逻辑和概率（三）

4.2索引和解释

在模态概率逻辑应用中最常见的第一概括是允许分发由两组而不是一个索引。 第一组是世界的集合W（模型的基本集），但另一个是索引集，经常被视为游戏的一组动作，代理或播放器。 正式，P为每个w∈w和a∈a将分发PA，W over W合并。 对于语言，而不是涉及形式P（φ）≥Q的公式，我们具有PA（φ）≥q，并且（m，w）⊨papa（φ）≥q，如果才有k，w（{w'j（m，w'）⊨φ}）≥q。

示例：假设我们有一个索引集A = {a，b}和原子命题的集合φ= {p，q}。 考虑（w，p，v），在哪里

w = {w，x，y，z}

PA，W和PA，X将W到1/2，x到1/2，y至0，z到0。

PA，Y和Pa，z将y到1/3，z到2/3，w至0，以及x到0。

Pb，w和pb，y将w到1/2，y到1/2，x到0，z到0。

Pb，x和pb，z映射x到1/4，z到3/4，w到0，y到0。

v（p）= {w，x}

v（q）= {w，y}。

使用以下图表描述了此示例。 在每个圈子里面是一个标签，为世界上标记为圆形的世界的每个命题信的真实性。 箭头表示概率。 例如，由（b,3 / 4）标记的世界x到世界z的箭头表示来自x，标签b下的z的可能z是3/4。 0的概率未标记。

四个圆圈，每个圆圈都有可能的p，q和它们之间的概率箭头

图形

随机解释：考虑a的元素A和B是动作的，例如，按机器上的按钮。 在这种情况下，按下按钮没有某个结果。 例如，如果机器处于状态x，则在按下之后，存在1/2概率，其将保持在相同状态之后，但是在按下B的相同状态下保持1/4概率。 那是，

（是，x）⊨pa（p∧¬q）= 1 /2∧pb（p∧¬q）= 1/4。

一般模态逻辑的一个重要特征（以及这包括模态概率逻辑）是支持高阶推理的能力，即关于概率概率的推理。 从它们在米勒的原理中发挥作用的角色，高阶概率的重要性是明确的，这使得P1（φαp2（φ）= b）= b。 这里，P1和P2是概率函数，其可以具有各种解释，例如两个代理的概率，逻辑和统计概率，或者在不同时刻在不同时刻的概率（米勒1966;刘易斯1980;范弗拉索1984年; Halpern 1991）。 更高阶概率也发生在朱迪本杰明问题（范弗拉索1981A）中，其中一个人在概率信息上排便。 无论是否同意文献中提出的原则，就是在高阶概率上，能够代表他们迫使其中调查管理他们的原则。

为了更具体地说明更高阶推理，我们返回我们的示例并在x上看到，有一个1/2概率，在按a之后，在按下b后有一个1/2概率，就是¬p是真的，即¬p是真的，即，

（是，x）⊨pa（pb（¬p）= 1/2）= 1/2。

主观解释：假设A和B的元素A和B是游戏的播放器。 P和¬P是玩家A和Q的策略，¬Q都是玩家B的策略。 在模型中，每个玩家都是她自己的策略; 例如在X，玩家A确信她会播放P，玩家B确信她会播放¬q，就是这样

（是，x）⊨pa（p）=1∧pb（¬q）= 1。

但球员随机化对手。 例如，在X处，B的概率为1/2的概率为1/4，即

（是，x）⊨pb（尼龙（q）= 1/2）= 1/4。

4.3概率空间

概率通常被定义为测量空间中的措施。 测量空间是设置ω（样本空间），与Σ-algebra（也称为σ-字段）aoverω，这是一个非空的ωaω，使得a∈a表示ω-a∈a，以及所有的ai∈a自然数我，意味着⋃iai∈a。 测量是在Σ-algebra A上定义的函数μ，使得每组A1A和μ（⋃iai）=Σiμ（ai）的μ（a）≥0Δi，每一种I，j。

Σ-agagbra的效果是限制域，使得不是每个Ω的子集需要概率。 这对于在无数无限集上定义的一些概率至关重要; 例如，不能在间隔的所有子集上定义对单位间隔的均匀分布，同时还要保持概率测量的可计数增量条件。

与基本有限概率逻辑的基本语言相同的基本语言不需要改变，但语义略有不同：对于每个状态w∈w，模态概率模型的组件PW由整个概率空间（ωW，μW，μW）取代，例如ωw⊆w和aw是ωw的Σ-algebra。 我们可能希望整个空间与另一个世界不同的原因是反映了关于什么概率空间是正确的不确定性。 对于概率公式的语义，（m，w）ν（φ）≥Q，如果μW（{w'ib（m，w'）⊨φ}）≥q。 在{w'ib（m，w'）⊨φ}∉aw}中，这种定义并不完全定义。 因此，约束通常被放置在模型上，以确保这些组始终处于Σ-代数中。

4.4结合定量和定性不确定性

虽然概率反映了一个级别的定量不确定性，但也可以存在对概率的定性不确定性。 我们可能希望具有定性和定量的不确定性，因为我们可能是如此不确定我们不想为其事件的概率分配数字的情况，而我们确实有其活动的概率感; 这些情况可以互动。

我们可能不希望为不确定性分配数值有很多情况。 一个示例是计算机选择位0或1的位置，我们一无所知了如何选择该位。 另一方面，硬币翻转的结果通常被用作我们将概率分配给个别结果的示例。

这些可能如何交互的示例是该比特的结果确定是否将公平硬币或加权硬币（例如，具有概率2/3的头部）用于硬币翻转。 因此，对翻转硬币的动作是具有定性的不确定性，其具有概率1/2或2/3的头部。

正式化概率与定性不确定性之间相互作用的一种方法是通过与模型和模型操作员添加到Magin和Halpern（1988,1994）所做的语言。 正式地，我们添加到基本有限概率模型A关系r⊆w2。 然后，我们添加到语言模态运算符◻，例如（m，w）⊨◻φ，如果只有（m，w'）⊨φ。

考虑以下示例：

w = {（0，h），（0，t），（1，h），（1，t）}，

φ= {h，t}是原子命题的集合，

r = w2，

p与（0，h）和（0，t）分发映射（0，h）和（0，t）关联，每个至1/2，以及与（1，h）和（1，t）的分布映射（1，h）到2/3和（1，t）相关联）至1/3，

v将h映射到集合{（0，h），（1，h）}和t到集合{（0，t），（1，t）}。

然后在（0，H）：¬◻h∧（¬◻p（H）= 1/2）∧（⬦p（h）= 1/2），下面的公式是真实的。 这可以读取，因为它不知道H是真的，并且尚不知道H的概率是1/2，但是H的概率是1/2的可能性。

4.5对定量和定性相互作用的约束

我们更详细地详细介绍了如何关联定量和定性的不确定性。 其中大部分类似于进入的信仰形式表示的目标，但在这里，我们专注于上面讨论的认真和定量工具之间的联系，例如认识性关系R和概率空间PW =（ωW，AW，μW）。

涉及两者之间的约束，而不是允许定量和定性的不确定性相互作用。 在Fagin和Halpern（1994）中提出了一些限制。 一个称为一致性的一个约束确保了本地定义的样本空间ωw包含在所有世界的集合中的所有世界中都认为可能。 另一个称为统一性，可确保样本空间内的所有世界ωW同意概率空间。 在第4.4节关于概率分配的定性不确定性的示例中满足这两个约束。

建立定量和定性不确定性之间关系的另一种方法是定义定量不确定性的定性信念。 一种自然方法是在A中定义A的定量确定性（分配概率1）。 这可能是由由其定义的认知关系r出现

（w，v）∈r如果μw（{v}）＞0。

在定性可能性集中而不是具有样本空间ωw，而是越来越多的方式; 这里的示例空间通常是所有可能的世界的集合，并且该设置代理认为可能是该组的子集。 在本小节的其余部分，我们假设所有世界都同意单个概率空间P =（W，P，μ）。

我们不妨允许一种信仰形式弱于概率1.例如，某人可能“相信”她的积极的医学测试结果，同时承认一个假阳性的非零机会，因此她的情况缩短了她的态度。 如果它导致决定和行动，这种信念虽然弱于概率肯定，但可能是特别相关的。 定义这种弱信念的自然方式是“洛克论文”，其在具有μ（a）≥r的事件A中定义了信仰，其中r一些阈值小于1（有关Lockean论文的更多细节，请参阅相信的正式表示的条目）这种信念并不总是可能从认知关系中产生。 或者，可以从概率函数μ和阈值Q来定义认知关系r和阈值Q

（w，v）∈r如果μ（{v}）≥q。

由于我们假设每个世界都同意概率空间，那么关系R满足KD45的信仰公理（参见kd45公理的认知逻辑进入）。 可能性通常非常小的阈值Q; 这是一种最低可能性的可能性最低可能并将其纳入认知关系R.相反，洛克阈值R在0.5和1之间。而根据洛克论文定义的信仰操作者不需要对应于任何认知关系，有特殊情况。 如果存在Q，这样k = {w |μm（{w}）＞q}是p稳态（如果所有w∈k，μ（{w}）＞μ（w≠k）），则为p稳定，则为P稳定，那么认知关系R，由（w，v）∈r如果且仅当v∈k而定义，导致了满足阈值r = p（k）的锁定论文的模态信念运算符（请参阅leitgeb 2013和delgrande 2022）。

4.6动态

我们讨论了模态概率逻辑的两个视图。 一个是时间或随机的，其中与每个状态相关的概率分布决定过渡到其他州的可能性; 另一个人涉及药剂的主观观点，他们可能会推理其他药剂的概率。 随机系统是动态的，因为它代表了不同转变的概率，这可以由模态概率模型本身传达。 但从主观的视图来看，模态概率模型是静态：概率涉及目前的情况。 虽然静态在其解释中，模态概率设置可以放在动态上下文中。

模态概率环境中的动态通常关注潜在的所有可能的世界中对概率的同时变化。 直观地，这种变化可能是由在每个可能的世界中调用概率修订的新信息引起的。 主观概率的动态通常是使用条件概率进行建模的，例如在Kooi（2003），Baltag和Smets（2008）中，以及van Benthem等人。 （2009）。 F，写入P（E |f）的e条件的概率是p（e∩f）/ p（f）。 当由SET F更新时，概率分布P被概率分布P'替换，使得P'（E）= P（E |f），只要P（F）≠0即可。 让我们假设剩余的这种动态小节，即考虑的每个相关集都有积极的概率。

使用具有线性组合的概率逻辑，我们可以缩写条件概率p（φ|ψ）≥Q（φ∧ψ）-qp（ψ）≥0。 在模态设置中，可以将运算符[！ψ]添加到语言中，使得M，w⊨[！ψ]φ（仅当M'，w⊨φ）通过修改每个世界的概率而从M中获得的模型。 请注意，[！ψ]（p（φ）≥q）与p（φ|ψ）≥q不同，在[！ψ]（p（φ）≥q）中，φ内的概率术语的解释受到ψ的修订的影响，虽然在p（φ|ψ）≥q时，但它们不是，这就是为什么p（φ|ψ）≥qqe地展开另一个概率公式。 然而，[！ψ]φ也展开，但在更多步骤：

[！ψ]（p（φ）≥q）↔（ψ→p（[！ψ]φ|ψ）≥q）。

有关模态概率逻辑及其动态的其他概述，请参阅Demey和Kooi（2014），Demey和Sack（2015），以及动态认知逻辑的动态认知逻辑中的概率更新附录L.

5.一阶概率逻辑

在本节中，我们将讨论一阶概率逻辑。 如本条目第1节所述，有很多方法可以具有概率特征。 逻辑的模型可以具有概率的方面，因此后果的概念可以具有概率的风味，或者逻辑的语言可以包含概率运算符。 在本节中，我们将专注于具有一流味道的逻辑运营商。 一阶味道是将这些运营商与上一节的概率模态运营商区分开来的。

从Bacchus（1990）中考虑以下示例：

超过75％的鸟类飞。

这句话存在简单的概率解释，即当一个人随机选择鸟类时，所选鸟飞的概率超过3/4。 需要一阶概率运算符来表达这些陈述。

还有另一种类型的句子，例如在Halpern（1990）中讨论的以下句子：

Tweety苍蝇大于0.9的可能性。

这句话考虑了Tweety（特定鸟）可以飞的概率。 这两种类型的句子由两种不同类型的语义解决，前者涉及域上的概率，而后者涉及与域分开的一组可能的世界的概率。

5.1一阶概率逻辑的示例

在这个小节中，我们将仔细看看特定的一阶概率逻辑，其语言尽可能简单，以便专注于概率量化器。 语言非常类似于古典一阶逻辑的语言，而不是熟悉的通用和存在量化，语言包含概率量词。

语言基于一组单个变量（由x，y，z，x1，x2，...）表示，一组函数符号（由f，g，h，f1，...）表示，其中arity与每个符号相关联（零函数符号也被称为单个常数），并且一组谓词字母（由r，p1，......），其中arity与每个符号相关联。 该语言包含两种语法对象，即术语和公式。 这些术语如下所定义：

每个变量x都是一个术语。

ARITITE N的每个功能符号F随后是一个n个元组（t1，...，tn）是一个术语。

鉴于此定义项，公式定义如下：

ARITY N的每个谓词字母r随后是术语的n组（t1，...，tn）是公式。

如果φ是公式，则¬φ也是如此。

如果φ和ψ是公式，那么如此是（φ∧ψ）。

如果φ是公式，Q是间隔中的raty数量[0,1]，则为Px（φ）≥q。

形式Px（φ）≥q的公式应该是：“选择x的概率，使得x满足φ是至少q”。 公式PX（φ）≤q是px（¬φ）≥1-q和px（φ）= q的缩写是px（φ）≥q∧px（φ）≤q的缩写。 φ中的每一个自由发生x都由操作员绑定。

这种语言被解释在非常简单的一阶模型上，它是三级m =（d，i，p），其中谈话域d是一个有限的非空的对象集，解释我将n-ary函数与每个n-ary函数符号相关联用每个N-ARY谓词字母发生在语言中，以及D与D的N-ARY关系。 P是概率函数，其将概率p（d）分配给D中的每个元素d，使得σd∈dp（d）= 1。

为了解释包含自由变量的公式，还需要一个分配g，它将d的元素分配给每个变量。 给定模型m =（d，i，p）和分配g的术语t的解释[t] m，g术语t和分配g如下所定义：

[[x]]是，g = g（x）

[[f（t1的，...，tn）]]是，g =我（f）（[[t1的[]，...，[[tn]]）

真理被定义为具有分配和公式的模型之间的关系➤：

m，g⊨r（t1，...，tn）Iff（[[t1]]，...，[tn]）∈i（r）

m，g⊨¬φm，g⊭φ

M，g⊨（φ∧ψ）IFF M，g⊨φ和M，g⊨ψ

m，g⊨px（φ）≥qiffσd：m，g [x↦d]⊨φp（d）≥q

例如，考虑包含九个大理石的花瓶模型：五是黑色，四个是白色的。 让我们假设P分配每个大理石的1/9概率，这捕捉了一个人同样可能选择任何大理石的想法。 假设这种语言包含一个令述谓词b，其解释是黑色大理石的集合。 无论分配如何，在此模型中，句子px（b（x））= 5/9是正确的。

我们刚呈现的逻辑太简单，无法捕捉许多关于概率的形式。 我们将在此讨论三个扩展。