数学哲学中的直觉（一）

直觉主义是荷兰Mathematician L.E.J的数学哲学。 brouwer（1881-1966）。 直觉主义是基于数学是思想创造的想法。 数学陈述的真相只能通过智力结构来构思，证明它是真实的，数学家之间的沟通只能用作在不同思想中创造同一心理过程的手段。

这种关于数学的观点对于数学日常实践而言，其后果的影响是非，被排除的中间（a∨¬a）的原则不再有效。 实际上，有一个命题，如riemann假设，其中目前既不存在声明证明也没有其否定。 自从知道直觉中的声明否认意味着人们可以证明该声明不是真的，这意味着A和¬A至少不在此刻保持直观。 直觉主义按时间的依赖性是必需的：陈述在一段时间内可以证明，因此在不这样做的同时可能会变得无效。

除了拒绝被排除的中间原则外，直觉主义在连续体的概念中强烈地偏离了古典数学，这在前面的环境中具有所有总功能的财产是连续的。 因此，与建设性数学的其他几种理论不同，直觉主义不是古典推理的限制; 它以基本的方式与古典数学相矛盾。

Brouwer在新的基础上向数学发展致力于他的大部分生命。 尽管直觉主义从未取代了古典数学作为对数学的标准看法，但它一直吸引了大量的注意力，今天仍然广泛研究。

在此进入的进入中，我们专注于直觉的方面，即将其与建设性数学的其他分支分开，与其他形式的建构主义（例如基础理论和模型）的部分仅简要讨论。

布鲁瓦尔

直觉

2.1两个直觉行为

2.2创建主题

3.数学

3.1 BHK-解释

3.2直觉逻辑

3.3自然数

3.4连续体

3.5连续性公理

3.6酒吧定理

3.7选择公理

3.8描述性集合理论，拓扑和Topos理论

4.建构主义

5. Meta-Mathematics

5.1算术

5.2分析

5.3无缝序列

5.4创建主题的形式化

5.5基础和模型

5.6逆转数学

6.哲学

6.1现象学

6.2维特根斯坦

6.3 Dummett

6.4精度

参考书目

学术工具

其他互联网资源

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布鲁瓦尔

Luitzen Egbertus Jan Brouwer出生于荷兰的过度。 他在阿姆斯特丹大学学习了数学和物理，在那里他于1907年获得了博士学位。1909年，他成为同一个大学的讲师，他于1912年被任命为全教授，他举行的一个职位，直到他退休到他的退休1951年。布鲁瓦是一个辉煌的数学家，他在拓扑上进行了地面打破工作，并成为一个年轻时的着名。 他的一生都是一个独立的心灵，他们追求他相信的东西，他将他与许多同事冲突带来了冲突，最特别是大卫希尔伯特。 他也有崇拜者，在他的房子里“小屋”在Blaricum中，他欢迎许多着名的数学家。 在他的生活结束时，他变得更加孤立，但他对他哲学的真相的信念从未动摇过。 他在妻子死亡七年后在85岁时死于车祸，他的妻子摇摆不定。

在24岁的Brouwer写了书籍生活，艺术和神秘主义（Brouwer 1905），其潜在的内容预示着他的数学哲学。 在论文中，直觉主义的基础是第一次配制，虽然尚未根据该名称而不是他们的最终形式。 在他论文的第一年，他的大多数Brouwer的科学生活致力于拓扑，这是他仍然以他的维度理论和他的定期定理所知的一个地区。 这项工作是古典数学的一部分; 根据Brouwer的稍后视图，他的定点定理不持有，尽管可以根据他的原则证明在近似方面的模拟投射。

从1913年开始，Brouwer越来越多地致力于在他论文中发展成分的思想，成为数学的充分哲学。 根据这些原则，他不仅改造了直觉主义的哲学，尤其是数学，尤其是连续性的理论和套装理论。 届时，布鲁瓦尔是一位着名的数学家，对那个时间，剑桥，维也纳和哥廷根的科学麦克西卡斯的直觉讲座提供了有影响力的讲座。 他的哲学被许多人被认为是尴尬的，但也被视为他的时间最着名的数学家古典推理的严肃替代方案，即使他们对此事有不同的看法。 KurtGödel是他一生的一生，是其中之一。 Hermann Weyl在一点写道“所以Gebe Ich也是Jetzt Meinen Eigenen Versuch Preis undSchließeMICHBRORWERAN”（Weyl 1921,56）。 虽然他很少在生活中很少实践直觉的数学，但我们从未停止过欣赏令人欣赏的风波和他直觉的数学哲学。

Brouwer的生活乘坐了冲突，最着名的是与大卫希尔伯特的冲突，最终导致了来自Mathematische Analen董事会的布鲁瓦的驱逐。 这种冲突是格伦塔拉格的一部分，它在20世纪初震撼了数学社会，并由于悖论的出现和数学中的高度非反结构证明而出现。 哲学家和数学家被迫承认数学缺乏认识论和本体论基础。 Brouwer的直觉主义是数学的哲学，旨在提供这样的基础。

直觉

2.1两个直觉行为

根据Brouwer数学的说法是一种慵懒的创造。 时间是凯蒂安意义上的唯一先验概念。 brouwer区分了两种直觉行为：

第一行神是：

完全将数学与数学语言分开，从而从理论逻辑描述的语言现象中，认识到直觉数学是一种基本上脱色的心灵活动，即在对时间移动的感知中具有起源。 这种对时间移动的感知可以被描述为寿命的落下到两个不同的东西中，其中一个是向另一个的方式传达，而是通过存储器保留。 如果出生的两性被剥夺了所有质量，它将传入所有双重的常见外部的空心形式。 这是这个常见的底层，这种空的形式，这是数学的基本直觉。 （Brouwer 1981,4-5）

正如将在数学的一节中讨论的那样，直觉主义的第一个行为引起了自然数量，而是对允许的原则的原则意味着严重限制，最值得注意的是排斥中间的原则。 由于拒绝这一原则和逻辑基础的逻辑基础的逻辑基础，其中一个人可以在布鲁沃的话语中，“担心直觉数学必须一定是贫穷和贫血，特别是分析不会出现”（Brouwer 1952,142）。 然而，第二次行动建立了连续体的存在，这是一个连续的属性，其经典对应物不分享。 连续uum的恢复基于第二动作中规定的选择序列的概念，即存在于自由选择产生的无限序列的存在，因此不提前固定。

第二次直觉行为是：

承认两种方式创造新的数学实体：首先以更或多或少自由地进行以前获取的数学实体的无限序列......; 其次是数学物种的形状，即，对于先前获取的数学实体，满足如果它们保持某些数学实体的条件，它们也适用于已定义为“等于”的所有数学实体......。 （Brouwer 1981,8）

直觉主义的两个行为形成了Brouwer哲学的基础; 从这两个行动中，单独的行为勃起创造了直觉数学的领域，如下所述。 已经来自这一基本原则，可以得出结论，直觉主义与柏拉米派和形式主义不同，因为它既不是我们以外的数学现实，也不认为数学是根据某些固定规则的符号的比赛。 在Brouwer的视图中，语言用于交换数学思想，但后者的存在是独立于前者的。 对数学的直觉和其他建设性观点的区别在于，根据该数学对象和参数应该是可计算的，在于第二种动作允许在施工无限序列中的自由度。 实际上，如下所述，第二次直觉行为的数学影响与古典数学相邻，因此在最具建设性的理论中，因此这些都是古典数学的一部分。

因此，Brouwer的直觉主义与其他数学哲学相结合; 它是基于时间的认识和数学是对自由思想的创造的信念，因此既不是柏拉米主义也不是形式主义。 这是一种建构主义的形式，但只有在更广泛的意义上，因为许多建构主义者不接受布鲁瓦被认为是真实的所有原则。

2.2创建主题

直觉中的两个行为并不排除了对数学的心理解释。 虽然Brouwer偶尔地解决了这一点，但他的着作是清楚的，他确实认为直觉主义独立于心理学。 Brouwer将创建主题（Brouwer 1948）作为一种理想化的心灵引入，其中数学已经摘要远离人类推理的非必要方面，例如空间和时间的局限以及有错误的论据的可能性。 因此，概述问题，要求解释人类能够沟通的事实，因为只存在一个创建主题。 在文献中，此外，Creative主题的名称也用于创建主题，但这里使用BRORWER的术语。 在（Niekus 2010）中，认为Brouwer的创建主题不涉及理想化的数学家。 对于在Husserl意义上的创建受试者的现象学分析，在HUSSERL的意义上看到（Van Atten 2007）。

BRORWER使用了涉及创建主题的参数构建对某些直觉上不可接受的语句的管理器。 在下面讨论的弱势反射率下，只表明，目前无法直接接受某些陈述，理想化的心灵的概念证明了某些经典原则是假的。 在第5.4节中给出了一个例子，就创建主题的概念形式化。 还有人还解释说，以下原则称为Kripke的架构，可以在创建主题方面争论：

∃α（a↔∃nα（n）= 1）。

在Ks中，通过公式和α的范围来定位序列，这是由创建主题产生的自然数的序列，彼一一体地选择它们的元素。 选择序列和Kripke的架构在第3.4节进一步讨论。

在数学的大多数哲学中，例如在柏拉打主义中，数学陈述是不知不觉的。 在直觉主义真理和虚假有一个时间方面; 既定的事实仍然存在，但在某种程度上被证明的陈述缺乏真实值在那一点之前。 在上述创建主题的概念的形式化中，这是由Brouwer制定的，而且仅被其他人制定，直观主义的时间方面明显存在。

作为使用创建主题的概念的论据重要的是对直觉主义作为数学哲学的进一步理解，其在该领域的发展中的作用与两种直觉主义行为的发挥作用不太有影响，这直接导致数学真理布鲁瓦尔和他追求的人愿意接受。

3.数学

虽然Brouwer在20世纪初，在数学家的基础辩论中发挥了重要作用，但他对数学哲学的深远影响成为经过多年的研究。 直觉中的两个最特征性的属性是推理它允许证明的逻辑原则和直觉连续体的完整概念。 只有在后者担心的情况下，直觉主义因古典数学而变得无与伦比。 在此进入中，重点是将其与其他数学学科分开的直觉主义原则，因此其其他建设性方面将在更少的细节中对待。

3.1 BHK-解释

在直觉中，知道声明A是真实的手段，证明它。 1934年，曾经是Brouwer的学生，介绍了一种以后被称为Brouwer-Heyting-Kolmogorov-解释的形式，它捕捉了直觉中逻辑符号的含义，以及建构主义也是一般的。 它以非正式方式定义直觉证明应通过指示应如何解释连接和量词。

⊥不可提供。

Aïb的证明包括A和B的证据。

Aïb的证明包括B的证据或B的证据。

A→B的证据是将任何证据转变为B的证据。

通过呈现域的元素D和A（d）的证据来给出∃xa（x）的证据。

∀xa（x）的证据是一种结构，它将D属于域名的每个证据转变为A（D）的证据。

一旦证明存在A的证据，就可以证明公式A的否定¬A，这意味着提供从A的任何可能证明导出假山的结构。因此，因此¬a相当于→⊥。 BHK-解释不是一个正式的定义，因为施工概念没有定义，因此对不同的解释开放。 然而，已经在这个非正式的一级上，被迫拒绝在古典逻辑中出现的逻辑原则之一：被排除的中间（a∨¬a）的原理。 根据BHK-解释，如果创建主题知道一个无法证明A的证据或证据证明，则这句话持有直观地持有。 在既不是没有人否认证据的情况下，陈述（a∨¬a）没有持有。 开放问题的存在，例如Goldbach猜想或riemann假设，说明了这一事实。 但是，一旦发现了A或证据证明，情况发生了变化，对于这一特别的原则（a∨¬a）从那一刻就是真实的。

3.2直觉逻辑

Brouwer在他的哲学的基础上拒绝了被排除的中间的原则，但是heyting的是第一个制定了从直觉的角度所接受的综合原则逻辑。 直观逻辑，这是大多数其他形式的建构主义的逻辑，通常被称为“没有被排除的中间原理的经典逻辑”。 它由IQC表示，它代表直觉量词逻辑，但其他名称也发生在文献中。 Hilbert Style的可能的公理化由原则组成

a∧b→一个a∧b→b一个→a∨bb→a∨b

一个→（b→一个）∀xa（x）→一个（t）一个（t）→∃xa（x）⊥→一个

（一个→（b→c））→（（一个→b）→（一个→c））

一个→（b→a∧b）

（一个→c）→（（b→c）→（a∨b→c））

∀x（b→一个（x））→（b→∀xa（x））∀x（一个（x）→b）→（∃xa（x）→b）

对于最后两个公理的通常侧面条件，以及规则模式Ponens，

来自A和（A→B）推断B，

作为唯一的推论规则。 直觉逻辑以来一直是尼斯制定了它的调查对象。 已经在命题级别，它具有许多属性，它将其与古典逻辑分开，例如disjunction属性：

iqc⊢a∨b意味着iqc⊢a或iqc⊢b。

这一原则在古典逻辑中明显违反，因为经典逻辑证明（a∨¬a）对于独立于逻辑的公式，即A和¬A不是Tautology。 在直觉逻辑中包含原则EX FALSO Sequitur QuodLibet，（→→A），是对研究BRORWER关于该主题的言论的人的讨论点; 在Van Atten 2008中，认为原理在直觉中无效，并且根据Brouwer观点的逻辑原则是相关逻辑的逻辑原则。 在Brouwer和Ex Falso Sequitur QuodLibet上看，请参阅Van Dalen 2004更多内容。

虽然直到今天，直接推理的所有逻辑都包含在IQC中，但原则上是可以想象的，在某些时候，将找到一个原则，从这种逻辑未被涵盖的直觉的观点来看。 对于大多数形式的建构主义，广泛接受的观点是这种情况是这种情况，因此IQC被认为是建构主义的逻辑。 对于直觉主义而言，情况不太清楚，因为它不能被排除在某种程度上，我们的直觉理解可能导致我们以前没有掌握的新的逻辑原则。

广泛使用直觉逻辑的原因之一是，从校样为理论观点来看，它表现得很好。 存在许多诸如绅士Calculi和自然扣除系统的许多证明系统，以及各种形式的语义，例如Kripke模型，Beth模型，Heyting代数，拓扑语义和分类模型。 然而，这些语义中的几种仅是学习直觉逻辑的经典手段，因为它可以示出不能存在关于它们的直觉完整性证明（Kreisel 1962）。 然而，已经表明存在替代但是具有较少的自然模型，并且完整地持有（伏特曼1976）。 直觉逻辑的建设性特征在咖喱 - 霍华德同构中变得特别清楚，在逻辑和简单类型的λ-微积分中的逻辑和术语之间建立派生之间的对应关系，即校验和计算。 对应的结构在减少术语的降低方面对应于证据的标准化。

3.3自然数

自然数的存在是由第一行神给出的直觉，即通过对时间的运动的看法和将生命时刻的落下分为两个不同的东西：1，以及什么和从那里到3,4，......在......中与古典数学对比，在直觉中的所有无限度都被认为是潜在的无穷大。 特别是这是自然数无限的情况。 因此，必须谨慎对待该组的陈述。 另一方面，从直觉的角度来看，诱导原理是完全可接受的。

由于与例如实数相比，自然数量的自然数量，在古典数学中的有限性的许多算术陈述也是如此。 例如，在直觉中，每个自然数都有一个主要分解; 没有可计算的可计算地令人符合的集合; （a∨¬a）持有所有量化的免费陈述A.对于更复杂的陈述，例如van der waerden的定理或kruskal的定理，直观的有效性并不简单。 事实上，两种陈述的直觉证据都很复杂，偏离经典证据（Coquand 1995，Veldman 2004）。

因此，在自然数的背景下，直觉和古典数学有很多共同之处。 只有在诸如实数的其他无限套时被认为是从古典数学开始逐渐不同，以及来自大多数其他形式的建构主义也是如此。

3.4连续体

在直觉中，连续体是延伸和限制其经典对应物。 在其完整形式中，由于直觉的实数具有古典实数没有的属性，因此两个概念都是无与伦比的。 下面讨论的一个着名的例子是在直觉中的定理，连续体上的每个总功能都是连续的。 直觉连续内不满足某些经典属性可以通过弱的反例来容易地看到。 它还包含经典实际的属性，即经典实际没有源于所存在的选择序列。

弱的反例

Brouwer于1908年引入的弱势体积是繁荣的第一个例子，它用于表明，古典对数学的直觉概念的转变并非没有结果可以根据这些可以建立的数学真理哲学。 他们表明某些经典陈述从直觉的角度来看是不可接受的。 例如，考虑以下定义给出的实数的序列：

rn = {

2-n如果∀m≤na（m）

2-m如果¬a（m）∧m≤n∧∀k＜ma（k）。