选择公理（一）

被称为首选的理论的原则被称为“可能是最有趣的，尽管它最迟的外表，最讨论的数学公理，仅次于欧几里德的平行症的公理，这是超过两个的千年前”（Fraenkel，Bar-Hillel＆Levy 1973，§II.4）。 这种描述的浮夸可能导致那些不熟悉的公理，以期望它像令人震惊一样令人惊讶，例如，光线速度的恒定的原则或海森伯格不确定性原则。 但实际上，首选的公理通常表示潮湿，甚至是不言而喻的。 对于它的数量不超过声明，给定任何相互禁用的非空集合，可以组装新的集合 - 一种从给定集合的每个成员的恰好一个元素组装。 尽管如此，这种看似无害的原则具有深远的数学后果 - 许多不可或缺的，有些令人惊讶的是，并在数学基础的讨论中突出了。 它（或其等同物）已经在无数的数学论文中使用，并且许多专着被专门致力于它。

1.首选公理的起源和年表

2.独立性的独立性和一致性

3.最大原则和Zorn的引理

4.首选的公理的数学应用

5.首选和逻辑的公理

补充文件：首选的公理和型理论

参考书目

学术工具

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相关条目

1.首选公理的起源和年表

1904年，Ernst Zermelo在他所谓的覆盖物（Zermelo 1904）方面，制定了首选的公理（在本文中缩写为AC）。 他从一个任意的集合开始，并使用符号m'来表示一个任意的nonempty子集，其中他由m的收集。他仍在继续：

想象一下，对于每个子集m'，有关联的任意元素m

'

1

，发生在m'本身; 让m

'

1

被称为“尊敬的”元素的m'。 由设定M的某些元素产生“覆盖”G的设定M.这些覆盖物的数量等于所有子集M'的基数的产品，并且当然不同于0。

该报价的最后一句话 - 这是宗旨，实际上，覆盖物总是存在用于任何（非空的）设定的非空的子集 - 是Zermelo首次配方的首选[1]。 这通常是在选择功能方面说明的：这里，非空集合H上的选择功能是带有域H的地图F，使得每个X∈的f（x）∈x。

作为一个非常简单的例子，让h是{0,1}，即h = {{0}，{1}，{0,1}}的非空的子集的集合。 然后H具有以下两个不同的选择功能F1和F2：

f1键（{0}）= 0

f1键（{1}）= 1

f1键（{0,1}）= 0

f2键（{0}）= 0

f2键（{1}）= 1

f2键（{0,1}）= 1

通过将h作为真实数字的（无序）对的集合和作为其最小元素的函数来提供一个更有趣的选择功能的示例。 通过分配给每对最大的元素来获得不同的选择功能。 显然可以定义更多的选择功能。

在选择功能方面说明，Zermelo首次对AC读取的制定：

ac1：

任何非空集合都有一个选择功能。

AC1可以在索引或可变集方面进行重新格式化。 设置A = {ai：i∈i}的索引集合可以被认为是一个变量集，以便在索引集I上变化。然后，每个ai是在阶段i中的变量设置的“值”。 A上的选择功能是地图f：i→⋃i∈iai，使得f（i）∈ai为所有i∈I。 因此，A上的选择功能是每个阶段的变量集合的元素的“选择”; 换句话说，A上的选择功能是A. AC1的可变元素，然后等同于断言

ac2：

任何索引集合都具有选择功能。

非正式地说，AC2量为断言，即每个阶段的具有元素的变量集具有变量元素。

AC1也可以在关系，viz方面重新制定。

的ac3：

对于设置A，B之间的任何关系r，

∀x∈a[r（x，y）]⇒∃f[f：a→b＆∀x∈a[r（x，fx）]]]。

换句话说，每个关系都包含具有相同域的函数。

最后，AC3很容易显示等同于（通常在通常的设置理论）到：[2]

ac4：

任何形状功能都有右转。

在1908张纸中，Zermelo推出了一种改进的AC形式。 让我们呼叫一个横向（或选择集）的集合h，任何子集t⊆⋃h的一个子集t⊆⋃h，用于x∈X的每个交叉点都有一个元素。 作为一个非常简单的例子，让h = {{0}，{1}，{2,3}}。 然后h有两个横向{0,1,2}和{0,1,3}。 通过让H成为平行于X轴的欧几里德平面中的所有线路的集合提供了更大的示例。 然后Y轴上的点T的位置是H的横向。

在横向方面说明，那么，Zermelo的第二（1908）AC的制定量适用于任何相互禁用的巨型集的家族具有横向的主张。[3]

Zermelo断言，“这一原则的纯粹目标”是“立即明显” 在制作这种断言中，Zermelo意味着强调这一事实，在这种形式中，原则不会对制作“选择”的可能性。 它也可能是Zermelo有以下“组合”理由的原则。 给定彼此的家庭h互燃料集，如果s∩x≠∅为所有x∈呼叫s⊆⋃h的子集。 清楚地存在H存在的选择器; ⋃h本身就是一个例子。 现在人们可以想象为h拍摄的选择器s，并“缩小”每个交叉点S∈X，直到它只包含一个元素。 结果是H的横向。该参数适当地改进，从称为理论原理中，在该制剂中获得了精确推导的AC，从被称为Zorn的引理（见下文）。

让我们致电Zermelo的1908年制定选择的组合公理：

cac：

任何相互禁用的巨型集的收集都有一个横向。

应注意，在通常的设定理论中，AC1和CAC用于有限集合的集合既可提供（通过诱导）。 但是在无限收集的情况下，即使每个成员是有限的，也存在选择功能或横向的问题是有问题的[4]。 例如，如上所述，它很容易提出用于收集实数的选择功能（只需选择每对的较小元素）。 但它绝不是显而易见的，如何为组合的任意数量组产生选择功能。

Zermelo在引入AC的原始目的是建立哥伦集体理论的中央原理，即，每套集合都承认众多订购，也可以分配基数。 Zermelo的1904年的公理和他把它的用途介绍，挑起了当天数学家的大量批评。 提出的首席异议是有些人认为是其高度非建设性的，甚至理想主义者的性格：虽然AxiomS致力于制造甚至可能的甚至是一种不可数任意的“选择”的可能性，但它没有任何迹象实际上，这些后者是如何，否则放置的，选择功能是要定义的。 这对于“建设性”弯曲的数学家特别令人反感，例如所谓的法国经验主义者，博尔尔和勒贝尤，只有在可以以这样的方式定义独特地表征它。 Zermelo于1908年的两篇论文中对其批评者的回应。在其中的第一个，如上所述，他在横向方面重新制定了AC; 在第二个（1908A）中，他明确了通过他对订购良好定理证明所需的进一步假设。 这些假设构成了集合理论的第一个显式呈现。

作为关于选择的公理的辩论隆隆声，它变得显然，许多重要数学定理的证据使其是必要的，从而领导许多数学家将其视为其交易不可或缺的工具。 例如，希尔伯特认为交流作为数学的基本原则[5]并在他捍卫直觉主义者的袭击方面辩护了古典数学推理。 实际上，他的ε运营商基本上只是选择功能（参见epsilon微积分的条目）。

虽然AC的有用性很快变得清晰，但对其声音的疑虑仍然存在疑虑。 这些疑惑被这一事实加强了它具有一定的违反直觉的后果。 这些最壮观的是Banach和Tarski的球体矛盾的分解（Banach和Tarski 1924）：任何固体球体都可以分成有限的许多碎片，可以重新组装以形成两个固体球体相同的尺寸; 任何固体球都可以以有限的方式分成许多件，以使它们能够重新组装以形成任意尺寸的固体球体。 （见Wagon 1993.）

直到20世纪30年代中期，AC的声音问题最终依靠KurtGödel的证明它相对于集合理论的其他公理。

这是AC的简短年表：[6]

1904/1908。Zermelo介绍了集合理论的公理，明确制定了AC并用它来证明井定定理，从而提高争议的风暴。

1904年。Russell认识到AC作为乘法公理：任意非零基本数字的产品是非零。

1914年。Hausdorff从AC源于AC中的“矛盾”形式的不可误操作集中，球体的1/2是一致的1/3（Hausdorff 1914）。

1922年。Fraenkel介绍了“排列方法”，以建立与原子设定理论系统的独立性（Fraenkel 1922）。

1924年。建立在Hausdorff，Banach和Tarski的作品中，从他们的矛盾的分解中获得了球体的矛盾分解。

1926年。希尔伯特介绍了他证明理论的“Transfinite”或“epsilon”公理作为AC的一个版本。 （希尔伯特1926年）。

1936年。Lindenbaum和Mostowski延伸和精确炼Fraenkel的置换方法，并证明了比AC弱的集合理论陈述的独立性。 （Lindenbaum和Tarski 1938）

1935-38。Gödel建立了AC与集合理论的公理的相对一致性（Gödel1938A，1938B，1939,1940）。

20世纪50年代。Mendelson，Shoenfield和Specker，独立工作，使用置换方法从没有原子的设定理论系统中建立各种形式的AC的独立性，而且缺乏基础的公理（Mendelson 1956,1958，1958，Shoenfield。1955年，Specker 1957）。

1963年。Paul Cohen证明了来自集合理论的标准公理的IC的独立性（Cohen 1963,1964）。

2.独立性的独立性和一致性

如上所述，1922年，Fraenkel证明了来自含有“原子”的集合理论系统的独立性。 这里由原子意味着纯粹的个体，即，没有成员的实体，但是与空集不同（因此FortiOriAtom不是集合）。 在具有原子的设定理论的系统中，假设一个被赋予一个无限的原子。 通过从A开始，可以通过从A开始构建一个宇宙V（A），添加所有子集，邻接结果等的所有子集等，并迭代迭代。 V（a）然后是具有原子的设定理论的模型。 Fraenkel的核心内核证明AC的独立性是观察到的，因为无法设定原子，所以组A原子的任何排列会引起结构保存的置换 - 宇宙的自动形态从A构建的V（a）的v

现在让我们假设我们曾给出了A组的一组自动形态。让我们说一套同一自动形态π; 修复V（a）的元素x，如果π（x）= x。 显然，如果π∈g修复A的每个元素，它也会修复V（a）的每个元素。 现在，对于某些元素x∈V（a）来说，对于某些元素x∈V（a）来说，通过任何πμg的子集的元素的固定足以修复x。 因此，我们被导致将X的支持定义为a的子集x，使得每当π∈g修复x的每个成员时，它也会修复x。 具有有限支撑的V（a）的成员称为对称。

我们接下来将Universe Sym（v）定义为包括V（a）的默许对称成员，即，x，x的元素，x等元素的元素的x∈V（a）组成，x等元素的元素都是对称的。 SYM（V）也是具有原子A组的集合理论的模型，π和π诱导SYM（V）的同一性。

现在假设a将a划分为（必然是无限）的相互脱节集合。 将g成为A的排列组，其在P中固定所有对。然后p∈sym（v）; 现在可以证明，Sym（v）在P上不包含任何选择功能。对于P和f∈sym（v）上是一个选择功能。 然后F具有有限的支撑，该有限支撑物可以是{A1，...，An，B1，...，Bn}的形式{Ai，Bi}∈p。 由于p是无限的，我们可以从所有{ai，bi}不同的p. {c，d} = u不同。 现在我们定义了π∈g，使π修复每个AI和BI和互换C和D。 然后Π还修复了f。 由于f应该是p的选择功能，而u∈p，我们必须具有f（u）∈u，即f（u）= c或f（u）= d。 由于π交换C和D，因此π（F（U））≠（U）。 但由于Π是一种自体形态，它还保留了功能应用程序，使得π（f（u））=πf（π（u））。 但π（u）= u和πf= f，因此π（f（u））= f（u）。 我们已经达到了矛盾，表明宇宙Sym（v）在p上尚不包含任何选择功能。

这里的那一点是，对于在p上定义的对称函数f，来自p的一个有限列表L的一部分，其所有元素都足以修复f，因此也是f的所有值。 现在，对于P但不在L中的任何一对U，可以始终找到置换π，该折叠Π可以修复L中的对的所有元素，但不固定U的成员。由于Π必须固定在u上的f的值，因此f不可能在U中位于U.因此f不“选择”元素U，因此FortiOri F不能成为P的选择功能。

此参数显示，原子集的集合不一定有必要具有选择功能，但它无法为“通常”数学集而建立相同的事实，例如一组实数。 当Paul Cohen表明它与设定理论的标准公理（这排除存在原子）的标准公理时，这必须等到1963年，以假设可数成对的实数对的可计数收集不能具有选择功能。 科恩证明方法的核心 - 旨在的迫使方法 - 比以前的任何技术更广泛; 然而，他的独立证明还在基本上是Fraenkel最初使用它们的形式。

Gödel证明AC与集合理论的公理的相对一致性（参见KurtGödel的条目）在一个完全不同的想法上依赖于：可定义。 他通过累积类型层次结构介绍了一个新的设置 - 构造层次结构。 我们回顾说，后者由下垂对序列的递归定义，其中P（x）是x的电源集，α是序数，λ是极限序数::

v0 =∅

vα+ 1 = p（vα）

vλ=⋃α＜λvα

可构造的层次结构由序列上的类似递归定义，其中def（x）是x的所有子集的集合，它是结构中的一阶可定义（x，∈，（x）x∈x）：[7]

l0 =∅

lα+ 1 =定义（lα）

lλ=⋃α＜λlα

可构造的宇宙是L =⋃α∈ordlα类; L的成员是可构造的集合。 Gödel表明（假设Zermelo-Fraenkel设定理论ZF的公理ZF），结构（L，∈）是ZF和AC的模型以及广义连续假设）。 随着ZF的相对一致性。

它也被哥特尔（1964年）观察（由Myhill和Scott 1971，Takeuti 1963和1951年），可以在序号可定性方面制定更简单的AC的相对一致性证明。 如果我们为X的所有子集的集合写D（x），这是在结构中的一阶可定义（x，∈）中，则定义了序列可定义集的类OD为Union⋃α∈ordd（vα）。 杂散序列定义集的类HOD由所有集合A，A，...等的成员的成员的全部A，......等的成员都是所有顺序可定义的。 然后可以证明它是结构（HOD，∈）是ZF + AC的模型，其从中再次与ZF相对一致性。[8]

3.最大原则和Zorn的引理

首选的公理与一群数学命题密切相关，共同称为最大原则。 广泛地说，这些命题断言某些条件足以确保部分有序的组包含至少一个最大元件，即，相对于给定部分排序的元件，没有严格超过它的元素。

要查看最大元素和AC的想法之间的连接，请在索引集合中返回后者的配方AC2。 因此，假设我们被赋予了一个索引的非空的集合A = {AI：i∈i}。 让我们在A上定义一个潜在的选择功能是函数f，其域是i的子集，使得所有i∈j的f（i）∈ai。 （这里使用限定件潜力的事实是通过I域是i的子集来提出;回想一下，在A上的选择功能F具有与我们现在所在的潜在选择功能相同的属性，除了F的域是必需的，而不仅仅是一个子集。）集合A可以通过包含部分排序P的潜在选择功能：我们同意，对于潜在的选择功能f，g = p，条件f≤g持有的条件，条件是：F的域中的域在g的范围内，其结构域的元素在其中的元素中的值与g有关。 现在很容易看出，相对于部分排序≤P的最大元素恰好是A上的选择功能。

Zorn的lemma是最着名的原则，确保了这种最大元素的存在。 要说明它，我们需要一些定义。 给定部分有序的集合（P，≤），p的子集X的上限是每个x∈X的x≤a的元素a∈p; 然后，P的最大元素可以被定义为{a}的上限集与{a}一致的元素A，这基本上意味着P的任何元素严格大于a。 （p，≤）中的链是p的子集C，使得对于任何x，y∈P，x≤y或y≤x。 如果P中的每个链具有上限，则P据说是归纳。 现在Zorn的lemma断言：

Zorn的lemma（ZL）：

每个非空的归纳部分有序集具有最大元素。

为什么Zorn的引理似乎是合理的？ 这是一个非正式的论点。 给定非空的电感部分有序集（P，≤），选择P的任意元素P0。如果P0是最大的，则在那里停止。 否则选择元素P1＞P0; 如果P1是最大的，则停止在那里。 否则选择元素P2＞P1，并重复该过程。 如果没有元素P0＜P1＜P2＜...＜PN＜...是最大的，则PI形成链子，因为P是电感的，具有上限Q0。 如果Q0最大，则停止。 否则，可以用Q0＜Q1，......然后迭代来重复过程。 这个过程必须最终终止，因为所产生的链条的联合将构成一个适当的课程，使P本身成为与假设相反的适当阶级。 过程终止的点产生p的最大元素。

这个论点适当地严格地赋予Zermo-Fraenkel集合理论的AC1的ZL的证据[9]：在这个证据中，AC1用于“选择”在非正式论证中提到的元素。

可以在集合的集合中给出另一个版本的Zorn的引理。 给定集合H，让我们在h中的任何子层N中呼叫巢，使得对于任何一对N，一个是另一对的。[10] 如果H中的任何巢的结合是H. Zorn的引理器的联合，则呼叫H. Zorn的Lemma的联合可以等同地重述，因为套装的任何非空心强的归纳H具有最大成员的断言，也就是说，即没有成员中包含的成员其又可以以双重形式配制。 如果在巢的交叉点关闭，请致电一系列强烈还原。 然后任何非空的强烈还原的套装都有一个最小的元素，即适当的成员，包括没有家庭的成员。

AC2现在可以通过这种替代形式源自Zorn的Lemma。 对于索引的集合A系列潜在选择功能的集合显然是不可拍的，并且很容易被证明是强烈的归纳; 因此，Zorn的Lemma产生了一个选择功能的存在。