Skolem的悖论（三）
当然，作为Jané通知，我们可以使用许多策略来逃避这次Skolem悖论的应用：我们可以使用不代表的许多公理来强迫我们的模型具有不可数的领域，我们可以吸引向上的Löwenheim-Skolem定理表明Zermelo的公理也具有不可数的模型（参见第1节），或者我们可以移动到二阶版本的Zermelo的公理组，然后证明这些公理只能由具有不可数域的模型满足见2.5节）。 不幸的是，这些策略中的每一个都预先假定我们已经先前抓住了不可数套装的概念。，最初表征不可数的一组公理，以制定向上的Löwenheim-skolem定理，或证明二阶ZFC仅具有不可数模型。 因此，这些策略都不可用于首先将不可数套装介绍到数学中。 左右，无论如何，Jané需要Skolem来争论。
然后，这些是Sklem在文献中的三个主要解释。 在不采取这些解释中最好捕获Skolem自己的意图的立场，我们注意到Skolem的大多数同时代人将他解释为上面描述的“传统”论点，以及他们对Skolem悖论的回答反映了这一解释。 Zermelo自己来接受他的公理的代数观念，但他坚持认为这些公理应该以二阶项解释，而且这么解释，他们不会堕落到Skolem的悖论（Zermelo 1930年;泰勒1993; Ebbinghaus 2003）。 同样，Tarski建议通过在某些版本的类型理论中将“∈”作为一种逻辑常数来防御Skolem的悖论（参见Skolem 1958年底发表的备注）。 但是，虽然这两个建议都会让数学家避免Skolem的悖论，但它们都依赖于接受强大的数学机器，这些机器是Sklem-on Road的任何纸张 - 几乎肯定会肯定想要拒绝。 因此，鉴于Skolem的哲学目的，这些当代对他的悖论的反应似乎不会非常威胁（参见Skolem 1955和Skolem 1958，对于一些Skolem对这些类型的回应的思考）。
3.2天花铁怀疑
多年来，已经有一个小但稳定的哲学家和逻辑人士，他们已经发现了我们所谓的传统解释Skolem的哲学令人信服 - 即，作为一个独立的哲学论点，而不仅仅是一种解释Skolem的纸。 他们的观点是，迈克尔·雷尼克（Michael Resnik）被称为“滑雪石”的观点，认为Löwenheim-Skolem定理真的表明设定理论概念是相对的。 实际上，Skolemites通常愿意进一步比这一点进一步，并且声称给定的集合可能是不可数的“相对于公理系统的表达方式”，但是当从“绝对”透视（kneALE和kneale）考虑时，每组是可数的。1962年; Goodstein 1963;王1964;罚款1968;托马斯1968年，1971年）。
在本节中，我们隔离了这些恶棍索赔的一些经典发展背后的关键观点，然后我们将一些回答近期出现在最近的文献中。 （在第3.3节中，我们考虑了一个有趣的新方法，用于太极地位置。）我们从SkoLemite论点开始。 非常大致，这个论点有三个步骤。 首先，它争辩说，集合理论的代数概念是当代数学家和哲学家采用的唯一可观的观念。 其次，它遵循Skolem争论集合理论的代数概念导致设定理论概念的相对性。 最后，它扩展了Skolem的论点，以捍卫最后一段 - i.e结束时所提到的强烈的相对性形式。，在从“绝对”的角度来看，每种设定的每个集合都会成为可数的。
出于我们的目的，在我们对Skolem讨论的背景下，这一论点的第二步已经被认为已经足够详细; 所以我们只是在这里重申了主要点。 关于集合理论的代数概念，基本设定理论观念来看看集合理论的一阶公分化模型理论。 随着我们从模型移动到模型的概念 - 在上一节中讨论的“固定”的意义上的概念 - 具有“绝对”的意义; 随着我们从模型移动到模型而变化的概念只有“相对”的意义。 鉴于这一点，Löwenheim-Skolem定理表明，随着我们从模型转移到模型的移动，实际上的可数性和不可数的概念变化。 在集合理论的代数概念上，这些概念仅为“相对”。[36]
这将我们带到了SkoLemite参数中的步骤1和3。 步骤1是此参数的不同版本显示最大的可变性。 在某些情况下，步骤1简而言之，因此很难感受到潜在的争论真正应该去的（knea和kneale 1962; Goodstein 1963; Wang 1964）。 在其他情况下，建议任何拒绝代数概念 - 以及尤其是任何搬家，以简单地采取类似于“所有集合”或“真正不可数的表达”，在面值 - 相当于以不可接受的天真形式的“柏拉图主义”。（罚款1968; Thomas 1968,1971; Klenk 1976）。 在其他情况下，Skolemites关注Skolem的铅并吸引到隐形的理论悖论，以支持他们对柏拉打主义的拒绝; 然后，他们建议放弃柏金党的原始概念作为唯一可行的替代品（Klenk 1976）。
这里有另一种可用的策略：一些作者通过使用关于数学语言的解释的其他谜题来捍卫太怪物的位置 - 除了Skolem的悖论之外的谜题 - 以激励从柏拉图主义到的初始移动代数构想。 因此，例如，Klenk认为，我们可以在Benacerraf 1965-进入这种论点（Klenk 1976）中帕芬的古典拼图之一。[37] 同样，Wright已经提出了关于含义之间关系的Wittgensteinian的考虑因素，并用来激励有限的滑块位置（Wright 1985）。 最后，若干作者提出，二十世纪集体理论的整体发展讲述了代数方法 - 毕竟，主题的整个历史都是远离天真的方法来设置理论和朝着正式的公理化（特别是一阶）公理化）。 参见，klenk 1976为此进行了最后一类分析。
现在转向Skolemite参数的第三步。 基于这一第三步的数学定理很清楚。 设φ（x）是假设唯一Set-e.g的公式。，“x是ω”的电源集，或“x是实数的集合。”[38]然后我们可以找到一个型号m∈Zfc和元素m∈M⊨（m）和{m'∈m | m⊨m'∈m}仅是可数的。 因此，如果我们愿意承认这一切，例如，ω的电源集是为了满足一些模型理论模型中的相关定义公式，那么我们可以了解ω的电源集的至少一个实例是“真正”可数的感知。 如果我们愿意进一步假设它只需要一个双重的ω的电源组实例，以使电力集体“绝对”可数，那么我们可以了解SkoLemite对绝对数量的强烈索赔。 当然，这两个最终动作都不是在严格意义上的严格意义上，从原始的公理化概念; 但是，它们都是移动代数概念的推动者可能很好地找到了同意的动作。
然后，这使我们提供了各种光纤争论的基本结构。 在转向近期文献中出现的这些论据的一些答复之前，重要的是要清楚地区的悖论本身可以在这些论点中发挥作用。 有时候，看起来一些Skolemites认为Löwenheim-Skolem定理本身表明，我们的普通概念存在问题：所以，定理表明设定理论概念是相对的，相对论是与我们普通的套装概念不相容，因此我们的普通概念必须被遗弃（kneale和kneale 1962; Goodstein 1963）。 然而，它应该清楚地从第2节中清楚，这一论点没有机会成功。 第2节的分析表明，我们愿意对集体理论采取天真的现实态度的人 - 或者，对于那些需要更复杂的立场的人，依赖于迭代概念和/或某种形式的二阶结构主义 - 将没有问题Skolem的悖论。 因此，悖论本身不能强迫我们放弃我们对套装的普通概念。
相反，成功的Skolemite需要遵循本节开始的基本方法。 他始于集合理论的代数概念的独立论点 - 即，这是一个引导我们放弃对代数构想的普通概念的论点，（至关重要地）这一论点本身并不导致与之有关的问题Skolem的悖论。 一旦这个初步说法完成，可以继续使用Sets的代数（当然，Löwenheim-Skolem定理）来捍卫在步骤中进行的索赔他的论点中的2和3。
关于这种方法的另外两项评论是有序的。 首先，我们应该注意到这种方法提供了对我们在第2节中所做的各种论据的响应的响应。特别是，他允许他挑战我们的全天真使用表达式“普通英语理解”，“M，”的真实成员“Quantifers在整个设定的理论宇宙中的范围内，”等。鉴于普通集合的普通概念的独立论点，Skolemite不会对Skolem的悖论留下的“解决方案”，这导致了这些类型的朴素的就业。 见托马斯1968年，1971年; Klenk 1976。
其次，我们应该注意到，尽管这种方法需要Skolemite以对我们普通的套装的独立论点开始，但它不需要使Löwenheim-Skolem定理本身完全多余。 毕竟，它仍然是一个定理的定理，如可计算性和不可数的概念等于代数构想。 这不是所有集理理论概念的东西 - 例如，“x是空集”或“x有十七个成员” - 它不是一些只是从起始的公理化的代数构想中掉出的东西。
所说的是，这是一个不足以谨慎的地方。 除非他的论据第1步中提出的考虑相当密切相关，除了代数构想的细节 - 并以一种方式捆绑在某种程度上使得概念真正有吸引力作为对集合理论的积极理解 - 威胁的较大的争论受到某种威胁修辞琐事。 毕竟，一旦滑块有资源将我们推向集合理论的代数 - 如他的论点 - 然后他也有资源直接破坏我们的普通概念，而且没有将Skolem的悖论本身带入讨论。 如果这是正确的，那么Skolemite的更大的论点可能很大程度上批评普通的集理观念，以批评在捍卫最初迈出的批评过程中，普通的普通背景下是“相对”的普通集理观念，其中在捍卫最初迈出的过程中他的论点。 这将是一个笨拙的尴尬。[39]
为了避免这种尴尬，我们认为Skolemite应该依靠他的论点，少批评我们普通的集理观念，更重要地是对集合理论的代数观念的建设性分析。 也就是说，他应该主要关注捍卫集合理论的代数概念作为集合理论的独立合理的概念（步骤1），然后他应该提出设定的相对性，只要这一积极构想的新的和令人惊讶的后果（步骤2-3）。 这场争论的战略为Löwenheim-Skolem定理留下了一些真正的哲学工作 - 例如，如上所述两段前。 它还给出了步骤1，更紧凑，更加建设性的焦点。 在这种阅读上，步骤1主要用于突出代数构想的积极美德; 批评普通的集理观念（充其量）是二次关注的。[40] （有关此类点的更多信息，请参阅第3.3节。）
这为我们带来了批评了最近文学中出现的太阳能争论。 三种一般形式的批评都值得一提。 首先，通过简单地慢慢地打开围绕Löwenheim-Skolem定理的数学，许多作者对Skoolemite辩论进行了回应，以表明这些定理本身甚至没有问题集合理论（Resnik 1966; Benacerraf 1985; Bays 2007a）。 虽然这种反应对我们讨论了六段前的Skolemite论点的简单性版本，但它对我们目前正在考虑的更复杂的论据非常少。，从对这种天真的理解的独立批评开始的论点。[41] 鉴于这一点，并给出了我们已经在第2节中详细讨论了这种响应，我们将在这里不再说它。
其次，几位作者通过直接批评集合理论的代数概念并捍卫了对集理语言的更普通和直观谅解（Myhill 1967; Resnik 1969; Hart 1970; Hart 1970; Benacerraf 1985）。 我们应该在这里突出三个问题。 首先，鉴于概念本身似乎预先制定和证明我们的模型理论结果（例如，似乎是，这很难看出代数观念如何提供数学语言的总体陈述。Löwenheim-Skolem定理）。 当我们专注于SkoLemite论点的第三步时，这个问题更加激动，因为这一步骤似乎需要自然数量的绝对叙述和枚举的绝对叙述，以便制定其“绝对数量”的概念（参见Resnik 1969; Benacerraf 1985;和Shapiro 1991;见托马斯1971; Klenk 1976;和Bellotti 2006关于这一论点的一些担忧）。
请注意，这里，这些初始点似乎讲述了对数学现实主义的任何完全普遍批评，以推动人们朝着原始的公理概念推动。 在表面上，毕竟对现实主义的任何足够一般的批评都适用于Skolemite自己的模型理论，就像古典集合理论一样。 这是令人怀疑的，因此，Skolemite是否能够真正吸引，说，简单地担心“柏拉打主义”或关于我们的认识到数学对象的认可，以激励一个全吹的太阳地位。 简而言之：Skolemite争论转向大量数学定理的事实似乎迫使Skolemite接受数学的某些部分不受太阳散相对性的影响。 （除了最后一段中的参考文献外，请参阅Bays 2001; Bellotti 2005;和Bays 2007B用于讨论Putnam的模型理论论证的背景中的这种观点。）
当然，这个第一个论点留下了设定理论是一个特殊情况的可能性 - 即使数学的一些分支，即表示数字理论和分析，应该绝对地理解，设定理论，如团体理论和拓扑，仍然应该被争议地理解。 不幸的是，设定理论的实践与更明显的代数受试者之间存在许多明显差异。 因此，例如，数学家倾向于将设定理论的公理视为较少固定而不是组理论或拓扑结构。 在集合理论中，数学家有时会提出ZFC公理是正确的问题 - 即，它们说话，只要有一个直观的概念，ZFC公理可能被检查并发现想要的。 在群体理论和拓扑中，相比之下，它根本没有意义于谈论“直观的概念”，这可能与相关公理指定的概念分歧。[42] 在类似的静脉中，设定理论家有时争论我们是否应该将新的公理添加到集合理论-e.g的标准公理 - 例如，v = l等v = l等公理，甚至是诸如con（zfc）等公理。 相比之下，没有人会梦想为组理论或拓扑的公理制作。 从这个意义上讲，所以设置理论的代数方法是对集合理论的推定，以便组织理论的代数方法不是。
最后，即使我们接受集合理论的代数概念 - 也许是因为我们对某种结构主义的数学哲学有更大的承诺 - 目前还不清楚为什么这一承诺要求我们将自己限制在一流的公正程中设定理论。 毕竟，许多最成功的代数方法的起始方法 - 例如，19世纪的结果可以给予使用二阶背景逻辑的分类公理和分析。 而且，正如我们在第2节所述，二阶版本的ZFC不会产生Skolem的悖论。 因此，Skolemites捍卫代数方法对集合理论的公理化，他们需要表明一级代数方法是正确的方法。 查看哈特1970年和Shapiro 1991，适用于这一论点的发展。
那么，对于一般批评公理化的代数概念及其在恶棍辩论中的作用。 我们现在转变为对该论证中的第三步的重点感到重视。 为了参数，让我们授予SkoLemite表明我们的Set-理论概念是相对的，并且对于我们可以使用公式定义的各种集合，只有这种情况的实例只有可数。 因此，有一个可数实例的功率集的ω，实数的可数实例等[43] 仍然，目前还不清楚为什么这表明每套是“绝对”的可数。 毕竟，就像Löwenheim-Skolem定理一样，我们可以找到所有这些套装的可数实例，Upward-Löwenheim-Skolem定理表明我们也可以找到不可数的实例。
鉴于这一点，许多批评者提出了Skolemites面临两个解释性的负担，而且，到目前为止，没有用于满足这些负担的恶作剧。 首先，Skolemite需要解释我们如何识别不同模型的集合 - 即，为什么我们应该考虑满足“X是ω”的各种不同对象，以“相同的集合” 请注意，如果天花铁将从其中一个对象的可数性的证据开始，则一些这样的识别是必不可少的，然后使用此证明来争论所有其他对象的绝对数量（Resnik 1966）。 其次，Skolemite需要解释他对可数套装的偏好。 即使SkoLemite可以识别给定集的可数和不可数的“实例”，他也需要解释为什么这个识别导致所有集合都是“绝对可数”的结论，而不是结论，所有集合都是“绝对不可数”（Resnik 1966; Benacerraf 1985）。
然后，这些是在文献中出现的太原地位的主要批评。 不幸的是，更彻底地对待他们，要求我们深入了解关于我们对集法语言的非正式理解的问题，二阶量化的合法性以及与数学对象相关的身份条件的地位潜入问题在数学的结构主义哲学中。 探索这些问题会让我们远离Skolem的悖论本身。 对于最近对某些相关文献的调查，请参阅Bellotti 2006。
3.3多层
在过去十年中，集合的理论乔尔哈姆钦一直在争论集合理论的概念，这对传统的太原地位有一个令人惊讶的相似之处（尽管Hamkins自己的动机似乎从集合理论本身比传统的方式更多地进入更多哲学文学）。 Hamkins指出，随着所设置的，理论家已经开发了越来越强大的工具，用于构建和比较不同模型的集合理论强制，内模范理论，大型基本嵌入等的不同模型 - 它们变得越来越少，不太可能将任何特定模型视为巧克力。 相反，集合理论增加了越来越关注的集合理论的不同模型，而不是单挑一个模型作为特权。 因此，Hamkins因此，设置理论家应该接受他所谓的集合理论的概念 - 一个概念，其中没有设定理论的模型特权，并且设定理论的目的只是探索各种模型之间的关系。
这种多层概念与第3.1-3.2节中讨论的代数构想显然。 此外，它满足了我们在第3.2节中孤立的关键探索图之一。 Hamkins捍卫多个人作为集合理论的独立合理的概念，他认为接受它的动机来自数学实践。 （即，Hamkins并不争辩说，因为迫使扩展是可能的，我们陷入了定理的相对论;相反，他争辩说，因为强迫扩展是自然的，所以应该接受设定的理论相容性。）这种意义上讲，像多梅子这样的东西可以很好地构成发展代数构想的“正确”方式。
此外，多层概念自然导致传统的太阳岩的各种结论倾向于青睐。 让A在某些型号中（其中M在多层的某处生存）。 然后m具有强制扩展，M [G]，其中A仅是可数的。 这为Skolemite提供了一种自然光泽，声称“每个集合可从某些角度来看。” 类似地，可以通过以下事实来解释支持可数性（参见第3.2节）的SkoLemite的偏见（参见第3.2节），如果A可以在一个型号中可计算，则它在该模型的所有扩展中保持可数。 相比之下，可以通过传递到适当的强制扩展来始终可以对不可数集合进行可数。 有关更多信息，请参阅Hamkins 2011和Hamkins 2012.对于一些批评，请参阅Koellner 2013（根据其他互联网资源）。
