Principia Mathematica（二）

如果公理显然是不言而喻的，那么实际上只意味着它几乎是嵌合的; 因为事情被认为是不言而喻的，并且已经证明是假的。 如果公理本身几乎是嵌合的，则仅仅增加了源于其后果几乎印制的归纳证据：它没有提供一种自然不同的类型的新证据。 非谬误永远不会达到，因此一些疑问的元素应始终附加到每个公理和所有后果。 在正式逻辑中，疑问的元素少于大多数科学，但它不是缺席的，因为悖论随后从未知道未知的局限性的悖论之后的事实中出现。 （1910：62 [1925：59]）

白头和拉塞尔也在许多工作数学家的主要漠不关心的招待会上感到失望。 正如罗素写道，

白头和我都很失望，普林尼亚岛数学仅被从哲学的角度看。 人们对涉及矛盾的矛盾和问题有兴趣，普通数学是否有效推导出来，但他们对工作过程中发展的数学技术并不感兴趣。......即使是那些在完全相同的主题的人没有想到它值得了解普林尼亚Mathematica不得不对他们说什么。 我将给出两个插图：Mathematische Annalen在Principia出版大约十年后发表了一篇长篇文章，给出了一些（提交人未知的）的结果，我们在我们的书的第四部分工作了。 这篇文章陷入了我们避免的某些不准确的，但随之而来我们尚未发表的任何内容。 作者显然完全没有意识到他预计。 第二个例子发生在加利福尼亚大学雷诺纳巴赫的同事。 他告诉我，他已经发明了他称之为“Transfinite归纳”的数学诱导的延伸。 我告诉他这个主题在普林西亚的第三卷中得到了完全治疗。 当我一周后我看到他时，他告诉我他已经验证了这一点。 （1959：86）

尽管如此，PM证明，至少有三种方式显着影响。 首先，它在其作者的范围内推广了现代数学逻辑。 通过使用比弗雷格，怀特麦比德和罗素使用的符号更容易获得，以便以前作家无法实现的方式传达现代谓词逻辑的显着表达力量。 其次，通过表现出如此清楚的新逻辑的演绎力量，白头和拉塞尔能够表明现代正式系统的想法有多强大，从而在很快被称为Maustogic的新工作中开放新的工作。 第三，普瑞基亚数学在传统哲学的逻辑和两个主要分支之间重新肯定了明确和有趣的联系，即形而上学和认识论，从而在这两个领域开始新的和有趣的工作。

结果，不仅普瑞亚普利普利介绍了广泛的哲学丰富的概念（包括命题功能，逻辑建设和型理论），它还设定了发现至关重要的传言结果（包括KurtGödel的舞台，阿隆佐教堂，艾伦图灵和其他人）。 同样重要的是，它在哲学，数学，语言学，经济学和计算机科学中，它在各种各样的领域发起了普通技术工作的传统。

今天，缺乏协议仍然是普林依匹浦的最终哲学贡献，一些作者认为，通过适当的修改，帝国主义仍然是一个可行的项目。 其他人认为，该项目的哲学和技术内在仍然太弱或太困惑，对逻辑家有利。 （有关更详细的讨论，读者应咨询1963年，1966年，1966年，1966年，1966年，2011年Landini 1998,11111; Linsky 1999,2011; Hale和Wright 2001; Burgess 2005; HITIKKA 2009;和Gandon 2012.）

还缺乏对1925年（卷I）出现的第二版的重要性的一致性，并在1927年从第一版直接转载的卷II和III卷）。 修订版是由罗素完成的，尽管白头上有机会就建议。 除了在整个原始文本中纠正次要错误之外，还有更改新版本包括新的介绍和三个新的附录。 （附录讨论了定量，数学诱导和可重复性的公理理论，以及分销性的原则。）本书本身更加紧凑地重置，使页面引用第一版过时。 罗素继续在1950年印刷的1949年追求修正，他和怀特黑麦的寡妇终于开始获得版税。

今天，仍然存在于一些修订的一些修订的最终价值，甚至是正确的解释的辩论，这是一些罗素最聪明的学生的工作中的大部分的修订，包括Ludwig Wittgenstein和Frank Ramsey。 附录B已被臭名昭着的问题。 附录声称展示了如何在不使用可减产的公理的情况下对数学感应进行合理的; 但作为alasdair urquhart的报告，

第一个迹象表明某些事情的错误出现在Gödel的众所周知的1944年文章中，“罗素的数学逻辑”。 在那里，哥德尔指出了罗素的命题的演示的线（3）的说明* 89·16是一个基本的逻辑错误，而关键* 89·12也似乎非常有质疑。 尽管有错误，但仍然可以看出任何罗素的证据都可以挽救任何一个russels的证据，但是在1974年提供了一个模型 - 理论证明，约翰Myhill提供了强有力的证据证明，因为罗素可以在分枝理论中给出这种证明没有减少合理的类型。 （Urquhart 2012）

Linsky（2011）讨论，附录本身和建议，到1925年罗素可能已经与最近的数学逻辑领域的最新发展失去联系。 他还通过一些评论员提出了这一建议，即一些评论员制定的白头打击可能反对修改，或者至少对他们漠不关心，得出结论，这两个费用可能没有基础。 （怀特黑头自己的评论，于1926年发表，在这个问题上阐明了很小的光线。）

3. Principia Mathematica的内容

Principia Mathematica最初出现在三个卷中。

标题页，第一版，Principia Mathematica，第1卷，见下面的文本

Principia Mathematica的第一版标题页，I（1910）

封面的第一版Mathipia Mathematica到* 56，请参阅下面的文本

Principia Mathematica的第一个平装问题涵盖* 56（1962年）

一起，三个卷分为六个部分。 下面的评论将按顺序经过这些部分，表明读者可以跳过的早期部分，以研究PM系统的数学发展的独特特征，与弗雷格和当代集合理论形成鲜明对比。

3.1卷i

体积我分为三个部分的冗长介绍，其次是两个主要部分I（分为A-E）和II（也分为A-E部分）：

思想和符号的初步解释

逻辑类型理论

符号不完整

第一部分：数学逻辑

A.扣除理论* 1- * 5

B.表观变量理论* 9- * 14

C.课程和关系* 20- * 25

D.关系的逻辑* 30- * 38

E.产品和课程的总和* 40- * 43

第II部分：ProLegoMena到红衣主教算术

A.单位课程和夫妻* 50- * 56

B.子类，子关系和相对类型* 60- * 65

C.一多个，多次和一对一关系* 70- * 74

D.选择* 80- * 88

E.归纳关系* 90- * 97

3.2卷II

第II卷以初步部分开头的初步部分，然后是第III部分（分为A-C），IV（分成部分A-D），第五部分的前半部分（部分A-C）：

象征惯例的基础陈述

第III部分：红衣主教算术

A.基数的定义和逻辑属性* 100- * 106

B.添加，乘法和指数* 110- * 117

C.有限和无限* 118- * 126

第四部分：关系算法

A.序数相似性和关系 - 数字* 150- * 155

B.添加关系，以及两个关系的产物* 160- * 166

C.第一个差异的原则，以及关系的乘法和指数* 170- * 177

D.关系的算法* 180- * 186

第五部分：系列

A.一般理论为* 200- * 208

B.在部分，段，延伸和衍生物* 210- * 217

C.关于收敛，以及功能的限制* 230- * 234

3.3卷III

第III卷包含部分V（部分D-F）的其余部分，并与第VI部分结束（分为A-D部分）：

第五部分：系列（续）

D.订购良好的系列* 250- * 259

E.有限和无限系列和序数* 260- * 265

F.紧凑系列，合理系列，连续系列* 270- * 276

第VI部分：数量

A.数字* 300- * 314的概括

B.矢量家庭* 330- * 337

C.测量* 350- * 359

D.循环系列* 370- * 375

开始几何体积，但从未完成过（Russell 1959：99）。

总体而言，这三个卷不仅代表了现代逻辑的重大飞跃，它们也在二十世纪初的数学发展中也丰富。 为了给出一个示例，Whitehead和Russell是第一个定义一个系列的一组术语，作为具有非对称，传递和连接的性质的一组术语（1912 [1927：497]）。 为了给另一个，它在普林尼亚方面，我们发现了第一次详细发展的Cantor的Transfinite Ordinals的广义版本，其中作者称之为“关系 - 数字”。 由此产生的“关系算术”反过来导致了我们对结构总概念（1912：第四部分）的了解的显着改进。

作为T.S. Eliot指出，这本书也在二十世纪早期推动使用普通语言的清晰度做得很大：

逻辑学家的工作已经做了多少英语一种语言，其中可以清楚地思考任何主题。 Principia Mathematica可能对我们的语言贡献比对数学的更大贡献。 （1927：291）

这本书也没有没有一些自我贬低的幽默。 作为Blackwell指出（2011：158,160），作者在该项目许多逻辑派生的长度和乏味的时候拍摄了两次的乐趣。 在卷I中，作者解释说，一个人不能列出φ的所有非密集函数！

z

“因为生活太短”（1910 [1925：73]）; 在第3卷，经过超过1,800页的密集象征主义，作者结束第四部分，D节，在循环家庭上，评论，

我们在本节中很快给出了证据，特别是在纯粹的算术lemmas的情况下，证明是完全直截了当的，但如果以长度写出来乏味。 （1913 [1927：461]）

证据表明，幽默源于罗素，而不是白头翁也可能发现了罗素的其他着作中出现的不同意言论。 Russell的评论在讨论首选的公理时，给定集合的效果，可以“从它们中的每一个任意地从一般选举中挑出代表”（1959：92），也许是一个例子。

读者今天（即，在二十世纪或后续几十年中学到了逻辑的人）会发现这本书的符号有点过人。 建议希望帮助的读者咨询Principia Mathematica的符号的条目。 即便如此，这本书仍然是二十世纪的大科学文件之一。

4.卷i

4.1第一部分：数学逻辑

4.1.1 PM中的命题逻辑

PM的命题逻辑系统可以被视为由语言组成的句子逻辑和推理规则的系统。 PM包含符号逻辑的第一个呈现，该逻辑处理命题逻辑作为单独理论。 Frege从一开始就涉及量化，而Peano的系统是可解释的，因为关于每个解释的一些不同原则的命题和课程都是可解释的。 对于现代读者来说，PM的命题逻辑是不寻常的，因为有些原因与罗素早期的逻辑工作有关。 一个是，仅使用逻辑的原始连接来陈述命题逻辑的公理，即〜和∨，而是仅使用∨，并且是一个定义的连接。

在本节中，我们将使用A，B等作为公式的Meta语言变量。 据说由原子命题构成的公式表达基本命题以将它们与涉及量子和命题功能的命题区分开来。 该系统是公理组织的，称为“原始命题”或“PP”的公理呈现出具有物质意义的特征“⊃”，其定义为〜∨。 还定义了连接＆和≡，但在公理的陈述中不需要。 这款特殊性在1903年的罗素观的目的中有其起源

命题微积分的特征在于，其所有命题都具有假设，并且因此随后的主要含义的断言。 （1903：13）

POM的所有“原始命题”只用物质意义作为原始连接。 连接＆，∨和≡，定义如此。 由〜表达的否定概念使用过度的定量概念定义（~a意味着A意味着所有命题）。 到1906年，拉塞尔决定使用〜作为原始的结缔组织，不再使用命题量词，允许定义⊃，而原始命题仍然用⊃和∨说明。 PM所谓的逻辑系统是在第一章中证明的定理选择中反映了原语的选择变化的演变的结果。 虽然大多数人被证明是因为他们将在下午稍后使用，但有些人仍然只是早期系统的保留。 特别是PM含有在早期系统中的原始命题的几个定理，但不使用在下面。 实际上，POM的一个原始命题，称为“Peirce的法律（[（p⊃q）⊃p]⊃p）似乎已被证明在PM作为* 2·7的早期版本中被证明，但只删除了（其号码未重新分配给另一家定理）只是为了节省空间（见Linsky 2016）。

在伯尼（1926年）发布之后不久，不开发出命题逻辑的真实逻辑的真理逻辑和完整性的概念的概念。 因此，没有尝试找到将完成的简短公理列表，因此在工作的后期阶段，没有简单的吸引力“tautological后果”，这可能很容易通过语义考虑来证明。

PM命令逻辑的语言包括由以下组成的词汇组成：

原子命题变量：p，q，r，p1，......（没有命题常数。）

句子连接。 原始：〜和∨。 定义：⊃，＆，≡。

标点符号：（，），[，]，{，}等

良好的形成公式（WFF）定义如下：

原子命题变量是WFFS。

如果a和b是wffs，那么所以：~a和a∨b

其他熟悉的连接是定义的：

定义

a⊃b=df~a∨b

一个与b = df~（~a∨~b）

（a≡b= df（a⊃b）和（b⊃a）

公理

（p∨p）⊃p

q⊃（p∨q）

（p∨q）⊃（q∨p）

[p∨（q∨r）]⊃[q∨（p∨r）]

（q⊃r）⊃[（p∨q）⊃（p∨r）]

1926年，Paul·伯尔尼表明，这可以减少一个，因为公理4（* 1·5）可以从其他人那里证明。

推理规则：

Modus Ponens（* 1·1）：来自⊢a⊃b和⊢a，派生⊢b

从⊢a衍生⊢a'其中a'是统一代替某种配方b的结果，以便任何发生的原子命题变量。

在下午没有明确的替代规则陈述。 PM命题逻辑中的自由变量可以被解释为原理图字母，因此该系统需要替代公式。 在本文中，他们将被解释为实际变量，范围超越命题，在这种情况下，将通过从所有命题的概况从概况中实例地导出实例。 在引言中的宣布，在下面的情况下，提出的命题是不必要的，因此将避免暗示变量的示意图解释。 我们遵循本文中的变量解释，部分是为了允许我们的符号跟随PM，使用P和Q而不是一个新的原理图字母A，B等的新词汇。这种字母作为变量的解释也将有助于呈现量化逻辑的呈现在下午。

与逻辑的公理制剂的标准标准一样，PM中的奇节逻辑公式的推导将由六个公理之一的实例组成，在前面的线中的替换的结果，或者Modus Ponens的应用到两个前一行。 PM的定理将被证明是为了允许在稍后的衍生中使用前定理前定理的（实例）。

生成的系统是完整的，从某种意义上说，所有和唯一的真理 - 功能有效的句子都可以在系统中推导。 尽管通过现代标准存在似乎系统的缺陷，包括其中一个公理的冗余，在推理规则适用的表达式中使用定义的符号，以及在公理中使用定义的符号。 * 2到* 5中的派生缩写，但在每行正义的情况下指示它，以及如何撤消任何缩写。 定理主要根据以后的数量所需证明，但有些是早期版本的命题逻辑的公理或重要定理，回到数学原则。 然而，除了实际选择的历史兴趣之外，PM系统可以根据任何标准逻辑系统视为基于任何标准系统。

4.1.2“分布”的类型理论

PM初始章节中的类型理论被拟枝，因此在给定的类型，名词或个人的功能中，以及个人功能的功能，将有更精细的细分。 这种分支是在将PM的逻辑应用于涉及PM介绍中所谓的“认识论”悖论的逻辑所必需的。 这些最突出的是（命题）骗子悖论由所谓的主题所创造的，所以通过脱脂剂的求置于脱胶剂，是假的，当那个非常主题是那种的时，这是诸如脱蛋白的唯一主张。 在分布的类型理论中的解决方案要求一个关于某种第一级命题的命题，说它们都是假的，本身将是下一个订单。

通过减少关于诱导功能的断言的断言来解决集合理论的悖论。 一种类型的限制不能适用于相同类型的函数足以阻止悖论。 因此，个人，个人功能的区别以及这些函数的功能，由所谓的“简单的类型理论”分类是足以减少数学的目的，以便逻辑。 不需要全面理论的想法来解决CHWISTEK（1921）和Ramsey（1931）提出的数学或设定理论悖论，并导致后来引入术语“改造类型”和“简单理论”类型“将在此条目中使用。

在介绍PM术语中，介绍了变量可能出现在公式中的两种方式。 “表观变量”是绑定变量，而“实际变量”是免费变量。 PM在下午的高阶变量的正确解释是PM学者们当代争端的主题。 Landini（1998）和Linsky（1999）提供两份竞争对手账户。 Landini持有更高订单的免费变量应该被解释为原理图字母，可通过公式替换，并且绑定变量将被解释为“替代”。 PM类型理论的逻辑可以被视为在* 10中开发的标准一阶逻辑理论的延伸。 然后可以解释依赖于类型理论的PM的更独特概念。 这些包括减少性的公理，在* 12中，下面所谓的类型的改造类型的理论，分割为单一类型的论证的谓词。 还原性的公理断言，对于任何顺序的任意函数，存在等效的谓词函数，即恰好相同的参数。 这将在下面解释。 标识在* 13中定义了leibniz的版本，leibniz的概念的概念与类型的理论一致。 替换leibniz的概念，即x和y是相同的，因为它们在pm中共享相同的属性，如果x和y是相同的，只有它们共享相同的谓词函数。 然后使用所定义的身份概念，PM展示了Russell的明确描述理论，正如它在“关于表示”（1905）中所定义的那样。 本文将使用由于Alonzo教堂1976年的“R系列”的符号，该教会在陪同文章中解释了这篇文章的“Principia Mathematica的符号”在这百科全书中。

虽然PM没有从整个类型的类型的整个类型的类型中划出一阶逻辑，但页面上的实际演绎装置看起来完全类似于第一阶逻辑系统，并且可以用额外的类型索引装置表达更高类型的逻辑的并发症。 在下文中，我们将在教堂（1976）中使用R系列系统进行类型指数，并使用Lambda运算符进行命题功能。