逻辑主义和新逻辑主义（一）

逻辑主义是一种哲学、基础和基础主义学说，可以针对任何数学分支进行推进。传统上，逻辑主义特别关注算术和实分析。它有强版本和弱版本。

强版本的逻辑主义认为所选分支中的所有数学真理都形成一种逻辑真理。相比之下，弱版本的逻辑主义只认为所有定理都是如此。（我们所说的“定理”是指在所讨论的数学分支中可证明的结果。）基础主义是关于逻辑学家重建的数学部分。然而，在这方面的成功与非基础主义（例如连贯主义）对无法如此重建的数学部分的看法是相容的。

两种版本的逻辑主义（强逻辑主义和弱逻辑主义）都认为

构成这些数学分支主题的所有对象都是逻辑对象；并且

逻辑——在逻辑学家必须定义的某种适当的普遍而有力的意义上——能够提供这些数学分支的原始概念的定义，允许人们从中得出数学家的“第一原理”作为逻辑本身的结果。（因此，所讨论的数学分支被归结为逻辑。）

对于接受康德对分析真理和综合真理的区分的基础主义者来说，逻辑真理是分析真理的典型例子。它们仅仅凭借表达它们所涉及的语言表达的含义而真实；或者，正如康德可能更喜欢的那样，凭借所涉及的概念之间的内部关系而真实。因此，对任何数学分支进行成功的逻辑主义化简都将表明其真理（强版本）或其定理（弱版本）是分析性的。

对给定数学分支进行成功的逻辑主义化简的另一个结果是，数学确定性（在该分支内）与逻辑真理的确定性是一致的。同样适用于必然性；以及相关知识的先验性。

直到 1930 年左右，逻辑主义学说主要有两种形式——弗雷格和罗素——在此之后，逻辑主义开始衰落，这主要是因为哥德尔不完备性的发现，以及策梅洛-弗兰克尔集合论的兴起，后者取代了罗素类型论，成为数学最有前途的基础理论。新逻辑主义学说随后复兴了逻辑主义的一些核心思想，其最初的迹象出现在 20 世纪 60 年代中期，其更实质性的贡献始于 20 世纪 80 年代。

新逻辑主义者的主要技术和哲学创新是他们使用抽象原则来确保诸如数字之类的事物的存在，弗雷格将其理解为逻辑对象。一种受人青睐的抽象原则通常影响等价关系的等价类的具体化。[1] 弗雷格最喜欢的例子之一涉及线之间的平行等价关系。相关的抽象将是线的方向。因此，两条线 l1 和 l2 在平行的情况下具有相同的方向：

d(l1)=d(l2)⇔l1||l2。

抽象运算符 d() 表示的函数在此应用于线，并产生方向（新抽象对象）作为其值。请注意，抽象运算符可以将变量作为参数。

新逻辑主义者将抽象运算符描述为产生数字作为其值。符号和方法的详细信息将在适当的时候提供。

逻辑主义学说的发展史中，并没有明显的趋势，即在问题出现时，通过渐进式调整来处理，同时保持相当稳定的轨迹，朝着理想的表述发展。相反，该学说的特点是方法和材料发生了突然的转变，即使目标在这种变化中保持相对稳定。[2] 我们将在下文叙述逻辑主义的不同阶段时，让变化模式变得明显。

1. 历史背景

1.1 戴德金

1.2 弗雷格

1.2.1 数字作为高级概念

1.2.2 休谟原则和凯撒问题

1.2.3 《基本法》

1.2.4 弗雷格对自然数的处理

1.2.5 罗素悖论

1.3 弗雷格之后直至策梅洛的逻辑主义

1.3.1 罗素的类型论

1.3.2 策梅洛-弗兰克尔集合论

2. 新弗雷格主义

3. 休谟原则下的二阶逻辑

4. 构造性逻辑主义

4.1 不同类型新逻辑主义的动机

4.2 反实在论和逻辑主义的推理主义方法

4.3 执行

5. 模态新逻辑主义

6. 受《基本法》启发或背离《基本法》的近期研究

7. 逻辑主义问题总结

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

历史背景

康德曾认为，算术和（欧几里德）几何形状是合成的先验，就像他的形而上学一样。 事实上，这是为了解释数学和形而上学的特殊地位，因此后者可以享受前者的崇高状态。 对于康德，数学和形而上学都提供了进入现实性质的信息丰富的洞察（它们是合成的）; 然而，对于所有这些来说，理性智慧无需感觉体验，以获得这种见解（他们是先验）。 在康德的账户中，甚至是一个简单的计算算术陈述，更不用说涉及在自然数上量化的陈述 - 是合成的。 这是他在B16的批判中提出了批判的方式：

事实上，我们可能是第7次提议7 + 5 = 12是一个仅仅是分析命题，并通过矛盾的原则，从7和5的概念中的概念矛盾原则。但如果我们看起来更接近，我们发现7和5的总和的概念没有任何保存两个数字的联盟进入一个，并且在这方面没有想到单个数字可以相结合的那样。 12的概念绝不是在不认为这个7和5的联盟中已经想到的; 而且我可以分析我的概念，只要我才能，我仍然永远不会找到它的12个。 （诺曼Kemp Smith的翻译）

康德的寻求概念遏制被限制在那些中，即他可能能够在涉及的主张的明确组成中找到，没有任何与他们在主张中发生的相关概念的联系。 （我们注意到，预期在适当的时候与弗赖吉对康德的分析真理的构想进行了相比之下的对比。，但从我们直觉的纯粹形式，正如一系列无限的连续时刻所带来的。 根据迈克尔弗里德曼的说法，康德举行了这一点

只有连续和迭代的一般特征，可以保证7和5的总和的存在和唯一性......; 只有不合适的时间继承可以保证数字系列的无限，等等。[4]

同样，在康德的账户中，欧几里德几何形状的先验特征来自我们直觉的空间的纯粹形式，这使得思想家可以正确地推测，可以将直线线在空间中作为连续的。

这两种纯粹的直觉时间和空间交付，用于康德，算术和欧几里德几何理学的理论，并赋予它们的先验性格。 他们使直觉（Anschauungen）的时空歧管（Anschauungen）成为依次的行使理解的概念（特别是物质的概念），使外部世界中的事物和事件的客观知识。

然后，逻辑家可以被视为采用康德的区别，而是将它应用于彻底不同的效果。 他们的第一次举动是为了争论算术，至少是分析，而不是合成的。

逻辑主义的教义在Dedekind的作品中首次闪烁着闪烁，但它真的只在弗赖克的工作中充满了暴力。 在Defekind的工作中，这些想法以他在数学社区中的同时代人访问的形式呈现。 确切和严格虽然这些想法是，但他们仍然享有相对非正式的介绍。 没有人提出过正式演绎系统的逻辑的想法足以正式地形成他们的日子数学推理; 所以Dedekind的一天没有逻辑论文可以以现在熟悉的方式制定。 当然，对于弗雷格，事项是不同的，因为他的加冕成就是一项正式的逻辑演绎系统，参考逻辑论文最终可能表达。

现在，当弗赖奇也随着逻辑学计划的详细执行的开创性的时候，人们不能忽视他的持续坚持，以至于欧几里德几何形状的真理是合成的先验，并以完全不同的方式与真相完全不同算术。[5] 因此，他们不受他对逻辑学的理论。 这就是为什么我们在我们在逻辑主义教义的介绍性表征中行使护理，因为第一个和最重要的是算术和实际分析的真实性。

Depekind和Frege的合并贡献在主要的数学家在稳定的情况下，他们的时间趋于趋势，朝向稳定的贡献，朝着真实的（和复杂）分析的算术。 这一趋势在高斯和博尔扎诺的早期工作中的开始。 它在Cauchy和Weierstraß的作品中成熟，并成为西方对数学性质的主导范式。 芳基梅的主要思想是，算术和分析的概念和第一个原则将在理解的概念中找到（作为康德可能会放弃它），独立于有关任何空间或时间的几何直觉continua。 算术和分析是完全概念的和逻辑在其公理来源和他们的演绎发展中。

我们现在继续考虑Dedekind和Frege。

1.1 dedekind

它可以说，Depekind使算术的趋势能够在逻辑论的教义中达到峰值。 当为实际分析的基础回来时，一个人应该避免所有事项的建议（或方法论格言的陈述），因为实际分析的基础返回到Dedekind，Stetigkeit Unt Intrationale Zahlen（1872）。 这项工作迟到了。 1858年，它的突破意见十四年来了十四年。[6] 在第3-4页上，Dedekind在1858年秋天的他早期斗争中写道，提供“Eine Wirklich WissenschaftlicheBegründungder Arithmetik”（真正的科学基础用于算术[即，实际分析]）。[7]

很明显，Dedekind正在写作假设 - 假设是如此广泛地呼吁任何正当论点 - 在创造真实数字理论时，一个人应该没有追索物到几何直觉或第一个原则。 这一推测说，Dedekind，'没有人会否认'。 Defekind希望“纯粹的算术和完全严格的基础，为无限分析的原则”[重点添加]。[8]

推定在Dedekind的后期工作中获得进一步的强调声明（1888年）是Sind Und是Sollen Die Zahlen？，如前所述，它的出版物比它更晚（或应该）出版。 在第一版的序言中（Defekind 1996b：790-1）dedekind写道

在谈到算术（代数，分析）中，只是逻辑的一部分，我意味着我认为我认为的数字概念完全独立于空间和时间的概念和时间 - 我宁愿考虑它是纯粹思想定律的直接产品。......它是只有通过纯粹的逻辑进程，通过构建数字的科学和通过如此获取我们被准确实现的连续数字域，通过将它们与我们思想中创建的这个数字域的关系来调查我们的空间和时间的概念。[fn] [重点添加]

我们再次看到工作中的推定：在为实际理论奠定基础时，必须避免任何诉诸地几何直觉。 要查询这种假设如何变得如此普遍，而且它起源于谁的作品，是本研究范围之外的一个话题。

1.2弗赖尔

从Frege的序言中清楚地看出他的Begriffsschrift（在PP.1.IX-X）中，他分享了Defekind的方法的关注，并且在设计他的概念剧本时，他在他的景点中有一个最终的算术算法。 弗雷格尊画各种需要Begründung的真理（理由）：那些证明可以纯粹逻辑地进行的那些 那些必须得到体验事实（Erfahrungsthatsachen）的支持。 他试图通过基于以超越所有特性的思维法律的思维来询问捕获算术的速度有多远（“Durchschlüsseillin ......，nurgestütztauf die gesetze des denkens，死亡ÜberAllen Besonderheiten Erhaben Sind”）。 他明确表示，他希望获得一系列订购的根本概念，并从那里推进数字的概念。 然后这是Dedekind的这种明显的回声：

为了这样做，在这样做，没有什么直观的可以侵入不受伤，一切都会在推断链中没有任何差距。

Damit Sich Hierbei Nicht Unbemerkt Etwas AnschaulichesEindrängenKönnte，Musste Alles AufDieLückenlosigkeitder Schlusskette Ankommen。

Frege强调，他担心他揭示了来自其理由的算术真理的分析方式。 他写的弗雷格1884年§3（Grundlagen der Arithmetik）

......先验和后验，合成和分析，关注的这些区别......判断的理由。 ...当一个命名时......在我的意义上解析了，......这是一个关于最终理由的判断，它依赖于将其保持正确的理由。

......问题变得......找到命题证明的证据，以及跟踪原始真理。 如果在执行此过程时，我们只会在一般逻辑法律和定义上，那么真相是一个分析的，记住，我们必须考虑到任何定义的可容许性取决于的所有命题。 [重点补充]

然后，我们看到的，弗雷格的分析的概念比康德更广泛。 康德要求在句子中明显明显，而不是在逻辑上从自己的逻辑或概念真理是不言而喻的操作之后显示的结论，并且可能包含在句子中没有发生的表达式。 当我们从B16的报价看时，康德并不认为“7 + 5 = 12”作为分析真理。 相比之下，食子簧能够利用数字的内部结构，并调用递归公理以添加（哪个本身必须以逻辑学家的方式得出）。[9] 所以，对于Feegean，即使不是康德，'7 + 5 = 12'也是一个分析的真理。 其中s是继承函数，申请人的示例采用更详细的形式

sssssss0 + sssss0 = ssssssssssss0，

使用递归公理可提供

∀x（x + 0 = x）;

∀x∀y（x + sy = s（x + y））。

后者公理标志着以下每个过渡：

sssssss0 + sssss0 = s（sssssss0 + ssss0）

= s（s（sssssss0 + sss0））

= s（s（s（sssssss0 + ss0）））

= s（s（s（s（sssssss0 + s0））））

= s（s（s（s（s（sssssss0 + 0））））

此时前公理安全

s（s（s（s（s（sssssss0 + 0）））））= s（s（s（s（s（sssssss0）））））

因此（抑制括号）我们有

sssssss0 + sssss0 = ssssssssssss0，

如图所示。[10]

在这项工作中继续弗雷格，以使他着着名的“数量”作为概念的概念，以及在心理学，经验主义或形式主义的掌握中的同时代人的数量毁灭性的竞争对手账户。 他在哲学阐释的旅游力量中将技术人员保持在最低限度。

1.2.1数字作为更高级别的概念

他从未被遗弃的Frege的主要洞察力是第46段：“......关于数字的陈述的内容是关于一个关于一个概念的断言”。 作为说明：假设一个国家

（ν）

篮子中的苹果的数量是（即，与数字相同）。

（ν）绝对是“关于数字”的陈述。 然而，所有人都说，当断言（ν）时，就是这样

（γ）

篮子里有两个苹果。

对于Frege，（γ）是关于概念“___IS在篮子里的苹果”的断言。 它不是关于数字2的断言，因为可以避免（γ）中的形容词发生的形容化发生。 一个人可以重新键（γ）

（γ'）

篮子里有一个苹果，另一个苹果在篮子里，他们是篮子里唯一的苹果。

我们将展示在提供有关数字抽象符号的说明之后，可以使弗雷格的点和一般的方式进行水密的点。

在上面的简单示例关于行方向上，抽象运算符D（）是函数符号，并且不绑定任何变量。 但有数值抽象，事项巧妙地不同。 这里，抽象运算符＃，意思是“...”，可以以两种不同的方式部署。 一方面，它可以是函数符号：如果f是谓词（resp。，第二级变量），那么#f是表示在f（resp的分配给第二级变量的扩展名下的东西的数量的奇异项。[11] 另一方面，操作员#x可以用X自由应用于打开的句子φ（x），从而绑定变量x。 由此形成的复杂术语被读为“φs的数量”。[12]

在那个符号的解释，假设一个人发出关于以下形式的数量的陈述，其中#xfx是“FS数量”的正式渲染：

＃讯景= 2。

然后，一个人（说弗雷说）使得断言

∃x∃y（x≠y∧fx∧fy∧∀z（fz→（z =x∨z= y）））。

概念f除了标准逻辑运算符之外，这是最后一个断言中唯一一个发现的表达式。 因此，断言是关于概念F.它是一般形式的数形式断言，这不一定是指或概括的数字。 对于任意n，有问题的逻辑表格将是

∃x1...∃xn（∧1≤i<j≤nxi≠xj∧1≤i≤nfxi∧∀z（fz→∨1≤i≤nz=西安））。

当然（返回到我们的榜样，其中n = 2），可以考虑逆转逻辑方向的问题。 如果首先使数值断言，则可以将其视为后续陈述的正当理由，即FS的数量与2相同。

如果使用Frege，我们会面对这两种不同的方式“雕刻”一个和相同的命题内容，那么我们将要求，以任何语言足够丰富，提供有问题的两种形式的表达，所以通过双向模式指示的以下逻辑等价，所示：

＃讯景=2⊣⊢∃x∃y（x≠y∧fx∧fy∧∀z（fz→（z =x∨z= y）））。

作为弗雷格所说，右侧的命题内容已被“重新雕刻”作为左侧的身份陈述。 一个和同样的想法已经以两种方式呈现。 它们具有相同的真理条件，但不同的逻辑语法形式。

右侧的形式，在没有运算符＃的语言内，这是完全无辜的数字与数字的任何承诺。 但是，如果这样的语言是扩展的，但是，通过将＃添加到逻辑表达式的库存中，从而可以表达左侧的表单，该表单是非编号的。

通过意识到右侧的概念 - 数量思想可以等效地呈现（以扩展语言）作为左边的数字委托思想，一个人来识别数字作为抽象，逻辑对象。 在扩展语言中，可以在纯粹的逻辑地上建立它们的存在。

1.2.2休谟的原则和凯撒问题

在Grundlagen，Frege考虑了以下等价，称为Hume的原则：

＃xfx =＃xgx↔∃r（r将fs 1-1映射到gs上）。

有两个重要的功能要注意。

首先，惠普在右侧明确阶跃二阶，涉及，正如它所做的那样，二阶量化r; 惠普在右侧纯粹是逻辑的。 这里，要定义的概念（Defietientum）是将FS 1-1映射到GS上的关系R. 这可以以纯粹的逻辑术语拼写出来：每个f绑定r到恰好一个g，并且每一个g都是通过恰好一个f的r.在符号中，这个验证读取如下：

∀x（fx→∃y∀z（z =y↔（gz∧rxz）））

∧∀x（gx→∃y∀z（z =y↔（fz∧rzx））），

我们将缩写为[13]

rxy [fx

1-1

↦

ontogy]。

其次，HP涉及两个谓词f和g。它确实如此，以便分别为表示为#xfx和#xgx的数字的标识的重要标准。 请注意，左侧的身份语句中的两种术语都是抽象的。