逻辑主义和新逻辑主义（二）

让我们呼叫（新）Freeean抽象原则（如HP），该原则（如HP）寻求指定涉及两个不同抽象术语的身份的真实条件（涉及相同的抽象运算符@）双桶式抽象原则。 （很快将讨论身份的对比单桶抽象原则。）[14]双管抽象原则具有一般形式

@讯景= @xgx↔ψ（f，g），

当右侧表示在f和g之间表示二阶等价关系，并且在不使用@的情况下被说明。 但这并不排除这样一个原则的实例，其中f或g或两个都包含@的发生。

通常，这些双管抽象原则被放下假设，或者是公理（或公理方案）。 但这不是绝对必要的。 所有重要的都是有问题的理论是否包含定理（或定理方案）的原则。 与前面的抽象原则一样，HP是一种双管抽象原则。 Frege的命运基本法律诉这也是如此，我们将在适当的时候讨论。

惠普告诉我们，只有当分别数量分别的谓词扩展是在一对一的对应项中时，才能相同（在某个两个地方关系r）中，数字#xfx和xgx将是相同的。：另一种表达这种后一种条件的方法是说f和g平等。

这种等价的基本思想归于休谟（当前原则的名称）; 当然，在克罗格撰写格朗尔根之前，它当然已经被克罗尔的巨大影响了。[15] 在不使用单向对应关系的情况下，陈长者将无法激励他的后来的突破性想法，即有不同的无限数量（参见陈官1891）。

弗雷格考虑了HP是否可以作为数字的本体定义 - 一个定义，这将提供完整和完全表征的本质。 但他得出结论，惠普无法满足这种更加简单，但合理的需求。 原因是现在被称为朱利叶斯凯撒的问题。 Frege坚持（Grundlagen，§56），我们的数量定义应该使我们决定朱利叶斯凯撒不是一个数字。 他的结论是，惠普无法让我们这样做。

因为，假设我们说，如果篮子里有两个苹果，那么篮子里的苹果数量是朱利叶斯凯撒。 为了一致性，它将足够（符合HP）只是为了确保一个与概念一体对应的任何其他概念分配相同的号码（即，julius caesar）“...是篮子里的苹果是一个苹果”。 因此，例如，严格地在4到8之间的素数是朱利叶斯凯撒。 实际上，严格的素数在1到4之间是朱利叶斯凯撒，其中一个是朱利叶斯凯萨岛的素数！

一方面，惠普是，可以确定，数字的必要条件。 必须由抽象算子＃的任何合法解释都满足。 但是，惠普不是足以确保由表格的术语表示的东西#xfx真的是数字！

另一方面，如弗赖吉所揭示的，艰苦的努力工作工作 - 惠普足以授权Dedekind-Peano的逻辑衍生出来的自然数算术。 这就是惠普在某些后续新逻辑学家帐户中的vaunted状态（参见§2）。

但弗雷格想要的不仅仅是一个逻辑上强大的算术来源; 此外，他还希望考虑数字的形而上学性质的原则。 他们必须肯定，至少是抽象的？ 数字也是永恒的，必要的。 它们不在太空中，他们不会进入任何因果关系。 因此，Frege寻求更深层次的逻辑理论，可能能够为数字凭借这些后一种特征而努力，从而解决凯撒问题。

不幸的是，在这方面，他可以说是失败的（并在罗素的悖论中独立于适当课程的悖论。 弗雷格思想（根据Dummett（1998））的说法，他可以通过将数字识别为特殊类型的类或扩展（概念）来避免Julius Caesar问题。 他写道，在Grundlagen在§68

我的定义[数量]是...如下：

属于概念f的数字是概念的延伸[Umfang] [fn。]“等于[gleichzahlig]到概念f”。

和“Umfang”的脚注以“umfang”结束，“我认为它是众所周知的概念的扩展。” 对于那些在这方面需要一些教学的人来说，Grundgesetze旨在提供它。

原则上，Julius Caesar问题将在卧房中进行任何双桶抽取原则。 （这不是逻辑主义的问题;它是一种特定形式的抽象原理是一个问题。）[16]通过使用单管抽象原理可以避免问题。

单桶抽象原则的一般形式，由句子表示而不是推理规则时，是

t = @xfx↔... t ... f ...，

其中T是一般的单数级（包括参数）的占位符，而不仅仅是对于@ -terms。 右侧可能包含@; 此外，在采用实例时，对F或T代替的表达可能包含@的发生。 所有与单桶抽象原则都很重要的是，理论是否包含它作为定理（或定理方案）。

单桶抽象原则的一些例子是以下内容。 这里，∃！t为∃xx= t短。 它可能被读为“t存在”。

对于明确的描述（在笑脸的治疗上，笑脸1970）：

t =ιxfx↔（∃！t∧∀x（x =t↔fx））。

用于设置摘要：[17]

t = {x|fx}↔（∃！t∧∀x（x∈t↔fx）。

对于数字 - 摘要（关于Tennant的治疗 - 见§4）：

t =＃xfx↔∃r∃g（rxy [fx1-1gy]∧t=＃xgx）。

对于数字 - 摘要（在Zalta治疗 - 见§5）：[18]

t =＃g↔t=ιx（ax∧∀f（xf↔f以g）同等为q））。

我们关注的单桶抽象原则的重要特征是他们没有本体承诺。 假设或证明它们的理论需要补充特定的进一步的本体论委托，然后在对由单桶抽象原则捕获的广泛逻辑行为捕获的各种实体的承诺之前。 例如，上面的设定抽象原则仅仅是关于集合，成员资格（'∈'）和设置定义条件f相互关联的限制的限制。 它逻辑地意味着既有扩展性和转换模式（“如果你是所有和只有fs的集合的成员，那么你是f”，而“如果你是f”，那么所有和只存在fs的集合，那么你就是它的成员“），但没有保证存在任何集合 - 甚至是空集的存在。

1.2.3 Grundgesetze

弗雷格帝国主义成就的核心被推迟到Grundgesetze der Arithmetik，其中的第一卷于1893年出现。这在Grundlagen之后几乎十年的长期延迟，他在他的前言中解释了一些重新 - 他的Begriffsschrift（Frege 1879） - 最重要的创新是引入概念的Werthverlauf（价值范围或扩展）的概念。 弗雷格也在发布Grundgesetze时，制定了他的感觉和参考之间的区别，并决定将真理价值视为对象，并且确实如句子的指数。

他承认他预计他的象征主义是一种令人克服他的想法的蔓延和影响的巨大障碍（伟大的障碍）（Frege 1893：x）。 一方面，严格的符号和绝对严格的和逻辑上水密证明对他的逻辑学项目至关重要。 另一方面，他担心，数学家会认为metaphysica sunt，非leguntur！ （这是形而上学，并没有[待]阅读！），哲学家会认为Mathematica Sunt，非单手道！ （这是数学，并不是[待]阅读！）; （Frege 1893：XII）。 可怜的弗赖尔可能是对的。 但是，他的牛肉的牛肉是从未正确消化的原因可以读出夹层。 他的前言给卷我以自信的话结束

如果有人实际上表明可以在其他基础上竖立一个更好的更可持续的大厦，或者如果有人表明我的公理导致了明显的虚假后果，那么我唯一的驳斥就会是唯一的。 但没有人会成功这样做。 （Frege 1893：XXVI;作者的翻译）

这种充满信心的声明允许他在他的基本法v上提前几页提出了几页：

据我所知，争议可能仅在我的价值范围（v）的基本法律上出现，这也许逻辑学家的特殊表达，即使有人认为它，例如，当一个概念的扩展时，也是如此。 我坚持纯粹是合乎逻辑的。 无论如何，这标志着决定必须下降的地方。 （Frege 1893：VII;作者的翻译）

并摔倒了。 它结果弗雷格，并与正规制度一起过度，是为了辩护他的逻辑论。 他试图在课程的一般理论中统一所有算术和分析，或者延伸（概念）。 课程应该是逻辑对象卓越。 该战略是定义自然数，比如摘要，逻辑对象的更加宽敞的宇宙中的特定课程。 使用定义，然后将一个算术（Depekind-Peano公理，例如）的第一个原则从课堂理论中获得定理。 对于这一结束，一个人将剥削，最终只有更深层次的潜在的公理公理（或基本法律）本身。 有关此策略的更多详细信息，请参阅§1.2.4。

在这些更深层次的公理中，弗雷格的违法的基本法V.这就像惠普一样，是一种双桶的抽象原则。 然而，基本法律允许对类进行抽象，并且由此实现的等效关系是定义谓词之间的共同延伸性的关系。 Frege从未提出过他的基本法V.使用现代符号的朱利叶斯凯撒反对意见，基本法律v可以表示为以下Axiom架构，其中φ和ψ是公式的占位符：

{x|φx} = {x|ψx}↔∀x（φx↔ψx）。

Frege假设一个“逻辑上完美”的语言，其中每个形成的术语 - 包括形式的任何类抽象术语{xφx} -denotes。 相反，如果相比之下，一个统计某些语言中某些良好的奇异术语可能不表示对象的可能性，那么一个人必须采用不同类型的逻辑-A所谓的自由逻辑。 （它是“免费”的背景假设，即所有单数术语表示。）这样的逻辑与有关所涉及的术语的“存在的预设”符合量化规则。 例如，而不是能够直接从“对于所有x，f（x）”到“f（t）”推断为“f（t）”，因为在逻辑上完美语言的未自由逻辑时，可以：

∀xf（x）

f（t）

在处理可能是非表示条款的自由逻辑的情况下，需要一个需要，以确保单数术语T表示：

∀xf（x）∃！t

f（t）

提醒读者∃！t，读取“t存在”，对于∃xx= t存在。 其他量程规则需要类似的修改。

即使Frege没有假设逻辑上完美的语言，而且已经使用自由逻辑，但基本法律仍然将他致力于所有φs类的存在，无论定义公式φ如何。 证据如下所示。

证明。 首先，首先，这是一个逻辑事实

∀x（φx↔φx）。

通过基本法v在向右向左方向，取φ为ψ，它遵循这一点

{x|φx} = {x|φx}。

但是，在自由逻辑中，只有在其术语表示时才能保持身份。 故

∃y（y = {x|φx}）。

◻

此模式现在已知为“天真理解”。 （理解是集合或课程的抽象。）基本法律v承诺弗雷格申请，对应于任何定义谓词φ，存在所有满足φ的所有这些东西的类。

请注意，抽象操作员@的任何双管抽象原则，右侧

广告概念或谓词φ和ψ和ψ

逻辑上是真实的，因为φ为ψ，

将为任何形成的抽象项@xφx产生存在的致意。 这是因为，根据（ii），自我识别@xφx= @xφx也将是逻辑的。 @xφx= @xφx只有在∃！@xφx时才为真。 此考虑因素持有任何定义谓词φ。 这邀请了由Tennant（1987：236）和Boolecs（1987：184）提出的反对意见，即在某些显着案件中，在特别是有问题的概念φ（如自我身份）。 这是“坏公司异议”的最早形式。[19]

1.2.4 Frege对自然数的治疗

我们不会纠正Frege课堂理论的特点，而是应尝试阐明Frege账户中领先想法的整体形状，因为它们在Grundlagen非正式地阐述并在Grundgesetze中正式执行。

第一个弗雷格必须识别0，他定义为任何空概念的数量。 一个必然空的概念是非自我认同：

0 = df＃x（x≠x）。

下一个Frege必须指定一个自然数量是另一个的一个自然数量，或者是另一个最大的自然数。 如何定义它以便立即成功的内容？ 答案是通过呼吁F和G的概念，分别享受m和n作为他们（有限）的基本的概念。 必须恰好在概念f下面落下的对象f比概念g下降，而这将在所有gs和所有除其中一个之外的所有gs和所有之外的一个通信（r。 正式：[20]

米立即成功了

∃g（n =＃xgx∧∃f（是=＃讯景

∃r∃y（fy∧rzw[gz

1-1

↦

到（fw∧w≠y）]）））。

很容易显示n恰好立即继承人。 也就是说，如果m立即成功n，并且m'立即成功n，则m = m'。

现在，我们可以说概念'自然数'的扩展吗？ 它必须包含0的0，并且可以通过最大的连续继承的许多步骤从0的任何数量组成。 然而，这种表征威胁要成为通函：因为，如果不是呼吁自然数本身的概念，那么在这里如何了解副词的“副词”？

Frege的Genius在他设计为此循环问题的解决方案中揭示了自己。 他已经在他的Begriffsschrift 1879年介绍了必要的逻辑和概念性地面。对于任何双位关系r，Frege已经定义了x为y的r-祖先（这里缩写为r * xy）。 对于这个定义，他雇用了两个辅助观念。 第一个是一个概念f是遗传的：

∀x∀y（fx→（rxy→fy））。

让我们缩写为此

hxy（fx，rxy）。

第二个辅助概念我们将在此表达为“x由f”，或“f r-bars x”，因此定义：

∀z（rxz→fz）。

让我们缩写为此

bz（rxz，fz）。

现在我们能够提供Frege对祖先关系R * XY的定义，如下所示：

∀g（hvw（gv，rvw）→（bz（rxz，gz）→gy））。

这告诉我们，y落在任何概念g都是一个遗传和r-bars x。

仍然在弗雷格之后，然后可以将NX（“x是自然数”定义为简称

0 =x∨successor* 0x。

Frege对焦的关系rxy是Y（立即）成功x的关系。 这具有作为函数的进一步优势，即，许多一致性。 这使得弗赖奇能够证明继承人的祖先是线性的：

∀x∀y∀z（（继任者* xy∧successor* xz）

→（y =z∨successor*yz∨successor* zy））。

NX的这种定义可以保护所需的结果：每个自然数量都是有限的，即时连续的几步远离0.祖先捕获了“有限许多”的概念而不调用自然数的概念，并且确实是独立的逻辑概念自然数本身的概念的定义。 还要注意，它是一个基本上二阶的概念。

鉴于立即连续的关系的功能特征，当M立即成功时，可以写入m = sn。 Frege对NX的定义的一个特别重要的结果是它使一个人能够证明，作为纯粹的逻辑结果，数学诱导的原理：

∀f（f0→（∀x（（nx∧fx）→fsx）→∀z（nz→fz）））。

凭借自然数，弗赖尔斯也可以逻辑地派生，所有其他Dedekind-Peano假设（涉及名称0和后续函数标志S）。

这些剩余的假设中最重要的是，这是每一个自然数量具有独特（即时）的继任者的人。 为了证明这一致，弗雷格当然要考虑到任意给出的自然数可能远远超过宇宙中的任何物理对象集合的大小。 那么，他可以转向什么概念（对于给定的自然数n），其基数将是n的继任者？

他的答案已经赢得了标签的“弗雷格的伎俩”。 寻求的概念除了“继承人* xn”之外，即“x是前面或与n”之前或相同的自然数。 一旦我们试图计算它们，自然数量无情地产生更多的种类。 这就是为什么有绝对的许多人。 在§82，在Grundlagen，在Grundlagen，在Grundgesetze的卷I，在§§114-119，在Grundlagen，在Grundlagen中完全形成了每个自然数量的想法。

到了Grundgesetze的时间，Frege已经在类理论术语中阐述了基数，这将保持上述考虑的结构。 FS（即，所有FS类的基数）的数量被确定为所有类别的所有类别的类别（即，在1-1对应于）所有FS的类别中。[21] 因此，所有FS的类是其自身基数的成员。 这也是所有与所有FS类别等级的课程。 因此，任何一个成员班的基数是所有一成员课程的类; 任何两人班级的基本数量是所有两人班级的班级; ......等等。 很容易看出，在Frege的基数的主题定义上，任何两个等级的班级都有相同的基数。 和数字不是SUI Generis，而是一个非常特殊的阶层。 另请参阅Frege的定理和算术基金会的百科全书文章。

1.2.5罗素的悖论

在现代逻辑的语言中，随着成员资格的二进制谓词∈，弗雷格的天真理解原则，他的基本法v在grundgesetze中的犯罪，也可以作为以下架构呈现：

∃x∀y（y∈x↔φy）。

罗素着名的悖论随之而来。

证明。 对于φY在前面的幼稚理解表达中，采取y∉y（非自我征区）。 由此获得

∃x∀y（y∈x↔y∉y）。

让r是这样的x。 所以

∀y（y∈r↔y∉y）。

但是R是该概括范围内的对象。 实例化关于r，一个人获得

r∈r↔r∉r。

但是一个可以在短阶内显示出在一个非常薄弱的命题逻辑中，表单的任何陈述

a↔¬a

是不一致的。[22] 因此Frege的基本法v是不一致的。 ◻

这个简单的正式发现会在20世纪早期的“基础危机”。

Frege在1902年10月编写的他的Grundgesetze的II卷之后，开始与心脏爆炸的话语

几乎没有任何不受欢迎的东西可以在他的工作完成时比拥有科学的作者，他的大厦的一个基础 - 石头之一破碎。 （Frege [1903]，第253页;作者的翻译）

Russell的Paradox将丛林的细节寄往相对默默无闻。 学术界不得不等待很长一段时间的工作中的完整英语翻译。 这是不幸的，因为它对20世纪60年代开始的新朋友复兴至关重要。[23]

1.3弗莱格后逻辑论和直到Zermelo

1.3.1罗素的类型理论

拉塞尔以他的类型理论（简单又分枝）的形式提供了他自己的悖论问题。[24] 通过将物体的宇宙分解为类型，罗素试图避免他被诊断为Freegean类抽象的潜在问题的恶性循环。

个人将形成最低类型。 个人的属性或属性（或者russell称为命题函数，可能是真实或虚假的函数）将形成下一个更高的类型......等等。 在罗素的类型理论中，成员资格的关系只能在不同类型的物体之间持有：如果α是β的成员，则α是较低的β。 在类型理论中，键入变量。 也就是说，给定变量应被解释为仅在某种类型的对象上进行范围。 因此，将有“类型”变量（0型，比如说）范围仅限于个人。 在下一个类型的1型1 - 将有“属性”和“关系”变量，这些变量范围为个人和关系等等。 （0和1这里用作类型的索引。）该想法迭代以涵盖所有类型的有限索引。 此外，在罗素的理论中，只能形成有限索引类型。 这些是可以索引的类型，从“外部”，以便通过自然数n说话。 没有Transfinite类型，即，没有通过Transfinite arminals（如ω）索引的类型。[25]