连续性和无穷大（二）
奥克姆威廉（1280-1349）带来了相当程度的辩证微妙[13]，以分析连续性; 它一直是有多大学术争议的主题。[14] 对于ochham，连续呈现的主要困难是空间的无限分配性，通常是任何连续性的可用性。 在1322-7的第一本书中的第一批书中的待遇依赖于这一条线上的任何两点之间的想法 - 也许是第一个明确的密度的性质 - 以及持续的零件形式之间的区别从并置的符合物的符合统一“（QQ，510）。 ockham认识到它从密度的性质中，在无数的一条线上的一条线条上，许多点必须撒谎，但抵制线条或实际上任何连续的结论包括点。 相反，尤其是确定“可以说的线路组成或由任何东西组成的意义”（QQ，507），ockham声称“不可分割的线条不可分割，也不是连续性不可分割的部分”（QQ，507）。 虽然OCKHAM没有断言，但是一条线实际上是“组成”的积分，但他有洞察力，在其预测中令人惊讶，当时一个标点和但连续的线成为一种可能性，当被认为是一个密集的点，而不是作为积分的组合连续的连续。
在第十四世纪在第十四世纪反驳原子主义的最具雄心勃勃和系统的尝试被托马斯布拉内因（C.1290 - 1349）安装。 他的Tractatus de Continuo（c.1330）的目的是“证明维持Converua由独裁者组成的意见是假的”（Murdoch 1957：54）。 这是为了通过阐述关于连续 - 类似于欧几里德元素的公理和假设的“第一个原则”来实现的 - 然后证明了连续性由工匠组成的进一步假设荒谬（Murdoch 1957）。
关于Nicolaus Cusanus（1401-64）的连续冠军，实际无限的冠军的观点具有相当大的兴趣。 在他的de Mente Idiotae为1450年，他断言，任何连续性，都是几何，感知或物理，可在两个感官中可分离，是一个理想的，另一个实际。 理想的师“进入无限”; 实际分裂在有限的许多步骤之后在原子中终止（参见石头1928：447）。
Cusanus实际无限的实际概念反映在他的圈子正交中（Boyer 1939 [1959：91]）。 他将圈子拿到狭义边是常规多边形，即常规多边形，具有无限数量的（无限短的）侧面。 通过将其划分为相应的无限数量的三角形，其面积为任何常规多边形，可以计算为Apothem的产品的一半（在这种情况下与圆的半径相同）和周边。 考虑曲线作为无限多边形的想法是由许多后来的思想家雇用的，例如开普勒，伽利略和莱布尼斯。
早期现代时期看到欧洲古代几何形象的知识传播，特别是阿里斯敦抓地力抓住思想的宽松。 关于连续体的问题，焦点从形而上学转移到技术，从“独生布是什么，或者他们是否被组织的大幅度”到“新的奇迹可以与他们完成”（Murdoch 1957：325））通过新出现的微积分和数学分析。 实际上，在此期间追踪连续概念的发展是不等的，以绘制微积分的升高。 传统上，几何是与离散的连续和算术（或代数）的数学分支。 在第十六和第十七世纪中采取的无限微积分，其具有主要主题的连续变化，可以被视为连续和离散的一种合成，具有桥接两者之间的间隙。 在数学家的持续变化分析中，在持续变化的情况下广泛使用的是对某种数学原子学的肯定，虽然逻辑上是可疑的，但是可能是壮观的数学进步结石相关联。 因此，它是无限的，而不是无限的，它用作连续和离散的数学踩踏石。
Johann Kepler（1571-1630）在他的计算中充分利用了无限的。 在1615年的Nova Stereometria中，他认为葡萄酒桶的援助实际上是辅助的工作，他认为曲线是infinisoRal多边形，以及由无限锥体或无限薄的固体体光盘（Baron 1969 [1987：108-116]; Boyer 1939 [1959：106-110]）。 这种用途是通过相同维度的常规使用相同维度的惯例，作为它们构成的数字; 但他也偶尔使用了独裁者。 例如，他用圆锥组成的圆锥和1609年的天文学新星在他说出了他所在的行星运动中的工作，他将椭圆形的区域成为从中汲取的“半径的总和”焦点。
它似乎一直是首先介绍了这个想法的推移，后者在几何形状中成为一个重大原则，在这种情况下是几何图形的数学对象的连续变化。 在他的天数地段中，1604次开普尔的PARSICA指出，所有圆锥部分都通过焦平运动和通过切割平面的锥体的角度来连续地遍及彼此。
伽利略伽利略（1564-1642）主张了一种数学原子学，其中民主党原子专家和亚里士敦乐学术人员的影响可能会被辨别出来。 当一旦转向伽利略对话的第一天有关两种新科学（1638年）时，这就出现了。 伽利略的发言人Salviati保持违反了Bradwardine和Aristotelians，连续幅度由工人人数组成，实际上是一个无限数量的。 Salviati / Galileo认识到，这种非线性的不合情地将永远不会通过连续的细分来产生，而且声称有一种用于立即产生它的方法，从而从实际实现中的潜力的领域中移除它：“分离和分离方法在单个中风中解决整个无限远的”（1638 [Ne：92-93; 1914：48]）简单地将直线弯曲成圆圈。 这里伽利略发现了一种巧妙的“形而上学”的应用，作为圆形多边形的圆圈的想法。 当直线弯曲成圆伽利略似乎认为线已经呈现为不可分割的部分，即点。 但如果一个人认为这些部件是infinatoral多边形的侧面，它们的表现更好不是不可分割的点，而是作为可行的直线，每个都是在圆圈的一部分和切线的一部分。[15] 伽利略没有提到这种可能性，但似乎在考虑曲线的想法中似乎没有令人烦恼，以考虑曲线作为无限的“可行性”直线的组合。[16]
它是伽利略的瞳孔和同事Bonaventura Cavalieri（1598-1647），他将使用物资癖者改进到可靠的数学工具中（Boyer 1939 [1959]）; 实际上，“失去的方法”仍然与他的名字相关联。 Cavalieri无处地解释了他的“不可分割”这个词，但很明显，他认为他构成了由多个平行的平行线和由等间平行平面组成的体积组成的表面。被称为表面和体积的异常物质。 虽然Cavalieri认识到这些“群众”的独生布必须是不合适的，但确实准备将它们视为实际上是无限的，他通过抓住了“失业的方法”工作，所涉及的工币符号的精确“数量”无关紧要。 实际上，Cavalieri方法的本质是建立两个“类似”配置的工人单位之间的对应关系，并且在渔民赛考虑到这是显而易见的，即在单独的几何场地上建议对应，使其呈现非常独立的数字。 Cavalieri原则的陈述体现了这个想法：如果在一对并行线之间包括平面图，并且如果它们在与包括线平行的任何线上的截取处于固定比率，则附图的区域以相同的比率。 （类似的原理持有固体。）Cavalieri的方法本质上是一种减少尺寸的方法：固体减少到具有可比较区域的平面和平面与具有可比长度的线的平面。 虽然这种方法足以计算区域或体积，但是它不能应用于纠正曲线，因为这种情况下的减少是指向的，并且没有任何含义可以附加到两个点的“比率”。 为了整改曲线，稍后实现了，被视为总和，而不是单位，即点，而是无限的直线，其微量线。
RenéDescartes（1596-1650）雇用了Infinitsimaliber技术，包括Cavalieri的独裁方法，在他的数学工作中。 但他避免使用无限的术语在确定切线到曲线的确定中，而是为了目的，纯粹的代数方法。 他最尖锐的批评是针对那些数学家，例如Fermat，在建造切线建造中使用了无穷大的人。
由于哲学家缺陷可以广泛地表征为巩膜主义者。 他的哲学制度依靠两个基本原则：庆祝的笛卡尔二元论 - 心灵与物质之间的分裂 - 而且熟悉的物质和空间延伸的识别。 在冥想中，笛卡尔在地上区分思维和物质，即在空间延伸的物质上是可分离的，而精神无需。 物质和空间延伸的识别使得物质是连续的并且无限制地分开的结果。 由于延伸是物质的唯一基本属性，并相反，物质始终伴随着延伸，事物必须普遍存在。 因此，由于STOICS，所以由连续培养基渗透的压力料，因此，嵌入的空间。
无限的概念出现了几何性格的问题，最初被认为是仅属于连续数量的领域而与离散数量相反的概念。 但是从第十六和第十七世纪的代数和分析几何形状发布了无限数量的概念。 这个想法首先出现在Pierre de Fermat（1601-65）的工作中，了解在1638年发表的最大和最低（极端）值（Boyer 1939 [1959：155]）。
Fermat对Maxima和Minima的治疗含有“无限变化”的肥沃技术的毒性，即通过使其变量对小变化进行函数的行为调查。 Fermat在确定切线到曲线和重力中心的情况下应用这种方法。
4.第十七个和第十八世纪的连续统一体和无穷大
ISAAC Barrow [17]（1630-77）是第一批掌握正交问题与在整合和分化之间找到曲线的曲线与曲线的曲线之间的互惠关系之一。 在1670年的Geometricae中，Parrow本质地观察到，如果已知曲线Y = F（x）的正交，则由F（x）给出的区域，然后将所述曲线Y = F（x）给出通过其纵坐标与原始曲线纵坐标的比率来衡量。
一位彻底的巩膜主义者，将分歧和原子学之间的冲突视为一个现场问题，并提出了一些反对数学原子派的论点，最强烈的是原子派与欧几里德的许多基本命题相矛盾几何。
Barrow认为连续大幅度是由运动产生的，必然依赖于时间，这似乎对他的杰出瞳孔Isaac Newton的思想产生了强烈影响[18]（1642-1727）。 牛顿在瘟疫年度的冥想中，在发明的瘟疫年份发布了他所谓的“沟通的微积分”，其中三个派对的原则和方法在他们写的三年发表时出版：De Analysi Perequations Numero Terminorum Infinitas; 方法Fluxionum等Serierum Infinitarum; 和de quadratura curvarum。 牛顿对微积分的方法休息，比Barrow的概念更加坚定，在Continua的概念上是由运动产生的。
但牛顿对运动概念的开发比Barrow的更深。 例如，在De Analysi中，牛顿引入了“瞬时增量”（时刻）的表示法，即表示横坐标的横坐标或曲线区域的时刻或瞬间，具有代表时间。 这种“时刻” - 效率地与先前由Fermat和Barrow-Newton引入的无限量的相同，在横坐标的情况下，在该区域的情况下由OV表示。 从牛顿使用字母v的事实来看，可能会推断牛顿正在考虑曲线作为速度的速度。 通过考虑移动线或纵坐标，正如牛顿地区的那一刻，在分化和整合的运作之间建立了一般性和互惠关系，这一事实是掌握但没有系统使用。 在牛顿，正交或整合之前最终“在一些过程中，通过将元素三角形或矩形一起加入的一些过程”（Baron 1969 [1987：268]），即在工匠的方法上。 牛顿作为反差分的整合的明确治疗是整体微分的关键。
在方法中，Fluxionum Newton在Motions产生的概念中明确了他的变量量，并介绍了他的特征符号。 他称之为动作生效的数量，它的发电速率是脉络。 流利X的脉点表示
˙
x
，而且它的时刻，或“无限短的时间o”的“无限小增量o”，通过
˙
x
o。 将切线与曲线的问题变化为找到沟之间关系的问题
˙
x
和
˙
z
当呈现表示流速X和Z之间的关系的等式。 （正交是逆问题，当给出沟渠时确定流畅物。例如，例如，在流畅的Z = Xn的情况下，牛顿第一形式
˙
z
+
˙
z
o =（
˙
x
+
˙
x
o）n，使用二项式定理展开右侧，减去z = xn，通过o除以o，忽略仍包含o的所有术语，因此获得
˙
z
= nxn-1
˙
x
。
牛顿后来不可否认地存在于他的微积分中无可否认的存在，并对“忽视”它们的可疑程序不满意。 在De Quadratura Curvarum的序言中，他备注说，没有必要引入禽流度的任何论据的方法。 在他们的地方，他建议雇用他称之为素数和最终比率的方法。 在许多方面，这种方法在预期极限概念中，在牛顿的庆祝普利普基亚数学哲学哲学哲学的哲学哲学哲学哲学哲学思想。
牛顿为他的微积分开发了三种方法，所有这些方法都被认为是导致等同的结果，但在他们的严谨程度上变化。 第一次使用的无限量是不有限的，同时不完全是零。 发现这些厄运精确的配方，牛顿专注于它们的比例，这通常是有限数量。 如果已知该比率，则形成它的无限量可以由任何合适的有限大小写 - 例如具有相同比率的任何合适的有限大小。 这是额流的方法。 认识到这种方法本身需要一个基础，牛顿以素数和最终比例的教义形式的形式提供，是限制理论的运动形式。
哲学家 - 数学家G. W.F.F.Leibniz [19]（1646-1716）大大全神贯注于连续uum的组成问题 - 正如他所说的那样的“连续卢文的迷宫”问题。 事实上，我们拥有他自己的证词，即他的哲学系统 - Monadism--从他的斗争中增长了如何，或者是如何，连续uum可以由不可分割的元素建造的问题。 莱布尼兹问自己：如果我们授予每个真实实体是一个简单的统一或多重，而且多个是一个团结的聚合，那么在诸如诸如一条线的几何连续体如什么归属？ 现在，延长了一条线路，leibniz认为扩展是一种重复的形式，所以，一条线，被分割成零件，不能是（真正的）统一。 它是多重的，因此一个团结的聚合。 但是什么样的团体？ 似乎，几何团体的唯一候选人是积分，但积分不超过延伸的四肢，而在任何情况下，正如莱布尼兹所知道的那样，返回亚里士多德的坚实论据确定没有连续性可以从积分构成。 因此，连续体既不是一个团结，也不是团结的聚合。 莱布尼兹的结论是，连续国不是真正的实体; 作为“在他们的部分前面的拇指”，它们相当纯粹是理想的性格。 通过这种方式，他将连续性从要求中释放出来的是，作为可理解的东西，它必须自己是简单的或一种模拟化合物。
莱布尼兹认为，作为连续性的空间和时间是理想的，以及任何真实的，特别是关于他所谓的Monads的简单单元物质。
在Leibniz的最着名的教义中，是连续性的原则或法律。 以某种朦胧的形式，这一原则偶尔就在一些莱布尼兹的前任，包括Cusanus和开普勒，但这是莱布尼兹谁给了原则
出于这个原因之前缺乏的制定的清晰度，也可能认为是他自己的发现。 （Boyer 1939 [1959：217]）
在1687年的迈克斯的一封信中，Leibniz提出了以下原则的制定：
在任何所谓的过渡中，在任何终端结束时，允许在哪个一般推理中，其中可以包括最终末端。 （在Boyer 1939中引用[1959：217]哪个引用Leibniz，早期数学稿件，第147页）
这似乎表明Leibniz认为任何形式的“过渡”是连续的。 当然，他认为这是几何形状和自然过程的情况，在那里它看起来是Natura非Facitit Saltus的原则。 根据莱布尼斯的说法，允许在物理学中适用的无限微分的几何和不断发展的方法的连续性规律。 连续性原则还提供了Leibniz拒绝了材料原子主义的主要原因。
连续性原则也在莱布尼兹的数学工作中发挥了重要的潜在作用，特别是在他的无限微积分的发展中。 莱布尼兹的散文Nova Protects 1684年和De Geometria Regondita分别代表了差分和整体计算的正式出生。 他对微积分的方法，其中使用无穷小，发挥着核心作用，具有组合根，可追溯到他早期的数量的衍生数序列。 给定由相关变量x，y确定的曲线，他在值x和y之间写下dx和dy，或者在值x和y：和dy / dx之间写下这两者的比例，然后他采取了曲线的曲线的斜率对应点。 这种暗示，如果高度正式的程序LED Leibniz以发展用差异计算的规则，这是通过适当修改普通数字计算规则来实现的。
虽然使用无穷大的是Leibniz对微积分的方法有用，但在1684年，他介绍了差异的概念而不提及无限少量，几乎肯定肯定是为了避免基本困难。 他不证明以下差异规则：
如果a是常量，那么
da = 0
d（斧）=的ADX
d（x + y-z）= dx + dy-dz
d（xy）= xdy + ydx
d（x / y）=
[-xdy + ydx]
y2
D（XP）= PXP-1DX，也用于分数p
但在这些规则的正式美丽背后 - 后来将花朵到差分代数的早期表现 - 无限的存在使自己感觉到，因为莱布尼兹对切线的定义使用无限的小距离和曲线的概念作为曲线的概念infinisoLateral多边形。
