后询问。 他考虑的答案是，只有当概念f既是分类而不是无限期的可扩展时，才会表示一个术语#xfx的术语。[39] 所以赖特随后希望能够做出他以前所谓不可能想象的东西。 因此，技术提案必须是休谟的原则被限制为谓词（表达概念）都是分类而不是无限期的可扩展性。 但是，当然，这提出了对任何给定谓词F的有效方法的问题，无论是f（表达一个概念）是否分类而不是无限期地伸展。 在没有任何这种有效方法的情况下，该理论不会被公理化。
这项调查Perforce在主要的自然数量（新）逻辑账户中限制了自身。 但值得提高一个关于延伸Neo-Fregean账户的问题，以应对真实数字。 我们将称之为包含问题。 如何理解自然数量（以非惩罚的数值身份感）（在非惩罚的数值身份中）的自然数量由关于自然的逻辑论证明的自然数量？[40]这个问题没有得到Neo-Fregean抽象论坛的回答Shapiro（2000）的真实。 在该帐户中，各种新的AbstractA从相当不同的等价关系中抽象出来，并且没有尝试将其打开作为自然数N是整数N的可能性，是Rational Number N，并且是实数n。 （虽然在第339次Shapiro写道，他建议“避免在纳入中的身份问题”，但他的拟议治疗仍然是负面的纳入问题。）
一个问题，这是一个不令人满意的处置，这是：在什么意义上，赖特的新朋友逻辑学家声称要为认识到认识的基础，让我们说，如果他们的公理原理HP，以及第二个 - 逻辑所用（= fa），将所谓的“基金会”放在一致性 - 优势的层次结构中，而不是“成立”的较弱理论？ （这是加强Boolecs表示的担忧（1997：248-9）。）[41]
它是一个历史悠久的基础调查传统，提供了一个不仅明显一致的基础，但显然是真实的，而且在逻辑上，数学的分支机构的所有结果都将遵循。 此外，这在逻辑上是本身就是必须认识到的东西 - 因此认为证明的重要性。 基本努力可以同时针对许多不同的数学分支，或者只是在某些特定的分支，例如算术。 在前一种情况下，如果所选择的基础理论（例如ZFC）具有更高的稠度，它是可以理解的，所以与成立的数学的任何一个分支有更高的一致性强度。 但是，如果努力被引导到一个分支（例如，算术），那么所提供的基础应该是与该分支相关的一致性 - 强度，与该分支相关。
FA的一致性强度是二阶算术Z2（即实际分析）的强度，其等于Zermelo-Fraenkel集合理论的情况而没有电力集体的公理。 一阶PEANO算术的一致性强度较弱，即Zermelo-Fraenkel设定理论的较差，而没有电力集体的公理，没有无限远的公理。
通过采用二阶逻辑与休谟的原则，以不受限制的形式，赖特遭受承诺（作为分析性问题）不仅是每个自然数，而且也是任何概念的基数。 然而，我们现在知道，因为已经完全被证实，Gödel的“现有的”完善“洞察力已经很长。 有问题的见解是，集理主义者在数学中证明更强大和更强的结果 - 特别是每个新达到的系统的一致性 - 是假设存在更大的基数的存在。 如果所有这些红衣主教都在董事会上提供，那么休谟的原则适用于适当表达的概念，那么Wright将提出一个巨大实力的基础理论。 FA为什么FA更强大的唯一原因是前系统的本体是由抽象的完全生成的。 没有其他存在的姿势来源，因为如果一个人要加入，那就将理论设置为理论混合。
在考虑到幽默的原则的原则上的赖特的Transfinite红衣主教的性质时，需要进一步注意。 作为套件的调查罚款（1998年：515; 2002）透露，任何企图将这种抽象陈述与集合理论结合的Transfinite Charphinals的陈述必须诉诸于将抽象的红衣主教视为尿索而不是套件。 本身不能为每个经过休谟原则产生的经菲丁基本主教提供替代品的替代品。
惠普是分析的索赔的另一种和相当不同的批评可以在Mancosu（2016：第4章）中找到。 具有讽刺意味的是，Mancosu推进了他称之为良好的公司对惠普的反对意见。 HP Jostles为最重要的，至少是许多“好的同伴”的抽象原则。 它们很好，因为像HP一样，它们允许Dedekind-Peano公理的逻辑推导。 它们通过各自的“数字”抽象运算符进行，谓词延迟（Dedekind-）有限。 它们分配了这样的扩展右自然数量作为主体数字。 然而，当该操作员应用于其扩展是（DECTEKIND-）无限的谓词时，这些其他原则会给结果完全不同地不同于董事会原则惠普所期望的结果。 惠普和这些好同伴在所有有限扩展方面都有很重要的事项。 但是，良好的伴侣会导致令人困惑的“数字 - 分配给无限扩展”。 随着HP-ER的问题，随着MancoSu看到它，是如何根据所有这家好公司维护惠普的分析案例。 我们在这里看到了认识学担心的另一个表现形式，当逻辑学项目简单地为Dedekind-Peano算术提供更深但分析的基础时，惠普的遗传学担忧是过度的一致性力量。 所有这样的基础都需要惠普和这些竞争的良好伴侣原则就是一致的，即（defekind-）有限扩展的谓词应该得到分配给他们的正确数字（即，自然数）。 逻辑名家关于Dedekind-Peano算术的算法，可以发出关于任何无限数字的发音。
曼奇索斯的良好伴侣仅仅是因为他与HP-ER分享了一个基本的逻辑承诺：语言的每一个单数项都必须表示。 这意味着逻辑提供用于算术的假设逻辑师基础不是自由逻辑。 通过将数字抽象运算符应用于谓词来代表一些物体来形成每个奇异项。 如果作为逻辑学家的一部分作为逻辑学项目的一部分，则拒绝通过自由逻辑复杂的事项将仅在以摘要存在于数字的认识性正当承诺的任务。 我们想要的是，只要能够识别存在的存在凭证绝对引人注目的数字。 特别是，逻辑家应该能够仅在提供Dedekind-Peano假设的更深层次的逻辑衍生时提供自然数。
4.建设性逻辑
4.1不同类型的新逻辑主义的动机
我们在绅士证明理论上开始了这一部分。 这并不是因为它在逻辑主义的发展中发挥了重要作用 - 远离IT - 但是因为我们在本节中寻求以广泛的方式描述一种不同类型的新逻辑，这些新逻辑论越来越大的证明理论资源。
20世纪30年代初的格拉德格雷滕的工作（见Gentzen 1934,1935），基础的研究人员都配备了正式计算器，可以对数学中的推理依赖性的实际结构进行实际正义的扣除证明。 我们在这里有什么看法是在可能仅仅“为了论述”中可能已经制作的场所和假设的依赖关系。 后一种类型的假设的一个很好的例子是还原的假设（假设φ;源自荒谬;结论¬φ，现在独立于φ）。
这是一个非常重要的是，数学逻辑学家的社区花了这么长时间才能发现自然扣除的计算（和搜索结石），一旦弗雷格，1879年就破裂了先前隐藏的乘法量化句子的语法代码。 1929年，Gödel本可以在Genten的自然制定之前展示一阶逻辑的完整性，当时逻辑仅以弗雷格设计的高度无天然演绎计算的形式提供希尔伯特，以及罗素和白头。
Gentzen治疗的基本突破是在孤立中表征每个逻辑运营商，其规则，只有该操作员将明确的功能。 此外，有问题的规则只会处理有关操作员的单一发生（以主导地位）。 与运营商主导结论的规则称为运营商的介绍规则; 虽然从经营者主导的前提下推理的规则被称为消除规则。
任何逻辑运营商的介绍和消除规则必须处于某种均衡，均衡，均衡，以解释规则的解释，与任何负责任，理性和真诚的发言人的推论义务相匹配给推理权利任何负责，理性和信任的倾听者。[42]
问题的均衡是通过所谓的逻辑运算符的减少程序来阐述。 这些程序使一个能够从任何句子发生中删除，任何句子都会作为介绍规则的应用的结论以及作为相应消除规则的应用的主要前提。 重复申请程序将最终将证据转为正常形式的证据 - 基本上没有资格参加任何进一步申请程序的方法。[43] 正常形式证据的重要性是它们代表了他们的房屋直接的演绎路线。
强大，尖锐和革命性，因为绅士的方法已被证明是，它在其转向奇怪的有限情况。 它仅限于普遍承认的一阶逻辑逻辑运营商：¬，∧，∨，→，∃和∀。
在完全同样的时间出现了Carnap（1934），Logische Syntax der Sprache，它为所有Logico-数学运算符对分析真实的句子状态产生类似贡献的语言的分析，其中分析错误）。 然而，Carnap通过使用涉及所有各种逻辑数学运算符的公务化，在语法复杂的公理中共同运作。 因此，他的方法是完全不同于更像“自然”的绅士之一，这是单次运营商聚焦。 此外，由于他的逻辑和数学基础（Carnap 1939），不自然的方法仍然是Carnap在工作中的首选选择（Carnap 1939）。[44] 由于在第二次世界大战结束结束时，Gentzen在这里提到了Carnap与Gentzen的悲惨早期死亡相反。 谁知道如何将他的精致设想的推理师技巧扩展到广泛的逻辑学家议程上的项目？ 他的着作在1969年出现在英文翻译中（见Gentzen 1934/1935 [1969]）。 然而，卡纳普确实在对逻辑主义问题和前景的思想产生了相当大的影响，对逻辑主义问题和前景的思考产生了相当大的影响; 他能从20世纪30年代中期开始，在美国，用英语写作。
在20世纪40年代初期之后，证明理论并没有扩大和多样化，以解决潜在的肥沃议程：调查引入和消除规则可能采取的各种形式，因为它审查了规则管理的表达，其规则并不完全如此整齐地归类为介绍和消除规则。 例如，这是这种情况，例如，与“科夫纳”和相互依存的概念的家庭，不断的逻辑数学。 这样一个家庭的一个例子是任何两件事的有序对的例子; 任何有序对的第一部分; 和第二个成员一样。 该示例的一个重要特征，以及可以给出的其他示例的一个重要特征是，所讨论的运营商是术语形成的运算符。 Gentzen将他的研究局限于成交的运营商。 也许是Tarski的正式语言的真理理论（参见Tarski 1956 [1933]），即将偏离这种基本上推论的逻辑和数学运营商的含义的进一步发展的利益。
4.2反现实主义和逻辑主义的借鉴方法
借鉴主义方法对语义反现实主义者具有特殊呼吁。 根据Michael Dummett对语义现实主义的影响力，现实主义者是一个人认为，一个人的语言的每个陈述句子都是真实的或虚假的，独立于我们的来了解这是一个。 这是应该证明现实主义者使用严格古典逻辑原则（如中间的法律）合理的原理。 相比之下，反现实主义者坚持认为所有真相都是有知的; 很快就指出，我们没有任何有效的方法来决定数学中陈述的真相或虚假。 因此，反现实主义者，拒绝被排除的中间（以及完全相当于IT的所有其他严格古典规则）的法律，并倡导使用直觉或建设性逻辑，而不是古典逻辑。
有关证明算术的基本规律的分析的反现实主义者将查询是否可以在推出PEANO假设时严格估计推动的严格古典段落。 例如，如果这些假设在分析是真实的，那么反现实主义者将期望通过呼吁所涉及的建设性内容（参见Rumfitt 1999），通过规则来实现它们。 确实是反现实主义者。 她可以避免追求休谟原则的全力。 休谟原则的概念内容的无害成分，因为有限数量所关注的是，反现实主义者为零，＃和继任者奠定的推论规则中的表达。 Heyting算术，毕竟，与PEANO算术完全相同的公理，是直觉下的那些公理的逻辑关闭，而不是经典的逻辑。 两个系统PA和HA仅在用于闭合的逻辑方面不同。 如果直觉主人被争论在此处发出的意义上的逻辑家中，那将是相当奇怪的。
追求算术基础的分析是一个可以很好地由Dummettian反现实主义的意义理论赞成的证据理论方法。 这种证明理论方法的核心是制定有关询问规则中的所有表达式成立的运营商的推理规则，最好是在引入消除对中。 规则是各自的运营商含义的本构规则; 依据这些规则符合分析的规则仅证明了。 因此，任何提醒含义的问题都是如下：以下是：在食边精神，通过上诉到合适的意义规则的算术的基本定律，没有一些反现实主义者（建设性或直觉）推导推断符合反现实主义意义理论的一般要求吗？ 反现实主义学说邀请这种扩展到算术的基本理论中的数学表达式。 它可以给Freegean逻辑家寻求什么：Dedekind-Peano的基本推导从更基本的逻辑原则，至少是安全，认识到的逻辑原则，因为它们是数学假设寻求派生。
4.3执行
这类叫做建设性逻辑论的理论是在Tennant（1987）中的。 它的显着特征可以概括如下。
精密：它证明了最多有限扩展的概念数量;
逻辑弱点：它仅使用自由直觉相关的逻辑;
概念充足性：它证明了所有模式n的情况（如下，见下文）;
严谨：它提供了“全面严格扣除了Peano Postulates”（Burgess 2005：147）。[45]
单桶抽象：其基本原则是推理效果“单桶”抽象的规则。
建设性逻辑从格雷琴的正式方法中总是出发，其双桶抽取原则基本法v，以及使用使用休谟的原则，这是许多新逻辑家的起点 - 而是双桶的选择再一次。 这是必不可少的（和预防性地），使得这一离开在自由逻辑中，即没有人的逻辑（和困扰）的FreeGean假设，即一个人的语言的每种良好形成的奇异项必须表示一些物体。 单桶抽象原则可以在免费逻辑中作为任何可变绑定抽象运算符α的介绍和消除规则，管理其在表单T = @ xa（x）的规范身份陈述中的出现。 当然，建设性逻辑家试图拍摄＃for @。
这种替代方法的细节，追求不仅是自然数的理论，也是理性和实数的理论，也将在Tennant 2022中找到。该方法也可以应用于设定理论本身; 请参阅即将到来。 在那里，透露的“leap的逻辑”是Quine称为虚拟集理论：我们称之为分析的学说，关于设定抽象，预测和成员资格的互连，而不进行任何本体论承诺。 Zermelo的扩展性的公理可作为这种方法的逻辑定理衍生。
建设性逻辑主义是基于自然扣除规则，这些规则是中央概论零（0），继承人和'数量'（＃）的中央概念分析。 规则针对数字术语形成操作员＃xφ（x）（φs的数量）的含义。 在上面介绍的术语中，#X金额的规则到单桶抽象原则。 允许其余规则仅携带非常本地和适度的本体论承诺，理由是，它是一个术语如“0”的一部分，例如“0”，它在语言中的使用犯下了一个到数字0的存在。例如，这里是自然扣除规则零。 '⊥'是荒谬的象征。
