Skolem的悖论（完结）
3.4 Putnam的模型 - 理论论点
近年来，讨论的Skolem悖论最广泛的版本已经进入（一个版本）Hilary Putnam所谓的“反对现实主义的理论论证” Putnam在模型 - 理论论证中的一般目标是表明我们的语言是语义上不确定的 - 这对我们的语言的术语和谓词有关，这是没有事实的。 因此，在集合理论的情况下，他希望表明没有单一的理论宇宙，我们的量词范围和“成员资格”一词是指的。 在Putnam自己的术语中，没有用于设定理论的语言的单一“预期模型”。
在1980篇论文的前几页，“模型与现实”，Putnam认为，至少有一个预期的模型用于满足设定理论的语言，这些模型满足设定理论公理v = l。[44] 为了表明这一点，Putnam假设只有两件事可以在修复设定理论语言的预期模型中发挥作用。 首先，普特南称之为“理论限制” 这些包括设定理论的标准公理，以及来自其他科学分支的原则和理论。 其次，有“运作约束” 这些只是我们在科学调查过程中所做的各种经验观察和测量。
鉴于这些假设，Putnam认为找到满足V = L的预期模型，只需要找到满足相关理论和操作约束的ZF + v = l的模型。 他的查找此模型的策略依赖于以下定理：
定理：zf plus v = l具有一个ω-model，其中包含任何给定的可数实数集。
这里，该模型满足ZFC的事实应该确保它满足了来自集合理论本身的所有理论限制，而ZFC的丰富性确保该模型还具有编写我们最佳科学理论的资源（从而满足所有资源来自自然科学的理论限制。 最后，该模型包含任意一组实数，确保它可以编写构成我们“观察限制”的所有各种观察和测量。[45]所以，只要Putnam就认为设定理论的预期模型完全由我们的科学理论的正式结构 - 包括我们的明确设定理论理公理 - 以及我们碰巧的物理测量，那么本定理将生成一个预期的模型，其中v = l为真实。
此版本的模型理论参数与Skolem的Paradox有三个连接。 首先，Putnam自己将该论证呈现为悖论的自然发展。 在他的论文开始时，Putnam提供了Skolem的悖论的快速剪影，然后他提出了他对V = L的分析来自拍摄Skolem的争论，并“在某种程度上延伸它们似乎是指示的方向”（P 1）。 其次，正如脚注44中引用的段落所证明，Putnam的总体结论很好地适应了Skolem的悖论的更多最近的Skolemite理解，例如，他的结论v = L没有“确定真理价值”（P 5）或者Skolem的“Set-理论观念的相对性”延伸到“V = L”的真实值的相对性（P 8）。 最后，最重要的是，Putnam的定理证明在Löwenheim-Skolem定理上至关重要。 （非常大致的是，Putnam通过将向下的Löwenheim-skolem定理申请到L，以证明他的定理持有L;然后他采用Shoenfield绝对来将定理反映回到v。）[46]
Putnam的论点在文献中获得了许多批评。 在技术前面，海湾争辩说，Putnam的使用下来Löwenheim-Skolem定理是非法的，因为设定理论的标准系统不允许我们将这个定理应用于像L这样的适当类别，即使我们留下了细节Putnam的证据抛开，意大利人的考虑表明，Putnam的定理完全不能被证明（因为定理需要ZFC的一致性以来）。 当然，如果Putnam愿意使用更强大的背景理论来证明他的定理 - 例如，ZFC +“存在一个无法进入的红衣主教” - 他可以避免这些批评。 但在这种情况下，目前还不清楚为什么仍然应该被认为是普查的定理结果的模型来满足我们的理论限制。 毕竟，任何接受Putnam修订证明的新公理的人都会有理论约束，它超出ZFC + v = l-eg。，他们的理论限制可能很好地包括Axiom“存在一个无法进入的红衣主教。” 查看海湾2001年的托架原始制定这一异议; 查看1998年的Velleman 1998和Gaifman 2004年的一些替代配方; 参见Bellotti 2005和Bays 2007B，以便批判讨论; 并参见HAFNER 2005的第3章（ESP 3.3.3），讨论了Putnam对传递效力的类似点。
按钮（2011）据称，虽然这种技术批评有针对Putnam的论点的牙齿，但明确地调用了向下的Löwenheim-Skolem定理，但有替代的Putnam的论点可以逃避批评。 特别是，按钮注意到即使非常弱的理论也可以证明定理：“如果ZFC一致，则ZFC具有可数模型。” 由于ZFC的任何支持者必须接受ZFC是一致的，因此这些弱的理论足以让Putnam的几个变种在地面上。 有关开发，请参见2011年按钮。 参见Bellotti 2005和Bays 2007a，用于讨论有点类似的观点。
留在技术静脉中，几位作者在Putnam的论点涉及整理的概念之路上引起了紧张的张力。 一方面，Putnam需要使用这个概念，以使他的模型描绘为ω-model和（甚至），以了解一阶语言的正式定义和一阶满足关系。[47] 另一方面，Putnam无法允许他的论点对手使用这一概念来指定他们认为是型号的想法。 如果他的对手可以使用这个概念，那么他们可以定义模型的概念“熟悉”，这足以排除Putnam的定理生成的模型。 从这个意义上讲，Putnam的论点似乎在他自己使用的技术机器和他批评者提供的各种机器之间进行了无极的不对称。 查看Bays 2001和Bellotti 2005，了解这一点; 有关一些关键反思，请参见第3.4节哈夫纳2005。
在更纯粹的哲学方面，许多作者批评了Putnam的假设，即简单地满足我们的理论限制的一阶正式化足以使模型“预期” 因此，例如，黑客攻击我们应该真正致力于设定理论的二阶制定，并且Putnam的主要定理不适用于此类制剂（黑客1983）。 其他人认为，设定理论的预期模型需要转变，并且再次，没有理由认为Putnam的定理制作的模型是传递的（Bays 2001）。 最后，在最后一段中提到的，若干作者提出了一个建议，设定理论的预期模型至少应该得到充分创建的，但没有理由认为Putnam自己的模型是良好成立的（Bellotti 2005）。
Putnam对这种异议的回应是有趣的。 非常粗略地，Putnam表明，其他哲学家可能会提出的预期模型的任何条件 - 例如，最后一段中提到的那些 - 本身应该以一阶条款形式形式化并视为新的理论制约。 当这些新约束通过Putnam的参数反馈时，他将再次能够生成一个“满足”这些约束的模型。 因此，通过简单地采用特别灵活的读取“理论限制”短语“，”Putnam确保了预期模型上几乎任何条件都可以简单地折回他的原始参数（Putnam 1980; Putin 1983，VII-XII）。[48]
这个论点 - 通常被称为“更多的理论”论证 - 在文献中得到了大量的关注。 对参数的最常见的响应涉及在描述制作该模型的模型的特征之间进行区分，这使得该模型是为了满足该模型的新句子来满足。 替换，它涉及区分改变我们的公理的语义来获得解释 - 例如，通过限制作为我们语言的模型的结构和/或加强对模型的概念的概念来说，并简单地添加新的结构使用相同的旧语义来解释公理。 然后回复继续认为，这些提案如此讨论了两个段落 - 例如，这些段落 - 例如，该预期的模型应该是传递的或充分创建的或满足二阶ZFC-应该被理解为落在这个区别的描述方面而不是“添加句子”一侧（虽然后者是Putnam的更多理论论点，坚决坚持把它们置于填充）。
反过来，Putnam认为这种反应讨论了他对他整体论证的问题。 毕竟，Putnam的论点涉及我们的数学语言是否有任何决定性的重要性，以及我们考虑的响应似乎只是假设当响应使用像“传递”这样的短语时，它具有如此重要的“，”或“M”的“完整电源集”或“完整电源集”来描述它的“预期模式”的概念 简而言之：只要数学语言的决定性仍然存在问题，它就会提出要免费使用这种语言来描述集合理论的预期模型。 或者，在任何速度，Putnam都试图争辩。
如上所述，Putnam的论点的这一方面产生了巨大的文学。 见Devitt 1984，第11章; 刘易斯1984; 泰勒1991; 范克斯图威文1992; 黑尔和赖特1997; 钱伯斯2000; 海湾2001; 和2008年的澳大利亚批评普查的论点。 请参阅Putnam 1983，VII-XII和Putnam 1989为Putnam的回应。 见安德森1993; 杜文1999; Haukioja 2001; 和KOON 2001为Putnam的论点这个方面的一些最近的防御。
结论
我们关闭了此条目，简要回顾了我们试图强调的两个要点。 首先，从纯粹的数学立场，克兰特的定理与Löwenheim-Skolem定理之间没有冲突。 有一种技术解决方案，可以解释为什么Löwenheim-Skolem定理为什么没有出现任何问题，即幼稚形式的集理现实主义或各种形式的公理结构理论。 因此，没有机会自行使用Löwenheim-Skolem定理以产生大量的太原结论。 当然，仍然存在一些有趣的技术问题，它存在于Skolem的悖论附近。 例如，我们可以看看悖论如何在特定的一阶模型的背景下发挥作用; 我们可以检查各种非一流逻辑易受悖论的程度; 我们可以尝试隔离一阶逻辑的精确特征，允许悖论适用于它。 这些主题中的每一个都与Skolem的悖论显然有关，每个主题都会提出关于模型理论与集合理论之间关系的问题，这非常值得探索。 但是，被认为是简单的，而且，Skolem的悖论没有对古典集合理论的威胁。
其次，如果我们来到Skolem的悖论，关于经典集理论 - 例如，那种谎言的疑问，谎言的一些更复杂的Skolem原始论证的重新设计，令人厌恶的疑虑STEP 1在SkoLemite参数中的合理版本，或关于Putnam的模型 - 理论论证的语义决定性的各种疑问 - 那么我们可能会能够进入某种有趣的哲学结论中的帕利。 当然，这里仍然存在挑战：我们需要考虑我们证明Löwenheim-Skolem定理的背景理论的地位，我们需要解释集合理论的一阶公务化的特殊意义，我们可能需要解释我们如何识别各种模型的集合理论模型。 然而，原则上，这些类型的Skolem悖论用途不排除在最后一段中提到的悖论中的技术方案。 这一事实也不应该是所有令人惊讶的事情：如果我们对我们对Skolem的悖论进行了足够的哲学，那么我们应该期望至少有一点哲学。
