Principia Mathematica（三）

教堂（1976）与R型PM的逻辑的制定PM的高阶量化逻辑的语言称为分枝类型理论，以及以下教会（1976）的类型系统将被称为R系列。 请注意，有两种变量，但它们都分配给R型。 单个变量表现为命题函数变量的特殊情况。

（参数）变量：xτ，yτ，zτ，...每种类型τ

n个地方命题函数变量：φ

n

τ

，ψ

n

τ

，...（n≥1），其中τ是类型符号。 （rn，sn，...（n≥1）的扩展关系。）χ用于函数的更高阶函数，如在χ（φ），并且φ为下一个订单，如φ（χ）

连接：〜，∨

标点符号：（，），[，]，{，}等

量词符号：∀和∃。

lambda符号：λ

R-Type的符号系统和R型分配给不同实体（个人和函数）的变量（个人和函数）如下：

ι是个人的r型。

其中τ1，...，τm是任何R型，那么（τ1，...，τm）/ n是级别n的命题函数的r型; 这是级别N的任何M-ARY命题功能的R型，其具有分别具有R型τ1，...，τm的争论。

实体的顺序定义如下：

个人（R型ι）的顺序为0

R型（τ1，...，τm）/ n的函数的顺序是n + n，其中n是参数τ1...，τm的最大订单

这种语言没有谓词或个别名称。 然而，与公式一起定义的命题功能有复杂的术语（具有常规界限和自由变量的概念）：

让表达φτ是变量范围，范围在τyτ的命题功能上。 我们读取Xτ作为金属语言变量，范围在R型τ的变量上。 下标τ将仅与控制变量的初始量程表示。

然后，我们可以定义良好的形成公式（WFF）和量化逻辑，如下所示：

变量（对于个人和命题函数）是条款。

如果φ

n

τ

是R型（τ1...，τn）/ k和xi的n个地方命题功能变量（0≤i≤n）是R型τ1a，τn，τn的术语，然后φ（x1，... xn）是wff。

（变量XN称为“参数”变量。它们将包括r型ι的单个变量，但也包括较高类型的变量。变量φ可以在φ（x）中作为谓词，并且不能为ψ（φ），并且不能为类型ι在WFF中发生。）

如果x是类型τ的变量，并且a是wff，则λxa是r型（τ）/ n的术语（其中n比a中的任何自由变量的任何绑定变量的最高阶数）。

如果x是类型τ的单独变量，a是一个wff，其中x自由发生，然后∀xa和∃xa是wffs。

如果a和b是wffs，那么它也是~a，a＆b，a∨b，a⊃b和a≡b。

连接的传统优先顺序将允许较少的标点符号表示连接的范围，因此a∨b⊃c被读为（a∨b）⊃c

高阶逻辑或设定理论的制度理解原则，是哪种公式表达财产或集合。 在类型理论内，这允许什么看起来像“不受限制的”理解原理，因为对于每个具有自由变量的良好形成的表达式X，存在一个特征，该属性通过精确地满足公式而满足。 由于类型的系统，所以有问题的公式“不是本身的成员”的有问题公式，所以的类型的限制是限制，因为有问题的公式“不是本身的成员”和“不适用”。 然后，理解原则的特点是一种形式的无限句子：

理解：

∃φ∀xτ[φ（x）≡a]，（φ不自由）

其中φ是R型（τ）/ n的功能变量，x是r型τ的变量，并且A的结合变量是小于φ的顺序的所有订单，并且A的空闲变量都不大于φ的顺序。

正如这里所展示的教会看似直截了当的理解原则，限制了变量类型，是为了幽灵一个眩光的表现，对他认为PM感染的语言的混乱和提及语言：

...有一个特征给出并在符号和对象之间采取：命题函数从抽象表达式获取订单，并且变量的顺序是值的顺序。 通过允许单词“顺序”是一个双重感知，归因于符号，并并行地归因于它们对象来缓解博览会。 （Quine 1963：245）

该进攻来自归因于归属于定位的命令（R-Type），基于定义它们的变量，而是对函数本身的变量，作为绑定的高阶变量的值。 作为回应，类型理论的后卫必须说命题函数的概念的任何语义异化渗透都必须归因于在其中一些中标记的这些区别，特别是涉及其定义所涉及的变量。

PM最多* 12的下文是在分布的类型理论中的量化逻辑的呈现。 并发症是由于作者的决定（肯定是Russell的坚持）添加新的部分* 9，这允许先命题逻辑的早期理论直接纳入量化逻辑，如当代逻辑所做的那样。 这表明较早理论的确定是命题理论的程度，而不是允许包含自由变量的开放句子的量化逻辑片段的叙述。

量化逻辑在PM

部分* 10制定量化逻辑，如当前配制，即假定命题逻辑的公理和定理，以保持所有公式，而不仅仅是* 1-5的基本命题。 似乎罗素对这个假设感到担忧，因此引入了一个新的部分* 9，以获得单独的小学命题的量化理论原则。 虽然PM的学者感兴趣，但是在PM中稍后使用量化逻辑的使用是相同的。

同样，读者对逻辑学项目在PM中区分的读者可以跳过这一部分，尽管可以将注意力支付给使用的高阶逻辑系统，其基于此处的分布类型的类型。

对于多个变量的函数的扩展是显而易见的，以下，某些应用程序将采用此扩展。

存在量级和其他熟悉的连接⊃，＆和≡被定义为命题逻辑。 （在后续A中，A现在是任意（可能量化的）公式）：

∃xa=df~∀x~a

* 10的公理：所有命题定理的所有实例，其中WFF的均匀变量均匀被取代。

PM系统使用通用概括和公理规则，该规则量为实例化规则。

⊢∀xτa⊃a'

其中a'就像a，除了在a中具有术语τ的术语y代替xτ。

（注意：适合“替换”的概念对于较高类型的逻辑比为一阶逻辑的逻辑更复杂。部分是因为应用于命题功能的Lambda表达式的参数，例如[λxφ（x）]（ν）其中ν可以是涉及其他λ表达式中变量和量子的复杂术语。）

如果⊢a那么⊢∀xτa'

其中a'就像a，除了在a中具有类型τ的术语y代替x

其他量化原理，其管理量词从公式的内部移动到控制整个公式，所以称为“量化器容器原理”也被派生为* 10中的定理。 一些经常在以后使用的数字是：

∀xτ（a∨φ（x））⊃（a∨∀xτφ（x））

∀xτ[a⊃φ（x）]≡[a⊃∀xτφ（x）]

PM中* 10的介绍开始于：

该数字[* 10]命题的主要目的是延伸到正式意义（即，由于以前用于物质影响先前证明的命题的命题，即∀x（φxxx）的主张，即，即形式p⊃q。（符号更新）

换句话说，本节介绍了当代逻辑熟悉的方式的量化逻辑。 前面部分的命题逻辑被解释为真实的，只有基本的一个命题，所以通过表示如何以“prenex形式”呈现的句子来扩展到高阶逻辑，这是在前面的intial位置中的量化器。量化游离矩阵。 这些定理现在熟悉“量词限制”定理，其形式：

∀xτ[φ（x）⊃a]≡[∃xτφ（x）]⊃a

还原性的原理

考虑到PM系统包含一个分布的类型理论，然而，在* 20之后的工作中剩余的工作讨论的讨论需要进一步的公理，可以简单地理论课程。 考虑来自界限类别的最小上限（L.U.B.）的真实数量理论的根本概念。 考虑所有实际数字的类别，其正方形小于或等于2，即{x|x2≤2}。 如果∃r∀s（s∈s⊃s≤r）只有，则一类实际s具有上限。 如果实数的有界类具有一些R型τ的成员，则最小上限必须属于R型τ/ 1，因为定义中的量化范围范围在S的元素S上方。我们说S是“Impriticative”的定义，因为它涉及定量它旨在属于的完整性。 然而，实际数字理论要求，班级的最小上限是该类的成员，在这种情况下，S的最小上限，即

√

2

，是S.的一个元素

PM系统中的解决方案是采用公理，保证在另一个类方面定义的任何类都是相同类型的。 因此，允许课程的非法定义，并且不会引入一类更高类型。 这是通过采用的还原性的公理来实现，其中* 12，保证对于任何功能φ，将存在共同广泛的预测功能。 更精确地，还原性的公理断言，对于任意级别的任何数量的参数的任何功能，等级1的等效功能，即。 一个真实的一个真实：

还原性的公理，

∀ψ∃φ∀xτ[ψ（x）≡φ！（x）]

哪里φ！ 是一个令人难题的函数。

感叹号“！” 用于PM以指示预测功能。 在教会的R型系统中，通过表示变量x为R型τ，φ是R型（τ）/ 1的r型（τ）/ n的r型（τ）/ n。 换句话说，φ与其参数兼容的最低顺序。 这种谓词函数的概念是从介绍中取出的。 在* 12 Whitehead和Russell提出了更窄的序列概念，其中φ必须是矩阵，或在其定义中的功能出现在其定义中。 请参阅Principia Mathematica中符号的附录。

它似乎有些人从Chwistek（1912）开始，并通过COPI（1950），即可通过CHWI（1950）来说，可还原性的公理是有缺陷的，导致PM系统中的不一致或至少冗余。 Ramsey（1931）早些时候认为，实际上认为这一矛盾表明某些序列职能是无可止病的。 教会（1976年）确认了这一评估，并使用我们在此描述的R型呈现，以严格地显示关于PM系统中可定义的函数的限制。

下面将在下面与上课中的* 20结合解释下PM课程理论的相互作用。

PM的身份

当代逻辑遵循弗赖奇处理身份，代表=，作为逻辑概念。 在PM中，leibniz的概念定义为忽略，即icriscible对象是相同的。 也就是说，∀φ（φx≡φy）⊃x= y。 但由于还原性的公理保证，如果存在x和y的任何类型的功能不同，它们会在一些备用功能上不同，PM使用以下定义标识：

xτ=yτ=df∀φ[φ！（x）⊃φ！（y）]，

对于φ！ 一种预测功能。

在当代逻辑系统中，Axiom或推理规则允许如果x = y，则对于任何谓词φ，φxφy。 换句话说，相同的是毫无辨认的。 如果不可能分享所有谓词属性的实体x和y，则定义的身份的定义只能通过高阶的某些属性来区分。 还原性的公理保证了任何给定的高阶的x和y共享属性将需要共享谓词属性，因此通过定义标识，x = y。

在由Russell编写的第二版的附录B到下午的第二版中，有一种技术讨论，对放弃还原性公理的后果讨论。 提出了一个错误的证据表明，可以在不使用改进的类型理论中使用减量的公理（参见Linsky 2011）的情况来得出诱导原理（参见Linsky 2011）。 然而，正如Russell所指出的那样，不可能使用“Dedekindian”的Rational Numbers类别来定义实数，而不假设可还原性的公理。 （上面讨论的每个类别的真实阶级的每个类别都有一个实际数字，上面讨论的最小界限不会被证明。）因此，拉塞尔表示“分析将崩溃”。 然而，在所有这些讨论中，Russell并不表示将替换* 13中的身份的定义，这大致取决于还原性的公理。

明确的描述

罗素向“关于表示”（1905）的“关于表示”（1905）展示了他的明确描述理论，可能是PM逻辑探讨的最广泛应用。 然而，明确的解放理论在PM中的作用是通过其在* 30中的使用来耗尽，以定义所谓的“描述性功能”。 在当代逻辑中，它是例程，以展示如何使用“功能关系”的概念来证明函数符号的引入仅具有N个地方谓词的语言。 明确描述理论对于此论点至关重要。 之后* 30只有少数少数在PM中发生的描述运营商。 什么是罗素对哲学逻辑和语言哲学的最有价值的贡献，在这里，这里只有一种用于技术的设备，虽然方便地重要，但目的是。 然而，技术目的确实表明Frege和Russell逻辑之间的重要区别。 Frege的逻辑基于概念的概念，这是一种从对象到真实值的函数的情况。 Russell的逻辑可以被视为进一步减少了他对命题功能的逻辑概念的数学概念。 一些逻辑人在数学逻辑传统中牢牢难以发现这是一个进步，但它确实表明弗雷格和罗素的方法之间存在显着差异（见Linsky 2009）。

明确的描述是表达式“φ”的表达，其在术语的位置发生在术语的位置，作为功能的参数。 来自“在表示”（1905）的罗素的榜样是“本法国国王”的表达，这显然是以函数的争论“是秃头”的论文“现在的法国之王是秃头的”。 一般来说，“φ是ψ”的表达式定义为相当于“恰好一个φ并且它是ψ”的表达式：

明确描述的上下文定义

ψ（ıxφ（x））=df∃x∀y{[φ（y）≡y= x]＆ψ（x）}

使用表达式= DF似乎两个侧翼表达式都是术语，伪装在这种情况下，在这种情况下是“上下文定义”在每侧发生的情况是公式中发生的，右手侧更换左手侧，从而“消除”明确的描述。

为了区分“法国的当前国王不是秃头”的表达的两个读数，根据描述的“范围”（关于否定），PM在公式之前使用“范围指示符”[ıxφ（x）]来消除描述。通过上面的定义。 象征着“法国的现在”作为ıxk（x）和“x是秃头”作为b（x），这两个读数将象征如下：

[ıxk（x）] ~b（ıxk（x）），

通过定义消除描述，成为：

∃x∀y{[k（x）≡y= x]＆~b（x）}

这是一个恰好存在的法国国王，他不是秃头，而且：

〜[ıxk（x）] b（ıxk（x）），

通过定义消除描述，成为：

〜（∃x∀y{[k（x）≡y= x]＆b（x）}）

后者是读书，不是这种情况，法国的一个且只有一个现在的国王和他是秃头的。 如果法国的一个现在没有一个现在的法国国王，那可能是真的，就像实际情况一样，因为法国没有国王。 在这种情况下，描述不是“适当”，其用PM中的特殊符号表示，例如：

正确描述

e！（ıxφ（x））=df∃x∀y[φ（y）≡y= x]

在定理* 14·3中，我们发现一个罕见的界定变量之一，范围超出命题P和Q的功能而不是预测性的。 （假设P和Q有一些R型（）/ n，f是那些命题的函数，f可能具有m，n＞1的r型（（）/ n）/ m）。 在这里，我们还可以看到在主题位置的公式ıxφ（x）的发生，表达作为这种功能的参数的命题。 这些表达式在PM后面的稍后稍后，只有偶尔在某些部分的介绍材料中才能识别。 定理* 14·3断言，在真实功能上下文中（适当）描述的范围不会影响其发生的命题的真实值：

{∀p∀q[（p≡q）⊃（φ（p）≡φ（q））]＆e！（ıxφ（x））}⊃

{φ[ıxφ（x）]χ（ıxφ（x））≡[ıxφ（x）]φ（χ（ıxφ（x）））}

本定理是PM的哲学基础的另一个指示，其具有密集的主题函数被留下，因为PM的数学内容被引入了下一节中的类别的定义。

“无课程”的课程理论

PM中的集合理论（类）基于许多语境定义，以某种方式与描述理论类似。 在下文中，我们偶尔会对PM概念使用表达“类”，提醒读者在ZF或VGB课程理论中使用的意义上的ZF之间的差异和ZF等的分组理论之间的差异，表示未定义集合的表达式，例如{x |x = x}，这对于宇宙v和SOO“大”太“大”是一个设置。

基本定义消除了从它们发生的上下文的类别的术语，就像明确描述理论一样消除了在术语位置中发生的描述：

上下文定义类

φ{x|ψ（x）} =df∃χ[

∀x[χ！（x）≡ψ（x）]

＆φ（λxχ（x））

]

对于χ！ 一种预测功能

换句话说，似乎仅将属性φ将属性φ属性{x |x|ψ（x）}才为true any any an，如果存在一些令人遗程的属性χ，那么与ψ共同广泛，它真正具有属性φ。

作为ZF的一个非逻辑关系符号的成员资格（∈）的概念在PM系统中定义：

∈的定义

x∈φ=dfφ！（x）

对于φ是谓词函数。

这个“无课”的课程理论是呼唤的主要作用是展示类型理论如何解决了在数学原则上折磨着幼稚的幼稚理论的悖论，并被罗素看到了折磨弗里克斯理论。 在这些基本部分之后，PM中出现的所有单独变量应该被视为在类上的范围内，（并且如下所述，如下面将解释为在扩展中的关系中解释关系符号）。 悖论以不同的形式出现，如介绍于下午，但“所有不属于自己的课程的班级”悖论的分辨率将被用作我们的榜样。 这一类直接导致矛盾，将出现在当代符号中作为{xxīx}。 当一个人询问该课程是否是ITESELEL的成员时，悖论出现。 它是本身的成员的表达{xx|x∉x} {xx|x∉x}将有两个表达式来通过第一个定义来消除，然后也将被消除的多个使用关系符号∈。 最后，将存在表达〜（φτέτ），这不是合法的，因为这对于任何τ都没有很好地形成。 函数必须比其参数更高。

这两个定义的效果是证明类别落入了简单的类型理论，而在这些类型的限制受到这些类型的限制的同时，涉及类表达的所有推论都观察到上面的* 10中所述的经典量化理论。 存在的存在性和通用量化的定义很简单。 请注意，Russell使用希腊字母（α，β，......）到课程范围：

“所有课程”定量定义

∀αχ（α）=df∀φχ（{x|φ！（x）}）

对于φ！ 一种预测功能。

定量定量“一些课程”

∃αχ（α）=df∃φχ{x|φ！（x）}

对于φ！ 一种预测功能。

∈的定义在没有变化的情况下扩展到课程：

函数中班级成员的定义

α∈ψ=dfψ！（α）

对于ψ！ 一种预测功能。