Principia Mathematica（四）
* 20的剩余部分由定理组成，证明了* 10中所开发的量化逻辑的定理以及关于类的表达，“希腊语”变量α，β，......代替单个变量x，y，......。 因为具有希腊变量的公式看起来与量化逻辑的单独变量相同，所以可以在与类型的类型中忽略类别的相互作用。 由于哥德尔在上面引用的段落中指出（Gödel1944 [1951：126]），类变量α，β等的“上下文定义”并未指定从所有可能的环境中消除类摘要，特别是那些谈论课程的人。 Linsky（2004）辩称，PM对命题职能的课程没有符号，以便将它们与课程的类别区分开，尽管可以添加一个。 这是在初步（最多* 21）到课堂和关系的扩展系统之后PM转弯的另一个指示。
实际上，类变量可以被视为命题函数变量，限于仅在参数中出现的R型函数变量，也可以在参数中导致可能被视为“默有的预测函数”。 换句话说，类变量可以用命题函数变量替换，其中函数的R型，以及所有参数的形式（β1，β2，...，βm）/ 1，同样适用于β1，β2，......，βm也是如此。 这意味着类的变量和术语将遵守简单的类型理论。 这些通过呈现简单类型或“S型”的替代系统，可以与R系列形成对比。
教堂（1974）“简单”的类型理论
ι是个人的s型。
其中τ11m，τm是任何s型，那么（τ1...，τm）是M-ary命题功能的命题功能的S型，其分别具有S类型τ1a，τm的争论。
S-Type系统中实体的顺序定义如下：
个人（R型ι）的顺序为0
r型τ1...，τm的函数的顺序是n + 1，其中n是参数τ1...，τm的最大顺序
教会的“订单”的概念不是熟悉“一阶逻辑”和“二阶逻辑”熟悉的。 第一阶逻辑将具有S型0的绑定变量，以及量化S型1的变量的逻辑，因此“顺序”的熟悉概念是S型系统中任何绑定变量的最高阶数。
应该注意的是，每个S型也是R型，即杂散预测的型。 因此，似乎课程理论的表达似乎只是一个特殊的类型的类型的类型的类型的类型的公式。 对于变量的分配，这将是如此，但必须记住它关于一个类的整个公式φ{x | x）}是按定义的定义
∃χ[∀x[χ（x）≡ψ（x）]＆φ（χ）]。
到目前为止我们所讨论的只是φ和χ的相对类型。 还原性的公理保证了在类的定义条件下，存在谓词χ共同广泛。 为了证明使用类术语{x |x|ψ（x）}，只需表明存在具有更高阶属性φ的功能。 这是与明确描述是合适的证据相当的步骤，即恰恰是一件事，这使得使用该描述作为一个单一术语。
PM课程与公理集理论的比较
广泛认为，PM系统提供了矛盾的溶液的溶液的溶液，而不是在Zermelo-Fraenkel系统ZF中配制的公理集理论的溶液。 虽然类型的理论被认为是一种绝望的尝试，以便通过人工引入类型来保存逻辑学家，以便解决悖论，但是公理集理论似乎简单地将集合作为实体假设，并通过“∈”以一阶语言采用公理。会员作为其一个非逻辑符号。 这种观点被奎因强制表达：
无论类型的理论不便，诸如[罗素悖论]等矛盾显然表明，以前的天真逻辑需要改革。 [Quine Cites Zermelo 1908.]但是一个引人注目的情况是，这些提案没有包括的型理论有任何直观的基础。 没有人具有常识的支持。 常识是破产，因为它被陷入困境。 （Quine 1951：153）
然而，型理论缺乏直观支持的观点都缺乏直观的支持，而那种理论和公理集理论基于1933年的相同的直觉追溯到Gödel，参考集理论作为“聚集论理论”：
只有一个符合这两个要求的一个解决方案，已经发现了[避免了悖论的情况下，同时保留数学以及聚集体理论]。......这个解决方案在[简单]类型的理论中组成。......它看起来好像被提供了另一种解决方案Zermelo，Fraenkel和Von Neumann介绍的骨料理论的公理系统; 但事实证明，这种公理系统别无他物，只不过是类型理论的自然泛化，或者，如果去除某些多余的限制，它就是类型的理论。 （Gödel1933 [1995：45-46]）
Gödel打算的两个“限制”是限制类型不累积的限制，并且类型水平仅限于自然数0,1，...... n，......。 Gödel建议采用一种累积类型的类型，其中给定类型包括所有较低类型（或订单）的功能，并且类型延伸超过ω，ω+ 1，...ωΩ，...，通过所有顺序延伸。 这种“自然概括”的类型理论，他归咎于Zermelo-Fraenkel集理论（ZF）的相同。 吉尔的索赔由George Boolos（1971）拼写为套装的“迭代概念”，可以正式表达。 如果一个人认为设置为阶段，每个阶段都会添加最后一级的所有成员，并且无休止地延伸的过程，然后ZF集理论的公理确实可以从“迭代概念”的结构的公理中提供。 反过来，“迭代构想”依赖于强烈的直觉，与奎琳说的相反。 它是相同的直觉，它是类型的层次结构。
在Booolos介绍“集合的迭代构想”之后，似乎公理集理论和PM没有广泛不同，并表达了对悖论提供相同的溶液的相同溶液的类似直观概念。
然而，严格地在下午提出，无课程理论与ZF显着不同。 PM理论的句子在类型的理论中表达，而不是ZF的第一阶理论。 ZF和PM不能简单地在定理方面进行比较。 在两个理论中不仅有不同的公理，而且在其中表示它们的语言在逻辑力量中不同。 然而，如果我们关注Gödel和Booleos，那么这两者被认为基于同样的直观基础，并且差异看起来是相同的，禁止关于PM理论的某些“多余的限制”。
PM的关系
* 21扩展了类的概念，该概念是一个将一个地方命题功能的扩展到与分析语境定义的两个参数的函数的相当概念。
扩展关系的上下文定义
φ{x;y|ψ（x，y）} =df∃χ[
∀x∀y[χ！（x，y）≡ψ（x，y）]
＆φ（λxλyχ（x，y））
]
（注意：使用这种异常符号φ{x; y ||}在这个定义中，旨在避免将关系解释为一组有序对，这将由当代表示法表示。φ{⟨x，y⟩|ψ|y⟩|ψ（x，y）}。PM表示命题函数，如φ
x
在我们将写入λxφ（x）的可变中使用墨饰品。 班级的PM表示法是
x
φ（x）。 使用Aretbles识别了两个命题功能，也与Actets识别：φ（
x
y
）和相应的关系
x
y
φ（x，y）。 该表示法不会将关系识别为有序对的类，这是我们对φ{x; yibe（x，y）}中的pm和当代表示法的混合。）
在* 20中引入课程的希腊字母和“罗马字母”R，S，......在* 21中使用，标志着PM中使用的符号的变化。 * 21字母φ，ψ，......很少出现。 随着Quine评论他对Whitehead和Russell逻辑的研究，似乎经过一定程度的PM身体在简单的类型理论中利用延伸高阶逻辑：
在任何情况下，没有特定的属性[命题函数]，可以在普林亚中证明普瑞亚的恰当是同样的事情，但却彼此不同。 属性理论没有任何申请，因此，课程理论不会提供。 一旦介绍了课程，在三个卷的过程中几乎没有提到了属性。 （Quine 1951：148）
这里Quine在PM的暗示中，在数学逻辑学家中广泛分享，他们看到了分布的类型理论，随着公理或还原性，作为崭露头角的偏向于晦涩的概念，当时逻辑，即使在类型的理论中表达，也是扩展的，并且与具有单独组的单独层次结构的公理集理论相当，集合个体集等。
肯定是，下午其余部分致力于这些实体之间的个人，课程和关系（在延期）的理论。 因此，这些稍后部分的本体是以简单的类型理论排列的谓词函数的层次结构。 这引出了一个翻译Gregory Landini（1998），争辩说，只有预测函数是PM绑定变量的值。 我们被解释为范围的变量，范围可能是非预测命题功能，φ，ψ，...用于Landini的逻辑字母，也不是绑定变量。 他在PM中唯一的界限变量，他断言，范围超过谓词函数。 这是一个强大的版本，即Kanamori（2009）所表达的其他人已经表达，回到Ramsey（1931），即引入还原性的公理具有脱离类型理论的分枝的效果，至少是为了类别的理论，因此，用于数学基础的高阶逻辑应该只有简单的类型结构。
我们对符号转变所表明的对课程和关系的对此变动的解释是它表明了对悖论的解决方案所需的宗旨，这可能已经取代了基于一个逻辑的逻辑在数学原则中出现的阶级和数学职能和关系中的阶级和数学函数和关系的概念，在罗素注意到悖论之前出现。 在下面的PM的后期部分的摘要中，实际上象征性的发展似乎与早前十年的POM非常紧密。 虽然我们对PM部分组成的顺序不了解多大时，它将从这种注意力变化从命题函数转移到课程和关系，所以后来的部分实际上是一个早期的地层，在项目的概念发展中开始作为象征性的“第II卷”的概念发展。关注POM。
为了提醒读者从谈论命题函数与延期关系的关系，引入了另外两种进一步的符号变更。 α，β等的希腊字母将被用作范围内的变量。 对于类型“通常是模棱两可”而模糊的单个变量现在也将在课堂上进行范围。 两个变量x和y的函数φ在函数变量后括号中的参数表示：φ（x，y）。 在x和y之间保持两个地方关系r是写xry，r在“infix”位置。 这个符号的明显限制是它不容易扩展到三个地方关系，并表示z。 我们将遵循PM的实践，并为二元关系写XRY。 PM只需要三个卷中大多数的二进制关系，尽管在几何体上的投影卷IV需要一个表示“x在y和z之间的x”的符号，从relell的几何讲义中可以看出，从Henry Sheffer未发表的笔记中可以看出1910年在剑桥。 在那里，他使用符号（x，y），它混合了这两个风格。
课程的代数
子集关系的概念和集合和联盟和套件的概念完全定义为现在的PM（尽管具有不同的术语）。 设置理论中不允许套装和通用类v的补充，并被拒绝为“适当的类”。 在PM中，因为它们仅是给定类型τ的一组实体，它们形成了一组下一个更高类型，（τ）/ 1。 一组给定类型的补码是不在集合中的所有实体（其类型）的集合。 每个空集将是通用集合（给定类型τ）的补充，因此将有空组τ。
α⊆β=df∀x（x∈α⊃x∈β）
α∩β= df {x|（x∈α＆x∈β）
α∪β= df {x|（x∈α∨x∈β）
下面的下标τ以下面添加为提醒，即通用SET V和补充的概念每个都关于给定类型（因此空集∅将在每种类型中重复。）
-α= df {xτ|~（x∈α）}
α-β=dfα∩-β
普遍阶级和空类
vτ+ 1 = df {xτ|（x = x）}
“v”下标表示给定（简单）类型τ的类宇宙将是下一个类型的成员。 无论如何都没有任何类型的类型。 这与公理集理论有共同，其中包含没有一组所有集合。
∅τ= df-vτ
PM的数学函数
PM的逻辑基于突出的命题，命题函数和关系，与Frege的概念涉及对象，特别是真理值和函数，具有特殊情况的概念，这些概念是从对象到真实值的函数。 PM以熟悉的方式将数学函数降低到熟悉的课程中的“功能关系”。 如果有二进制关系，则为每个第一参数具有唯一的第二个参数，即，
∀x∃y[xry＆∀z（xrz⊃z= y）]
然后一个人可以介绍一个新的函数符号fr，这样
∀x∀y（xry≡fr（x）= y）。
类似地，对于每个X1的N + 1个位置关系，......，XN存在唯一的Y，使得R（x1，...，xn，y），然后可以引入n个地方函数g映射x1，...，xn到y上。 在PM中，用于数学函数的表达式是明确的描述，参考关系的最后一个参数作为该关系所描述的函数的“值”。 我们将使用表达式FR来引用函数术语，参考来自关系R. PM的函数，使用了我们将使用功能表达式FR的显式明确描述“r”（写入r'y）。 那个Monadic功能术语的定义是：
炒= df（ıx）（xry）
对于从N + 1个位置S导出的N-Place功能术语G的一般形式（按Russell在讲座中的符号之后）：
gs（的x1，...，xn）= df（ıy）（x1sx2，...，xn，y）
（勤奋读者会发现此演示文稿完全不会遵循PM。基于表达“X的关系”的示例“父亲”将使“X的r”实际上是指y的唯一x，因此上面已经解释了什么适合对该关系的悔改，
˘
r
。 阅读关系函数的参数的实践是x和y的价值是如此确定，我们已经采取了自由于PM的实际定义。）
回想一下，从PM的这一点开始，这些关系将被视为“扩展中的关系”，因此很容易看出如何根据第一个N个参数唯一的N + 1元组如何对待关系。 特别地，可以以熟悉的方式看到一个半代码函数f作为函数域中的每个参数x的一组有序对（⟨x，fr（x）⟩）。
鉴于处理“关系”作为“延期关系”，它并不差不多事故，即* 30- * 38的关系逻辑的发展看起来熟悉当代逻辑学家，甚至一些来自PM幸存成为当代使用的符号。 一系列概念是以现代关系的方式定义为N组的现代治疗方式：
关系的悔改
˘
r
= {λxλy（yrx）}
或者，在对方面：
˘
r
= {⟨x，y⟩|（yrx）}
域名，范围和关系领域
也给出了一种当代定义（以及函数的域，范围和字段）的当代定义（以及函数的概念）的概念。
domainr = df {x|∃y（xry）}
游侠= df {y|∃x（xry）}
fieldr = df {x|∃y（xry∨yrx）}
请注意，关系可能在一个类型和范围内具有其域。 当相似性（乃至的）持有不同类型的类别时，这增加了基数数字的并发症。 （见下面的* 100的讨论。）
两个关系的产物
关系R和S的组成被称为相对产品，并使用不同的符号R |我们编写r∘s：
r∘s=dfλxλz{∃y（xry＆ysz）}
受限制的关系
在将关系R的限制（范围）对特定类β的情况的情况下，被赋予此定义，现在使用符号来为域的限制：
r↾β=dfλxλy（xry＆y∈β）
在他对PM的调查中，Quine（1951：155）抱怨说，这是第一次第100页被占据了关于相同概念的冗余定义的定理占用。 因此PM定义域和范围的概念，然后介绍再次定义相同类的概念，这被证明是等效的。 PM定义“r''β”的符号被读为“具有β的关系r的术语”并使用该示例：
如果β是伟人的阶级，而且R是妻子对丈夫的关系，r''β将意味着“伟人的妻子”。 （PM，278）
在当代逻辑与上面使用的集合理论的符号时，不需要这种概念的特殊符号，因为它被写为：
r''β= df {x|∃y（y∈β）和xry}
产品和班级的班级
∩α= df {x|∀β（β∈α⊃x∈β）}
这是α的交叉点。
∪α= df {x|∃β（β∈α＆x∈β）}
是α的结合。
4.2第II部分：ProLegoMena到红衣主教算术
基数1
1 = df {α|∃x（α= {x}）}
因此，基数1是所有单身的类。 每种类型的X将有一个不同的数字1。 相比之下，弗雷格将自然数1定义为某个概念的扩展，即与数字0相同，它本身就是不相同的（空）概念的扩展。 在公理集理论中，自然数是特殊的有限条件，特别是作为空集合的0系列，1是{0}，2是{0,1}，等等。 这种建设被命名为von neumann ordinals。
对
2 = df {α|∃x∃y（x≠y与α= {y}∪{x}）}
类似地，数字2是所有对的类，而不是特定对。 在PM的类型理论中，y和x的类型将有不同的夫妻。 当它们的类型相同时，这对夫妇被称为“同质”。 即使具有均匀对，每种类型将存在不同的对等，因此每种类型的不同数字2。 同样的概念适用于关系。
有序对
有序对的概念称为“序数耦合”被定义为：
⟨x，y⟩= dfλxλy的扩展（x∈{x}＆y∈{y}）
这个想法是关系λxλy（x∈{x}＆y∈{y}）的顺序确定有序对的第一和第二元素。 它是扩展的关系，它是扩展或类中属性的模拟。 由于定义关系的顺序，延伸关系的区别在第一和第二元素之间。 当代语言最接近：
φ⟨x，y⟩=df∃ψ∀u∀v（ψ（u，v）≡λxλy[x∈{x}＆y∈{y}]（u，v）和φ（ψ））
鉴于关系扩展的定义这是关系的无课程理论的版本。 在上一年上罗素课程后，诺伯特维纳（1914年）提出了以下定义（在现代符号中）：
⟨x，y⟩= df {{{x}，∅}，{{y}}}其中∅是空集。
维纳的成就是捕获该对的订购，该对在PM中由与集合成员资格的无序概念的关系争论的命令捕获。
PM到* 56的结尾
PANDBACK删除版本PM至* 56只走了这一点，因此剩余的定义仅适用于获得全面三卷PM的人员。
相对类型
本节介绍了对不同类型的个人之间的关系的讨论，引入类型的符号，T'x为X所属的类型。 本节很少用于体积I.在处理基数的相对类型时对该概念的特殊后果是第II卷的序言，在第一个体积已经打印后加入。 延迟造成这些细节的延迟部分地解释了1910年的第I卷发布的三年间差距，1913年的剩余卷II和III。第* 65节（关于模糊符号的典型定义），是对典型歧义的讨论变量的歧义与类型的变量。
