Principia Mathematica（六）
5.3第四部分：关系算法
关系算术是研究基于类似类的基本和序数的泛化，其中相似性基于任意关系。 关系P类似于关系Q，如果存在一个到一个关系的（一个相关器）将p的域与q的域相关一个，以至于如果xpy for some x和y，那么如果xsw和wqz那么z
˘
s
y。 映射S是关系P和Q之间的同构。然后，关系数将是彼此类似的一类关系。 关系算术然后概括了基本算术，例如总和和产品的概念，以任意关系编号。 罗素本人表示遗憾的是，IV部分的材料并没有被他的同时代人仔细研究（Russell 1959：86）。 如果P系列是有序的，那么与P的关系类别将是序号。 在Tarski（1956年）中研究了序数的总和，但对PM的这些部分中呈现的关系算法的更一般性概念几乎没有兴趣。 查看所罗门（1989）。
序数相似度
* 151·01。P和Q平衡
=df∃s[s：domainp
1-1
⟶
domainq＆p =s∘q∘
˘
s
]
p和q是相似的，写入psmorq，只是在存在p的域中的一个到一个映射xpy，xsz和zqw的域中的一个映射s。然后w
˘
s
y。
p＆q，p⊕q系列的总和被定义为：
p⊕q= df
{⟨x，y⟩|xpy∨xqy∨[∃z（zpx∨xpz）和∃z（zqy∨yqz）]}
因为它被归入* 160：
...我们可以将p和q的总和视为x和y之间的关系，当x在p系列中的x之前y之间，或x系列中的x在q系列中，或x属于p系列，y属于Q系列。
P＆Q，q⊗p的产品涉及如下Q领域的PEAGE的成员对。 （这不应该与* 34中定义的相对产品的更熟悉的概念混淆。）
因为它被归入* 166：
产品q⊗p是一种与其领域的关系，所有这些耦合可以通过在C'Q中选择C'P中的参考文献和CORATUM。 这些夫妻通过q⊗p排列在以下原理：如果一对夫妇的royum与另一个曲面的关系q对另一次关系，我们将一个人放在另一个之前，如果两个夫妇的Relata相等，而那个人的参考是相等的另一方面的指点，我们把那个人放在另一个面前。
⟨x，z⟩q⊗p⟨y，w⟩
≡[（x，y∈fieldp＆z，w∈fieldq）和zqw]∨（z = w＆xpy）
（请注意，虽然两个二进制关系的总和是二进制关系，它们的产品是对之间的关系。这是课程的概括与两类相对产物的基数是所拍摄的有序成对元素的基数的关系。来自每个。）可以证明表现出产品与数量和数量的差异的结果。 关系的产物是联合会的：
（p⊗q）⊗r是单个类似的p⊗（q⊗r）
这些关系以一种方式分发：
（q⊕r）⊗p=（q⊗p）⊕（r⊗p）
但是，它没有一般认为：
p⊗（q⊕r）=（p⊗q）⊕（p⊗r）。
出于将Rational和Real Numble定义为关系之间的关系的目的，有必要在关系的域或范围（现场）中定义相关的个人之间的订购关系。 这在* 170和定理摘要中描述如下：
......α据称在β之前...如果我们考虑两类α-β和β-α，则存在α-β的构件，其未在β-α的任何成员之前。 （Vol.II，1912：411和1927：399）
* 170·01。α在关系中之前β
αplcβ≡∃x{x∈（α-β）＆〜[∃y（y∈β-α和ypx）]}
关系数量和乘积的概念被定义为关系的总和和产品的关系数，调整使得关系类型是统一的，并且这些关系包含不相交的关系，如在上面的* 110中的基数数量的定义中所见。 如果x和y是关系编号，他们的总和是x
˙
+
Y和产品是x
˙
×
y。
事实证明，关系数量的操作是关联的和其他属性，直接遵循关系的相应属性和关系的相应属性。 在许多定理中，与关系数量的总和是关联的事实：
（y
˙
+
x）
˙
+
ρ= y
˙
+
（x
˙
+
ρ）
与关系数量的关系数量的分布以一种形式持有：
（x
˙
+
ρ）
˙
×
y =（x
˙
×
y）
˙
+
（ρ
˙
×
y）
5.4第V部分：系列
一系列（线性排序）被定义为Irfreflexive∀x（~xRx），传递∀x∀y∀z（XRY和yrz⊃xrz）和连接的∀x∀y（Xry1yrx）的关系。 （* 204·01）（这些属性仅限于每个关系的特定域。因此，连接的关系将在给定域的任何两个成员之间保持。）现在称为给定集的线性排序。
sequents
因此，α的顺序是其直接的继承者。 如果α具有最大值，则该顺序是最大的直接继承者; 但是如果α没有最大值，则不会通过α的序列立即成功地进行α的一个术语; 在这种情况下，如果α具有单个搜索，则该搜索是α的“上限”。 （PM Vol.II，“* 205”摘要，1912：577或1927：559）
Deeekindian关系
当它是这样的，我们称之为“deedekindian”，其中每个类[从上面的界限]有最大值或相对于它的搜索。 （PM Vol.II，“* 214摘要”，1912：684或1927：659）
换句话说，当每个类α具有相对于R的最大值或搜索时，诸如<是dedekindian的关系r。这是一个具有最小上限的每个段的标准定义。 最小上限将是集合的最大值或大于集合的所有成员的最小个人。
6.第III册
6.1第V部分：系列（续）
井订购系列的基本特性。
在* 250·51，我们发现一个证明，首选的公理从顺序的顺序原则遵循，即每套都可以是众所序的订购。
一系列秩序
“Burali-Forti”悖论在介绍PM作为可以通过类型理论解决的矛盾之一中描述：
可以表明，每个有序的系列都有一个序数......以及所有顺序（按幅度级）的系列是众所序的。 因此，所有顺序的系列都有一个序数，ω表示。 但是，在这种情况下，包括ω的所有顺序的系列具有序号ω+ 1，其必须大于Ω，因此ω不是所有顺序的序数。 （PM Vol。I，1925：61和1910：63）
在* 256中，我们发现阻碍了观察秩序类相对类型的矛盾矛盾。 序数，作为同构系列的类，将是比其成员更高的类型。 声称的“所有序数”Ω的“序数”Ω将仅限于上述类型的类型。 正如所有类别（某种类型或其他类型中的类别）一样，也没有所有序数的序数。
定理* 256·56表明“更高的类型中的较高的顺序比以较低类型的任何更高的顺序”。 （PM Vol.III，75）
Zermelo的定理
* 258·326。假设首选的公理，每个集合都可以齐全。
Zermelo的定理证明遵循Zermelo的Zermelo的“新证据”（1908）。 与* 250·51一起表明，首选的公理相当于井排序原理。
Transfinite祖先关系
“杂项遗传性”* 257的讨论构成了“Transfinite归纳”的讨论，即Russell指出在罗素（1959：86）上文报告的讨论中的REICHENBACH上，
有限秩序
它显示在* 262中，每个无限良好的订购系列都是由一系列（井订购的集）的进展组成。 （Ω订货）。
一系列艾略尔
Hausdorff在（1906）中的结果，ω1，第一个不可数序数）不是较小序数的进展的限制，如图所示，如果假设选择的公理（* 265·49）。 然后劝告这不能在不依赖于选择的公理的情况下表现出来。 参见格拉特坦 - 吉尼斯（2000：403）讨论Hausdorff对PM内容的影响。
Dorothy Wrinch，谁是罗素在战争期间的非官方学生圈的成员，于1919年发表了一篇关于Dedekindian系列序数的文章。 她将结果描述为调查“当P和Q有良好的顺序”（WRINCH 1919：219）的PQ应该是Dedekindian或Semi-Defekindian的必要和充分条件。 本研究随后在Boolecos（1994）中描述的结果，如诸如首选的公理的算法的调查。 Wrinch的纸张不仅符合PM的符号，还遵循了序列末端的定理，在点之后的数字之后，可以轻松添加为* 277。 罗素打算找到一所“数学哲学”学校，当然也成功地吸引了Ludwig Wittgenstein将Ludwig Wittgenstein吸引到PM的基础问题，但唯一的逻辑人员试图在PM框架中设定其结果的迹象。
6.2第VI部分：数量
因此，应研究后来的PM的稍后部分，如何利用这种竞争对手的关系基础，制定出对测量中的实际数量和数学的使用。 Gandon（2008,2012）辩称，使用此逻辑家帐户更好地解释数学的应用而不是竞争对手。
在* 300- * 314，正面和负整数，比率和实数都定义。 该部分的目标是开始研究这些数字如何用于测量几何和物理学中的数量。
比率
rn / ms =df∀x∀y（xrny⊃xsmy）
对于n，m相对素质。
关系r和s在xrny然后xsmy的情况下以n到m的比率，其中rn是r的第n电源，sm是s的m-th功率（参见* 91）。 两个关系的比率由相对素数的数字n和m表示，即，如果
∀j∀k∀l[（n = j×l＆是= k×l）⊃l= 1]。
因此，比率是关系之间的关系。 在与PM中所有数字的广义概念保持术语中的律数量将是类似比率的类，因此在比率和比率之间的关系方面进行了发展理性理论，然后是实数的工作。
实数
实数θ被定义为“一系列比率的一系列段”，或者在其标准排序中，理性数量序列的序列集的组Dedekind切口。 技术上θ是扩展的关系。 在比率中相关的个体，因此，在一系列Rational Numbum的基础上必须是PM版本的实际数字的数量的无限数，以具有我们预期的结构。 在介绍材料中，他们指出的是，虽然实际的构造需要无限的结构，但它们将明确地添加到所需的定理中，并尽可能地尝试它不依赖的结果，而不会依赖于不制定这种假设。
PM的实数理论比Dedekind或Cantor的“算术”账户更接近Frege的理论。 Dedekind假设要“创建”的非理性数量，以填写由Dedekind Cuts标记的一系列合理数字中的差距（Dedekind 1872 [1901：15]，陈列（1883：§9，段。8 [1996：899]）确定了具有合理数量序列的限制的实数。
然而，弗雷格和PM看到真实数字，从与某种结构的关系的类似关系中抽象出来。 有关弗雷格和罗素建筑的精细比较，请参阅Gandon（2012）。
值得注意的是，下午和基本法律的整体结构和内容是相似的。 他们都在符号逻辑上分享他们将使用的符号逻辑的第一部分，然后是关于算术中使用的数量和概念的概念的一系列定义和定理，具有关于实数的结论部分。 虽然两项工作中要减少到逻辑的数学的范围是相同的，但弗雷格将他的工作更直接限制在自然和实数，而PM包括关系和关系的阶段理论和无限套装。 虽然所有这些主题都是在公理集理论中的当代教科书的最初章节中处理的，因为Urquhart（2013）所表明，这可能是甚至最突破性的数学作品的必然命运。
实数的添加和乘法在下一节中定义，因为它们是其他数字，但是拍摄每个数字相似类的不相交的实例，并对它们执行相应的操作。 许多结果假设无穷大的公理作为假设。 操作象征为+ s和×s。
测量-i.e。 将比率和实数应用到大小 - 将在C部分中处理; 为目前，我们将自己限制在测量中预设的幅度的那些属性。.....
我们设想了作为向量的幅度，即作为操作，即在* 30的意义上作为描述性函数。 因此，我们将如此定义我们的术语，即1克明不是一个幅度，但是2种克和1gramme之间的差异是一个幅度，即关系“+1克拉姆”是一个幅度。 另一方面，厘米和第二次都会根据我们的定义是大量的，因为空间和时间的距离是向量。..
我们要求向量（1），即它应该是一个单一关系，（2）它能够无限重复，即，如果向量将我们从A从A从A从A从A中取出，则应总是有一个点C，使得向量将我们从B从B从B到C. （PM，Vol.III，“B部分摘要”，1913：339和1927：339）
本节中解决的种类和接下来的数量
传染媒介家庭是，一体的一体化的阶级都具有相同的逆域，并且都具有逆转域中的域。 （PM Vol.III，350）
6.2.1测量
PM的测量基于对象之间的对象之间的关系，该对象是测量操作的基础，该对象比另一个物体更重，或者比另一个物体更长。 数量是对物体的等价类，其对他人具有与他人相同的关系。 操作是数量定义的，因此：
...也就是说，三分之二的一磅奶酪应该是一磅奶酪的（2/3×S1 / 2），并且同样在每种情况下。 （PM，第III册，407）
PM总结一下，似乎悬挂在“循环家庭”测量的特殊情况中。 对于“这种情况，作为点处的角度，或椭圆直线，我们需要适用于未打开的家庭的测量理论”（PM，第III，457）。 点处的角度将从0到360度测量，然后在0处重新开始以测量围绕点旋转的物体。 表示旋转的许多比率由“主比”表示，其用于分配测量度的测量。
6.2.2下午末没有“结论”
PM突然突然结束了定理（* 375·32）关于循环家族的证明，没有任何结论备注或暗示要稍后的内容。 该思想是进一步的数学，包括Whitehead在几何形状上写入几何体的卷IV，必须逐步发展。 首先，必须在早期的概念（例如与给定结构的关系）方面定义给定数学分支的概念，然后将在到目前为止工作的风格中逐一地证明该领域的重要基本结果。 建立逻辑主义将是一个正在进行的项目，作为数学本身的开放式项目。
