数学哲学中的直觉（三）
5.1算术
由Arend Heating制定的Heyting算术HA是自然数的直觉理论的形式化（Heyting 1956）。 它具有与PEANO算术PA相同的非逻辑公理，但它基于直觉逻辑。 因此，它是一种古典算术的限制，它是几乎所有建设性数学领域的自然数的接受理论。 Heyting算术有许多属性，其反映其建设性字符，例如也是保持直觉逻辑的脱位属性。 PA不分享的HA的另一个属性是数值存在性质:(
¯
n
是对应于自然数n的数字n）
ha⊢∃xa（x）⇒∃n∈nha⊢a（
¯
n
）。
此属性在PA证明∃x（a（x）∨∀y¬a（y））之后，此属性不会遵循pa。 例如，考虑a（x）是公式T（e，e，x）的情况，其中t是表示x的XLleene谓词，该谓词是在输入e上的代码E终止计算的程序的代码。 如果每次E都会存在一个数字n，使得pa⊢t（e，e，n）∨∀y¬t（e，e，y），然后通过检查T（e，e，n）是否保持它将确定程序e是否终止于输入e上。 然而，这通常是不可判定的。
马尔可夫的规则是一个主要和直观地持有的原则，但只有哈哈证明这一事实的证据是非规模的：
ha⊢∀x（一个（x）∨¬a（x））∧¬¬∃xa（x）⇒ha⊢∃xa（x）。
由于HA证明了对每个原始递归谓词被排除的中间的定律，因此对于这种HA中的¬¬∃xa（x）的衍生能力也意味着∃xa（x）的衍生能力。 从这一点看，Pa是π
0
2
- 通过HA的优化。 也就是说，对于原始递归A：
pa⊢∀x∃ya（x，y）⇒ha⊢∀x∃ya（x，y）。
因此，HA的可怕递归职能与PA的可怕递归职能的阶级，这是一个基于建构主义和直觉主义的思想的基础上的财产，可能不会令人惊讶。
5.2分析
直觉数学的形式化超过算术。 从建设性的角度（Kleene 1965，Troelstra 1973），已经将大部分分析公正。 这些系统的构造性可以使用功能，类型的理论或可实现性解释，基于或扩展Gödel的方解石解释（Gödel1958，Kreisel 1959），Kleene可实现性（Kleene 1965），或类型理论（Martin-löf1984）。 在这些解释中，潜在的构造语句的功能，例如为每个x为每个x中的函数分配给∀x∃ya（x，y），以各种方式明确。
在（Scott 1968和1970）中，介绍了二阶直觉分析理论的拓扑模型，其中真实被解释为从Baire空间进入古典真实的连续功能。 在此模型中，Kripke的架构以及某些连续性公理。 在（MOSCHOVAKIS 1973）中，该方法适于在选择序列方面构建直觉分析理论模型。 同样在这种型号中，Kripke的架构和某些连续性公理。 在（van Dalen 1978）中，Beth模型用于提供满足选择模式，弱连续性和Kripke的架构的实例的算术和选择序列模型。 在此模型中，每个节点的域都是自然数，因此不必使用非标准模型，如在Kripke模型的情况下。 此外，可以在其中解释创建主体的公理CS1-3，从而表明该理论是一致的。
5.3无缝序列
存在无缝序列的公理化，它们都包含连续性公理的延伸（Kreisel 1968，Troelstra 1977）。 特别地，以开放数据的公理形式，其用于除了α的不包含其他非锯子参数的（α）：
一个（α）→∃n∀β∈α（
¯
n
）一个（β）。
在（Troelstra 1977）中，在直觉分析的背景下开发了一种无缝序列理论（和合理的）。 除了用于基本分析的公理外，它还包含了无缝序列，加强开放数据的公理形式，连续性，可解除性和密度（密度表示每个有限序列是无缝序列的初始段）。 特别有趣的是，在这些理论中，可以消除对无缝序列的量子，也可以被视为为这些理论提供律序列模型。 其他经典模型的无缝序列理论以汉族模型的形式（Van der Hoeven和Moerdijk 1984）构建。 在（MoSchovakis 1986）中，引入了相对于一组律元素的选择序列的理论，以及一种经典模型，其中无缝序列变成完全是通用的模型。
5.4创建主题的形式化
在第2.2节中引入的创建主题可以生成选择序列，这是Brouwer直觉中最重要和最复杂的数学实体。 一些哲学家和数学家试图在数学上进一步发展创建主题的理论以及哲学。
在创建主题的概念的形式化中，其时间方面使用符号形式化，表示创建主题在时间n的证明（在其他一些配方中：在时间内经历真相）。 Georg Kreisel（1967）介绍了以下三个公理，用于创建主题，它们一起由CS表示：
◻na∨¬◻na
（在时间n时，可以决定是否创建主题
有一个证据a）
◻ma→◻m+钠
（创建主题永远不会忘记它已被证明的内容）
（∃n◻na→一个）∧（一个→¬¬∃n◻na）
（创建主题只证明了什么是真实和没有
真正的陈述可能是不可能证明的
创造主题）
在Anne Troelstra（1969）的版本中，最后的公理加强了
∃n◻na↔a
（创建主题只证明了什么是真实和什么
是真实的，将被创建主题在一些人身上证明
点）
第一AXIOM CS1是无求争的：在任何时间点，都可以建立创建主题是否具有给定陈述的证明。 第二个公理CS2显然使用了创建主题是一种理想化，因为它表达始终会被记住。 最后一个公共CS3是创建主题形式化最有争议的部分，或者更好的是，它的第二个结合（A→¬¬∃n◻na）是由Kreisel给予基督教慈善机构的名称公理。 例如，GöranSundholm（2014）辩称，基督教慈善机构的公理是不可接受的，从建设性的角度来看是不可接受的。 哥特的不完整性定理甚至意味着当�na被解释为在足够强大的证据制度中被解释为◻na时，原则是假的，然而，这肯定不是布鲁瓦尔所考虑的解释。
给定不包含任何引用的语句A，即没有发生◻n，可以根据以下规则定义选择序列（Brouwer 1953）：
α（n）= {
0。如果¬◻na
1。如果是。
从这种情况下，称为Kripke的模式Ks的原则，在第2.2节中引入的原则，这是与创建主体理论的公理不同的原则，不包含时间的显式参考：∃α（a↔∃nα（n）= 1）。
使用Kripke的架构，可以在不带对创建主题的任何引用的情况下正式表达弱计数器示例参数。 以下示例是从（Van Atten 2018）中获取。 让A成为目前不知道的陈述。 使用ks获得选择序列α1和α2
¬a↔∃nα1（n）=¬¬a↔∃nα2（n）= 1。
与这两个序列相关联的实数R0和R1，其中i = 0,1：
ri（n）= {
0。如果αi（n）≠
（-1）i2-是
如果有些m≤n，αi（m）= 1和
对于NO k＜m，αi（k）= 1。
然后对于r = r0 + r1，语句¬a∨¬¬a暗示（r＞0∨r＜0），其显示（r＞0∨r＜0）不能证明。
在（van Dalen 1978）中，在算术和选择序列的背景下，构造了用于在算术和选择序列的上下文中创建主题的结构的模型，从而证明它们与直觉算术和某些分析部分一致。 在（van dalen 1982）中，证明CS是保守的算术。 Kripke的架构的数学后果可以在（Van Dalen 1997）中找到，在那里显示KS和连续性公理拒绝马尔可夫的原理，而KS与马尔可夫的原则一起意味着被排除的中间的原则。
Kripke表明KS意味着存在非持久性功能，这是由他发表而不是Kreisel（1970）的结果。 显然，这意味着理论CS还意味着存在非疫苗函数。 CS的可能参数如下所示。 假设X是一个非象颠且可计算的可令人愉快的集合，并定义函数f，如下所示：
f（是，n）= {
0。如果不是◻m（n∉x）
1。如果◻m（n∉x）。
然后，它遵循n∉x，如果对于某些自然数m的f（m，n）= 1，则才意味着f不能可计算。 例如，如果是，则X的补充将是可计算的，暗示X的计算性。由于F是从直觉的角度来看的函数，这在直觉中确定并非所有功能都是可计算的。
5.5基础
旨在作为建设性数学的基础的形式化是设定的理论（Aczel 1978，Myhill 1975）或Type-理论（Martin-Löf1984）性质。 前者的理论是Zermelo-Fraenkel将理论对建设性设置的构建，而在型理论中，建设性语句中隐含的结构是明确的。 设定理论可以被视为数学的延伸基础，而类型理论一般是一个密集的。
近年来，这种直观数学的这种基本理论的许多模型出现了，其中一些是上面提到的。 特别是在Topos理论（Van Oosten 2008）中有许多模型捕获了直觉的某些特征。 例如，所有总实际功能都是连续的。 诸如可实现性的功能解释以及类型理论中的解释也可以被视为直觉数学和大多数其他建设性理论的模型。
5.6逆转数学
在反向数学中，一个人试图建立所需的公理定理来证明它们的数学定理。 在直觉逆转数学中，一个具有类似的目的，但随后关于直觉定理：在弱的直觉理论上工作，彼此相比，公理和定理。 典型的公理，其中一个愿望定理比较的是风扇原理和条形原理，Kripke的架构和连续性公理。
在（veldman 2011）中，研究了粉丝原理的等同物，在基本理论上被研究被称为基本直觉数学。 结果表明，风扇原理等同于单位间隔[0,1]具有Heine-Borel属性的陈述，并且来自这众同的许多其他等同物。 在（veldman 2009）中，风扇原理显示也相当于Brouwer的近似定点定理。 在（Lubarsky等人2012）中，逆向数学适用于Kripke的架构形式，显示相当于某些拓扑陈述。
直觉逆转数学有许多这样的例子。 特别是在建设性逆转数学领域，这种性质的结果与直觉的观点也相关。
6.哲学
Brouwer从头来建立了他的直觉，并没有对直觉和其他现有哲学之间的关系进行了影响，而是其他人在他之后。 在本节中讨论了一些这些连接，特别是在其他哲学中可以合理的直观原理。
6.1现象学
直觉主义与现象学之间的联系，由埃德蒙·哈斯勒开发的哲学，几位作者在Brouwer的一生和几十年后被调查。 赫尔曼韦尔尔是第一个讨论布鲁沃尔思想与数学现象学视图之间的关系。 像Brouwer一样，Weyl在他的书中发言das kontinuum（第2章）关于直观的连续体，但Weyl的概念是基于（意识）时间的现象学。 Weyl后来认为，Brouwer的实际分析的发展更忠于直觉连续的想法而不是他自己的想法（Weyl 1921），因此至少在这方面的这方面，他自己在Brouwer的一边（Van Atten 2002）。
范“Agenten（2003年2007）使用现象学证明选择序列作为数学对象。 作者（2002）对Brouwer对选择序列的理由至关重要，这是寻找其他地方哲学理由的动机。 选择序列在Becker（1927）和Weyl的工作中发生，但它们与Brouwer的概念不同，Husserl从未公开讨论选择序列。 Van Atten解释了连续体的均匀性如何考虑其无穷无尽和非侵权性，根据Brouwer的直观连续的两个关键特性。 使用以下两个基本属性在选择序列的定义中存在，一个到达它们的现象学理由。
6.2维特根斯坦
1928年3月10日，布鲁瓦尔在维也纳讲述了他直觉的数学基础。 Ludwig Wittgenstein参加了由Herbert Feigl说服的讲座，讲述了他在讲座之后与Wittgenstein和其他人一起度过的工作时间：大事发生了一场伟大的事件。 突然而且非常活跃的维特根斯坦开始谈论哲学 - 总长。 也许这是转折点，从那时起，1929年以来，当他搬到剑桥大学时，威特根斯坦再次是哲学家，并开始发挥巨大影响力。
其他人争论布鲁沃的讲座影响了维特根斯坦的思维（黑客1986，HITIKKA 1992，Marion 2003）。 在多远的情况下，如果有的话，维特根斯坦受到Brouwer的想法的影响并不完全明确，但当然有有趣的协议和他们的观点之间的分歧。 Marion（2003）辩称，威特根斯坦，如Tractatus中所述的数学的概念非常接近Brouwer，而Wittgenstein则同意拒绝中间排除的法律（1929年稿件，PP 155-156在维特根斯坦1994年）但不同意Brouwer对它的论点。 Marion（2003）声称，维特根斯坦的立场比Brouwer更激进，因为在前者的观点中，数学中的中间被排除的律法缺乏有效性是所有数学命题的识别特征（而不是经验主张）不仅是无限数学的特殊性，因为它适用于BROROWER。
沃尔德曼（即将举行）讨论了Brouwer和Wittgenstein之间的几点（DIS）协议，例如逻辑的危险，根据两者，这可能导致没有数学内容的结构。 本文提出的分歧之一涉及维特根斯坦的观点，即数学是一个共同的事业，这与Brouwer的创造主题呈现出与Brouwer的创造主体造影，并且他认为数学是一种慵懒的活动。
6.3 Dummett
英国哲学家Michael Dummett（1975）制定了直觉主义的哲学基础，特别是直观逻辑。 Dummett明确指出，他的理论不是对Brouwer的工作的解释，而是一种可能的哲学理论（以他的话）在数学中拒绝经典推理，支持直观的推理。
Dummett的方法从一个逻辑开始，一个逻辑的选择必须介于附加到逻辑陈述的意义。 在意义的理论中，Dummett使用的是基于Wittgenstein的语言思想，特别是在他的想法上使用意义，句子的含义是通过使用句子的方式来确定的。 数学陈述的含义在由它所制成的使用中表明自己，并且了解它是使用该声明的能力的知识。 通过我们获得数学知识的方式支持这种观点。 当我们学习一个数学概念时，我们学习如何使用它：如何计算它，证明或从中推断出来。 并且建立我们已经掌握了数学陈述的含义的唯一方法在于我们熟练地掌握了正确使用该声明。
鉴于这一观点的意义，数学意义理论中的中央概念并不是如在柏拉图主义，真理，但证据; 对数学陈述的理解在于当呈现一个时识别它的证据。 然后，正如Dummett所说，就像戴梦一样，导致采用直观逻辑作为数学推理的逻辑。
有趣的是，正如Dummett（1975）他自己的备注，他的意义理论远远远离Brouwer关于数学的想法作为基本慵懒的活动。 因此，至少有两条完全不同的思路，导致在古典逻辑上采用直觉逻辑，由布鲁沃和戴维特为争论的人开发的逻辑。 DAG PRAWITZ（1977），帕森（1986年）和理查德TIESZEN（1994年2000）等各种哲学家（如DAG PRAWITZ（1977）和Richard Tieszen（1994年2000））评论了Dummett的直觉主义的工作。
6.4精度
各种形式的精度基于与Dummett表达的类似视图，但是在其中允许证明数学陈述的结构不仅原则上不仅存在，而且在实践中也需要。 根据后一篇概念的确切实施，一个到达不同形式的精神主义，例如由Alexander Yessenin-Volpin（1970）开发的超直觉，以及Crispin Wright（1982）开发的严格的精致性。
