Principia Mathematica（一）
此条目简要介绍了阿尔弗雷德北白头和贝尔特兰·拉塞尔的历史和意义纪念碑，但很少阅读符号逻辑，Principia Mathematica（PM），首次发表于1910年至1913年。 PM的内容在部分概要中描述了在现代化的逻辑符号中陈述的部分中描述，并在三个卷中的每一个的介绍音符下描述。 原始符号在这个百科全书的伴侣文章中介绍了Principia Mathematica的符号。 描述了PM的内容，以便促进与Gottlob Frege的基本算法的基本定律进行比较，这受罗素的悖论。 为了避免悖论白头和拉塞尔推出了一个现在称为“改造类型的类型”的复杂系统。 然而，在第一卷的早期引入集合理论或“课程”之后，可以将PM系统与弗雷格和集合理论的早期发展进行比较，发现符合竞争对手，无矛盾，但与现在的标准理论不同。
1.概述
2.普瑞基亚数学的历史和意义
2.1 Principia Mathematica的历史
2.2普瑞斯马蒂亚岛的重要性
3. Principia Mathematica的内容
3.1卷i
3.2卷II
3.3卷III
4.卷i
4.1第一部分：数学逻辑
4.1.1 PM中的命题逻辑
4.1.2“分布”的类型理论
4.2第II部分：ProLegoMena到红衣主教算术
5.第II卷
5.1象征惯例的言论陈述
5.2第III部分：基本算术
5.3第四部分：关系算法
5.4第V部分：系列
6.第III册
6.1第V部分：系列（续）
6.2第VI部分：数量
6.2.1测量
6.2.2下午末没有“结论”
参考书目
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二级文献
学术工具
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相关条目
1.概述
Principia Mathematica，Alfred North Whitehead和Bertrand Russell在1910年，1912年和1913年首次发表的正式逻辑的地标工作。第二版出现在1925年（卷I）和1927年（卷II和iii）。 1962年，简介上的缩写问题（仅包含前56章）。
作为对逻辑主义的辩护（数学是在一些重要的意义上可减少逻辑的论点），这本书在开发和推广现代数学逻辑方面是有用的。 它还担任在二十世纪在数学基础上研究的主要推动力。 除了亚里士多德的诺斯康和弗赖奇的基本算术规律之外，它仍然是有史以来最具影响力的逻辑书籍之一。
此条目包括在PM逻辑学项目开发中使用的主要定义和定理的演示。 该条目表示通过整个工作的路径呈现出在Principia Mathematica（PM）中证明的基本结果，以便更加现代的符号，从而使Whebhead和Russell的系统变得容易与弗雷格，另一个最突出的倡导者数学基础逻辑论。 该计划的目的，如罗素在他的1903年序言的开放线上描述了数学的原则，即在逻辑概念中定义数学概念，并从逻辑上获得数学原则，所以定义了。单独原则：
目前的工作有两个主要物体。 其中之一，所有纯数学的证据完全在非常少量的基本概念方面专门处理概念，并且所有命题都是从非常少量的基本逻辑原则中推动的，在第II部分 - 这项工作的七，并将通过严格的象征性建立在第II卷的严格象征的推理。 这是一个纯粹的哲学任务...... （1903：XV）
虽然Frege的系统受Russell的悖论的影响，但随后对其系统的检查显示了算术的发展是多么独立于系统的矛盾元素。 特别是，近期对弗雷格系统的兴趣导致了在弗雷格原始系统的一致片段中孤立所谓的“弗雷格定理”，并且从它导出算术的目标，正如Peano的假设在PEANO的界面正式中。 查看算法的入境弗雷格的定理和基础，这提出了弗雷格系统的这一方面在当代表示法。
Russell已经编写了数学（POM）的原则，它提出了他的逻辑学计划的基本要素，在1902年6月发现弗雷格的算术和基本规律的基础上的基础上。当他描述了序言时，Russell在POM的“第II卷”中展示了他的账户。 1903年，他入伍阿尔弗雷德北白头加入了他的第二卷，但即将推出该项目的新工作，Principia Mathematica，一个大规模的三卷工作，这是不公布的，直到1910年（第I卷），1912年（第II卷）和1913年（第三册）。
PM系统从Frege的系统中有很大不同，大部分是由于引入了避免了以原则的方式影响了影响弗雷格的悖论的类型的类型。 来自Frege的系统的第二个重要差异是PM是基于各种参数的关系的逻辑，而弗雷格的系统是基于函数和对象的概念，即使是他独特的逻辑概念也被视为函数（从许多对象到真理值T和真相值F，这也是弗雷格系统中的物体。所以，可能说PM是基于分布类型的关系理论，与弗雷格的二阶谓词微积分与概念相反。 最重要的步骤是根据高阶函数定义集合表达式。 因此，矛盾的“罗素集”，所有不是自己的集合的集合，{xx|x∉x}是由涉及将违反类型理论的函数的表达式所定义的。 在类型的基础上排除了违规类的表达，它看起来似乎是无害的补充，所有集合都是自己的成员，{xxīx}。 在当代结构中，{xx|x∉x}是集的宇宙，它本身不是一个集，因为没有集合是本身的元素，{xx|x∈x}只是空集。 此方法的额外成本是，对于弗雷格套是最低类型的对象，将在PM理论中以简单的类型理论设置，这些类型的理论是区分个人和一组个体的组等。甚至在简单理论中获得集合的层次结构需要的可重复性的公理来保证更复杂的“令人谨慎的”定义挑选出相同简单类型的组。 因此，实数的闭合间隔的“最小上限”将在分布理论中识别该组的那个高阶的成员。 这个最小上限将是相同的简单类型需要减错的公理。 采用类型理论避免悖论的成本延伸到构建自然数的困难。 虽然罗素在许多重要细节中追随弗雷格，但特别是在使用弗雷格的祖先概念的继承关系中定义自然数量，而建筑的其他部分是不同的。 弗赖尔格能够通过使用其前辈的集合来定义一个数字的后继者。 数字2是包含0和1的集合，因此它有两个成员。 但是，它们将在简单类型的层次结构中具有不同类型的类型，因此整个自然数量不能在简单类型的理论内定义。 由于每个步骤从0到1，到2等，从0到1到2提出简单类型，因此没有简单类型的所有自然数，所以定义。 而不是PM采用无穷大的公理，其确保了无限数量的个体，允许构建每种类型的自然数，以上3左上的下限（因为数字将是一定的单独的个人......）。
随着这种转向分布的类型理论，随着还原性的额外公理和无穷大，PM可以定义弗雷格的施工版本的自然数，使得“PEALO公理”可以单独证明“PEALO公理”。 这需要部分* 120，较好地进入第II卷。 此时，“弗雷格定理”的替代方案是完整的，因为我们基于具有许多附加公理的高阶逻辑理论，我们在自然数的一致开发中呈现了一致的自然数。 哲学家很快遵循了Ludwig Wittgenstein（1922）并争议这些额外的公理，可减少性和无穷大的原理是真正逻辑的真理，因此否认将算法减少到逻辑的逻辑方案没有比弗雷格的尝试更成功。
PM的调查将通过剩余的第II和第III卷进行，其中开发了理性和实数的理论。 此处的对比度并不是弗赖吉的理性和实数的理论，这些原始数量存在于丛林中，但并未被视为自然数理论的自然延伸。 相反，当代的自然数和实数的陈述被视为公理Zermelo-Frankel集合理论的基本延伸。 一个现代教科书在公理集理论中，如enderton（1977）或Supptes（1960），展示了如何构建Rational Numbers（和负整数）作为自然数对，因此3/4被构造为与加法的操作的对乘法定义为对成对的操作; 因此，1/2 + 1/3 = 10/12 = 5/6。 通过添加负整数，这些正rational数延伸到整个集合，然后将实数定义为Rational Numbers中的Dedekind切割，即Rational Numbers集合的分区集。 然后对这些结构定义实数的算法，因此通过集合的基集可以减少整个分析以降低到算术。 然而，PM避免了分析的这种“算术化”，而是定义理性，真实，实际上是一大群的“关系数字”，作为同构关系集。 拉塞尔说，后来他遗憾的是，稍后没有挑选关系数量的理论，即使这是他在下午最原始的一些工作。 因此，我们包括以下内容的本文简要总结，因此可以被视为根据关系和属性的逻辑，而不是基于关系和性质的逻辑对自然数的定义的有趣后果的概要，而不是当代数学的当代基础的结构理论。 因此，与弗雷格和当代设定理论相比，该条目的旨在解释这些结果的不寻常呈现，并说明了当代研究人员未调查的关系理论的这些方面。
2.普瑞基亚数学的历史和意义
2.1 Principia Mathematica的历史
逻辑主义是（某些或全部）数学可以减少到（正式）逻辑。 它通常被解释为两部分论文。 首先，它包括声明，所有数学真理都可以被翻译成逻辑真理，或者换句话说，数学的词汇量构成了逻辑词汇的适当子集。 其次，它包括声明，所有数学证明都可以作为逻辑证明的重量或换句话说，数学定理构成逻辑定理的适当子集。 正如Russell写的那样，它是逻辑师的目标“表明所有纯数学都从纯粹的逻辑房间遵循，并且仅在逻辑术语中使用可定义的概念”（1959：74）。
逻辑论文似乎首先在十七世纪晚期倡导Gottfried Leibniz。 后来，Gottlob Frege的更大细节辩护了这个想法。 在1820年代的批判性运动期间，数学家如Bernard Bolzano，Niels Abel，Louis Cauchy和Karl Weierstrass成功消除了大部分的模糊和许多矛盾他们一天的数学。 到了18世纪中期，威廉·汉密尔顿已经继续介绍了现实的订购夫妇，因为为复杂数字提供了逻辑基础的第一步，以及卡尔威尔特拉斯，理查德Dedekind和Georg Cantor都有所有开发的方法在理性方面创建非理性。 使用H.G. Grassmann和Richard Dedekind完成的工作，因此Guiseppe Peano然后继续基于他现在的着名公理来制定理性的理论，以获得自然数。 因此，通过弗雷格的一天，普遍认为，大部分数学可以源自相对较小的原始概念。
即便如此，直到1879年，当Frege开发了必要的逻辑设备时，逻辑主义最终会被认为已经在技术上是合理的。 经过另外五年的工作，弗赖基抵达鉴定算术所需的定义，在1890年代，他在许多基本衍生中工作。 然而，在世纪之交发现Russell的悖论等悖论，似乎需要开发额外的资源，如果逻辑是成功的。
到1902年，白头和罗素都达到了相同的结论。 两名男子都是在他们早期的相关主题书籍准备第二卷的初始阶段：怀特蒙的1898年关于普遍代数和罗素的1903年数学原则的论文。 由于他们的研究大大重叠，他们开始合作最终成为普利普岛的Mathematica。 通过协议，拉塞尔主要涉及该项目的哲学部分，包括这本书的哲学上丰富的介绍，描述理论，以及唯一的阶级理论（其中唯一的课程只有在被置于定义明确的上下文时），所有这些都仍然可以甚至由非专家习惯习惯。 然后两名男子在技术派生上合作。 正如罗素写道，
至于数学问题，白头发明了大部分的符号，除了它从Peano占用; 我做了大部分有关系列和白头的作品都做了大部分时间。 但这仅适用于初稿。 每个部分都完成了三次。 当我们其中一个人制作了初稿时，他会将其发送给另一个，谁通常会大大修改。 之后，曾经制定了第一次草案的人将进入最终形式。 所有三个卷中几乎没有一条线，这不是联合产品。 （1959：74）
最初，有人认为该项目可能需要一年才能完成。 不幸的是，在两名男子的几十年艰难工作之后，剑桥大学出版社得出结论，出版校长将导致估计亏损600磅。 虽然媒体同意假设这一数额的一半，但皇家社会同意捐赠另外200磅，这仍然留下了100磅镑的赤字。 只有每个贡献50磅的作者只能将他们的工作视为出版物。 （怀特，罗素，詹姆斯1910）
出版物涉及通过手工制定所有三个卷的巨大工作。 在1911年，当白头发现象征主义的困难时，第二卷的印刷被中断。 结果是在第II卷开始时的长“象征符合符合象征性的罗马数字页面”的插入（罗马数字页面）。
1922年在Rudolf Carnap写信给Russell要求副本的时候，剑桥大学媒体的750卷I和500份副本II和II副本的初始印刷运行和500份副本。 Russell通过发送Carnap A 35页手写摘要来回应定义和工作中的一些重要定理（Linsky 2011：14-15）。 由于没有板块，罗素开始准备1925 - 200年出现的第二版的工作。 第一个重置并与新的介绍和三个附录重置，并且也复位了第II卷。 第III卷由摄影过程再现，因此本卷中的第一版本的页码是相同的。 Principia Mathematica仍然与剑桥大学出版社打印。
与数学中的许多作品一样，符号逻辑领域的后期进展导致了许多改进。 在吉德·希尔伯特·洛滕·希尔伯特的逻辑学院工作，并在由S.Ležniewski领导的波兰逻辑学院和他最着名的学生Alfred Tarski，开始纠正他们所看到的缺陷和PM差距。 查看Kahle（2013）和Wolenski（2013）。 批评是立即的，在第一个卷发布后，Chwistek（1912）很快就开始了。 一系列重要的新的数学逻辑演示，特别是希尔伯特和阿克曼（1928年），希尔伯特和伯尼（1934年）和Kleene（1952），通过连续几代逻辑学作为教科书。 正如乌克特（2013年）所指出的那样，这导致逻辑技术工作中PM的参考数量的缓慢下降，以及其他文本逐步替代，以介绍象征性逻辑课程，很快成为大学部门的主食哲学。 在20世纪50年代，即使在研究生课程中，PM也不再被用作教科书。 然后，PM的影响力从1910年到1950年巨大，它现在具有识别的经典的状态，这对逻辑学生不熟悉，甚至因为它被取代的符号而甚至不可读。 此条目，与普林尼亚岛Mathematica的符号的条目一起旨在提出这种巨大作品的贡献，并能够进一步研究隐藏在这三个长卷中的一些思想。
2.2普瑞斯马蒂亚岛的重要性
实现Principia的主要目标被证明是一个挑战。 德国和波兰的数学家和逻辑学家之间的初步反应是摧毁弗赖尔格制造正式严谨的标准下降。 这笔投诉由Frege Homself表示，在1912年致电菲利普期刊的一封信中：
......我不太了解英语，肯定能够说罗素的理论（Principia Mathematica I，54FF）同意我的第一，第二种等水平的职能理论。 它似乎是如此。 但我不明白所有这些。 罗素打算他的名称φ是不太清楚的！
x
。 我从不知道他是否正在谈论征兆或其内容。 （弗雷格1980：78）
这声称，“命题功能”的概念受到利用的困惑，持续到这一天。 此条目将显示PM语法的现代化版本，结合Alonzo教堂的作品（1974,1976）的类型的符号。 现代类型的理论允许对高阶语言进行连贯语法，这很多都可以获得足够以满足这些异议。 对PM语法的制定的投诉重复，并在他对PM的影响力调查中表达了进一步的困难：
应令人遗憾的是，这一综合和彻底展示了数学逻辑和来自IT的数学的推导，如此大大缺乏它在它所呈现的正式精度（包含的* 1- * 21）与Frege相比，这尊重相当大的一步。 最重要的是，缺少的是对形式主义的语法的精确陈述。 即使在证据的核心所必需的情况下，省略了语法考虑，特别是与“不完整符号”相关。 这些不是通过显式定义来介绍，而是通过描述包含它们的句子如何将包含它们的句子转换为不包含它们的句子。 但是，确定（或表达的表达）这种翻译是可能的，并且唯一地确定推理规则适用于新类型的表达式，有必要对所有可能表达的调查进行调查，并且只能通过语法提供调查考虑。 （Gödel1944 [1951：126]）
关于定义表达式的问题，包括下面解释的类和明确描述的“不完整符号”，对于解释PM仍然存在问题。 难度是某些定义的表达式，例如确定的确定描述，类摘要甚至是身份符号'='的符号，也不在理论的语法的初始描述中指定，它们也没有被证明有效地用作其表观的公理的实例语法。 在PM中使用的“上下文定义”的方法很难严格配制，并不用于当代逻辑理论。 PM在此条目中的现代演示包括描述和类的符号，从而与教会（1976）的完全严格的演示不同，例如，谁避免了明确的描述和类表达式，并将身份作为未定义的原始。
尽管对演讲的严谨反应，但PM仍由那些对新的符号逻辑感兴趣的人仔细研究，包括大卫希尔伯特和他学校在哥廷根的学校（见Ewald＆Sieg 2013：3和Chwistek 1912）。 主要是在问题上是Whitehead和Russell所需的各种假设所需的项目。 虽然普林匹亚成功地提供了有限和经细制算术，集合理论和基本措施理论的许多主要定理的详细推导，但特别是三个公理在特征中可以说是无逻辑的：无限，可减少性和“的原理乘法公理”或首选的公理。 无限远的公理指出，存在无限数量的物体。 可以说是使这种假设通常认为是经验而不是在自然界的逻辑。 后来添加到Zermelo的公理中的乘法公理作为首选的公理，断言含有来自给定集合的每个成员的一个元素的某个元素的存在。 罗素反对没有规则指导选择，这种公理不是一个逻辑的原则。 还引入了可重复性的公理作为克服了类型理论的不完全令人满意的效果，机制罗素和白头用于限制形成良好的表达的概念，从而避免罗素的悖论。 虽然技术上可行，但许多批评者得出结论，公理简直太临时了哲学上。 最初至少，利昂Chwistek（1912）认为它导致了一个矛盾。 Kanamori总结了许多读者的情绪：
在他的悖论反应中，他的悖论罗素建造了一个复杂的订单和类型系统，只能通过他的公理崩溃，这是一个纵向的道奇施加的可怕对称性。 （2009：411）
在许多人的思想中，数学是否可以减少到逻辑的问题，或者是否只能减少到设定理论，因此保持开放。
作为回应，怀特麦满和罗素认为，两个公理在归纳地区都可辩护。 正如他们在介绍第一卷的原则，那样
自我证据永远不会超过接受公理的原因，从来都不是不可或缺的。 接受公理的原因，如接受任何其他命题总是很大程度上是归纳的，即可以从中推导出几乎吲哚布地的许多命题，并且没有同样合理的方式是众所周知的这些命题可能是真实的如果公理是假的，并且可以从中推导出任何可能是假的。
