Skolem的悖论（二）

这些事实在一起帮助我们隔离在Skolem的悖论的及时潜水子版本中真正发生的内容。 再次考虑我们已呼叫ω（x）的公式。 此公式具有以下形式：

ω（x）¬∃f“f：ω→x是粉断”

在其普通英语解释下，该公式表示，设定理论宇宙不含自然数和X之间的任何双突发。 特别地，ω（m）表示，自然数和m之间没有双射。 相反，ω（m）的模型理论解释 - 与mω[m] -says的事实相关的模型理论解释，只有m的域的域名不含自然数和m之间的任何双射精。[23] 显然，这两个解释有可能分开。

在Skolem的悖论的情况下，他们实际上确实崩溃了。 由于M是可计算的，因此设置m = {m | ∈}也必须是可数的。 因此，确实确实存在底射（确实如此，2ℵ0的两次射精），F：ω→m。 在普通的英语中英语解释上，量词“请参阅”这些双射出，ω（m）出错。 Skolem的悖论表明是m本身不含任何这种杀菌剂。 因此，ω（m）的模型 - 理论解释中的量词看不到ω和m之间的任何双突起，因此ω（m）出来真实。 因此，在这种情况下，估计ω（x）处理的模型 - 理论和普通英语解释的方式差异提供了对Skolem的悖论发生的情况完全自然的解释。

这种悖论的悖论在文献中得到了广泛讨论的（McIntosh 1979; Benacerraf 1985; Wright 1985; Tennant和McCarty 1987）。 实际上，若干作者提出，可能需要进程来制定悖论（Benacerraf 1985; Writight 1985; Button和Walsh 2018）的哲学上重要版本。 有关后者的反对，请参阅1987年的宾夕法尼亚州和McCarty 1987。

2.4 ZFC，电源集和实数

第2.2-2.3节的分析一般解释说明可数模型如何满足特定元素的ω（x）的公式。 但它仍然可能留下一个明显的问题：ZFC的可数模型如何满足这样的公式？ 授予任意模型可以以特殊的方式解释如ω（x）的公式 - 如何满足集合理论的所有公理，同时仍然保持这种特殊的解释？ M表示m满足zfc的事实不应该确保m还获得基本的集理概念，如可数和不可数正确？

这些问题的简短答案是：可数模型“误解”设定理论的公理同样，因为它们误解了公式ω（x）。 目前，让我们坚持使用M是传递的假设，并考虑电源集公理：[24]

∀x∃y[z x x z∈y]

在其普通的英语解释上，这个Axiom表示，每个集合都有一个电源集 - 一个集合，其中包含我们开始的集合的所有套件。[25] 然而，在其模型 - 理论上的解释上，公理说了一些弱点。 对于任何x∈M，Axiom确保我们可以找到一个y∈M，它包含x的x的恰好也存在于m（SO，Y = {Z | Z | z x≠Z×m}的x的x的亚群。 但是如果x是无限的，那么大多数x子集不会居住在m的域中（毕竟有2ℵ0x的x，而m的域只有可数）。 因此，由电源集公理的模型 - 理论解释产生的Y将远小于X的真实功率集（Fraenkel等，1984; Tennant和McCarty 1987; Shapiro 1991; Hallett 1994;戈迪托2002;湾2007a）。

在这种情况下，然后，在模型 - 理论和普通英语解释的方式的差异，电源集公理的方式处理初始∀z - 量词 - 以及尤其是通过此量词的x的x的子集的差异 - 解释如何可数模型可以满足“应该”生成不可数集合的公理。 这种现象相当普遍。 在Resnik 1966中，Michael Resnik通过实数的情况跟踪这种现象。 如前所述，假设M是ZFC的可数传递模型。[26] 然后将有一个特定的r∈M，使得Modulo一些缩写，

m¼“r是实数的集合。”

Resnik注意，即使M满足此公式，R并没有真正包含所有实数 - 它只包含那些恰好生活在M的实际数字。[27] 因此，仅仅是可数的事实并不是在任何有趣的意义上，产生矛盾的情况，其中所有实数的集合也是可数的。

这些例子突出了一个至关重要的事实：解释了可数模型如何满足像ω（m）等句子的“误解”实际上是相当系统的。 他们还解释了这些模型如何满足像“R是实数”的句子，或者“Y是ω的电源集”; 他们甚至解释了这些模型如何满足设定理论的公理（例如，电力集理公理）。 当这些误解的足够汇总时，他们共同解释了如何为可数模型满足集合理论的公理方式，同时保持我们在2.2-2.3节中讨论的ω（x）的特殊解释。 最后，虽然Löwenheim-Skolem定理可能仍然有趣的技术事实 - “正式系统的一个新颖和意外的特征”，在van Heijenoort的话语中，Skolem的悖论本身不应该出现非常矛盾的。

2.5四个最终点

我们仔细讨论了Skolem的悖论与四个最终点的数学方面。 首先，在2.3-2.4中的讨论集中在Skolem的悖论的传递亚曲线案例上。 这种情况相对简单地分析，（因此）是文献中最广泛讨论的情况。 但它也可能有点误导。 对2.3-2.4的大部分分析都在转向传递模型在关于设定的理论宇宙（成员，双征，真实数字等）上“正确”的事实。 最重要的是，如果m是传递和m∈m，则m = {m'∈m | m¼m'∈m}。

然而，如果m不传递，那么几乎所有这一切都崩溃了。 海湾认为，Skolem的悖论是Skolem的悖论，这些悖论仅在某些无传递模型解释了ω（x）（横盘2007a，4-5段）的少数特定实例。 类似的积分将涉及我们对2.4节中的电力集和实数的讨论。 例如，我们可以找到一个可数模型的ZFC，其中包含整组实数作为成员 - 模型只仍然是可数的，因为ℜ≠{m | m⊨m∈ℜ}（Benacerraf 1985; Bays 2007a，第1节）。 简而言之，虽然SKOLEM的悖论在第2.2节中的通用解释 - 简单地注意到模型 - 理论与ω（x）的普通英语解释之间存在一些差异，然后用粉笔曲化的悖论当我们转向非传递模型时，这两种解释之间的某种等分之一 - 继续抵押2.3-2.4的更详细分析。 因此，在一般的非传递案中，第2.2节的分析可能是我们可以做到最好的，我们可以在给予Skolem的悖论中的解释（这并不是说我们不能在任何特定的非传递模型的上下文中提供更详细的解释）。

这将我们带到第二点。 Skolem的悖论在很大程度上取决于我们使用集合理论的一阶公务化的事实。 更确切地说，这取决于我们使用一阶模型理论来解释这种公理化的事实。 1930年，Zermelo证明了（二阶）二阶ZFC计算基数和电源正确的模型。[28] 特别地，如果m是二阶zfc的模型，如果m∈M，则在⊨“m是不可数的”如果{m | ∈}真的是不可数的。 因此，Skolem的悖论在二阶上下文中不会出现（Zermelo 1930; Shapiro 1991）。

第二点表明，如果我们的逻辑足够强大，Skolem的悖论会消失。 第三点表明我们的逻辑弱化具有类似的效果。 在1987年的宾夕法尼亚州和麦卡锡1987年中，围栏和麦卡特艺术表明，Löwenheim-Skolem定理的标准证明在建构主义集合理论中失败，他们认为定理本身可能是建设性无效的。[29] 这意味着没有办法从建构主义数学框架内生成Skolem的悖论。 因此，对于建构主义者来说，对于那些愿意面对集合理论的二阶公正症的人来说，Skolem的悖论根本不会出现。

在一起，最后两点突出了中央古典一阶逻辑是如何到Skolem的悖论。 从数学的立场，这不应该是那么令人惊讶的。 Lindstrom表明，Löwenheim-Skolem定理在表征一阶逻辑本身时发挥着关键作用（Lindström1966;Lindström1969; Ebbinghaus 2007）。 鉴于这一点，与这些定理最密切相关的谜题也应该不成本也结果与一阶局势的特殊性相当密切相关。 虽然，正如我们所见，悖论不构成直接的数学矛盾，它确实有助于我们了解古典一阶逻辑的性质和限制。

这将我们带到最后一点。 上面的讨论解释了为什么我们愿意对集合理论的语言采取天真地采取天真的现实态度 - 例如，那些没有关于“普通英语解释的ω（x）”（ω（x）的解释）的人 - 应该通过skolem的表达悖论。 重要的是要强调，这种分析还解释了为什么Skolem的悖论并没有将矛盾引入各种形式的公理化设定理论，即使这些公务化本身在理论上是形式的或模型形式的形式理解。 从校样观点来看，例如，在我们的语言中明确地依赖于某些公式（从直观的角度来看，这是一种验证的定量观点，这已经有所明确地依赖于我们的语言中的某些公式（其中，从直观的角度来看，用于“拾取”域可数模型的ZFC）。 因此，没有先验的原因认为与不相似的量词的句子将与该句子完全更靠的对应物冲突。[30] 类似地，从模型 - 理论的角度来看，量子之间的差异，该量子之间的范围在模型和量子的整个域上，该量子仅在模型的某些特定成员的“元素”上的范围内（再次，该成员是较大的模型“认为”是模型的“ZFC）。 因此，虽然部分的幼稚的现实主义是2.1-2.4的野真，但对于关联目的是有用的，这对Skolem悖论的潜在分析并不重要。

3.哲学问题

最后一节向为什么Sklem的悖论不构成数学问题。 当然，这并没有让哲学家争辩说，悖论确实构成了哲学的问题。 在本节中，我们探讨了几次尝试从围绕Skolem悖论的数学中获得哲学结论。 然而，在这样做之前，两个警告票据是有序的。 首先，许多令人挑剔的Skolem悖论讨论的讨论相当短暂，而不是通过通过的暗示评论。 因此，对这些评论的大部分讨论都必须有些推动。 其次，对Skolem的悖论的许多关键讨论仅仅通过帕拉多的数学仔细地工作，然后解释了悖论不构成真正的数学矛盾。 由于此材料已在第2节中介绍，因此我们不会在本节中有任何了解这些问题。

3.1 Skolem的观点

在1922年的论文中，他最初提出了Skolem的悖论，Skolem使用悖论来争论两个哲学结论：该集合理论不能作为“数学基础”，并且公务化集合理论导致“设定理论概念的相对性”（Skolem 1922）。 这些索赔和Skolem对他们的论点，在文献中引起了相当大的关注。 不幸的是，Skolem的纸张非常压缩，因此难以确定这些声称真正应该是什么。 目前，Skolem的纸有三种解释，在哲学文献中有一些货币。

让我们从SKOLEM声称开始，即公正结构理论导致设定理论概念的相对性。 理解这一主张的一种方法是将其视为我们可能称之为代数或模型理论的公理化的背景。 在这一概念上，集合理论的原理用于表征 - 甚至可以隐含地定义基本的集理理论概念，如集，成员资格和定理宇宙。 因此，一个设定的理论宇宙只是设置理论的公理的模型，一组只是一些设定理论宇宙中的一个元素，并且成员资格是指特定宇宙用于解释符号“∈”的任何二进制关系 在这一概念的公理化的情况下，设定理论的公理不应被视为描述 - 或甚至部分地描述的尝试 - 给出了集合理论的“预期模型”; 相反，集合理论的预期模型只是那些恰好满足我们初始集合结构的初始集合的模型。[31]

在这里，我们应该强调，这种代数的公理化的概念对于在Skolem工作的1922篇论文时工作的数学家将非常熟悉。 Skolem Hunself在Schröder的代数逻辑学院接受培训，因此这将是他思考公理的自然方式。 但甚至是在Schröder的学校没有接受过培训的人也会发现熟悉的概念。 这是延迟希尔伯特着名的几何的着名公理化的概念（关于哪个希尔伯特崇高声称，我们可以用桌子，椅子和啤酒杯替换点，线条和飞机，只要后一种物体站在正确的关系中）。 它也是占据19世纪的概念的概念，即算术和分析可以给予分类（二阶）公理化。 最后，最重要的是，在我们目前讨论的纸质中，Zermelo的公理化对Zermelo的概念是Zermelo的概念，因此Sklem主要关注批评。[32]

鉴于这种代数的公理化构想，那么，Skolem吸引了Löwenheim-Skolem定理，争辩说，集合理论的原理缺乏销售不可数概念的资源。 鉴于设定理论和任何公式ω（x）的任何首式ω（x），应该捕捉不可数的概念，Löwenheim-skolem定理表明我们可以找到满足我们的公理的可数型号m。 因此，如第1节中，我们可以找到元素M≥M，使得M≥Ω（m）但{m | m⊨m∈m}仅是可数的。 因此，只要通过查看集合理论的一阶公分化模型理论，即许多这些概念的基本设定理论概念性的特征在于，那么这些概念中的许多概念 - 以及数量的概念 - 将结果不可避免地相对。[33]

然后，这提供了Skolem的索取内容：公理结构理论导致设定理论概念的相对性。 这里非常重要，在这里，将这一主张与更琐碎的索赔区分开来，这些索赔可能被认为是顾人的索赔。 从一个角度来看，公理化的代数概念导致了一种明显的相对论形式：作为一个模型中的集合的元素可能不计数在另一模型中的集合，一个模型的成员关系可能与另一模型的成员关系不同，并且，由于两种模型碰及共享相同域，所以在会员关系中的后一种差异可能会持有。 因此，在这种琐碎的相对论概念上，几乎一切都结果是相对的，甚至简单的概念，如“x是空集”或“x是单例” 毕竟，一个模型中的一个物体可以是“单例”，而在另一模型中是“双彼得顿”，或者在一个模型中可以是“空集”，同时完全来自另一个模型的域。

重要的是要强调，Skolem自己的相对论概念比这更复杂。 让我们授予用作“空集”的特定元素，当我们从一个模型到另一个模型移动到另一个模型中的一个模型中的空间时，它可能是第一个模型中的空集，这是第二个模型。 尽管如此，我们仍然可以使用集合理论语言的公式以基本上绝对的方式捕获“x是空集”的概念。 在我们的公理的任何模型中，IF∈将满足开放式“∀yy”，如果设置{m | m⊨m∈m}真的是空的。 因此，至少有一个感觉，我们仍然可以捕获来自代数框架内的“x是空集”的概念。 而这一点更广泛地扩展了类似的参数将适用于“x是单例”或“x有十七名成员”的概念 因此，即使是公理化的代数概念，也有一些设定的理论概念，我们仍然可以精确地放下。 Löwenheim-skolem定理显示是什么，无论我们的（一阶）设定的理论原理多么富裕，我们都不能使用这种技术来识别概念“X是不可数的。” 这是落后于所有Skolem的谈论“相对论”的结果，这是一个结果，这突出了代数方法的真正弱点来设定理论理学公理化。[34]

为了总结，然后，本次讨论的结果是：如果我们采取纯粹代数方法对集合理论的公理，那么许多基本集理概念 - 包括可数性和不可数的概念 - 将结果为相对。 在Skolem的话语中：“公理结构理论导致设定理论观念的相对性，并且这种相对性与每一个彻底的公理化密不可分，”（Skolem 1922，第296页）。 当然，这仍然留下了这些概念是否存在的问题，因为它是绝对相对的，绝对相对于是否存在一些其他，非代数和非彻底的方式，了解我们的公理，这不会导致我们刚刚讨论的那种相对性。 这是我们转向后者的问题时，Skolem纸的各种解释开始分开。

对纸张的最传统的解释看到了Skolem，因为安装了对集合理论的直接攻击。 Skolem通过注意到经典的集理悖论来引导我们对非正式理论的非正式谅解持怀疑态度，这些理论是“天真的推理”的非正式谅解，以使用Skolem自己的表达。 鉴于这一点，我们唯一的真实选择是回归某种形式的公理结构理论，并且唯一可观的方式了解我们的公理的方式是代数（因为在直观地理解它们的情况下，金额将落在我们以前不信任的Naiveté中。 但是Skolem的悖论表明，设定的理论概念是相对的公理化的代数概念。 所以，这些概念真的相对。 简而言之：古典的悖论表明，集合理论的代数概念是我们得到的最佳概念，因此Skolem的悖论表明，设定理论概念是不可避免的相对的。 这种传统的滑雪读数在民间传说中非常普遍; 它的变体在Hart 1970，McIntosh 1979，Muller 2005和Bellotti 2006中讨论。

第二个解释侧重于Skolem声称，集合理论不能为数学提供足够的基础。 特别是，Skolem认为设定理论缺乏为他认为普通算术基础提供资源，算术是“清晰，自然而不打开问题”，而设定理论本身则更为问题。 为了表明该集合理论是有问题的，Skolem通过许多不同的解释结构理论 - 天真集合理论来运行，公正结构理论解释为理论上，理论上，公正结构理论被解释代数等 - 而且他争辩说在这些定位理论的理解中，对于基础来说是不足的。 在这次阅读中，Skolem的悖论只在Skolem的整体论点中发挥着谦虚的作用。 它有助于突出集合理论的一个特定概念（代数概念）的一些问题，但它在Skolem在Skolem对其他概念的争论中没有作用。 此外，这些其他争论没有表现出来 - 甚至甚至旨在表明 - 集合理论的各种非代数概念导致任何类型的相对论（尽管他们这样做，但当然，他们做出了其他问题，使他们不适合基础主义目的。[35] 这一基础知识读取的Skolem纸张的版本可以在乔治1985年和Benacerraf 1985中找到; 见2001年Janéé批评这一解释。

Skolem论点的最终解释是由IgnacioJané（2001年Janéé）的论文中。 Jané的阅读与传统的解释同意拍摄SKOLEM将在集合理论上安装相当一般的攻击 - 以及特别是绝对不可数的集合的概念。 但它同意了基础主义的解释，因为它需要这种攻击零碎地安装零碎，并且Skolem的悖论本身只在一个攻击尖头中扮演一个适度的角色。 大概是，Jané认为，Skolem试图表明，最初没有严格的方式初步介绍了数学中不可数的概念。 设定的理论悖论表明，我们不应该天真地将Cantor的定理在脸部值 - 所以，Cantor的证据本身不会强迫我们接受不可数的套装。 Skolem的悖论表明，采用对设施理论理公理的代数理解也不会强迫我们接受不可数的集合，因为我们可以始终将这些公理解释为申请唯一可数的模型。