理由逻辑（三）

对于K4的正面模拟，另外的一元操作员'！'被添加到术语语言中，请参见第2.5节。 回想一下这个运营商地图对理由的理由，其中一个想法是，如果t是x的理由，那么t那么应该是t：x的理由。 首字母地，这增加了M =⟨g，r，e，v⟩的模型的条件。

首先，当然，R应该是传递的，但不一定是反身。 其次，需要对证据职能的单调性条件：

如果γRδ和γ∈e（t，x）则δ∈e（t，x）

最后，需要一种更有证据功能条件。

e（t，x）⊆e（！t，t：x）

这些条件将共同涉及T：X→T：T：X的有效性，并为J4的语义产生一个原理的K4，具有连接它们的实现定理。 添加反射性导致历史原因被称为LP的逻辑。

我们讨论了LP的子杆菌的辩护逻辑，对应于模态逻辑S4的子博客。 超越LP的第一个例子是2.7节中讨论的第一个例子，涉及负面的内省操作员'？'。 型号的逻辑模型包括此操作员添加三个条件。 第一个R是对称的。 其次，一个增加了一个已知为强的证据：m，γ⊩t：x为所有γ∈e（t，x）。 最后，有证据功能存在条件：

¯

e（t，x）

⊆e（？t，¬t：x）

如果此机器被添加到J4中，我们将获得逻辑J45，这是K45的正义对应物。 可以证明公理声音和完整性。 以类似的方式，可以在语义上配制相关逻辑JD45和JT45。 拍摄运营商的实现定理？ 考虑到（Rubtsova 2006）中显示。

在2.8节中引入的介绍，迁移到Geach逻辑，也可以指定J4.2的语义模型。 假设g =⟨g，r，e，v⟩是LP模型。 我们添加以下要求。 首先，帧必须收敛，如S4.2一样。 其次，如同？，E必须是一个强有力的证据功能。 第三，E（f（t，u），¬t：x）∪e（g（t，u），¬u：¬x）= g。 完整性和健全的结果以平常的方式遵循。

以类似的方式通过该系列中的Geach方案公开的每个模态逻辑都有一个良好的对应物，配合语义和连接与对应的模态逻辑的理由对应的实现定理。 特别是，这告诉我们，理由逻辑家庭是无限的，而且肯定比最初被认为是更广泛的更广泛。 此外，此外，还有一些未考虑的模态逻辑，而不是在这个家庭中，也有正常的对应物。 调查所有这些的后果仍在进行中。

3.4单人辩护模式

在我们一直在讨论的更普遍的可能的世界理由模型之前，开发了单一世界理由模型，（Mkrtychev 1997）。 今天，他们最简单地被认为是可能的世界理由模型，恰好有一个世界。 j的完整性证明和上面提到的其他理由逻辑可以很容易地修改，以确定关于单个世界的理由模型的完整性，虽然当然这不是原始的论点。 关于单个世界的理由模型的完整性是什么告诉我们，关于可能的理由模型的可能世界结构的信息可以完全由允许的证据功能完全编码，至少对于到目前为止讨论的逻辑。 MKRTYCHEV使用单一世界理由模型来建立LP的可解锁性，而其他人则在设置对齐逻辑的复杂性界限方面对它们进行了根本性，并为证券逻辑的理由逻辑（Kuznets 2000，2008年Kuznets 2008，Milnikel 2007，Milnikel 2009）。 复杂性结果进一步被用来解决逻辑禁毒（Artemov和Kuznets 2014）的问题。

3.5在本地透明语义

在3.1-3.4中描述的正式语义逻辑的正式语义在给定的世界中定义了真值γγ在提高认识模型中的方式相同：T：F在γFF上保持

F从γ和γ可访问的世界持有

根据给定的证据功能是F的允许证据。

此外，还有一种不同的语义，所谓的模块化语义，专注于制作更透明的理由的本体主义状态。 在模块化语义中，接收通常的经典真理值和理由作为公式组解释。 我们保留了命题公式FM的古典解释*，在单一世界的情况下，这减少了

*：fm↦{0,1}

即，每个公式都获得真值0（假）或1（真实），具有通常的布尔条件：⊩a→b iff或⊩b等。主要问题是如何解释理由条款。 对于一组公式x和y，我们定义

x⋅y= {f |g→fəx和g∈yfor mo g}。

非正式地，x⋅y是在x和y的所有成员之间应用modus ponens的结果（按此顺序）。 理由条款TM被解释为公式集的子集：

*：tm↦2FM

这样

（sət）*⊇s*⋅t*和（s + t）*⊇s*∪t*。

这些条件对应于基本原理逻辑J; 其他系统需要额外的闭合属性*。 注意，虽然模块模型中的命题是语义上的解释，作为真理值，句法地解释了理由，作为公式组。 这是一个主要超倾向特征：模块化模型可以将不同的公式f和g视为相等的意义，即f * = g *，但仍然能够区分理由断言t：f和t：g，例如当f∈t*但g∉t*屈服时⊩t：f但⊮t：g。 在一般的可能的世界环境中，公式被认为是可能的世界的集合的子集，

*：fm↦2W，

和理由术语是在每个世界的公式组织上句法解释

*：w×tm↦2fm。

（Artemov 2012; Kuznets和Studer 2012）已经证明了对正种模型的合理性和完整性。

3.6与认识模型的连接

逻辑宁静问题是，在认知逻辑中，所有Tautologies都是已知的，并且在后果下关闭了知识，这是不合理的。 在Fagin和Halpern（1988）介绍了一种简单的避免问题的机制。 一个增加了通常的Kripke模型结构，一个意识函数表示，对于这个世界的公式意识到这一点。 然后在可能的世界中以可能的世界中已知公式1）如果1）则在从γ（知识的Kripkean条件）和2）访问的所有世界中都是如此，所以代理知道γ的公式。 意识函数可以作为阻塞任意一组公式的知识的实用工具。 然而，由于逻辑结构，由于缺乏自然闭合性能，意识模型可以表现出不寻常的行为。 例如，代理人可以知道Aïb，但是既不知道也不知道，也不知道，因此不知道。

可能的世界理由逻辑模型使用强制定义让人从意识模型中想起：对于任何给定的理由，在世界γIFF 1上持有的理由断言T：f在γ和2的所有世界Δ中保持ΔfΔf是F在γ，γ∈e（t，f）处的允许证据。 主要差异是关于理由逻辑模型中可允许证据功能E的理由和相应的闭合条件的操作，因此可能被视为可感知模型的动态版本，这是必要的闭合属性。 在Sedlár（2013年）中探讨了这一想法，它与LP语言合作，思考它作为多项代理模态逻辑，并将条款作为代理（更适当，代理人的行为）。 这表明理由逻辑模型以自然的方式吸收通常的认识，小组机构和动态的常见认知主题。

4.实现定理

证据断言T：F的自然模态认知对象是◻f，读取一些x，x：f。 此观察结果导致替换◻f的每次出现的健忘投影的概念，因此将正义逻辑句子转换为相应的模态逻辑句子。 精致的投影以自然方式从奇迹到逻辑的自然方式扩展。

显然，不同的理由逻辑句可以具有相同的健忘投影，因此丢失了S中包含的某些信息。然而，它很容易观察到，健忘投影总是映射到的正义逻辑（例如，J）的有效公式相应的认知逻辑的有效公式（在这种情况下k）。 交谈也持有：任何有效的认识逻辑公式是对理由逻辑的一些有效公式的健忘预测。 这是从通信定理3所遵循的。

定理3：jo = k。

这种信件适用于其他对理由和认知系统，例如J4和K4，或LP和S4以及许多其他对象。 在这种扩展的形式中，对应定理表明，诸如K，T，K4，S4，K45，S5等的主要模态逻辑具有精确的理由逻辑对应物。

在通信的核心，定理是以下实现定理。

定理4：有一种算法，对于k中的每个模态公式f，在k中为每个模式分配证据术语，以便在J的情况下导出所得公式FR的方式。此外，实现将证据变量分配给否定F中的模态运算符出现，从而尊重认知方式的存在读数。

已知的实现算法，其在模态定理中恢复证据术语在相应的模态逻辑中使用无缺陷的推导。 或者，可以通过拟合的方法或其适当的修改来语义来建立实现定理。 原则上，这些语义争论还产生了基于详尽搜索的实现程序。

绘制任何模态逻辑具有合理的理由逻辑对应物将是一个错误。 例如，正式证明的逻辑，GL，（Booolos 1993）包含Löb原则：

◻（◻f→f）→◻f，

似乎没有认识论可接受的显式版本。 例如，考虑F是命题常数的情况为假。 如果定理4的类似物将覆盖LÖB原则，则会有理由术语S和T，使得X：（S：⊥→⊥）→T：⊥。 但这对惯性理由直观为假。 实际上，S：⊥→⊥是归属性公理的一个例子。 应用Axiom内化以获得一些常量C的C：（S：⊥→⊥）。 这种C的C：（S：⊥→⊥）→T：⊥直观真实，结论假[4]。 特别是，Löb原则（5）无效地对证明解释（CF.（Goris 2007）全面解释，GL的原则可实现）。

通信定理对认知模态逻辑提供了新的洞察力。 最值得注意的是，它为主要模态逻辑提供了一种新的语义。 除了传统的Kripke风格的“通用”读数◻f在所有可能的情况下持有，现在有一个严谨的“存在性”语义，可以阅读，因为它可以阅读，因为有一个证人（证明，理由）。

理由语义在模态逻辑中发挥了类似的作用，以在直觉逻辑中通过Kleene可实现性扮演的作用。 在这两种情况下，预期的语义是存在的：Brouwer-Heyting-Kolmogorov无法解释直觉逻辑（Heyting 1934，Troelstra和Van Dalen 1988，Van Dalen 1986）和GödelS4的可加速读数（Gödel1933，Gödel1938）。 在这两种情况下，都有一个可能的普遍性的语义，是一种高度有效和优势的技术工具。 但是，它不解决预期语义的存在性质。 它采用了克莱利可实现性（Kleene 1945，Troelstra 1998），揭示直觉逻辑的计算语义和证据的逻辑，为直觉和模态逻辑的证据提供精确的BHK语义。

在认知背景下，理由逻辑和通信定理将一个新的“辩护”组件添加到了知识和信仰的模态逻辑。 此外，这个新的组成部分实际上是一个古老的和中央概念，该概念被主流的认识论家广泛讨论，但仍然不受古典认识逻辑的范围。 函授定理告诉我们，理由与HITIKKA风格的系统兼容，因此可以安全地纳入了认知模态逻辑的基础。

有关实现定理，请参阅补充文件第4节更多技术问题。

5.概括

到目前为止，本文只考虑了单个代理理由逻辑，类似于知识的单代理逻辑。 理由逻辑可以被认为是明确知识的逻辑，与更传统的隐含知识的逻辑相关。 在文献中调查了超出了上述许多系统，涉及多个代理人，或具有隐式和明确的运算符，或这些组合。

5.1混合明确和隐含的知识

由于理由逻辑提供明确的理由，而传统知识逻辑提供隐式知识运算符，则考虑在单个系统中组合这两个是自然的。 明确和隐含知识的最常见的联合逻辑是S4LP（Artemov和Nogina 2005）。 S4LP的语言就像LP的语言，但是添加了一个隐式知识运算符，写入K或◻。 公务学就像LP一样，与隐形操作员的S4相结合，以及连接公理，T：X→◻x，任何具有明确理由的东西是知识的。

语义上，LP的可能的世界理由模型不需要修改，因为它们已经拥有HITIKKA / Kripke模型的所有机械。 一种型号以通常的方式模拟◻操作员，利用Accessibility关系，以及使用辅助功能和证据功能如第3.1节中所述的理由术语。 由于◻x在世界上的通常情况是T：x为真的两个条款之一，因此它立即产生T：x→◻x的有效性，并且良好的声音很容易遵循。 公理完整性也相当简单。

在S4LP中，表示隐式和显式知识，但是在可能的世界辩护模型语义中，单个可访问性关系对于两者而言。 这不是这样做的唯一方式。 更一般地，明确的知识可访问关系可能是用于隐式知识的适当扩展。 这代表了明确知识的愿景，因为与隐性知识的符合所知的符合较严格的标准。 当这些认知概念遵守不同的逻辑法，例如，用于隐含知识和LP时，使用不同的无障碍关系，即当这些认知概念遵守不同的逻辑法时，就是必要的。 对于多种访问关系的情况，在文献中通常已知为Artemov拟合模型，但这里将被称为多代理可能的世界模型。 （参见第5.2节）。

奇怪的是，虽然逻辑S4LP似乎非常自然，但实现定理对于它已经存在问题：如果一个人坚持被称为正常的实现（Kuznets 2010），则可以证明这些定理可以证明这样的定理。 通过明确的理由实现S4LP中的隐性知识模式，这将尊重认识结构仍然是该领域的重大挑战。

隐式和明确知识之间的相互作用有时可以相当微妙。 例如，考虑以下负面内省的以下混合原则（再次◻应作为隐式认知运算符读取），

¬t：x→◻¬t：x。

从不可规定的角度来看，它是负面内省的正确形式。 实际上，让◻f被解释为f被证明，并且t：f作为t的特定正式理论t，例如，在peano算术pa中的f。 然后（6）说明了一种可证明的原则。 实际上，如果t不是f的证据，因为该陈述是可判定的，所以它可以在t内建立，因此在t这句话中可以提供。 另一方面，'t不是f'的证据p取决于t和f，p = p（t，f），并且不能仅计算。 在这方面，◻不能被任何具体证明术语取代，具体取决于T，（6）不能以完全明确的理由样式格式呈现。

显式/隐式知识系统的第一个示例出现在可保释逻辑区域中。 在（Sidon 1997，Yavorskaya（Sidon）2001）中，介绍了一种逻辑LPP，将可证明GL的逻辑与样张LP的逻辑组合，但确保所得系统具有所需的逻辑特性，从外部有一些额外的操作添加了GL和LP的原始语言。 在（Nogina 2006，Nogina 2007）在GL和LP原始语言的总和中提供了完整的逻辑系统，GLA，用于证明和证明性。 LPP和GLA都享有完全相对于算术模型的完整性，以及相对于可能的世界理由模型的类别。

无法完全明确明确的可证明原则的另一个例子是Löb原则（5）。 对于每种LPP和GLA，很容易找到证明项L（x）

x：（◻f→f）→l（x）：f

持有。 但是，没有实现，这使得所有三个（5）明确的三个。 事实上，可实现可实现的可加工原则是GL和S4（Goris 2007）的交叉点。

5.2多代理可能的世界理由模型

在多代理可能的世界理由模型中，采用多种访问关系，它们之间有连接，（Artemov 2006）。 这个想法是，有多个代理，每个代理商都有隐式知识运算符，并且有良好的术语，每个代理人都理解。 松散地，每个人都了解明确的原因; 这些金额适用于基于证据的共同知识。

N-Agent可能的世界理由模型是一个结构⟨g，r1，...，rn，r，e，v⟩满足以下条件。 G是一系列可能的世界。 R1，...，RN中的每一个都是一个可访问性关系，一个用于每个代理。 根据需要假设这些可以是反射，传递或对称的。 它们用于模拟用于代理家庭的隐式代理知识。 可访问性关系R满足LP条件，反射性和传递性。 它用于明确知识的建模。 e是一项证据功能，将与第3.3节中LP相同的条件。 v像往常一样地图对世界的主题信件。 存在特殊情况：每个I = 1，...，N，ri⊆r。

如果m =⟨g，则r1，...，rn，r，e，v⟩是一个多代理可能的世界理由模型，真相 - 世界的关系，m，γ⊩x是用大多数通常的条款定义的。 特别感兴趣的是：

m，γ⊩kix，如果只有，对于每个Δε使用γriδ，我们有那个m，δ⊩x。

M，γ⊩t：X IF且仅当γ-e（t，x）和γΔg的每个Δε时，我们都有那个m，δ⊩x。

条件riðr为每个代理I具有t：x→kix的有效性。 如果只有单个代理，并且该代理的可访问性关系是反身和传递的，则为S4LP提供另一个语义。 无论代理商数量如何，每个代理人都会接受明确的原因，建立知识。

介绍并研究了一个带有两个代理商的LP版本（Yavorskaya（Sidon）2008），尽管它可以推广到任何有限数量的代理商。 在此，每个代理都有自己的一组理由运算符，变量和常数，而不是对每个人都有一个单一的设置，如上所述。 此外，可以使用新的运算符允许允许一个代理验证其他代理的理由的正确性，允许代理之间的一些有限的通信。 为双代理逻辑创建了单个世界和更全面的世界理由语义的版本。 这涉及使用两个可访问关系的证据功能的概念和可能的世界理由模型的简单延伸。 实现定理已经在句法中证明，但可能是一个语义证据也会有效。

多种代理模型（每个代理有其自己的理由运算符）的多种代理模型可用于认识到零知识证据（Lehnherr，Ognjanovic和Studer 2022）。 零知识证明是一个代理（箴言）可以向另一个代理（验证者）证明报告者具有某些知识（例如，知道密码）的协议，而不传达超出仅仅是拥有知识的事实（例如，而不显示密码）。 以下公式可用于描述执行协议之后的情况，其中术语s正向解验证者从协议结果的知识：

s：vkpf，

这意味着协议将副词V的辩论率为副手V表示F; 和

¬S：VT：任何术语T的PF，

即，对于任何术语来说，议定书证明了验证者可以知道，这是证明箴言对F的知识。也就是说，该议定书证明了谚语证明了这一知识的任何可能的证据证明了这一知识。

有一些探讨公告在多智能经纪义义逻辑中的作用（Renne 2008，Renne 2009）。

在补充文件第5节中有更多的证据普遍知识的概念更多技术问题。