逻辑和概率（完结）

5.1.1量化超过一个变量

首先，所有人都希望有关于从域中选择多个对象的案例。 例如，考虑首先选择黑色大理石的概率，将其放回，然后从花瓶中挑选一个白色的大理石。 这种概率为5/9×4/9 = 20/81，但我们不能用上面的语言表达这一点。 为此，我们需要一个运算符，同时处理多个变量，写为px1，... xn（φ）≥q。 然后，这种运营商的语义将必须在DN的子集上提供概率测量。 这样做的最简单方法是简单地将概率函数p的乘积在d上，它可以被视为p到元组的延伸，其中p（d1，... dn）= p（d1）×××p（dn），它产生以下语义：

m，g⊨px1... xn（φ）≥qiffσ（d1，...，dn）：m，g [x1↦d1，...，xn↦dn]⊨φp（d1，...，dn）≥q

这种方法是由Bacchus（1990）和Halpern（1990）拍摄的，对应于选择是独立的和替代品的想法。 对于这些语义，上面的例子可以形式化为px，y（b（x）∧¬b-b（y））= 20/81。 还有更常见的方法可以将域上的尺寸扩展到来自域名的元组，例如Hoover（1978）和Keisler（1985）。

5.1.2条件概率

当一个人考虑最初的示例，即超过75％的鸟类飞行，发现这不能在域中包含不是鸟类的对象的模型中充分捕获。 这些对象对您希望表达的东西不重要，而是概率量化器，量化在整个域上。 为了限制量化，必须添加条件概率运算符PX（φ|ψ）≥Q，具有以下语义：

m，g⊨px（φ|ψ）≥qiff如果有一个d∈d，则m，g [x↦d]⊨ψ然后

σd：是，g [x↦d]⊨φ∧ψp（d）

σd：是，g [x↦d]⊨ψp（d）

≥q。

通过这些运算符，公式PX（F（x）|b（x））＞3/4表示，超过所有鸟类的75％。

5.1.3概率按术语

当人们想要比较不同事件的概率时，选择黑球并选择一个白球时，考虑自己的权利术语可能更方便。 也就是说，将表达式PX（φ）解释为参考一些理性数量。 然后，可以将语言扩展到诸如加法和乘法的算术操作，以及诸如平等和不等式的运算符来比较概率术语。 然后，与白珠相比，一个是选择黑球的可能性是PX（B（x））= 2×px（w（x））的两倍。 这样的扩展要求该语言包含两个单独的术语：一个用于概率，数字和算术操作的结果，以及概率运算符量化的话语域名。 我们这里不会详细介绍这种语言和语义。 人们可以在Bacchus（1990）中找到这样的系统。

5.2可能的世界一阶概率逻辑

在本小节中，我们考虑了一个具有可能的世界语义（我们缩写了F1）的一阶概率逻辑。 F1的语言类似于我们在第5.1节中提供的例子，除了这里，在这里我们具有任何公式φ的形式（∀x）φ的完全量化公式，而不是形式Px（φ）的概率公式≥Q，我们具有表单p（φ）≥q的概率公式（类似于命题概率逻辑中的概率公式）。

F1的模型是m =（w，d，i，p）的形式，其中w是一组可能的世界，d是话语的域，我是每个w∈w映射到每个函数的解释函数i（w）的本地化解释函数映射和谓词符号，适当的ARINIT的函数或谓词，并且P是将概率P（w）分配给W的每个W.的概率函数。

与之前的简单示例类似，我们涉及将每个变量映射到域D的元素的分配函数g.要解释术语，对于每个型号m，worldw∈w和赋值函数g，我们将每个术语t映射到域元素，如下所示：

[[x]]是，w，g = g（x）

[[f（t1的，...，tn）]]是，w，g =我（w）（f）（[[t1的[]，...，[[tn]]）

真相是根据尖头模型（具有指定世界的模型）之间的关系定义，其中具有分配和公式如下：

m，w，g⊨r（t1，...，tn）iff（[t1]]，...，[tn]）∈i（w）（r）

m，w，g⊨¬φm，w，g⊭φ

M，W，g⊨（φ∧ψ）IFF M，W，g⊨φ和M，W，g⊨ψ

M，W，g⊨（∀x）φiffm，w，g [x / d]φφ，其中g [x / d]与g相同，只是它映射x到d。

m，w，g = p（φ）≥qiffp（{w'|（m，w'，g）⊨φ}）≥q。

例如，考虑一个有两种可能的花瓶的模型：4个白色大理石和4个黑色大理石都掌握了可能的花瓶。 但是，另一个叫做的大理石被置于花瓶里，但在一个可能的花瓶里，是白色的，另一个是黑色。 因此到底，有两种可能的花瓶：一个有5个黑色大理石和4个白色大理石，另一个有4个黑色大理石和5个白色大理石。 假设P为两个可能的花瓶分配1/2概率。 然后p（b（last））= 1/2为此可变分配是真的，如果选择了任何其他可变分配，则公式（∃x）p（b（x））= 1/2仍然是真的。

5.3 Metalogic

通常，很难提供一阶概率逻辑的证明系统，因为这些逻辑的有效性问题通常是不可判定的。 甚至不是这种情况，因为它是古典一阶逻辑的情况，如果推断有效，那么可以在有限时间内找出（见Abadi和Halpern（1994））。

尽管如此，一阶概率逻辑有许多结果。 例如，胡佛（1978）和Keisler（1985）研究完整性结果。 Bacchus（1990）和Halpern（1990）还提供完整的公务化以及一阶概率逻辑和可能的世界一流概率逻辑的组合。 在Egnjanović和Rašković（2000）中，提供了一个细小的完整公理化，以获得此处提供的可能世界一流的概率逻辑的更普通版本。