Skolem的悖论（一）
Skolem的悖论涉及来自古典逻辑的两个定理之间的似乎突出的冲突。 Löwenheim-Skolem定理说，如果一阶理论具有无限型号，那么它有域名只有可数的型号。 克兰特的定理说，一些套装是不可数的。 当我们注意到Cantorian Set理论的基本原则 - 即，用于证明Cantor定理的基本原则，用于证明Cantor对不可数套件的基本原则 - 本身可以作为一阶句子的集合制定。 如何满足证明存在不可数集存在的原则，这本身只能是可数的？ 可数模型如何满足一阶句，这表明存在多数数学对象 - 例如，许多实数？
这个悖论的哲学讨论倾向于关注三个主要问题。 首先，有一个纯粹的数学问题：为什么Sklem的悖论不引入完全矛盾的矛盾？ 其次，有一个历史问题。 Skolem本人给了一个非常好的解释，为什么Skolem的悖论不构成直接的数学矛盾; 那么，为什么，Skolem和他的同时代人继续找到悖论如此哲学上令人不安的？ 最后有一个纯粹的哲学问题：Skolem的悖论是什么，如果有的话，我们是否告诉我们我们对集合理论的理解和/或关于集理语言的语义？
背景
2.数学问题
2.1悖论的出现
2.2通用解决方案
2.3传递亚芯片
2.4 ZFC，电源集和实数
2.5四个最终点
3.哲学问题
3.1 Skolem的观点
3.2天花铁怀疑
3.3多层
3.4 Putnam的模型 - 理论论点
结论
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
背景
要了解Skolem的悖论，我们需要首先回顾古典逻辑的两个定理。[1] 第一个来自19世纪末。 1873年，Georg Cantor配方用于测量一组物体的尺寸或基数的新技术。 克兰特的想法是，如果他们的成员可以彼此一对一对应，两组应该具有相同的基数。 因此，例如，集合{1,2，......，26}可以通过自然映射与集合{a，b，...，z}一一对应的对应关系，该自然映射与1到a，2到b，3到c等等; 类似地，可以通过地图与偶数数字集成一组自然数字：X MapSto 2x。
当陈列望当前的基数概念到无限套装时，他来到最初的令人惊讶的结论，即有不同的无限远。 有相对较小的无限集，如偶数的集合，整数集或ratiy数量集。 这些集合都可以与自然数字进行一对一的对应; 它们被称为无限的。 相比之下，有很多“较大”的无限套装，如实数，复杂数字集或自然数的所有子集合。 这些集合太大，不能与自然数量一对一; 它们被称为无数无限。 那么，CANTOR的定理只是索赔，即有无数的套装集，因为它的数量太大而无法计数。[2]
我们的第二个定理来自20世纪初。 1915年，LeopoldLöwenheim证明，如果一阶句子有一个模型，那么它有一个模型，其域是可数的。[3] 1922年，Thoralf Skolem将此结果概括为整套句子。 他证明，如果一个可数的一阶句子集合具有无限模型，那么它有一个模型，其域名仅是可数的。 这是通常在Löwenheim-Skolem定理的名称下进行的结果。 在继续前进之前，这是一个有用的三个，稍微精致，这个定理版本。[4]
让T成为一阶句子的可数集合，让A成为无限套件。 向上Löwenheim-skolem定理说，如果t有任何无限模型，则t有一个模型，域域具有与a相同的尺寸（事实上，我们可以假设这第二模型的域只是a）。[5] 向下的Löwenheim-Skolem定理说，如果n是（无限）基数κ的模型，如果λ是小于κ的无限基数，那么n具有完全相同的基数λ子模型作为n本身的句子。[6] 最后，传递亚蒙塞尔定理说，如果我们的初始n恰好是ZF的所谓的传递模型，那么它包含一个也满足ZF的可数传递亚蒙塞尔。[7]
现在，返回Löwenheim-Skolem定理的原始版本 - 只要求任何具有无限模型的理论的理解也具有可数无限的模型。 当我们注意到设定理论的标准公理本身可以将其制定为（可数）的一阶句子时，Skolem的悖论。 如果这些公理有一个模型，因此，Löwenheim-Skolem定理确保它们具有带有可数域的模型。[8] 但这似乎非常令人费解。 如何通过仅可数的模型来证明Cantor定理的非常公理机构，这本身只能满足？ 可数模型如何满足一阶句，“说”有很多东西？
通过考虑特定情况，这些问题可以更具体地进行。 让T成为设定理论的标准，一阶权顺序化。 （为方便起见，此条目将重点关注T是ZFC的情况，但设定理论的任何标准公理化都会同样做得很好。）在T有模型的情况下，Löwenheim-Skolem定理确保它具有可数模型。 致电这个型号M.现在，正如∃x“x是不可数的，”必须有一些m∈m，使得m⊨“m是不可数的。” 但是，随着M本身只有可数的，只有数量可以很多M∈m，这样一个⊨m∈m在表面上，那么，我们似乎有一个直接的矛盾：从一个角度来看，m看起来不可数，而从另一个角度来看，m是明显的。
然后，这使我们对Skolem的悖论相当简单。 在转向查看此悖论的解决方案之前，可能有一个关于动机的点可能是秩序的。 从一个角度来看，对特定模型无法准确地捕获它是模型的现实的每个特征的事实，没有什么令人惊讶的。 例如，物理理论的数学模型可以仅包含实数和一组实数，即使理论本身涉及，说，亚杀菌粒子和时空区域。 同样，太阳能系统的桌面模型将对太阳系产生一些事情，同时让其他事情变得错误。 因此，例如，它可以在获得绝对尺寸（甚至是它们的比例尺寸）错误的同时获得行星的相对大小; 或者它可能是正确的，即行星在太阳周围移动的事实，同时对这种运动的机制是错误的（例如，行星没有真正在太阳周围移动，因为有些演示者转动曲柄！）。 鉴于这一切，它可能尚不清楚为什么我们甚至应该预计集合理论的一阶模型可以准确地捕捉可数套和不可数集之间的区别。 因此，可能还有不明确为什么我们甚至应该认为Skolem的悖论首先看起来矛盾。
虽然我们稍后会说更多有关此问题的更多（请参阅22.1和3.1节），但在此适合一些初步言论。 首先，重要的是要注意，有一些设定的理论概念，一阶模型确实完全捕获。 由于我们将在第3.1节中看到一阶模型捕获有限基数概念 - 例如，“x为空”，“x有两个成员”，“x有十七个成员”等 - 非常好。[9] 如果我们允许自己使用无数的公式，那么我们也可以捕获更多一般的概念“x是无限”。最后，如果我们修复了我们对会员资格的理解 - 即，如果我们限制了我们对使用真实成员关系的模型，那么解释符号“∈” - 我们也可以捕获一般概念“x是有限的”。[11]
鉴于这一切，Skolem的悖论表明，可数和不可数套装之间的线路在一个相当深的意义上，我们的模型理论失去了捕获基数概念的能力。 这一事实有助于解释为什么Skolem的悖论即使在我们吸收了关于模型和模型理论的一般点之后，Skolem的悖论也可能继续看矛盾的典范。 简而言之：我们可以捕获这么多的基数概念，因为它低于可数/不可数的区别，这使得我们突然无法捕捉可数/不可数区分本身，这么初步令人惊讶。
其次，Skolem的悖论不依赖于我们恰好与之合作的集合理论的具体公理化。 设定理论的任何一阶公务化都可以施加到它的Löwenheim-Skolem定理，因此每种此类公务化都受到Skolem的悖论。 特别是，特别是我们无法通过简单地选择集合理论的新公务化（或向我们已经使用的公务化添加一些新的公理）来解决悖论。 Skolem的悖论是一如既入的语境所属的事实 - 这是一个关于集合理论的一阶公务化的不可避免的事实 - 是Sklem的悖论似乎最初令人费解的另一个原因。
然后，这使我们能够在制定Skolem的悖论时第一次通过。 在下一节中，我们解释为什么这个简单版本的悖论不构成真正的矛盾，我们看看几种更精致的悖论配方。 在第3节中，我们转向历史和哲学问题。 第3.1节看着Skolem对他的悖论的理解。 第3.2-3.4节看看一些最近的尝试争论，即使悖论不构成真正的数学矛盾，它仍然会告诉我们关于我们对集合理论的理解的性质的哲学上很重要。
2.数学问题
在1922纸的介绍中，Thoralf Skolem首次呈现Skolem的悖论，Jean Van Heijenoort写道，悖论“不是一个悖论的悖论......这是正式系统的新颖和意外的特征。”[12]这一评论反映了在数学界内的Skolem在Skolem的悖论上的一般共识。 无论悖论应该如何参加悖论，它只是对数学不构成问题。
要理解为什么悖论不构成数学问题，我们需要提出两个问题。 在上面给出的悖论的简单制剂中，我们注意到，有一个特定的m∈m，使得m⊨“m是不可数的。” 当然，这不是正确的。 我们真正的意思是，正式设置理论的语言中有一个相当复杂的公式 - 数学家有时发现与英语表达式“x的方便缩写”x是不可数的公式“ - 该m满足m的特定公式。 为方便起见，让我们表示相关公式“ω（x）” 然后我们可以通过说m≠ω[m]来改造上述事实。[13] 然后，我们的两个问题是这些问题：
为什么缩写ω（x）为为此自然，“x是不可数的”？ 特别是为什么有人甚至会认为m≠ω[m]需要m是不可数的事实？
为什么M≠ω[m]真的不是那个m是不可数的吗？
实际上，这些问题中的第一个询问了Skolem的悖论是否只是我们缩写的文物，如果Skolem的悖论更加仔细和渗透地制定了Skolem的悖论，这将消失。 假设它不会那么消失，第二个问题要求更详细地解释悖论如何真正解散。
2.1悖论的出现
有两种方法可以接近第一个问题。 一方面，我们可以从公式ω（x）开始，并给出这种公式我们可能称之为“普通英语”解释。 这是令人易于“∈”的解释，即真实的定理成员资格关系，它可以在整个（真实的）集理宇宙中的“∀”和“∃”范围，并将其解释“=”和命题连接通常的方式。[14] 然后，对于任何SET M，Ω（m）将出现为true，如果m是不可数的，则才会出现true。[15] 这表明存在至少一个解释ω（x），其中该公式确实确实捕获 - 至少来自扩展视角 - 不可数的普通数学概念。 因此，存在至少一个解释，其中ω（m）确实说m是不可数的。
另一方面，我们可以启动，而不是用公式ω（x），但与普通的英语句子“x是不可数的。” 如果询问这句话意味着什么，一个设置的理论家将说出关于X和自然数之间缺少的缺失的东西。[16] 如果询问“是一个自由度，”她将继续讨论有序对满足某些不错的属性的收藏，如果询问了“有序对”一词，她会说出一个可以识别有特定集合的有序对的方式。 如果她把这个过程足够远 - 如果她通过使用符号拯救自己的时间来保存一段时间，因为¬yabey为“不是”和“存在的缩写，那么”是这样的“，那么她最终会获得”x是不可数的“的详细的解释，那么看起来就像公式ω（x）。 也就是说，如果我们只是将她的解释的语法与ω（x）的语法进行比较，那么我们会发现这两个表达式在完全相同的顺序中包含完全相同的符号。[17] 因此，我们发现有一个真实的，如果有点浅表，ω（x）和“x之间的相似性，即使在使用”x是不可数的“之后，ω（x）和”x是不可数的“的相似度也是如此，这是ω（x）的直接缩写。和一种类似的相似性解释为什么即使是透明地制定的Skolem的悖论版本也可能继续看起来有点令人费解。
然后，这些是两种思考ω（x）和“x之间的关系的方式 它们一起解释为什么使用“x是不可数的数学家来说是如此自然的是ω（x）和（so）为什么有人倾向于认为m≠ω[m]应该需要m是不可数的事实。 他们还将我们带回我们的第二个问题：为什么M≠ω[m]真正需要m是不可数的。
2.2通用解决方案
为了回答这一第二个问题，首先比较ω（x）的普通英语解释 - 这是一个介绍的三段前的普通英语解释以及真正需要的X是不可数的X的ω（x）的ω（x）的模型 - 理论解释。和⊨。 显然，这是后者，模型 - 理论上的解释，最重要的是理解M≠ω[m]的事实。 此外，只有在这种模型 - 理论上的解释与普通英语解释相当密切相关 - 等等，衍生地，对于普通的英语表达“X是不可数的” - 我们将有任何真实的理由，以相信M≠ω[m]应该需要m是不可数的。
幸运的是，即使是对模型 - 理论解释的粗略描述也足以表明没有存在这种“密切联系”。 通过使M的解释函数来固定“∈”来获得模型 - 理论解释，使ω（x）范围内的量化器在M的域中，并使所谓的“=”和命题连接的意义固定通过递归条款在一阶满足的定义中。 本说明书突出了模型 - 理论解释与普通英语解释之间的两个直接差异。
首先，模型 - 理论上的解释理解“∈”指的是在M的解释函数下，涉及m的任何二进制关系; 相比之下，ω（x）的普通英语解释理解“∈”指的是识别真实的理论成员资格关系。 但是没有理由认为这两个理解彼此一致。 我们可以发现案例是m⊨m1∈m2，尽管M1和M2甚至没有设置（但是，就模型理论而言，M1和M2都可以是猫，或兔子或刺猬，或......）。[18] 此外，即使M中的所有元素都是集成的，这提供了不保证对“∈”的模型理解，同意普通的英语理解。 我们可以找到一个案例，其中M1和M2是真正的套装，但其中M≥M1m2，尽管M1不是真正的M2成员; 同样，我们可以找到一个案例，尽管M1确实是M2的成员，但是M2的成员（并且再次，M1和M2是正版套装）。[19]
其次，模型 - 理论解释理解“∃x”和“∀x”只在M的域中进行范围，而普通的英语解释理解这些量词范围在整个机构宇宙中。 显然，这两个理解是完全不同的。 此外，问题的差异与涉及Skolem的悖论的类型相当密切相关。 例如，假设⊨“M是实数集。” 然后一个简单的基本论点表明，存在280个实数，它不住在M的域（尤其是不住在{m |⊨}）中）。 因此，真正不可数的集合ℜ和仅可数集合{m |之间存在真正的差异 - -between m∈m} - 有 - 即，真实的实数和M仅仅思考的内容是真实数字的东西。 在ω（x）的模型 - 理论解释上，量化器仅在后者，较小的套件上的范围内，而在普通英语解释的同时，它们在整个较大的套装上。 同样地，假设m¼“m是无限的。” 然后我们可以表明，恰好有2¼0的双射击f：ω→{m'∈m | m⊨m'∈m}。[20] 然而，最多的许多这些双射出都生活在M的域中，因此，只有其中许多人在ω（x）的模型 - 理论解释下，它们是“被看见”，虽然它们的所有22ℵ0在普通之下英语解释。
总之，这些结果表明，Skolem的悖论可能只会在两个不同的ω（x）的两个不同解释之间打开偷偷摸摸的幻灯片。 给定ZFC的可数模型，它是ω（x）的模型 - 理论解释，其允许我们找到元素m∈M，使得m≥ω[m]。 但它只是普通英语解释，为我们提供了任何真实的理由，以思考ω（m）需要m是不可数的。 此外，随着我们刚刚看到的，模型 - 理论解释与普通英语解释之间有足够的差异，使我们怀疑两者之间的任何容易幻灯片（即使我们不知道这个幻灯片最终会导致我们的悖论一直领导我们）。 特别是，我们应该抵制任何尝试直接从M≠ω[m]对m是不可数的索赔的事实移动。
实际上，该分析将Skolem的悖论视为平稳的案例。 ω（m）有一个解释，这个公式确实需要m是不可数的集合; 还有另一个 - 相当不同的解释，确保了m∈ω[m]; Skolem的悖论取决于令人困惑这两个解释。 原则上，我们应该不再感到惊讶地发现这种混乱导致我们误入歧途，然后我们发现我们的直接存款不会埋在当地的河岸。 实际上，模型 - 理论案件可能比银行案例更糟糕：你可以在河岸挖掘时幸运并找到埋藏的宝藏，但它是一个直截了当的定理，如果m是可计算的，那么{m | m}也是可计算的。
然后，这使我们能够对Skolem的悖论进行了一个相当简单的解决方案。 这是一个解释为什么大多数数学家没有发现悖论非常令人不安的解决方案，并且在哲学文献中也是一个相当流行的解决方案。 例如，它基本上是Skolem Hisself在1922年（Skolem 1922）的解决方案，并且这种解决方案的变体出现在悖论的更新讨论中（Resnik 1966; Myhill 1967; Hart 1970;麦金托斯1979; Benacerraf 1985; Shapiro 1991; Giaquinto 2002）。 它还出现在一些最近的介绍性教科书（Shoenfield 1967; Kleene 1967; Fraenkel等，1984; Ebbinghaus等，1994; Van Dalen 1997）。
2.3传递亚芯片
在转向检查有关Skolem Paradox的一些更纯粹的哲学问题之前，还有一些关于悖论的数学的要点是有序的。 首先，为了更好地了解模型 - 理论与ω（x）的普通英语解释之间的差异如何产生Skolem的悖论，值得通过稍微更精细地的悖论进行跟踪这些差异。 我们说，如果X的每个成员是一个集合，则设置X是传递的，并且X成员的每个成员也是X的成员（SO，Y∈x∈x）。 我们说，如果模型的域是一个传递集，模型的“成员资格”关系只是限制模型的域的真实成员关系，所以，模型的“成员资格”关系，所以的模型是传递的，并且对于任何M1，M2，M2，M2⇔m⊨m1∈m2））。 然后，如第1节所述，转发子汇流单元定理表明，如果我们从ZFC的任何传递模型开始，那么我们可以找到一个传递模型，其域是可计算的（实际上，我们可能假设这个可数模型是我们启动的模型的子模型）。
假设，该M是ZFC的可数传递模型。 这对Skolem悖论的分析有两种影响了最后一节给出的。 首先，它确保模型 - 理论和ω（x）的普通英语解释对“∈”的解释达成一致：对于m1，m2∈m，m⊨m1∈m2，如果m1确实是m2的成员。[21] 因此，在这种情况下，Skolem的悖论的解释必须涉及对量子的解释。 其次，M是传递的事实可确保M不仅仅是会员权。 特别地，如果f和m生活在m的域中，则m⊨“f：ω→m是一个自来圈的”如果f真的是自然数和m之间的底部。[22]
