逻辑主义和新逻辑主义（三）

因此，将有“类型”变量（0型，比如说）范围仅限于个人。 在下一个类型的1型1 - 将有“属性”和“关系”变量，这些变量范围为个人和关系等等。 （0和1这里用作类型的索引。）该想法迭代以涵盖所有类型的有限索引。 此外，在罗素的理论中，只能形成有限索引类型。 这些是可以索引的类型，从“外部”，以便通过自然数n说话。 没有Transfinite类型，即，没有通过Transfinite arminals（如ω）索引的类型。[25]

谓词命题函数是涉及没有比其参数高的量化的量化。 Russell不仅是话语的宇宙（这些类型的各种类型和物体）; 他还描绘了语言。 假设首先以α更高的级别形成ruSellian类（或预测命令函数）β。 然后，它应该是毫无意义的（以类型理论的语言）来说，β是α的成员，其中这被解释为官方意义，据称将对应于对象β对应的属性。 （相比之下，在集合理论的语言中，它是有意义的 - 即使是错误的，也可以说β∈α。）因此，在罗素的类型理论中，不可能处理非自我会员的遗嘱或财产。 为此，要求自我会员的谓词Xīx有意义（和形成良好）; 它不是。 因此，在他的类型理论中，罗素阻止了他自己的悖论的衍生，以弗雷格的班级理论下降了受害者。

然而，罗素试图保护Frege的方法，将基数数定义为类似大小的类别：

类别α的基数被定义为类似于α的所有类的类，当它们之间存在单一关系时，两个类相似。 （拉塞尔1908：256）

这种定义以及它引导者的问题幸存成为Principia Mathematica。

由于罗素对逻辑宇宙的分区成类型，他的“基数”变得含糊不清。 （在以下引号中，符号λ代表空，或空，类。），如russell承认（1908：257），

根据[我们]定义，0和1和所有其他红衣主教都是CLS的模糊符号，并且有许多含义，如类型。 从0开始：0的含义取决于λ的含义，λ的含义根据它是空类的类型而不同。 因此，有类型如此; 这同样适用于所有其他红衣主教。

然而，拉塞尔并没有充分接受如此强加的狭窄。 他立即增加了更广阔的情绪

然而，如果两类α，β是不同类型的，则可以将它们讲述具有相同的红衣主教......因为一个一个关系可以在α和β的构件之间保持在α和β的构件之间，即使α和β是不同类型的。 [重点补充]

通过赋予这种结构主义脉冲，罗素实际上，利用他的官方类型的理论一体地将基数的第二个混凝土混凝土。 新的Cundrual是基本上的基本数量，这是根据其相似性从类抽象的东西，而不是形成类似类的类。 这种抽象采用防守形式（由Cantor而被剥削）

卡（α）=卡（β）⇔∃r（r：α

1-1

↦

ontoβ）。

出于上面解释的类型理论内部的原因，卡不能在类型理论的官方本体中的任何类型内的对象。 因为它的定义域不仅必须跨越不同类型的域，而且包括所有类型的类。 但是任何类型理论上可允许的功能或操作都是不可能的。 这一事实也排除了罗素使用Frege的诀窍来确保数字无穷大。[26] 对于Frege，每个自然数N都是前面的自然数量的数量。 对于后者因此，它们必须是官方本体中的对象 - 但是，如刚才观察到的那样，罗素的卡（Inal）S不是。

将Universe划分为类型，因此可能导致“逻辑”的高价格。 注意，了解到为一个人最喜欢的数学结构的逻辑学家重建是如此慷慨地在每种类型内唯一重新呈现。 人们希望在某种结构中捕捉他们的共性。 而且，正如我们所看到的那样，罗素正在努力做什么，即使它从一开始就注定失败，因为它被致力于在每种类型中存在不同系列的“相同”数字的存在。

当时导致这一embarras evarrases的打字的动机是可理解的。 罗素希望避免任何可能由Impriticative定义导致的潜在恶性循环。 根据罗素的说法，它应该是非法定义一个类C，涉及涉及关于C本身必须属于的任何范围的人。 因此，通过分区为类型，甚至无法部署自我成员资格的概念以及非自我成员资格。

然而，这个russellian对类抽象的约束是对形式的姓氏“级别的摘要”的结果，“所有x的类这样φ（x）”，因此不能保证这种类的存在作为逻辑问题。 因此，拉塞尔不得不假设存在这样的课程。 这被视为贬低他们的身份，因为它是逻辑对象，而且揭示它们不仅仅是数学假姿势。 他们的存在再次（充其量）是一个合成的先验事项，而不是分析必要性和确定性之一。

人们可能会想知道为什么这样的课程会有资格作为一个完全强大的假设的逻辑对象（它一直是一致的），但如果他们的存在必须以更匹配的姿势时尚担保。 但那是罗素帝国主义的阿基尔脚跟。 罗素的乘法公理（如今称为首选的公理）存在的存在性假设和无限的公理被视为仅仅是数学的标志，尽管对抽象对象的更加宽敞的宇宙的背景而不是自然数量或真实数字本身。

Russellian类型被委屈道：即一个且相同类型的命题功能属于不同的订单，具体取决于其内部逻辑结构。 如我们所看到的，所谓的命题功能的类型由其自由变量的类型决定。 但同一类型的两个命题功能φ和φ'可以涉及不同种类的量化。 如果φ涉及比φ'内的粘合变量更高的类型（绑定）变量范围的量化，那么φ即使φ和φ'的类型相应比φ'是相应的更高的阶数。 召回错误的命题功能φ是包含高于或高于φ本身类型的类型的结合变量的函数φ。 将Impriticative命题函数分配给更高阶的是标记它不是犹太人的runifier方式。

拉塞尔在他的类型理论中暗成了他的类型，以避免明确的命示（普内加尔的定义受到影响的定义）。 Russell然后发现自己是Hamstrung，无法获得某些所需的数学结果。 这些结果中是克兰的定理，以及实际分析的定理，其指出，上面有界限的每个集合X具有与X中的实数相同的顺序的最小界限。被解雇类型理论出现无能为力证明这些结果。 因此，Russell在务实的精神中，简单地介绍了可重复性的公理，以便完成完成。

Russell在类型理论中的可还原性的公理说明，每个命题功能都与令人遗憾的函数共同延伸 - 即，其中的量子范围仅超过命题功能本身的类型。 该公理的非琐碎含量是每个非法性命题功能与预测性共同延伸。 众所周知的示例是说明这是令人生畏的命题功能∀f（fx↔fy）。 通过增加预测命题函数x = y，可以在这个例子上验证还原性的公理，只要一个人接受Leibniz的标识标识标识的争议原则。 如果intrgare leibniz，一个人认为iconiskers有可能是明确的，然后，为了使还原性的公理，有必要暗示一些其他谓词命题功能，x ~y说，它是真的那

∀f（fx↔fy）↔x~y。

然而，还原性的公理是毕竟依赖于谨慎定义的可否受理。 因为它崩溃了1.批评者的命题函数的命令指出，估计估计的归因于估计和毕竟是合法的才能更好。

然后用简单的理论留下一个（并且不需要减少的公理）。 但即使是简单的类型理论最终也失望了作为数学的基本理论 - 可能是因为在拜占庭的分枝理论之后，没有类型的类型理论可以在数学家本身中找到有利。 类型理论因Zermelo和Fraenkel而被新出现的集合理论流离失所，其中数学家可以更容易地识别作为坎索尼亚数学实践的正式编纂。 在Grattan-Guinness（2000）中可以发现接待和最终消亡的明确和丰富的详细历史。 （“套装”术语是采用的，以使这些“更安全”对比具有有问题的弗赖吉不一致理论的悖论。）

1.3.2 Zermelo-Fraenkel集理论

借助一些司法ZFC（Zermelo-Fraenkel集合理论与首选的公理）可以解释为罗素型理论的智力后代，即使这两个理论日期来自同年，1908年。

在20世纪20年代发生了通过设定理论的类型理论的位移。 目的仍然是统一所有数学，并提供一个宽敞的抽象物体宇宙，以便这样做。 所有不同的数学理论都在设定理论内是可解释的，根据这些理论研究的对象的“设定理论代理”的识别。 因此，例如，有限von neumann arminals可以作为自然数量的设定理论代理。[27] 和℘（ω），自然数集的电源集是真正连续体的设定理论代理。[28]

ZFC集理论是纯集的累积层次v的帐户，最终从空集∅建立起来。 通过某个单个索引等级，v中的每个设置为“形成”。 排名是累积的，并且在继任时间通过应用电源集操作来生成。 Etswhile类型再次作为排名突出，除了累积累积 - 每个等级都包含较低级别的所有成员。 他们的成员们换了所有四个，所以说话，因为他们被认为占据一个伸展的没有典型的宇宙诉。

Quine（1969），章节xi和XII是一条历程追踪，包括一个渐进的理论调整，其中一个原则上可以制作，从Principia Mathematica（PM）的类型理论开始，并结束Zermelo-Fraenkel集理论。 假设在型理论中的减少性公理的目的是已经观察到的是确保每个命题功能都与预测函数共同延伸。 然而，随着Quine指出（随着Ramsey在他面前指出），还原性的公理真的真的击败了自己的假设背后的目的，从而激励了一种简单类型理论代替PM的分歧。 如果一个人用“一般”重新重新重新重新重新重新重新重新重新重新键入“一般”，或者没有型号，变量，并且允许这些类型是累积（而不是在没有重叠的情况下从另一个中留下分层），一个效果将SEGUE与Zermelo集合理论效果。 Fraenkel的替代机构最终允许一个“[Pierce]所有类型的天花板”（Quine 1969：282），并达到Zermelo-Fraenkel设置理论。 替换说，在集合上定义的任何函数都具有其域的设置为其范围。 这允许一个形成例如任何Transfinite序数κ，该组

{ℵα|α<κ}

所有无限的红衣主教编号ℵα，其中α= 0,1,2，...... ＜κ。 顺序α小于κ形式的α（实际上是：κ本身）。 ℵα，更好地认为是ℵ（α），是α-TH无限基数。 所以ℵ是具有域κ的函数，其值α的值是α-TH无限基数。 通过替换，存在集合{ℵα|α＜κ}。 这样的一组驻留在κ上高于κ的等级方式。

Quine的账户放大了在哥特尔（1993/1995）中找到的略微详细的一个。[29] 正如哥德尔所观察到的（第45-6页），“聚集体理论”，或设定理论，

...如Zermelo，Fraenkel和von Neumann所呈现......只不过是类型的自然概括，或者是类型的自然概括，如果去除某些多余的限制，则是类型的理论是什么。

这些去除是三倍：使类型累积; 没有型变量; 并允许类型形成延伸到Transfinite中。

ZFC避免了Russell的悖论，即使所有成员集都在一个无型宇宙中都在所有四个。 这是因为它的宇宙V本身不是一个集合。 不支持任何强大的足够强大的设定抽象原则，该套装避免了罗素的悖论。 将话语宇宙分区似乎是对罗素的悖论问题的方法上昂贵过度反应。 如果一个人作为一个集合将宇宙v视为，后者当然会重新调整。 只需应用分离的Axiom方案

∀y∃z（z = {x|x∈y∧φ（x）}），

使用φ（x）rulellian公式 - 实例x∉x，并在V的方面实例化。

数学家具有既成良好的艺术摘要的实践。 它们是逻辑语法形式{xφ（x）}。[30] 如果一个人的正式逻辑是尊重这种做法，那么它必须提供设置抽象的可变绑定术语形成运算符（v.b.t.o.）：

{x| ... x ...}。

这种操作者可以应用于任何公式φ以产生术语。 在这种公式中，危险的x = x和x∈x。 因此，正式化的基本主义将小心采用自由逻辑，其中每个良好的术语都没有假设，它享有一个表示表示。 然后，罗素的悖论证明可以被剥夺其刺痛：它只是成为负存在¬∃xx= {y|y∉y}的证据。

但是，采用自由逻辑，带来以下义务：如果希望认识到存在某种存在某种对象，或者存在特定对象，则一个人必须明确假设其存在。 这些存在不再来自一种内置或默认，默认假设底层逻辑。 相反，它要求显式表达式作为理论承诺。

你想要一个空的套装？ ZFC-理论家问道。 通过一切手段！ 这是：

∃x（x = {y|y≠y}）。

你想要单身人士吗？ 肯定！：

∀x∃y（y = {w|w = x}）。

......或者，如果您愿意，请从无序对的公理中获取它们，通过同样的实例结束：

∀x1∀x2∃y（y = {z|z =x1∨z=×2}）。

你想要一个无限的套装？ 通过一切手段！ 这是一个非常有用的：

∃x（x = {y|ny}），

其中ny意味着Y是有限von neumann序数（并且该概念可以在Set-理论术语中明确定义）。

ZFC理论家在他们的姿势上佩戴他们的本体承诺，无论是直接还是有条件的。 他们出去了表征了一个非常丰富的数学宇宙，可以确定 - 有很多东西，以及这种巨大的结构，其中一个应该能够找到，其中，对于几乎任何种类的数学对象，就可以找到了一个定理的'代理'或者结构可能希望猜测和证明定理。 只有这种过度骑行的关注，统一一个总体域内的所有数学，ZFC理论家都没有特别致力于涉及的对象和结构的逻辑学家视图。 如果有的话，逻辑主义已经获得了一个新的挑战：展示了定位理论本身如何像算术和分析，说 - 只是一个定义伪装的逻辑真理的身体; 并展示如何（重新）如何被解释为纯粹逻辑对象的某种定义Concoction！[32]

2.新食物

Neo-Freegean Revival在Charles Parsons的洞察中有其起源（见1965：183和194）。 他指出，鉴于弗雷格·斯坦的竞争的争论结构，他所谓的原则（a）就足够了，因为在Grundlagen中的竞争中的竞争，为Peano算术的公理衍生。 Parsons使用二进制量词'GLZ'缩写为“gleichzahlig”（同步），并使用nx缩写“数量”：

nxfx =nxgx≡glzx（fx，gx）。

......我们可以以[Frege的程序]以定义Peano的三个原始'0'，“自然数”和“继承者”的形式，并证明Peano的公理。 ......除了在介绍“NXFX”的条款和证明（a）时，除了在介绍“NXFX”的条款之外，没有必要使用集合存在的任何公理，因此可以通过将（a）作为公理来执行该论点。

这是现在称为'Frege的定理'。[33] 弗雷格的定理有原则（a）作为其假设。 奇怪的是，压力弗赖尔斯在格伦德兰人民的重要性上，关于这种原则的重要性（两个概念在他们是Gleichzahlig的情况下具有相同的数字）在丛林中消失，其中两半Biconditional显得广泛分开：§53弗雷格证明，如果两个概念对应1-1，那么他们的数字是相同的，并且在§69中他证明了这一逆转录。 但无处可行在丛林中，他是否重新组装了奇迹，并符合其哲学重要性。 他这样做了，他可能已经成为罗素的悖论的第一个新的游侠。 然而，为了这样做，他必须克服他的不愿意查看（a）作为逻辑公理。[34]

新朋友的运动旨在揭示大量的数学是分析。 这是一个强烈的索赔，它是一个先验的索赔，并且没有从经验科学的理由的一部分，甚至没有经济科学的成功应用。 因为这将掌握数学（或确实是任何其他的知识分支）被认为是合成的先验。 Neo-Freegean另外，数学的重要部分从逻辑上流动，这些原则是他们的中央概念或谓词的分析，例如“自然数”或“实数”。 也就是说，它们从那些中央谓词的含义流出。 （我们选择此处用于分析索赔的语言版本）。 注意这里的压力在“重要的部分”上。[35] 我们从Gödel的第二个不完整性定理中知道，任何一致和充分强烈的算术理论无法证明或反驳（正式的陈述）其自身的一致性。 后一种陈述是真的，但无法移动。 鉴于不完整的现象，一个人难以努力使所有数学真相都是如此，因为只有这样的逻辑考虑，只有可以在正式证明系统中捕获的逻辑考虑。[36] 当数学理论的第一个原则如算术，形成基本不完全的公理化时，逻辑家将不得不保持任何新的第一原理的理由可以在一些严格的逻辑意义上提供。

请注意，上述备注描述了任何类型的逻辑中的新朋友复兴的一般背景。 他们没有决定任何此类复兴的确切形式。 在§3中，我们讨论了复兴的特定形式，涉及与休谟的原则延长二阶逻辑; 在§4，我们讨论建设性逻辑。

这两种形式的新朋友复兴逻辑论占有弗雷格自己的治疗的三个重要特征。

首先，仍然定义为0（零）作为任何空概念的数量：特别是，作为非自相同的数量（正式：＃x¬x= x）。

其次，一旦确保了任何自然数n的存在，就通过将S（n）作为0到N，包容性（Frege的技巧）的所有自然数的数量来保护其继承者S（n）。

第三，自然数量概念的定义利用了继承关系的祖先的概念：X与y的继承祖先关系只是因为y是最有限的许多远离x的步骤。 （如已经明确的那样，这种定义中的任何明显的循环，源自与状语光泽“有限地衍出，在接近所用定义的情况下，就是如此：仅仅是明显的。）然后将概念”z是自然数“被定义为”0是z，或0承受到z“的继承祖先关系。 这是允许新朋友逻辑家推导出自然数的数学诱导原理。 本调查文章的读者将被保留正式的详细信息。 它们可以在Tennant（2022）中找到。

3.具有休谟原则的二阶逻辑

Neo-Fregean Revival始于赖特认真。[37] Wright（1983）寻求从被称为n =的后继算术导出Dedekind-Peano公理，因为已经被称为Hume的原则（即，Parsons的原则（a）上方）：

＃xfx =＃xgx↔∃r（r将fs 1-1映射到gs上）。

Wright勾勒出Depekind-Peano公理的推导来自豪华的原则。 草图的扣除将在标准的二阶逻辑-'standard'中进行，即在HP的存在情况下，可以证明在HP的存在中，可以证明表单＃xφ（x）的所有数字抽象项。 这种系统是关于其数字抽象术语的未满意。 这一点即使有问题的二阶逻辑是官方意义上的自由逻辑也没有致力于定理方案∃！t（即，∃xx= t），用于任何形成良好的奇异项t。 证明这一点短且简单，就像§1.2.3中给出的那样。 我们将提供如下的非正式版本。