选择公理（二）

CAC可以通过回应上面CAC的“组合”理由的方式从ZL衍生。 因此，假设我们被赋予了一个互斥套装的家庭h; 呼叫子集s⊆⋃h，如果对于任何X∈H，X∈S或S∈X是非空和有限的，则为H. 最小的采样是H的精确横向的; [11]，并且采样的集合T显然是缺乏，因为它包含⋃h。 因此，如果可以表明T强烈还原，锯齿的引理会产生一个最小的T的元素，因此横向的H.T的横向的变化可以看出如下：假设{Si：i∈i}是一个抽样的巢; 让s =⋂i∈isi。 我们需要表明S本身就是一种抽样; 到此结束让x∈h和假设¬（x⊆s）。 然后有i∈i¬（x⊆si）; 由于SI是一种采样，Siëx是有限的和unmemy，Siëx= {x1，...，xn}。 显然s∩x然后有限; 为了矛盾的矛盾，假设s∩x=∅。 然后，对于每个k = 1，...，n有ik∈i，其中¬（xk∈sik）。 ¬（si⊆sik），k = 1，...，n。 因此，由于SI形成链，每个SIK都是SI的子集。 让SJ是Si1，......，Sik; 然后是sj⊆si。 但由于¬（xk∈sj），对于k = 1，...，n，它现在遵循sj∩x=∅，与sj是一个采样的事实相矛盾。 因此s∩x≠∅; 和S是一个如声称的抽样。

我们注意到，虽然锯齿的引理和所选择的公理在理论上是相当的，但从后者那里得分比反之亦然更难以。

这是最大原则的简短年表。

1909年。Hausdorff首先介绍了最大原则的首先明确的制定，并从AC获得了它（Hausdorff 1909）

1914年。Hausdorff的Grundzügeder mengenlehre（集体理论和一般拓扑上的第一本书之一）包括几个最大原则。

1922年。Kuratowski制定并采用了几种最大原则，以避免使用Transfinite Ordinals（Kuratowski 1922）。

1926-28。Bochner和其他人独立引入最大原则（Bochner 1928，Moore 1932）。

1935年。Max Zorn，显然不知不疑，以前的最大原则的制定，出版（Zorn 1935）他后来他的最终版本被庆祝为他的雷玛（ZL）。 ZL于1933年首次在汉堡制定，其中Chevalley和Artin迅速“采用”它。 它似乎是第一次认识到ZL将产生AC的Artin，因此两者是等同的（在集合理论的剩余公理上）。 Zorn认为他的原则少于定理而不是作为公理 - 他希望它将取代经细制归纳的代数和订购的代数中的繁琐应用，其中Neether学校的代数是“超越”设备。

1939-40。Teichmüller，Bourbaki和Tukey独立地在“有限特征的属性”（Bourbaki 1939，Teichmuller 1939，Tekey 1940）中独立重整ZL。

4.首选的公理的数学应用

首选的公理在数学中具有许多应用，其中许多已被证明是与IT合法相等的[13]。 从历史上看最重要的应用是第一个，即：

订购定理（Zermelo 1904,1908）。 每套都可以齐全。

Zermelo发表了1904年的1904年从AC提供了良好订购定理的证据后，很快就会看到这两者相当。

另一个早期的AC是

乘法公理（Russell 1906）。 任何一组非零基数的产物是非零的。

AC的早期应用包括：

每种无限集都具有可降价的子集。 这个原则再次比AC较弱，在设定理论的剩余公理的背景下，不能证明没有它。

每个无限基数数量等于其正方形。 这证明了这一证明是Tarski 1924中的AC。

每个矢量空间都有一个基础（由哈梅尔1905发起）。 这证明是相当于Blass 1984中的AC。

每个领域都有一个代数封闭（Steinitz 1910）。 这种断言比Ac弱，实际上是一阶逻辑的（见下文）的（见下文）的后果。

有一个Lebesgue不可误用的实数（Vitali 1905）。 这是稍后显示的是BPI的结果（见下文），因此比AC弱。 Solovay（1970）建立了集合理论的剩余公理的独立性。

一个重要的“民间传说”相当于交流

设定理论分配法。 对于任意双重索引的集合{mi，j：i∈i，j∈j}，其中ji是域i的所有函数的集合，其中在j中取值：

⋂

i∈i

⋃

j∈j

英里，j =

⋃

f∈ji

⋂

i∈i

英里，f（我）

一定学习的特殊情况是AC是

依赖选择原则（伯尼亚1942，Tarski 1948）。 对于任何非空关系R在该设置A上的范围（R）⊆domain域（R），有一个函数f：ω→a，使得对于所有n∈ω，r（f（n），f（n + 1））。 这一原则虽然（很多）比AC弱，但在集合理论的剩余公理的背景下，不能证明没有它。

AC的数学等同物包括：

Tychonov的定理（1930）：紧凑型拓扑空间的产品紧凑。 这证明这是相当于Kelley 1950年的AC。但对于紧凑的Hausdorff空间，它相当于BPI（见下文），因此弱于AC

Löwenheim-Skolem-Tarski定理（Löwenheim1915，Skolem 1920，Tarski和Vaught 1957）：具有无限基数κ模型的一阶句也有任何一个模型无限基数μ使μ≤κ。 这证明了Tarski的AC。

Kerin-Milman定理：真正规范的线性空间的双向的单位球B具有极端点，即，其中不是B中的任何线段的内部点。这被证明是相当于贝尔和弗里姆林林1972A中的AC。 有显示，给定任何索引套装A的非空集合，在从A构造的某一真实规范的线性空间的单位球的单位球的一个和极端点之间存在自然的自然基因。

每个分配格子都有最大的理想。 这证明这是相当于Klimovsky 1958的AC，以及贝尔和弗里姆林林1972年套装的格子。

每个具有身份的换向铃声都具有最大的理想。 这被证明是1979年霍奇格的交流。

AC有许多数学后果，众所周知比它更弱[14]，特别是：

Boolean Prime理想定理（BPI）：每个布尔代数都有最大（或Prime）理想。 这显示出比Halpern和1971年征率较弱。

Boolean代数的石材代表定理（Stone 1936）：每个布尔代数都是套领域的同构。 这相当于BPI，因此比AC弱

一阶逻辑的紧凑性定理（Gödel1930，Malcev 1937，其他）：如果一组一阶句子的每个有限子集都有一个模型，那么该集合有一个模型。 在Henkin 1954中显示了这一点，相当于BPI，因此比AC较弱。

一阶逻辑的完整性定理（Gödel1930，Henkin 1954）：每个一致的一组一级句子具有模型。 这是由Henkin在1954年显示的，相当于BPI，因此弱于AC。 如果以正确的方式指定模型的基数，则断言相当于AC。

最后，有

Boolean代数的Sikorski扩展定理（Sikorski 1949）：每个完整的布尔代数是注射器，即，对于任何布尔代数A和任何完整的布尔代数B，任何进入B中的子晶代的同性术可以延伸到全部A.

与AC等同于此的问题是该领域剩下的少数几个有趣的开放问题之一; 虽然它清楚地意味着BPI，但它独立于1983年的BPI被证明。

贝尔和机器人（1977年）讨论了许多这些定理。

5.首选和逻辑的公理

AC和逻辑之间的初始连接通过在关系方面返回其配方AC3而出现，即：任何二进制关系包含具有相同域的函数。 此版本的AC自然是在二阶语言L内表达的，其中单个变量x，y，z，......和功能变量f，g，h，......。 在L中，二进制关系由公式φ（x，y）表示，其中两个自由单个变量x，y。 然后是断言AC3的对应物

访问控制列表：

∀x∃yφ（x，y）→∃f∀xφ（x，fx）。

这种句子的方案是AC的标准逻辑形式。

Zermelo的首选原始形式AC1，可以表达为L的适当版本的句子中的句子。因此，我们现在可以包含另外的谓词变量x，y，z，...和二阶函数变量f，g，h，...... 这里，二阶函数变量f可以应用于谓词变量x以产生单个术语fx。 句子的计划

ac1l：

∀x[φ（x）→∃xx（x）]→∃f∀x[φ（x）→x（fx）]

是AC1的直接对应于此加强的二阶语言。 用文字说明，如果具有某个属性φ的每个谓词具有实例，则谓词是谓词，使得对于满足φ的任何谓词x，fx是X的实例。这里谓词正在播放集合的角色。

到目前为止，我们已经默许假设我们的背景逻辑是通常的古典逻辑。 但是，AC和逻辑之间的连接的真实深度仅在直觉或建设性逻辑进入图片时出现。 这是一个显着的事实，假设只有直觉逻辑的框架与某些温和的进一步预设，所以可以显示所选择的公理，以妨碍古典逻辑的基本规则，排除中间的法则a∨¬a对于任何命题A.要精确，在我们的增强语言L中使用直觉逻辑规则，我们将从AC1L中排除中间的律法，与以下附加原则联合起来：

预测理解：

∃x∀x[x（x）↔φ（x）]，其中φ不包含绑定函数或谓词变量。

职能的转型：

∀x∀y∀f[x≈y→fx = fy]，其中x≈y是∀x[x（x）↔y（x）]的缩写，即x和y是基本等效的。

两个不同的人：

0

_

≠

1

_

在哪里

0

_

和

1

_

是个人常数。

现在让我成为一个特定的主张。 通过预测理解，我们可以将谓词常数U，V与断言一起介绍

∀x[u（x）↔（a∨x= 0）]

∀x[v（x）↔（a∨x= 1）]

让φ（x）是公式x≈u∨x≈v。 然后清楚地，我们可以断言∀x[φ（x）→∃xx（x）]所以可以调用AC1L以assert [φ（x）→x（fx）]。 现在我们可以将功能常量k与断言一起介绍

∀x[φ（x）→x（kx）]。

由于显然，我们可以断言φ（u）和φ（v），所以我们可以从（2）中，我们可以断言U（ku）和v（kv），而且使用（1），

[a∨ku= 0]∧[a∨kv= 1]。

使用分配法（在直觉逻辑中持有），我们可能会断言

a∨[ku =0∧kv= 1]。

从PRESUPPOSTION来看，它如下

a∨ku≠kv

是断言的。 但它遵循（1），我们可以断言A→U≈v等，也使用函数的扩展性，A→Ku = kV。 这产生了kv→¬a的断言，其与（3）一起反过来产生断言

a∨¬a

也就是说，被排除在中间的法律。

首先选择的事实意味着在中间被排除在一起，乍一看是差异，因为前者通常被视为由直觉逻辑治理的建设性数学系统中的有效原则，例如。 主教的建设性分析[16]和Martin-Löf的建设性型理论[17]，其中不肯定被排除在外。 在主教的话语中，“选择函数存在于建设性数学中，因为存在的含义暗示了一个选择。” 因此，例如，给定建设性化构造的ACL的前所∀x∃yφ（x，y）只是意味着我们具有施加到每个x的过程，产生φ（x，y）的y。 但这正是ACL的结果∃f∀xφ（x，fx）所表达的。

为了解决困难，我们注意到，在来自ACL1中排除的中间，基本用途是由职能理解的原则和职能的转矩[18]。 因此，在建设性数学系统中，肯定AC（但不排除中间）预测理解的原则或职能的扩展性原则必须失败。 虽然可以给出预言理解的原理，但是可以提供用于函数的转矩原理的原理。 谓词上的功能是非常合乎核心的，并且满足了∀x∀y∀f[x = y→fy]的相应原理。 通过考虑例如谓词P：Rational Filless Biped和Q：人类和谓词的功能k，可以容易地使扩展性原则失败，该谓词分配给每个谓词的描述中的单词的数量。 然后我们可以同意p≈q但kp = 3和kq = 2。

在直觉集合理论中（即，基于直觉的设定理论与古典逻辑相反 - 我们将其作为IST缩写）和Topos理论在Topos理论中的预测理解和函数的扩展性原则（适当地解释）持有，所以存在AC意味着被排除在外。[19] ，[20]

从AC排除中间的衍生首先由DiaConescu（1975）中的一个类别 - 理论设置。 他的证据与上面呈现的证据基本上采用了不同的想法; 特别是，它不会使用扩展性原则，而是通过等价关系来使用对象（或设置）的商的思想。 在IST中制定DiaConescu的论点是有益的。 为此，如果有一个u∩v=∅和u∪v= a的子集v，让我们调用一个可拆卸的子集U. DiaConescu的参数从AC4（见上文）的派生量的参数达到了断言，即设定的每个子集是可拆卸的，从中排除在内的中间遵循。 这是。

首先，给定u⊆a，U（A）的指示器是地图G：A×2→2令人满意

u = {x∈a：g（x，0）= g（x，1）}

然后，易于显示且仅当它具有指示器时，子集是可拆卸的。

现在我们展示了，如果AC4保持，则设置的任何子集都有一个指示，因此是可拆卸的。

对于u⊆a，假设由+ a = a×{0}∪a×{1}上的二进制关系

r = {（（x，0），（x，0））：x∈a}∪{（（x，1），（x，1））：x∈a}∪{（（x，0），（x，1）：x∈a}∪{（（x，1），（x，0）}：x∈a

可以检查R是等价关系。 从A + A到自然地图的基础上的R r为（A + A）的商（A + A）的商品[21] Q写入R-Additience类的每个成员。

现在应用AC4以获取所有XQQ的M：Q→A + A令人满意的F（x）∈x。 然后不难表明，在第一个坐标上写入π1以进行投影，

对于n = 0,1和x∈A，π1（f（r（r（x，n）））= x;

和

x∈u↔f（r（x，0））= f（r（x，1））。

现在通过G =π2∘f∘r定义G：×2→2，其中π2是第二坐标上的投影。 然后g是U的指示，如以下等价性显示：

x∈u。↔f（r（x，0））= f（r（x，1））... by（**）

↔π1（f（r（x，0）））=π1（f（r（x，1）））∧π2（f（r（x，0）））=π2（f（r（x，1）））

↔π2（f（r（x，0）））=π2（f（r（x，1）））...使用（*）

↔g（x，0）= g（x，1）。

证明是完整的。

可以显示（贝尔2006），即许多直观无效的逻辑原则，包括排除中间的法律，是等效的（在直觉集理论）到一个合适的选择版本的选择版本。 因此，这些逻辑原则可以被视为选择原则。

以下是问题的逻辑原则：

slem。α∨¬α（α任何句子）

林。（α→β）∨（β→α）（α，β任何句子）

石头。¬αν¬¬α（α任何句子）

Ex。∃x[∃xα（x）→α（x）]（α（x）在最多x的任何配方

联合国。∃x[α（x）→∀xα（x）]（α（x）在最多x的任何配方

解释。∀x[ανβ（x）]→α∨∀xβ（x）（α任何句子，β（x）在最多x的任何配方

过度直觉逻辑，林，石头和前任是SLEM的后果; 联合国意味着DIS。 当然，所有这些方案就是从中间排除的完整法，这是任意公式的SLEM。

在遵循的情况下，空集由0，{0}×1和{0,1}表示。

我们制定以下选择原则 - 这里X是一个任意集，有趣（x）域x和φ（x，y）的函数的类，设置理论的语言的任意公式，具有大多数自由变量x，y：

ACX。∀x∈x（x，y）→∃f∈fun（x）∀x∈x（x，fx）

ac

*

x

∃f∈fun（x）[∀x∈x（x，y）→∀x∈x（x，fx）]

Dacx。∀f∈fun（x）∃x∈x（x，fx）→∃x∈x（x，y）

DAC的

*

x

∃f∈fun（x）[∃x∈x（x，fx）→∃x∈x（x，y）]

其中的前两个是X的AC的形式; 虽然经典相当，但在IST AC中

*

x

意味着ACX，但不相反。 原则dacx和dac

*

x

是X的双重形式的X：经典上它们都相当于ACX和AC

*

x

但直觉地DAC

*

x

暗示Dacx，而不是相反。

我们还制定了弱势的延伸选择原理，其中α（x）和β（x）是在最多可变x的任何配方：

wesp：

∃x∈2（x）∧∃x∈2β（x）→∃x∈2[α（x）∧β（y）∧[∀x∈2[α（x）↔ββ（x）]→x = y]]。

该原理，首选的公理的直接后果，断言，对于2的成员的任何一对实例化特性，可以以恰好在其扩展上的方式分配到属性。