数学哲学中的直觉（二）
这里a（n）是未知的可解断属性，其不知道是真实的或假的。 可解除性意味着目前存在任何给定的N存在（可以构建）（可以构造）（n）或¬a（n）的证据。 在这种写作的时候，我们可以例如让（n）表示n，如果大于2，则是三个素数的总和; ◦ 序列⟨rn⟩定义了一个实数r，r = 0等于语句∀na（n）。 因此，声明（r =0∨r）不持有，因此在直觉连续体内∀x（x＜y∨x=y∨x＞y）不正确，因此在三分形式∀x（x＜y∨x=y∨x＞y）上不存在。
注意“A不是直观的真实”和“A无直觉上反驳之间的微妙差异：在第一种情况下我们知道A不能具有直观的证据，第二个语句表达了我们有一个证明¬a，即建筑物从A的任何可能证据中得出假山。对于三分要的法律，我们刚才表明它并非直观地是真实的。 下面将表明，即使是第二个更强大的形式，说法是法律是无论是无意识的。 但是，这对于所有存在弱势反例的所有语句都不是真的。 例如，Goldbach猜想是一种弱的反例，以被排除的中间的原理，因为如上面的那样，目前未知是真或假的，因此我们不能索取∀na（n）∨¬∀na（n）直觉上，至少在这一刻。 但是这种陈述的驳斥，¬（∀na（n）∨¬∀na（n））在直觉中不是真的，因为可以表明对于任何陈述B，可以从¬b和¬¬¬¬¬b的假设中获得矛盾（因此也是如此来自B和¬B）。 换句话说，¬¬（b∨¬b-b）是直观的，因此，尽管存在弱的反例为排除中间的原理，但它在直觉中的否定是假的，即它是直观地反驳的。
Intuitionist无法决定它们是否是正面的实数R的存在，表明某些经典的总功能在直觉设置中不再是如此，例如分段常量功能
f（r）= {
0如果r≥0
1如果r＜0。
存在弱势体积弱到许多经典有效的陈述。 这些弱势反射的结构通常与上面的例子相同的模式。 例如，显示中间值定理不是直观地有效的参数如下所示。 假设尚未确定（r≤0∨0＜r）的实数，如上所述。 在[0,3]上定义均匀连续的功能f
f（x）=分钟（x-1,0）+最大值（0，x-2）+ r。
显然，F（0）= - 1 + R和F（3）= 1 + R，因此F在[0,3]中的某个点x上取值0。 如果可以确定这样的X，则1≤x或x≤2。 由于F等于[1,2]，在第一种情况下R≤0和在第二案例0≤R中，与陈述的不可察觉性（r≤0∨0≤r）相矛盾。
这些例子似乎表明，在经典转移到直觉的数学，一个人失去了几个基本的分析定理。 然而，这不是这样，因为在许多情况下，直觉主义以模拟的形式恢复了这种定理，其中存在关于任意精度内的近似存在近似的陈述的存在性语句，如这种经典等同的中间值定理形式这是建设性的有效性：
定理。 对于每个连续的实际值函数f，其中每个C（a）和f（b）之间的每个c为＜b，每个c为：
∀n∃x∈[一个，b] | f（x）-c |＜2-n。
弱的反例是表明某些数学陈述不受直观的方式，但他们还没有揭示直觉连续体的丰富性。 只有在Brouwer引入选择序列之后，直觉主义就获得了其特殊的味道，并且与古典数学变得无与伦比。
选择序列
Brouwer引入了选择序列以捕捉连续体的直觉。 由于对于直觉主人，所有无限远都是潜力，因此只能通过逐步生成它们的进程来掌握无限对象。 因此将被允许的是合法结构，因此决定接受哪些无限物体。 例如，在大多数其他形式的构造主义中，允许允许用于生成这些对象的可计算规则，而在柏拉打主义信息中被认为是即使在没有发电规则时也被接受的完整性。
BROROWER的第二次直觉行为引起了选择序列，提供了某些无限套件，其属性从古典角度来看是不可接受的。 选择序列是由自由意志创建的无限数量（或有限对象）。 该序列可以由法律或算法确定，例如仅由零组成的序列，或者在增加顺序中组成的序列，在这种情况下，我们谈论一个律序列，或者它不能受到任何法律的影响，在这种情况下，它被称为律。 例如可以通过硬币的重复投掷来创建不安的序列，或者通过要求创建主题逐个选择连续的序列数，允许它选择任何号码。 因此，无缝的序列未完成，并且在任何时间阶段的唯一可用信息是迄今为止所产生的序列的初始段。 显然，通过无缝的本质，我们永远无法决定其价值是否与律师的序列重合。 此外，自由的将能够创建从那时起到律法的序列，但是在某个点处可以提升法律并且自由选择的过程接管以产生成功的数字，反之亦然。
根据Brouwer，每个实数由选择序列表示，选择序列使他能够通过争议的连续性公理捕获直觉连续体。 Brouwer首次在他的首次演讲中首次讲述序列（Brouwer 1912），但是当时他还没有将它们视为他数学的基本部分。 他们逐渐变得更加重要，1918年，Brouwer开始以下一节解释的方式使用它们。
3.5连续性公理
接受选择序列的概念具有深远的影响。 对于直觉主义，它可以依赖于使用连续性公理，从中可以派生经典无效的语句。 这些公理的最弱是弱连续性公理：
∀α∃na（α，n）→∀α∃m∃n∀β∈α（
¯
是
）一个（β，n）。
在这里，N和M系列在自然数，α和β过度选择序列和βχα（
¯
是
）表示α和β的前M元素是相等的。 虽然直到现在，从未给出了任意选择序列的大多数连续性公理的完全令人满意的理由，甚至不受布鲁瓦尔，当限于支持弱连续性公交学的有效性的无缝序列的争论时，甚至不受欢迎。 什么时候可以由直觉主义者建立∀α∃na（α，n）的表单？ 通过无缝序列的概念的本质，已知在仅仅是α的有限初始段之后必须进行（α，n）保持的数量N的选择。 因为我们不知道α将如何及时进行，因此我们必须基于在我们希望修复n的那个时间点所知的α的初始段中的n。 这意味着对于具有与α相同的初始段的无缝序列β以及α，A（β，N）也保持。
已经证明弱连续性公理是一致的，并且通常以可以是合理的形式应用，即在谓词A的情况下仅指的是α的值，而不是其可能具有的高阶属性。 这里将省略该论点的细节，但它含有与无缝序列原理原则的理由相同的成分，并且可以在Van Atten和Van Dalen 2002中找到。
弱连续性不会耗尽直升机的连续性的直连，因为给定弱连续性公理，似乎合理地假设数字m的选择使得∀β∈α（
¯
是
）A（β，N）可以明确。 因此，∀α∃na（α，n）意味着存在对于每个α产生的连续功能φ的存在基于选择n的α的长度产生M的m。 更正式地，让CF成为将自然数分配给无限序列的连续功能φ的类，即满足
∀α∃m∀β∈α（
¯
是
）φ（α）=φ（β）。
然后可以表示为弱连续性公理的连续性的全部公理，可以表示为：
∀α∃na（α，n）→∃φ∈cf∀αa（α，φ（α））。
通过连续性公理，某些弱势体积可以转化为典型接受原则的真正反驳。 例如，它意味着被排除的中间原理的量化版本是错误的：
¬∀α（∀nα（n）=0∨¬∀nα（n）= 0）。
这里α（n）表示α的第n个元素。 要了解此否定，假设通过矛盾来争论，即¬∀α（∀nα（n）=0∨¬∀nα（n）= 0）保持。 这意味着
∀α∃k（（∀nα（n）=0∧k= 0）∨（¬∀nα（n）=0∧k= 1））。
通过弱连续性公理，对于仅由零组成的α，存在修复k的选择的数量，这意味着所有β∈α（
¯
是
），k = 0。 但是，序列的存在，其前M元素为0并且包含1表示这不能是。
这个例子表明，被排除的中间的原理不仅不持有但实际上是虚假的直觉，导致了连续性许多基本属性的驳斥。 考虑例如实际数字Rα，这是由弱反应范围内的部分中给出的序列组成的序列的极限，其中定义中的a（m）被认为是陈述α（m）= 0。 然后，上述驳斥意味着¬∀α（rα=0∨rα），从而反驳三分形式的定律：
∀x（x＜y∨x=y∨y＜x）。
以下定理是连续性公交否则某些经典原理的方式的另一个例子。
定理（C-N）每个总实际功能都是连续的。
实际上，这个定理的古典反例，无处可连续函数
f（x）= {
0如果x是rational的数字
1如果x是一个不合理的数字
由于在Rational的财产上没有在实数解密，这不是来自直觉的角度的合法功能。 上面的定理意味着连续体不可分解，在van Dalen 1997中，它表明这甚至可以为这组非理性。
上面的两个示例是在直觉数学中应用连续性公理的方式的特征。 它们是直觉中唯一与经典推理相依赖的公理，从而代表了最丰富多彩的和最有争议的Brouwer哲学的部分。
邻居功能
在文献中广泛使用的连续功能的方便表示，尽管不是Brouwer本人。 将数字分配给无限序列的连续功能可以由邻域函数表示，其中邻域函数f是满足以下两个属性的自然数字上的功能（⋅表示替代和f（α（
¯
n
））表示有限序列α的代码上的f的值（
¯
n
））。
α∃nf（α（
¯
n
））＞＞0∀n∀m（f（n）＞0→f（nəm）= f（n））。
直观地，如果f表示φ那么f（α（
¯
n
））= 0表示α（
¯
n
）不足以计算φ（α）和f（α（
¯
n
））= m + 1表示α（
¯
n
）长度足以计算φ（α），并且φ（α）的值是m。 如果k表示邻域函数的类，则可以将连续性公理C-N作为
∀α∃na（α，n）→∃f∈k∀m（f（是）＞0→∀β∈ma（β，f（是-1））），
其中β∈m意味着β的初始段的代码是m。
3.6酒吧定理
BROROWER介绍了选择序列和连续性公理，以捕获直觉连续体，但是这些原则不足以恢复传统分析的那部分，使得BRORWER被认为是直观的声音，例如每个连续的真实功能在关闭的定理间隔均匀连续。 出于这个原因，Brouwer证明了所谓的酒吧定理。 这是一个经典的有效陈述，但证明BROROWER给出了许多人认为没有证据，因为它使用了没有提供严格参数的证据形式的假设。 这就是条形定理也被称为条形原则的原因。
酒吧定理的最着名后果是风扇定理，足以证明上述定理在均匀连续性上，并将首先治疗。 风扇和酒吧定理都允许直觉主动员沿着某些名为Spapls的一定的良好创立的对象诱导。 传播是一个集合的直觉模拟，并捕获无限对象的想法，因为不断增长，从未完成。 扩展基本上是具有自然数或其他有限对象的可选分支树，并且仅包含无限路径。
风扇是一个有限分支的展开，风扇原理表达了一种紧凑性，典型相当于König的引理，其经典证据与直觉的角度来看是不可接受的。 该原理指出，对于每一个点的每个分支满足属性A的每个风扇T，在满足该属性的深度上存在均匀的边界。 这样的财产被称为T.
∀α∈t∃na（α（
¯
n
））→∃m∀α∈t∃n≤ma（α（
¯
n
））。
这里α∈t意味着α是T的分支。原则风扇足以证明上述定理：
定理（风扇）闭合间隔上的每个连续实际功能都是均匀连续的。
BRORWER为粉丝定理的理由是他的律师普遍普遍的律师原则：
[∀α∀n（一个（α（
¯
n
））∨¬a（α（
¯
n
）））∧∀α∃na（α（
¯
n
））∧
∀α∀n（一个（α（
¯
n
））→b（α（
¯
n
）））∧
∀α∀n（∀mb（α（
¯
n
）⋅m）→b（α（
¯
n
）））]→b（ε）。
这里ε代表空序列，⋅用于连接，Bi用于条形诱导，并且下标D是指谓词A的可解锁性。酒吧原理提供了树木的诱导原则的直觉 它表达了对可判定性质的差异的良好原则。 这种原则的扩展可以从Brouwer的工作中提取脱钩性要求的原则，但这里将省略。 连续性和条形原理有时被捕获在称为杆连续性公理的一个公理中。
在连续性公理的部分中提到的条形原理和邻域功能之间存在紧密的连接。 让IK是邻域函数的电感定义类，由所有恒定的非零序列λm.n+ 1组成，使得如果f（0）= 0和λf（x⋅m）∈ik，则为f∈ik。 该语句K = IK，即，邻域函数可以归因地生成邻域函数的语句相当于出价。
BRORWER证明酒吧定理是显着的，因为它使用了假设证据的良好订购性能。 它基于假设属性A在序列是条形的任何证据可以分解成具有众所序有序的规范证据。 虽然它是经典的有效性，但是Brouwer的原则证明表明，接受它作为直觉主义的有效原则的原因根本性地与支持其在古典数学中可接受的论证的基本上不同。
3.7选择公理
从其全形式中选择的首选公理是不可接受的，至少在结构理论的某些其他中央公理的存在下，例如扩展性（DiaConescu 1975）。 让允许成为不知道是真或假的声明。 然后，以下两组的成员资格是不可判定的。
x = {x∈{0,1} |x =0∨（x =1∧a）}
y = {y∈{0,1} |y =1∨（y =0∧a）}
选择函数f：{x，y}→{0,1}从x和y选择一个元素将意味着（a∨¬a）。 对于IF F（x）≠f（y），因此x∈Y，因此，f（x）= f（y）意味着a。因此，不能存在{x，y}的选择函数。
然而，对于直觉主人可以接受的一定限制，例如可数选择的公理，也接受了下面的半直觉主义的合法原则：
∀r⊆n×n（∀m∃nmrn→∃α∈nn∀mmrα（是））。
该方案可以如下对齐。 前提的证据应该提供给定M提供数字N的方法，使得MRN。 因此，自然数N上的功能α可以逐步构建：首先选择元素M0，使得0RM0，这将是α（0）的值。 然后选择元素M1，使得1RM1，这将是α（1）的值，等等。
其他一些选择公理可以以类似的方式合理。 这里只会提到一个，依赖选项的公理：
∀r⊆n×n（∀m∃nmrn→。∀k∃α∈nn（α（0）= k∧
∀i≥0α（我）rα（我+ 1）））。
同样在古典数学中，选择公理是用护理处理的，并且通常明确提到证据需要多种选择。 由于依赖性选择的公理与古典集合理论（确定性的公理）中的重要公理符合，而选择的完整公理不是，则特别注意该公理，一般来说，一个试图减少证明中的选择量，如果选择是完全存在的，依赖选择。
3.8描述性集合理论，拓扑和Topos理论
在他的疑问，Brouwer不了解某些经典的推理。 这在描述性集合理论中尤其可见，其作为在卡托里亚集合理论中发生的高度非反结构概念的反应。 该领域的创始父亲，包括ÉmileBOREL和HENRI Lebesgue作为两个主要数据，称为半直觉主义者，并且它们对连续体的建设性处理导致了BOREL等级的定义。 从他们的角度来看，像所有物体集合一样的概念毫无意义，因此必须由具有清晰描述的子集的层次结构替换。
在Veldman 1999中，制定了Borel集的概念的直觉等效，并显示了Borel集的经典等同物定义，引起了各种直觉上的类，通常发生在直觉中的情况。 对于直觉的BOREL设置BOREL层次结构的模拟定理是直观的。 证明这一事实的证明是上面讨论的连续性公理的基本用途，从而展示了古典数学如何指导寻求直观的类似物，然而必须以完全不同的方式证明，有时可以使用从经典角度来看不可接受的原则。
通过正式或抽象拓扑的发展出现了一般的连续内容或拓扑空间研究的另一种方法（Fourman 1982，Martin-Löf1970，Sambin 1987）。 在这种建设性拓扑中，开放集和点的作用是颠倒的; 在古典拓扑中，一个打开的集被定义为一组点，在构造案例打开集中是基本概念，并且在它们方面定义了点。 因此，这种方法有时被称为无点拓扑。
在Brouwer之后，直观的功能分析已经发展得多，但由于大多数方法都没有严格直观，而且在更广泛的意义上也是建设性的，这项研究不会在这里进一步解决。
4.建构主义
直觉主义与大多数其他形式的建构主义共享核心部分。 建构主义通常涉及建设性的数学对象和推理。 从建设性证据中可以是至少原则上的提取算法，用于计算元素并模拟在证明中建立其存在的结构。 大多数形式的建构主义与经典数学兼容，因为它们通常基于对量子的更长的解释和允许的结构以及允许的构造，而没有额外的假设。 几乎所有建设性社区接受的逻辑是相同的，即直觉逻辑。
古典数学中的许多存在性定理具有一个建设性模拟，其中存在陈述被关于近似的陈述所取代。 我们看到了一个例子，中间值定理，在上面的弱反应下的部分中。 数学的大部分可以以类似的方式建设性地恢复。 这里没有进一步对待他们的原因是本条目的重点是直观的那些方面，使其与数学的其他建设性分支分开。 为了彻底治疗建构主义，读者称为在这种百科全书中的相应条目。
5. Meta-Mathematics
虽然Brouwer以精确和基本的方式开发了他的数学，但在我们所知道的情况下，正式化的形式化只有其他人才能由其他人进行。 事实上，根据Brouwer的观点，数学在内部展开本身，虽然不需要，形式化虽然不是不可接受的。 其他人以后认为另有思想，以及直觉数学的形式化以及其算术和分析特别是算术和分析的研究，吸引了许多研究人员。 直觉逻辑的形式化，所有形式化都是基于上面的。
