Principia Mathematica（五）

f：α→β= df

从α到β的功能f，即domainf =α和范围f =β

类的相似之处

α≈β= df（∃f）f：α

1-1

⟶

β。

存在β（α和β的相似性）上的单一功能映射α。 当代讨论说α和β平等。 当相似性关系的关系时，由于它们涉及的相似性是具有不同类型的域和范围的难题而出现的困难。 见下面* 100。

本章中的主要定理是Cantor-Bernstein定理的证据，如果设定α类似于另一个集合β和β类似于α和β的子集Δ本身类似：

∀α∀β∀γ∀δ[（

α≈γ＆β≈δ

＆γ⊆β

＆δ⊆α

）⊃α≈β]

这里的证据明确地遵循1908年的Ernst Zermelo证明。怀特麦满和拉塞尔称之为“Schröder-Bernstein”定理。

首选的公理（乘法公理）

选择的乘法公理或“公理”不是PM的公理，而是被称为“原始命题”，而是替代是将作为使用它的定理的假设添加的定义表达。 这反映了在各种证据中首选的公理作用时的新兴意识，特别是Zermelo证明每个课程都可以齐全。

乘

公理

=df∀α{

∀β（β∈α⊃β≠∅）＆

∀β∀δ[（

β∈α＆

δ∈α＆

β≠δ

）⊃（β∩δ=∅）]⊃

∃β∀δ∃γ[

δ∈α⊃

δ∩β= {γ}

]

}

如果α是一类互斥，非空的类，则存在（“选择”）设置β，使得β的每个成员的β的交叉点是δ的唯一（所选择的）构件。

r *祖先关系

r * = df {

⟨x，y⟩|（∃uxru∨∃uurx）＆

∀α[[

x∈α＆

∀z∀w（z∈α＆zrw⊃w∈α）

]⊃y∈α]

}

这遵循Frege的定义，即，y位于包含x的所有r-hereditib类中，（x在r）中。

关系的权力

关系r（pot'r）的“权力”是关系r，r2，r3，...在哪里

r2的=dfr∘r，rn + 1 =dfr∘rn，...

这些定义以* 91·03开头，使用祖先的祖先的概念与从R开始定义的关系之间的高阶关系的概念。

本节的主要结果是Cantor-Bernstein定理的另一种证明：“这个证据与Borel最初的伯尔尼斯坦发表的证据基本相同[1898：注1，pp.102-7]”（我，589）。 在该证据中，组α和β之间的一个关系由两个关系R的功率构成，其将α映射到β中，并且将β映射到α中。 单一的映射以阶段构建。 首先，所有α都被R映射到β上的β。β中的那些元素在R的范围内被S映射到α上。但是S的范围内的一些元素已经被R映射。它们需要在β中再次移动到β中的新图像。这一过程通过R的所有功率迭代，然后表明所得关系是从α到β的一到一个。 查看Hinkis（2013）了解本定理许多不同证明的历史。

5.第II卷

5.1象征惯例的言论陈述

这个序言的写作延迟了第二卷PM的出版物，因为Whitehead和Russell在它提出的并发症中挣扎着。 从类型理论的典型歧义和类型的公式的典型模糊，难以产生困难。 每个常量，例如数字0,1，...，ℵ0的常量将具有相对于每种类型的定义。 不假设个体无限远的公理，没有保证给定的常数在给定类型中指定非空类。 该前言介绍了“正式数字”的概念，这些概念被解释为属于一种类型，使它们与该类型不相同。 第II卷以第III部分开始，“基本算术”。 基数的概念是全面地开发的，延伸到无限的红衣主教。 因此，在PM中称为“归纳红衣主教”的自然数理论，并引入了一系列特殊情况的概念的定义，其首先以普通形式涂覆到任何数字或类。 例如，添加自然数，如在着名的证据中，为* 110·04中的一个+ 1 = 2中的证明被证明是为适用于基数，'+ C'的类的特殊情况。 概述A节介绍了同质红衣主教的概念，这些概念是类似类的类别，其成员都是相同类型的。 可以在不同类型的两个类α和β之间定义相似性，说τ和τ'，并且由于相关相似关系的域分别是比范围更高的类型，并且当较低类型的域分别被分类为下降和上升。 基数的理论与均匀的红衣主教简单，但必须牢记异常，如* 100所证明的那样。

5.2第III部分：基本算术

基数的定义

nc = df {x|∀y（y∈x↔∀z∀w（z，w∈y↔z≈w）}

基数数量是等洲（类似）类的类。 我们可以添加类的概念，以允许与Frege直接比较：

＃{x|φ（x）} = df {y|y≈{x|φ（x）}}。

（在设置理论中，这太大了，不能成为一套，所以只是一个“适当的课程”。）

休谟在下午的原则

Hume的原则在Frege（1884：§63）中描述了“属于概念f的数字与属于概念g”的数字相当于“概念f类似于概念g”的命题的内容“。 在类方面，这成为α≈β≡α=＃β。：休谟的原则是大部分讨论“新逻辑”的重点，弗雷格的建设的原则可以建立在一致的基础上（见Frege定理的条目）。

PM中只提供一个方向的方向：

α≈β⊃＃α=＃β

另一个方向的失败，从右到左的含义，是由于α和β的可能性不同，因此它们之间的任何相似性关系将具有其域和不同类型的范围。 假设有ℵ0个体，并考虑两种更高的类型，其中甚至更大，但不同的，基数，表示α在一些高型中具有基数ℵ1，并且在甚至更高的类型中具有ββ。 没有类似于α或β的个体，因此与α或β中的域没有相似性关系将相对于个体类型中的任何设定。 假设在这种降序关系中定义＃。 因此，＃α= {λ} = 0和＃β= {λ} = 0所以#α=＃β，但是ανβ在任何领域和范围的任何相似关系上，因为它们的基数不同。 Whitehead和Russell断言，α和β以不同类型的案例是构建休谟原则的这个方向的例外的唯一方法，并提供限制版本：

∃γ[γ∈（α∩β）]⊃（α≈β≡＃α=＃β）

前一种保证α和β具有相同类型，因此所涉及的基数是均质的红衣主教。 （Landini（2016）辩称，PM的这一部分很困惑。）

0定义

0 = df＃∅

所有类别的类别与空集等于空集只是包含空集的单身，所以0 = {∅}。

算术和红衣主教的算术总和

α+β= df [{β∩∅}×{α}]∪[{α×{β}]

（如果α，β，则否则α+∅=α，∅+β=β）。 通过使用有时未定义的功能关系的表达式隐藏在PM中隐藏在PM中。 α和β的算术和是α和β的结合，通过将与{α}的元素的配对与α}的元素与α}的元素的元件与{β}的元素进行求和，并且具有α}的元素。 （γ和δ的笛卡尔乘积，γ×δ是{⟨x，y⟩|x∈γ＆y∈δ}）。 类α和β与空类，∅相交，以调整总和的元素的类型。 当代定义是更可识别的当代定型理论（当以下情况下，如下：

α+β= df {⟨∅，x⟩|x∈α}∪{⟨y，∅⟩|y∈β}

Y和x的基本和

y + cx = {z|∃α∃β[（y =＃α和x =＃β）和z≈α+β]}

Y + CX表示红衣主教Y和x的红衣主教添加。 它是“均质红衣主教”，α和β的均匀类型的氧化术之和，α和β由N0C相关（在[* 103·01]处定义）。 表示α是均匀的红衣主教α的符号是N0C'α，我们可以在我们的当代表示法替换＃上面的当代表示法的扩展中写入＃0。

读者现在可以欣赏臭名昭着的事实，即1 + 1 = 2，算术的最基本真理，直到Principia Mathematica的第8卷，甚至那么，几乎是外临：

1 + c1 = 2

白头和罗素备注的是“上述命题偶尔有用。 它至少使用三次，......“。 这种诙谐主义提醒我们，自然数量，如此繁荣的作品，如此，作为基本和序数的一般理论的特殊情况，甚至更普遍的同构均匀的同构理论。

指数

红衣主教的指数以这样的方式定义，即它与CANTOR的观念一致，即α的类α的POWERSET的基数为2升至α的基数的力量：

||℘α|| = 2 ||α||

更少

克兰特的定理：

2y＞y

这是Cantor的定理，即如果一个集合α具有基数Y，那么α的Powerset的基数2Y大于y。

自然数

与Frege对自然数的发展最直接的比较随着归纳基主的概念，PM意味着自然数0,1,2，......以及这些数字的理论，包括诱导原理。 尽管在前定义了数字0和1，以及添加自然数+ C，但它们被定义为基数，并且添加将适用于所有基数，有限和经丁基。 对于有限的自然数，需要首先定义特殊概念。 对于PEANO的证明假设它不仅需要定义0，而且是继任者的概念。 对于菲格格的概念定义了一个数字的（弱）前身，因此0和1是1的前任，而0,1和2是2的前任等。然后通过计算数字的前任来定义n的前任。号码，它是前任类的数量。 此定义不适用于PM，其中每个数字将是更高类型的，因为它被定义为包含该数字的集合。 事实上，每种类型将存在自然数，因此一组所有类型的类型类型0，一组类型1的类型1等，对于每种类型。 然而，没有一种类型的类型，没有假设某种类型的许多成员的假设，存在所有自然数（套装等型的套装。

PM的解决方案是为了保证对于0型的每个有限组N个体，将存在一些未在该集合中的对象，其可以包括在定义继承者的集合中。 可以发现这种新的个人是由无穷大的公理保证的，这实际上是断言任何有限数的不同个人的存在。 值得注意的是，无限远的“Axiom”不是PM逻辑的原始命题。 相反，它是一个额外的假设，用作依赖于数学断言的前一种。 PM系统是否成功的问题是逻辑主义的不是通过注意到必须假设无穷大的公理，而是通过确定该“公理”是从单独的逻辑原理推导出来的。

在公理集理论中，“无穷大的公理”保证了特定集合的存在，序列ω：

∃x[∅∈x＆∀y（y∈x⊃y∪{y}∈x）]

归纳红衣主教（自然数）被定义为承载+1关系的祖先的数字。鉴于+1关系是PM后继的账户，这与Frege的定义相同。

归纳红衣主教ñ

n = df {x|0s * x}

归纳红衣主教N是熟悉的自然数，即0和所有由“继承关系关系”的0的基数，其中XSY在y = x + 1的情况下。

Infinity的公理=df∀y（y∈{x | 0s * x}⊃y）

这种Infinity的公理断言所有电感红衣主教都是非空的。 （再次召回0 = {∅}，所以0不是空的。）公理不是一个“原始命题”，而是被列为所用的“假设”，即作为条件的前所未有的，所以将说明取决于公理。 从技术上讲不是PM AS * 120·03的公理是一个定义，所以这只是在PM中进一步定义的符号！

当Russell在稍后描述该项目时，Whitehead和Russell基于自然数，0和继任者的前提定义，执行Peano Positulate的逻辑逻辑学计划的步骤。 事实上，PM的* 120“电感红衣主教”中所做的实际上是如此，但没有描述于那里或介绍材料。 结果并不能单独证明，但它们在各种关于自然数的发展方面出现。 事实上，一些，例如* 120·31，只能被视为有一点工作的PEANO公理版本。

0是自然数。

0∈n

任何数字的后继者都是数字。

n∈n⊃n+c1∈n

没有两个数字具有相同的继任者（假设无限的公理）。

无限的公理△（n + c1 = m +c1⊃n= m）

鉴于定义了继承操作操作的方式，它不是逻辑问题，即有额外的个人可以添加到一组大小n，以给出一个尺寸的n + c1。 通过将无穷大的公理作为假设添加到定理的假设来保证这一点。

0不是任何号码的继承者。

n + c1≠0

属于0的任何属性φ，并且属于m的继承者，所以它属于m，属于所有自然数n。

∀n{[n∈n＆∀m（φm⊃φ（是+ c1））和φ0]⊃φn}

在当代设置理论中，一个数字的继承者的概念被直接定义为秩序，因为s（x）=x∈{x}而不是通过添加1来定义，并使用熟悉的递归定义定义添加：

x + 0 = x

x + s（y）= s（x + y）

递归定义的使用是通过定理证明它们描述了独特功能的理由。 诱导公理通过显示包含0的任何类以及任何数字n包含s（n）的类是合理的，将包含ω中的所有数字。 Ω的存在是由无穷大的ZF公理保证的。

此时，在第2卷II中的225页之后，读者将看到如何在弗雷格和当代集合理论的竞争对手账户中比较下午的算术逻辑减少。

弗赖吉完成了他在1903年发表的1903年出版的其基本算术规律第68卷第68卷的自然数的发展，这遵循于1893年发布的250页。所以弗雷格和PM的作者占据了巨大的痛苦只有在基于自己的正式符号逻辑的紧密争论的lemmas链条之后，才会更先进的定理。

Frege结束了他扣除了arithemtic的法律，结果有关0，后继者和诱导原则的结果，包括Peano公理。 他不考虑算法函数，例如添加或乘法，因此不会根据添加1到n的结果定义数字n的后继。

弗雷格的账户也以其他方式简化。 他一直考虑对简单身份判断的分析对他的逻辑论很重要，追溯到Begriffsschrift（1879），通过他的算术（1884）和他的“感觉和参考”（1892），甚至在前进的例子“22 = 2 + 2”的外观到算术的基本定律。 实际上，对身份判断的分析是他引入的意识和参考论于1879年的起点，但Frege并没有从他的项目中发散，足以展示如何证明这种身份。 如此怀特和罗素可能很可能希望将其证明在* 110·643中包含1 + 1 = 2的证据，以提醒PM的数学方程式的分析* 30的“描述性功能”，然后是* 14中的明确描述的账户。

Frege也没有构建占据PM的主要和数量算法的一般理论，其中占第三部分。 实际上，在§54中的算术定理后，结束了算术基本法律第II部分，弗雷格直接跳到实际数量的剩余数量II。 仅仅就必须证明的定理金额导致PEANO算法的定理，PM与弗赖吉早期的尝试没有繁忙的定理。

如果算术理论是唯一的目标，则允许下午的系统是一个间接和繁琐的系统，以发展算术理论。 然而，首先，为其提供的逻辑的基础是独立的有趣的。 在* 20之后，课程理论和算法的算法的一般概念的发展，所以将自然数量的算法呈现为特殊情况，该特殊情况可以广泛地推广到逻辑中的序数和基数的算法，其逻辑与类型的简单均匀的逻辑。 下面的调查二册和第三册III在下文中显示了发展理性理论的特殊方法，然后是PM所遵循的实际数字。 设定理论的结果似乎是原始的，因为结果日期为1908年左右，即在公理集理论开始其非凡发展的点。 Whitehead和Russell并不是活动的贡献者来设置理论，因此PM不应在此处预期的后期可能预期的技术结果。 拉塞尔总结了在目前的关于当前状态的下午摘要，他在一篇文章中在一篇文章中的一篇文章中的“关于无限和Transfinite的公理”（Russell 1911）的纸上。 然而，有一个关于两个概念的一个概述似乎源自PM的一个结果。

Defekind无限

在PM A类是一个有限的“归纳”类，如果它可以被放入一个与小于或等于某些自然数n的自然数量的一个对应关系。 如果它不归纳，则将是无限的。

如果才能与本身的适当子集放入一个对应关系，则课程是Dedekind无限（反射）。

本节中的主要定理是：

如果Y不是归纳，那么22Y是反身。

Infinity的归纳和反射概念，如果假设一个公理的选择性。 该结果不承担首选的公理。

George Booolos（1994：27）介绍了这个论点和引用J.R. Littlewood的细节：

他[拉塞尔]有一个秘密的渴望，已经证明了一些直的数学定理。 事实上，如果α是无限的，则有一个：“22α＞ℵ0。 非常好的数学。

由于使用首选的公理的使用明确指出，并且许多结果不使用它，所以将PM的理论的独特贡献可能在没有假设选择的情况下可以证明的贡献。