理由逻辑（二）

2.3逻辑意识和持续规范

逻辑意识原则指出，逻辑公理是证明EX Officio：代理人接受逻辑公理作为合理的（包括关于理由的逻辑）。 正如刚才所示，在一些认知情况下，逻辑意识可能太强烈。 然而，理由逻辑提供了恒定规范的灵活机制，以表示不同的逻辑意识色调。

当然，一个区分假设和辩护的假设。 在正义中，逻辑常量用于代表在未进一步分析它们的情况下的假设的理由。 假设希望假设Axiom A对于针刺是合理的。 一个简单地消除了E1：A的一些证据常量E1（具有索引1）。 如果此外，希望假设这种新的原理E1：A也是合理的，可以将E2：（E1：a）假释于常数E2（具有索引2）。 等等。 不需要跟踪指数，但它很容易和有助于决策程序（Kuznets 2008）。 对于给定逻辑的这种所有假设的集合称为常量规范。 这是正式定义：

给定理由逻辑L的常量规范CS是表单的一组公式

连接：连接-1：...：素e1：一个（n≥1），

其中A是L的公理，E1，E2，...，EN是与索引1,2，...，...，n的类似常数。 假设CS包含所有中间规范，即，只要en：en-1：...：E1：A在CS中，那么EN-1：......：E1：A也是CS。

有许多特殊条件已经放在文献中不断规格。 以下是最常见的。

空

cs =∅。 这对应于绝对持怀疑的药剂。 它相当于使用逻辑J0。

有限

CS是一组有限的公式。 这是一个完全代表性的情况，因为理由逻辑中的任何特定推导都涉及一个有限的常量。

在公理上适当

每个公理，包括通过恒定规范本身新获得的AXIOM具有理由。 在正式设置中，对于每个公理A，存在常数E1，使得E1：A在CS中，如果ZH：EN-1：...：E1：a∈cs，然后EN + 1：EN：EN-1：...：E1：A ...：E1：a∈cs，每个n≥1。 确保在本节结束时讨论的内部化属性是公理适当的常量规范。

总

对于每个公理A和任何常数E1，E2，...，EN，

连接：连接-1：...：素e1：a∈cs。

名称TCS为总常量规范保留（对于给定逻辑）。 当然，总恒定规格在公理上适当。

我们现在可以指定：

具有常量规范的理由逻辑：

让CS成为一个常量规范。 JCS是逻辑J0 + CS; 合理是J0的与CS成员一起，并且唯一的推理规则是Modus Ponens。 请注意，J0是j∅。

理由逻辑：

j是逻辑J0 + Axiom内化规则。 新规则状态：

对于每个公理A和任何常数E1，E2，...，EN推断EN：EN-1：...：E1：a。

后者体现了对J的不受限制的逻辑意识的想法。在证据LP逻辑中出现了类似的规则，并在高盛（Goldman 1967）中预期。 通过公理适当的常量规范表达的逻辑意识是模态逻辑中有必要规则的显式化身：⊢f⇒⊢◻f，但仅限于公理。 请注意，j与JTCS一致。

正义逻辑系统的关键特征是他们在其语言中将自己的派生内化为他们自己的派生作为可证明的理由断言。 该物业预计（Gödel1938）预计。

定理1：对于每个公理适当的常量规范CS，JCS享有内化：

如果⊢f，那么⊢p：f对于一些律法术语p。

证明。 赋予衍生长度的诱导。 假设⊢。如果f是J0的成员，或CS的成员，则存在常数en（其中n可能为1），以便en：f处于CS中，因为CS在公理适当的情况下。 然后en：f是衍生的。 如果通过从x→f和x的modus ponens获得f，则通过诱导假设，⊢s：（x→f）和xt：x用于一些s，t。 使用应用Axiom，⊢[sət]：f。

参见补充文件第2节一些技术问题，以便在理由逻辑中的具体句法衍生的例子。

2.4扩展基本的理由逻辑

基本的逻辑逻辑J0及其具有恒定规范JCS的扩展，是最小的正常模态逻辑K的显式对应部分。将在第4节中给出对应的正确定义，因为实现的概念是中央，但有些提示已经明显了在我们演示的这个阶段。 例如，在第1.1节中注意到（1），S：（a→b）→（t：a→[sət]：b），是熟悉的模态原理（2），◻（a→b）→（◻a→◻b）。 以类似的方式，第一律法逻辑LP是模态S4的显式对应物。 事实证明，许多模态逻辑有正常逻辑对应物 - 实际上，通常多于一个。 在下面我们首先讨论一些非常熟悉的逻辑，直到S4和LP。 到目前为止，我们的大部分原始动机都适用 - 我们有正常逻辑，可在算术中解释。 然后我们继续前进到更广泛的模态逻辑系列，并且算术动机不再适用。 具有良好理由逻辑对应物的模态逻辑的现象已经出乎意料地广泛。

在几乎所有情况下，必须将操作添加到J0的+和⋅，以及公理捕获其预期行为。 除此之外，讨论的例外是讨论的，对于其中没有需要额外的操作，但额外的公理是。 始终理解，恒定规格覆盖来自放大集的公理。 我们继续使用第2.3节的术语; 例如，如果常量规范在符合那里的条件时，则在那里符合那里的条件，对于包括已添加到原始集合的所有公理。 从第2.3节的定理1继续应用于我们的新的理由逻辑，并具有相同的证明：如果我们有一个正常合适的常量规范的正常逻辑JLC，内化保持。

2.5事实

派生指出，理由足以使代理人结束真理。 这是如下所体现的。

Factory Axiom T：F→F.

牺牲性公理是对认知逻辑的真相公理的类似动力，◻f→F被广泛被认为是知识的基本性质。

基本原理逻辑系统中不需要理由的事项，这使得它们能够代表部分和惯性理由。 归属性公理出现在证据LP，第1.2节的逻辑中，作为数学证据的主要特征。 实际上，在这个设定的情况下显然有效：如果有f的数学证明，则必须真实。

采用了事实公理，用于导致知识的理由。 然而，仅作为GetTier示例（GetTier 1963）所证明的，仅仅是担保知识的不保证知识。

逻辑的辅作理由：

JT0 = J0 + Factivity;

JT = J + Factivity。

与常量规范CS相对应的系统JTC定义为2.3节中。

2.6积极的内省

知识的共同原则之一是识别知识并知道一个人知道。 在模态设置中，这对应于◻f→◻◻f。 这一原则具有足够的明确对应物：代理人接受T作为F的充分证据是T：F的充分证据的事实。 经常这样的“META证据”具有物理形式：裁判报告证明纸中证明是正确的; 计算机验证输出给出了F的正式证明T作为输入; 一个正式证据，t是f的证据等。可以将积极的内省操作'！'添加到语言中; 然后一个人假设给定T，代理商会产生一个原谅！T：f这样的t：f→！t :( t：f）。 本操作形式的正张力首先出现在证据LP的逻辑中。

正回图公理：T：F→！T :( t：f）。

然后我们定义：

J4：= J +正面内省;

LP：= JT +正面内省。[3]

逻辑J40，J4CS，LP0和LPC在自然方式（CF.第2.3节）定义。

在存在正的内省阳性的存在下，可以将公理内化规则的范围限制在内化的内化公理，其不是E形式的e：a。 这是如何在LP中完成的：可以通过使用!! e :(！e：（e：a））而不是e3：（e2：（e1：a））等。（e2：（e2：a））。 此类修改很小，并且它们不会影响理由逻辑的主要定理和应用。

2.7负面的内省

（Pacuit 2006，Rubtsova 2006）被认为是负面的内省操作“？”，验证给定的理由断言是假的。 考虑这种操作的可能动力是，积极的内省操作'！'可能被视为能够提供关于理由断言的有效性的确凿验证判断：f，因此当T不是F的理由时，这样的“！”应该得出结论那是：f。 这通常是计算机证明验证者的情况，正式理论中的证明检查等。然而，这种动机是细微的：校对验证者和证据检查的例子与T和F一起工作，而PACUIT-RUBTSOVA格式？T表明“？”的唯一输入是一个辩解，结果？t应该统一地为：f统一地为哪个fs统一地说明t：f不持有。 这种操作'？'不存在正式的数学证据，因为Δt应该是无限许多命题的单一证据¬t：f，这是不可能的。 从历史上看，操作'？'是一个不适合原始框架的第一个例子，其中理由是正式证明的抽象版本。

阴性内省Axiom¬T：F→？T :(¬T：F）

我们定义系统：

J45 = J4 +阴性内省;

JD45 = J45 +¬T：⊥;

JT45 = J45 +事实

并自然地将这些定义扩展到J45CS，JD45C和JT45CS。

2.8 Geach逻辑等等

涉及的理由逻辑？ 是超越LP的子博语的第一个例子。 最近，已经发现，有一个无限的模态逻辑系列具有良好的对应物，但与算术证明的连接是弱或缺失的。 我们详细讨论单个案例，并绘制其他案例。

Peter Geach提出了Axiom方案◊◻x→◻◊x。 添加到公理S4时，它会产生一个有趣的逻辑，称为S4.2。 语义上，GEACH的方案对框架施加了汇合。 也就是说，如果可以从同一世界W0访问两个可能的世界，W1和W2，则有一个来自W1和W2的公共世界W4。 Geach的计划在Lemmon和Scott（1977）中广泛化，介绍了相应的符号：GK，L，M，N是该方案◊k◻lx→◻m◊nx，其中k，l，m，n≥0。 语义上这些方案对应于汇合的广义版本。 有些人已经开始将这些计划作为GEACH计划，我们将遵循这种做法。 更一般地，如果可以通过将有限的GEACH方案添加到K.原始的GACH方案是G1,1,1,1，但是，我们将调用模态逻辑A包逻辑。还注意到◻x→x是G0,1,0,0，◻x→◻◻x为g0,1,2,0，◊x→◻◊x为g1,0,1,1，x→◻◊x为g0,0,1,1，因此Geach逻辑包括最常见的模态逻辑。 Geach Logics构成无限的家庭。

每个Geach逻辑都有一个正当化对应物。 考虑原始的Geach逻辑，使用Axiom Scheme G1,1,1,1,1，◊◻x→◻◊x添加到S4-S42的系统中。 我们通过从LP开始，在公理地构建S4.2的正常处理。 然后我们添加两个功能符号，f和g，每个两个地方，并采用以下公理方案，调用得到的正义逻辑J4.2。

¬f（t，u）：¬t：x→g（t，u）：¬u：¬x

这个计划存在一些非正式的动机。 在LP中，由于AXIM方案T：X→X，我们具有（t：x∧u：¬x）→⊥对于任何t和u，因此提供的可证明：x∨¬u：¬x。 在任何上下文中，其中一个分裂必须持有。 上述方案等同于F（t，u）：¬t：x∨g（t，u）：¬u：¬x，它非正式地说，在任何上下文中，我们都有用于计算持有的分散的理由。 这是一个强烈的假设，但至少在某些情况下都不令人难以置信。

实现定理连接S4.2和J4.2，但如果这是不知道的，如果这具有建设性证据。

作为另一个例子，考虑G1,2,2,1，◊◻◻x→◻◻◊x或等效◻¬◻◻x∨◻◻¬◻x。 它具有相应的正当理由公理方案，其中F，G和H是三处函数符号。

f（t，u，v）：¬t：u：x∨g（t，u，v）：h（t，u，v）：¬v：¬x

对于F，G和H的直观解释并不像G1,1,1,1一样清晰，但正式的东西表现得很好。

即使Geach家族是无限的，这些逻辑也不会涵盖具有理由同行的全系列逻辑。 例如，使用Axiom方案的正常模态逻辑◻（◻x→x），有时称为Shift Reflexive，不是Geach逻辑，但它确实有一个正常的对应物。 将一个地方函数符号k添加到机器上建立理由术语，并采用正义公理方案K（t）:( t：x→x）。 实现定理持有; 这在拟合（2014b）中示出。 我们推测所有用Sahquist公式的所有逻辑都有正当化对应物，但这仍然是此时的猜想。

3.语义

正常的理由逻辑的标准语义源于（配件2005） - 所使用的模型通常称为拟合模型在文献中，但这里将被称为可能的世界理由模型。 可能的世界理由模型是熟悉的世界语义的Amalgam，用于知识和信仰的逻辑，由于HITIKKA和KRIPKE，由MKRTYCHEV IN推出的理由术语特定于理由术语（Mkrtychev 1997），（参见第3.4节第3.4节）。

3.1单体代理可能的世界理由模型

要精确地，要定义CS是任何常量规范的JCS的语义。 正式地，JCS的可能的世界理由逻辑模型是结构M =⟨g，r，e，v⟩。 其中，⟨g，r⟩是标准的k帧，其中g是一组可能的世界，r是对它的二进制关系。 v是从命题变量到g的子集的映射，在可能的世界中指定原子真理。

新项目是E，是一种证据功能，它起源于（Mkrtychev 1997）。 这张地图术语条款和公式到世界各地。 如果可能的世界γ在e（t，x）中，则直观的想法是，T，T是世界上X的相关或可允许证据。 一个人不应该将相关证据视为决定性的。 相反，将其视为更像是在法庭上的证据，即本证明，这份文件是陪审团应该审查的东西，这是相关的事情，但尚未考虑的事实决定地位的东西。 证据函数必须达到某种条件，但稍后会讨论这些条件。

鉴于JCS可能的世界理由模型M =⟨g，r，e，v⟩，在可能的世界γ处的式X的真实性由M，γ⊩x表示，并且需要满足以下标准条件：

对于每个γ∈g：

m，p一个命题字母的γ⊩piffγv（p）;

不如M，γ⊩⊥;

m，γ⊩x→y iff，不是m，γ⊩x或m，γ⊩y的情况。

这些只是说是任意指定的原子真理，并且命题联系在每个世界上表现实际。 关键项是下一个项目。

m，γ⊩（t：x）如果且仅当γ∈e（t，x）和γrδ的每个Δε时，我们都有那个m，δ⊩x。

这种情况突破到两部分。 需要每个ΔΣG的条款需要m，δ⊩x，使得γrδ是x待认为x的熟悉的hintikka / kripke条件，或者是可信的。 需要该γ∈e（t，x）的子句补充说，T应该是γ的相关证据。 然后，非正式地，如果X在通常的认识意义上是可信的，则在可能的世界中是真的，如果在通常的认识逻辑的情况下，T是这个世界的X的相关证据。

重要的是要意识到，在这个语义中，一个人可能不会在世界上以某种特定原因相信某些东西，因为它根本不可信，或者因为它是不是合适的。

一些条件仍然必须放在证据功能上，并且还必须进入图片中的恒定规范。 假设一个人和t作为理由。 一个可以用两种不同的方式组合这些：同时使用来自两者的信息; 或者从其中一个中使用信息，但首先选择哪一个。 每个都会在第2.2节中公正地引入了合理术语，⋅和+的基本操作。

假设S是有关的相关证据，而T是先行的相关证据。 然后，S和T在一起提供了相关证据。 假设以下证据函数的条件：

e（s，x→y）∩e（t，x）⊆e（s⋅t，y）

随着这个条件，增加了

s：（x→y）→（t：x→[s⋅t]：y）

是安全的。

如果s和t是证据的项目，人们可能会说某些事情是由s或t之一合理的，而不打算指定哪个，这仍然是证据。 对证据职能施加了以下要求。

e（s，x）∪e（t，x）⊆e（s + t，x）

毫不奇怪，两者都

s：x→[s + t]：x

和

t：x→[s + t]：x

现在举行。

最后，应考虑恒定规范CS。 回想一下，常数旨在代表完全接受的基本假设的原因。 M =⟨g，r，e，v⟩符合常量规范CS：如果c：x∈cs然后e（c，x）= g。

可能的世界理由模型JCS的可能的世界理由模型是一个结构M =⟨g，r，e，v⟩，满足上面列出的所有条件，并满足常量规范Cs。

尽管他们的相似之处，可能的世界理由模型允许克里普克模型不可能进行细粒度分析。 有关更多详细信息，请参阅补充文件第3节一些技术问题。

3.2弱和强大的完整性

如果在模型的所有可能世界中，则公式X在特定模型中为JCS。 JCS的公理学在2.2和2.3节中给出。 完整性定理现在采取预期表格。

定理2：如果x在所有JCS模型中有效，则在JCS中可提供公式x。

刚刚说的完整性定理有时被称为弱完整性。 它可能有点令人惊讶地令人惊讶的是，它比模特逻辑K的完整性更容易证明这一点的评论。 另一方面，它非常一般，适用于所有常量规格。

在（配件2005）中，还引入了更强大的语义。 如果它符合以下条件，则M =⟨g，r，e，e，v⟩称为完全解释性。 对于每个γ∈G，如果m，δ⊩x为所有Δε，则为γrδ，然后m，γ⊩t：x用于一些致密化术语t。 注意，对于所有ΔΣG的条件，M，δ⊩x使得γRδ是X在HINTIKKA / KRIPKE感知中可信γ的常规条件。 因此，完全解释性真的说，如果在可能的世界中是可信的公式，就会有一个理由。

并非所有弱模型都符合完全解释性的条件。 该模型所谓的强大模型。 如果常量规范CS足够丰富，以便内化定理持有，那么一个关于会议CS的强大模型的完整性。 实际上，在适当的意义上，关于强大的模型的完整性相当于能够证明内化。

对于强大模型的完整性证明与模态逻辑K的规范模型相对于完整性的证据相似。反过来，强大的模型可用于给出实现定理的语义证明（CF.第4节）。

3.3单代理家庭

到目前为止，已经讨论了一个对理由逻辑的可能的世界语义，对于J，K的对应物。现在，事情扩大了涵盖了其他熟悉的模态逻辑的理由模拟。

仅仅通过将可访问性关系r的反射性添加到第3.1节中的模型的条件，每个t和x都会增加t：x→x的有效性，并获得jt的语义，模态逻辑t的正义逻辑模拟。最薄弱的知识逻辑。 实际上，如果m，γ⊩t：x，那么特别地，x是在从γ可访问的每个状态下都是真的。 由于可访问性关系是反抗，M，γ⊩x。 使用在J的情况下应用的相同机器可以提供弱和强大的完整性定理，也可以提供连接JT和T的实现定理的语义。 这同样适用于下面讨论的逻辑。