连续性和无穷大（一）
连续单词的通常含义是“不间断的”或“不间间”：因此，连续实体 - 一个连续性 - 没有“空白”。 我们通常认为空间和时间是连续的，并且某些哲学家已经坚持认为所有自然过程都会连续发生：见证，例如，Leibniz着名的Apothegm Natura非Facitit Saltus-“自然没有跳跃”。 在数学中，这个词在相同的一般意义上使用，但必须具有越来越精确的定义。 因此，例如，在十八世纪十八世纪，函数的连续性是表示，参数诱导函数价值的异常变化的无限变化。 随着十九世纪的遗弃无穷小，这个定义被一个采用更精确的极限概念所取代。
传统上，无限量是其中不一定与零一致的，在某种意义上比任何有限量小。 对于工程师来说，无限的数量是如此小，即它的正方形和所有更高的力量都可以忽略。 在限制理论中，术语“无限”有时适用于限制为零的任何序列。 无限幅度可以被认为是仍然在换句话中换句话说，换句话说，作为连续的“在小”中的连续性之后仍然存在。 从这个意义上讲，连续曲线有时被保持为“组成”无限的直线。
无穷小的历史悠久，历史悠久。 他们在希腊原子哲学家民主党（C.450 BCE）的数学中提出了早期的出现，只能被数学家Eudoxus（C.350 BCE）放在官方“欧几里德”数学。 采取有点模糊的“独裁者”，他们重新出现在中世纪后期的数学中，后来在演出的发展中发挥了重要作用。 他们怀疑的逻辑状态在十九世纪领导了他们的放弃和替代的极限概念。 然而，近年来，无限的概念已经严格地呈现。
1.简介：连续，离散和无限的
2.古代连续内和无限的时期
3.中世纪，文艺复兴时期和早期现代时期的连续统一体和无穷大
4.第十七个和第十八世纪的连续统一体和无穷大
5.第十九世纪的连续统一体和无穷小
6.对算术的关键反应
7.非标准分析
8.建设性实线和直觉连续体
9.平稳无限分析
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.简介：连续，离散和无限的
我们都熟悉连续性的想法。 是连续的[1]是构成不间断或不间断的整体，如海洋或天空。 连续实体 - 一个连续体 - 没有“差距”。 与连续性相反是离散性：要分开[2]是要分开的，就像海滩上的散落鹅卵石或树上的叶子。 连续性意味着统一; 离散性，多个。
虽然这是一个不可分割的连续性的基本性，但通常（虽然并非总是）持有任何连续内容，但无限制地承认重复或连续的划分。 这意味着将其分成更小的部件的过程将永远不会终止不可分割或原子 - 也就是说，缺乏适当部件本身的一部分不能进一步分开。 总之，继续无限或无限地阻塞。 因此，连续统一的团结隐藏了可能无限的多个。 在古代的情况下，这种权利与反对意见相遇，即一个是完全进行的 - 如果只是在想象中，则只能在想象中 - 除以延伸幅度的过程，例如连续线，那么幅度将减少到多个原子 - 在这种情况下，延伸点 - 甚至可能，什么都没有。 但是，无论有多少这样的点 - 即使是多星级的那些点，它们也不能被“重新组装”形成原始幅度，因为肯定仍然缺乏扩展的总和。[3] 此外，如果确实（似乎是不可避免的）无限的点仍然在分裂后仍然存在，那么，在ZENO之后，幅度可以被认为是一个（有限的）运动，导致看似荒谬的结论，无限的结论可以“触摸”有限的时间。
这种困难参加了原子学学院的BCE出生。 这所学校的创始人，白天和民主党，声称这一事项，而且，更常见的是，延伸并不无限地分开。 不仅连续分裂的物质分裂最终最终终止于原子，即在离散颗粒中不能进一步分开，但物质实际上是要被构思的那样从这些原子中复合。 在攻击无限分配性中，原子师同时安装了索赔，即连续最终将其降低到离散的，无论是在物理，理论还是感知水平。
在十九世纪的物理和化学中原子理论的最终胜利为“原子派”的想法铺平了“原子派”的方式，至少申请了广泛熟悉：它可能会说，适应威廉·哈尔科特爵士在他的日子社会主义者上着名的观察，“我们现在都是原子主义者”。 然而，只有少数过去的哲学家的超越原子学在形而上学层面，这可能解释为什么类似的学说坚持连续性缺乏熟悉的名字：无意识地承认的，不需要名字。 Peirce因其自身的哲学而被创造出术语巩膜主义（来自希腊同仁，“连续”） - 这是一个哲学，贯穿于它的“连接”感的连续性思想。[4] 在本文中，我将适当的Peirce的术语，并在其Peircean ovtones的感觉中使用它，简单地与原子学相反。 我也将使用“分歧”一词，以便更具体的教义，即继续无限地分开。
与连续概念密切相关的是无限的。[5] 无限的数量幅度有些危险地被认为是连续性的连续“，这是连续统一体的”终极部分“。 在类似于离散实体的不同意义的情况下，它的单个单位组成，其“工币符号”，因此，维持，连续统一体是“组成”无限级别的“组成”。 （例如，这是这个意义，例如，第十七世纪的数学家持续认为，连续曲线是“组成”无穷大的直线。）现在连续uum的“一致性”需要它的每个（连接的）部分也是一个相应的连续统一体可被贬低。 由于点是不可分割的，因此没有任何点可以是连续体的一部分。 无穷大的大小，作为Continua的一部分，不能为必要的，分数：它们是一个单词，非专用。
通常被视为广泛的量，如质量或体积，其在延长的空间区域上定义。 相比之下，无限量的大小被解释为类似于局部定义的密集量的密集大小，例如温度或密度。 “分布”或“整合”在这种强化幅度上的效果是将前者转化为无限的广泛数量：因此温度转化为无穷大的热量和密度进入无穷大的质量。 当连续轴是运动的痕迹时，相关的无限近距离/密集大小已经被识别为潜在的幅度实体，虽然不具有真正的幅度，但具有通过运动产生幅度的趋势，因此表现为“成为”反对“存在”。
无限数量是其中，虽然不合适，但在某种意义上比任何有限数量小。 这种意义往往被认为是不满足阿基米德的原理，这相当于说无穷无胆的数量是，无论它被添加到自己多少次，结果都仍然小于任何有限数量。 在工程师的实际处理对差分微积分的实际处理中，无限的是一个如此小的数字，即其正方形和所有更高的力量都可以忽略。 在限制理论中，术语“无限”有时适用于限制为零的任何序列。
不可分割的概念被紧密地联合在一起，但要与无限的概念区别。 根据定义，一个不可分割的是不能划分的东西，这通常被理解为意味着它没有适当的部分。 现在无缝的，或不可分割的实体不一定必须是无穷无尽的：灵魂，个体意识和莱布尼齐的一切都据说缺乏部分，但肯定不是无穷无尽的。 但这些有共同之处的未延伸; 诸如线条，表面和卷等扩展实体证明了一个更丰富的“工匠”来源。 实际上，如果划分这些实体的过程是终止，因为原子学家维持，它必须在定性不同的性质的基础上发出问题。 在直线的情况下，这样的不可思议的人将是可怜的，是要点; 在圆圈的情况下，直线; 在汽缸的情况下，圆柱体除以与其底座平行的部分，圆圈。 在每种情况下，问题所讨论的是无穷无尽的，在具有比生成的数字较小的尺寸的意义上的意义上。 在十六世纪和十七世纪在这种意义上使用了在曲线图的区域和体积分别被认为是线性或平面的曲线数据的区域和体积的计算。
从它的开始，无穷无胆的概念被困扰。 这个想法在希腊原始哲学家民主党的数学中进行了早期的亮点。 450 BCE，只能被驱逐C. eudoxus的350 bce在什么是官方的“欧几里德”数学。 我们已经注意到了第十六个和第十七世纪的失败：在这种形式中，他们被开普勒，伽利略的学生Cavalieri，伯努利氏族以及其他一些其他人雇用数学家。 在被告知的“线圈”和“时分”的幌子中，无穷小的人在Barrow的“通过计算方法找到切线的方法”中发挥了重要作用（1670 [1916：119]），它出现在他的曲线中1670年的Geometricae。作为“渐逝数量”无穷大，在纽顿的微积分的发展中是有用的（虽然被遗弃），并且在莱布尼兹的“途径”中的“途径”。 1696年的Marquis de l'hôpital发表了差分微积分的第一个论文（题为分析Des Infiniments Propits Pour L'Intelligence des Lignes Courbes），调用这些概念在假设“曲线可能是曲线被认为是由无限小的直线段组成的”（1696：3 [假释II]），“一个人可以采用无限少量不同的数量”（1696：2 [假释1]）。
然而，有用它可能已经在实践中，无限的概念几乎无法承受逻辑审查。 由伯克利在十八世纪被嘲笑为“离去量的幽灵”（1734：59），在十九世纪被Cantor被称为“Cholera-Bacilli”感染数学（1893 [1965年：505]，由Fisher 1981：116翻译），并在二十岁以哥伦塞尔彻底谴责“不必要，错误，自矛盾”（1903：345），这些有用，但逻辑上可疑实体被认为最终在分析的基础上被限制概念分析，这在十九世纪下半叶采取严格和最终形式的概念。 到二十世纪初，至少在分析中，无限的概念至少是一个虚拟的“unconcept”。
尽管如此，无穷无尽的撤销并没有成功拓埃; 他们是，相反，在地下行驶。 例如，物理学家和工程师永远不会被遗弃作为启发式设备，以便在将微积分应用于身体问题的情况下导出正确的结果。 Sophus Lie和ÉlieCartan的身材的差分几何依赖于他们在概念的配方中使用，后来将被搁置在“严格”的基础上。 并且，在技术意义上，他们在代数主义者对非阿基米德领域的调查中生活。
在过去几十年中，连续和离散之间的长赛中的长赛中的一个新阶段在坚实的基础上与无限的概念的概念开放。 这一直以基本上不同的方式实现，这是提供无限数量的思想的严格制定，另一个是无穷大的幅度。
首先，在20世纪60年代亚伯拉罕罗宾逊，使用数学逻辑的方法，创造了非标准分析，分析了数学分析的延伸，这些分析包括“无限大”和无穷无尽的数量，其中实数的通常规律继续保持，一个以本质上回到莱布尼斯的想法。 这里由无限大的数字意味着超过每个正整数; 其中任何一个的倒数是无意义的，即在非零的同时，它小于每一个阳性馏分1 / n。 非标准分析的大部分有用性源于它内部，涉及限制的普通分析陈述具有简洁度和高度直观的翻译，进入无穷无尽的语言。
在20世纪70年代的概念中的概念中的第二种发展在20世纪70年代出现了合成差分几何形状，也称为顺利无限分析。 基于美国数学家F. Lawvere的思想，采用类别理论方法，顺利无限分析提供了世界的形象，其中连续是一种自主概念，而不是在离散的方面解释。 它为数学分析提供了一个严格的框架，其中空间之间的每个功能都是光滑的（即，任意多次可分辨，特别是连续），并且在其中尼利特取代了定义微积分基本概念的限制无穷小，即量量如此小（但实际上并不零），有些电力最有用，方形消失。 平稳的无限分析体现了无限切线向量的强化幅度的概念。 在点P上的切线向量是在它上的曲线上的短直线段L通过点并沿着曲线指向。 事实上，我们可能需要l实际上是曲线的无限部分。 平稳无限分析的曲线是“局部直线”，因此可以被认为是“由DeL'Hôpital的意义上的无穷大的直线组成，或者通过无限的切线载体”产生“。
非标准和平稳无限分析的发展已经呼吸新的生命，进入无限的概念，特别是与平稳无限分析提供的小说洞察力融为连续体的性质。
2.古代连续内和无限的时期
连续性和离散之间的反对在古希腊哲学中发挥了重要作用。 这可能导致了一个关于一个和许多人的更重要的问题，一个躺在希腊思想的核心（Stokes 1971）的对立面。 希腊辩论在连续和离散似乎被泻药（C.515 BCE）等炼热哲学家（如515 BCE）和Zeno（C.460 BCE）的努力点燃。[6] 他们担心表明，进入零件的可分性导致矛盾，因此强迫了明显多样化的世界是静态，不变的团结的结论。[7] 以他的真理方式，帕尔梅尼德断言是均匀和连续的。 然而，在断言作为丁糖的连续性可能不仅仅是强调其基本团结。 帕尔梅尼德似乎声称是不仅仅是连续的 - 实际上是一个整体，实际上是一个不可分割的整体。 存在单一的Parmenidean是一种没有零件的连续u形式，一次是连续体和原子。 如果Parmenides是一位巩膜主义者，他的绝对宗教信仰排除了他在一个分歧者的同时。
支持帕梅诺德的帕梅尼德ZENO制定了他着名的运动悖论。 （参见Zeno的悖论中的进入）二分法和阿基拉曲板悖论，都在明确地休息的空间和时间的无限分配性。
似乎已经出现的原子主义教义是因为逃避省略困境的尝试，首先是物理理论。 它由Leucpppus（FL.440 BCE）和Demoltitur（b。460-457 BCE）安装在内，他们维持该物质不可分割，而是由不可分割，固体，均匀，空间延伸的小学组成，低于可见性水平。
Aristotle（384-322 BCE）挑战原子主义，谁是第一个承接对连续性和离散性的系统分析。 一位彻底的巩膜主义者，他坚持认为，物理现实是一个连续的增压室，并且连续的结构，共同的空间，时间和运动，并不是其他任何东西。 他对eleatic问题的答案是，连续大小可能是无限的，从而在任何地方都可以划分它们，尽管它们不能同时划分。
亚里士多德将连续性和离散性识别为适用于数量类别的属性。[9] 作为连续数量的示例，或连续，他提供线条，平面，固体（即，固体体），延伸，运动，时间和空间; 在离散量中，他包括数字[10]和语音。[11] 他还规定了一些术语的定义，包括连续性。 实际上，亚里士多德将连续性定义为实体之间的关系，而不是作为对单个实体实现的属性; 也就是说，他没有提供连续概念的明确定义。 他观察到一个连续的整体可以通过“粘在一起”致电的两件事来实现，这表明整个整体的连续性应该从其部件加入的方式获得（参见物理v，3）。 因此，对于诸如线条和平面，空间和时间的亚里士多德数量借助于它们的组成部分“在一些公共边界处加入”（饼干，VI [MOMM]）而连续。 相比之下，离散量的组成部分可以具有共同的边界。
其中一个中央论文亚里士多德是痛苦的措施是连续性的不可缩税 - 即连续素不能“组成”的工人伯罗斯或原子，其零件不能进一步分裂。
亚里士多德有时认识到无限的可分性 - 可分解成本身可以进一步分开的部件的性质，这一过程从未在不可分割的过程中终止 - 因为他表征了概念时的连续性。 但是，当时他将无限可分性的财产视为定义连续性。 正是这种连续性的定义，亚里士多德的证明是被称为同构论文的形式，这尖叫着任何幅度，时间和运动都是连续的，或者它们都是离散的。
关于幅度是否被较小的单位可靠地划分的问题，或者仅以某种原子幅度可分开，导致可分配性的困境（米勒1982），亚里士多德难以与他对连续统一体的分析相结合的困难。 在困境的第一个或虚线号角，据称，幅度是可分开的，贯彻这一部门的过程完全将减少一个幅度到延伸点，或者也许甚至没有任何内容。 第二或原子的喇叭从假设开始，该假设不是无处不通的，并且导致同等不批准的结论（对于亚里士多德，至少）必须存在不可分割的大小。
作为一个彻底的唯物主义，epicurus [12]（341-271 bce）无法接受亚里士多德休息的连续性理论的潜力的概念，因此在其概念和身体感官中都被推动着原子派。 像白杉和民主党人一样，Epicurus觉得有必要假设物理原子存在，而是为了避免亚里士多德的狭窄，他提出这些应该在概念上不可分割，但应含有概念上不可分割的部分。 亚里士多德表明，连续幅度不能由点组成，即缺乏延伸的不可分割的单位，但他没有表明不可分割的单位必须缺乏延伸。 epicurus遇到了亚里士多德的论点，即连续体不能通过采取物资管成为无缝的数量单位具有延伸的无缝的单位来组成。
在反对原子学家，德代哲学家Zeno（佛罗里达州）和克莱斯普斯（280-206 BCE）维持了空间，时间，物质和运动的亚里士多德地位，全部连续（Sambursky 1954年[1956]，1959年;白色1992）。 而且，与亚里士多德一样，他们明确拒绝了宇宙内的任何可能的空隙。 宇宙是由他们叫做Pneuma（希腊语：“呼吸”）的连续看不见物质的渗透。 这种肺炎 - 这被认为是空气和火的一种合成，其中两个基本元素中的两个，其他是地球和水 - 被认为是弹性介质，通过波动运动传播。 将所有物理出现视为通过肺炎中的拉伸力连接，并且物质本身被认为是从它含有的肺活量的“结合”性质中获得其品质。
3.中世纪，文艺复兴时期和早期现代时期的连续统一体和无穷大
中世纪欧洲的学术哲学家，在亚里士多德的大规模权威，大多是以一种形式订阅的论文，并在物理学的书VI书籍中的硕士学位伴随着巨大的效果，这是不可能由独裁者。 另一方面，公认的学者神学的神灵的无疑是，逆向亚里士多德的论点是只有在潜在的意义上只存在，弥补了某些学生推测，即使在外面也可能发现实际的无限例如，Godhead，例如在连续线上的点的组合中。 少数学者的时间，例如Henry的Henray（C.1275-1317）和Autrecourt的尼古拉斯（C.1300-69）选择了遵循牙科的坚持原子主义合理，并试图规避亚里士多德的反驳（Pyle 1997）。
这种初始原子犯了了由John Duns Scotes（C.1266-1308）发起的坚定的巩膜反驳。 在分析“天使可以从一个持续运动移动到另一个动作的问题”（Opus Oxoniense，请参阅授予1974，§52）他提供了一对纯粹的几何论点，以防止非突出物的连续性的构成。 其中一个论点是，如果正方形的对角线和侧面都被点组成，那么两者不仅会违反欧几里德书X的侵犯，它们甚至都会相同。 在另一个中，构造了两个不平等的圆形，并且从假设从较大的圆圈由点组成，一部分角度被示出为等于整体，违反了Euclid的Axiom V.
