数学不一致（一）

不一致的数学是研究经典数学公理在（非古典）逻辑的框架内断言的数学理论的研究，这可以容忍存在矛盾的情况而不将每个句子转化为定理。

1.数学的基础

2.算术

3.分析

4.几何不一致

5.块和渗透

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1.数学的基础

不一致的数学在历史上始终始终始终与基础上的考虑因素开始。 Frege和Russell建议在集合理论的天真原则上找到他们的数学：每一个谓词都是一套。 但是，天真的原则迅速迅速地追溯到罗素集的存在证明，这一套所有集合都不是自己的成员，这两者都是自己的成员。 Russell和其他人指出的这种和其他定型悖论导致尝试生产一致的设定理论作为数学的基础。 也许是最着名的是Zermelo-Fraenkel设置理论ZF。 但ZF和其他人等NBG等的是临时临时，必须包括多种独立原则而不是单一简单的理解公理。 因此，许多人包括Da Costa（1974），Brady（1971年，1989年），牧师，Retley，＆Norman（1989，PP。152,498），认为它更倾向于保留自然理解的全力原理，宽容集合理论的不一致程度。 特别是布拉迪在他的书中展开，简化和简化了这些结果（2006年）。 对于一个明确的帐户，另请参阅Restall的评论（2007）。

当然，这些结构当然需要一个分配，至少在于布尔逻辑EX矛盾的原理（ECQ）（ecq）（从每个命题都可以推断出来，也称为爆炸）。 在通过时，C.I.Lewis表明ECQ由一个简单的论证从原则分离三段（DS）（来自A-Or-B而不是-a deduce b）。 所以DS也必须去。 显然，欧洲ecq在任何不一致的理论中扭转了任何不一致的理论（琐事=每个句子都是可证明的）。 非琐事应该被视为对有趣理论的限制：琐碎的理论对于数学计算是无用的，因为琐碎的理论没有将理论中的原则与他们的否定区分开。 同样，相当大的辩论（Burgess 1981，Mortensen 1983）明确表示随着DS的分配并不是如此反向直观，特别是当卓越的故事出现在DS继续保持的特殊条件下时。

还应该注意的是，布拉迪的建设不一致的天真集理论是打开了弗雷格罗素帝国主义的复兴的大门（简要地，数学减少到逻辑。）逻辑主义甚至被弗雷格本人普遍存在罗素悖论严重损坏。 如果罗素矛盾没有传播，那么没有明显的原因，为什么一个人不能坚持这个天真的集合理论为数学提供了足够的基础，并且该天真的集合理论通过天真的理解模式从逻辑推导出来。 所需的唯一变更是移动到不一致的宽容逻辑。 在相关论文中更自然地（2010年），（2012），（2013），（2013年），已经采取了不一致的德国，因为它使我们能够解决由Cantor开放的几个问题，即，那种顺序定理和众多选择的公理是可提供的，并且连续假设是假（2012,284）。 其中一些人出现了真实而假; 其中韦伯担心推进经典recapture的证明，这是表明传统结果保留的项目（2010,72）。 这是振奋的新地面。 韦伯还表明了这个项目至关重要的事情，即陈列望的定理继续持有; 也就是说，它并不依赖于帕加索派斯特争夺的过度强大的逻辑原则。 保留陈列人的定理在韦伯的观点中很重要，因为不同的无限顺序保持不一致的集合理论。

此外，数学还包含用于廉价的Metalanguage的机器，即用于谈论数学本身。 这包括概念：（i）数学语句的名称和语法的其他部分，（ii）自我参考，（iii）证明和（iv）真理。 Gödel对数学哲学的贡献是表明，这些中的前三个可以在算术理论中严格表达，尽管是不一致或不完整的理论。 由于在ecq的信仰，再次不一致，这两个替代方案的前者的结构良好的例子，即不一致的可能性。 然而，另外的自然语言似乎有自己的真理谓词。 结合自我引用，这产生了骗子悖论，“这句话是假”，一个不一致。 牧师（1987年）和牧师，Retley和Norman（1989，第154页）认为，骗子必须被视为真假，是真正的矛盾。 这代表了研究不一致理论的另一个论据，即一些矛盾是真实的，也称为型乳种。 Kripke（1975）在一致的不完整理论中提出了模拟了不同的谓词。 我们在下面看到不完整和不一致密切相关。

为了简化动机，数学，像许多科学一样，遇到异常，谜题和悖论。 悖论通常以矛盾的形式出现，其中存在接受矛盾不相容的侧面。 数学至少部分地通过消除一致重建的异常来进展。 这通常是解决异常的方法，通过注意到矛盾出现在数学的基础中，促进了。 但是，在二十世纪后期有人注意到，还有另一种方式，即接受矛盾，发展含有矛盾两侧的数学理论。 如果在包含Boolean原则EX矛盾的逻辑基础上竖立矛盾理论，则这是不可能的，从矛盾的EXTRIBETECECQ eCQ矛盾的一切矛盾。 因此，欧洲委员会必须被遗弃，但令人难以预测，实际上是以数学上的直截了当的。 什么仍然是一个丰富的领域，新的数学应用程序在自己的权利中有趣，这是通过在数学领域的矛盾制定了远离基础的数学领域的矛盾来追踪的烦恼问题。 这是不一致的数学。

2.算术

但这些言论一直是关于基础，数学不是它的基础。 因此，有一个进一步的独立动机，看看数学结构仍然是什么，无论在哪里放松一致的约束。 但是，这是以任何方式依赖于在经典数学中所研究的结构的拒绝：不一致的结构代表了已知结构的补充。

Robert K. Meyer（1976）似乎是第一个想到不一致的算术理论。 在这一点上，他对一个一致理论的命运更感兴趣，他的相关算术r＃。 这增加了Peano算法的公理，具有量化相关逻辑RQ的基础，并且Meyer希望相关逻辑的较弱基础允许更多的模型。 他是对的。 被证明是一类不一致的算术理论; 例如，查看Meyer和Mortensen（1984）。 在与上述康复逻辑中的评论平行中，Meyer认为这些算术理论为复活的希尔伯特计划提供了基础。 希尔伯特的计划是经过简单的合理/归纳程序，证明其一致性的项目。 由于Gödel的第二个不完整性定理被广泛持有，根据该定理，算术本身在算术本身的一致性是不可移动的。 但是，迈耶的建筑的结果是，在他的算术r＃中，它可以通过合理的意味着可以实现任何矛盾，它们无法对任何数值计算产生不利影响。 因此，只要使用不一致宽容的逻辑，希尔伯特最终证明数学的目标就是无故障的证明。

Meyer和Mortensen使用的算术模型以后被证明可以允许真相谓词的不一致表示。 它们还允许表示超出自然数算术之外的结构，例如环和字段，包括其订单属性。 还提供了公理化。 最近，有限的不一致的算术崩溃模型，比Meyer和Mortensen学习的级别更大的课程，已经完全由格雷厄姆牧师完全特征。 通过将域折叠到各种一致性关系生成的同一类中，从经典模型获得折叠模型。 当确定相同一致类别的成员时，所产生的理论不一致。 例如，Meyer的初始构造在同一同一年中的初始结构下折叠了整数。这将0和2放在相同的一致性类中，以便在合适的三值逻辑中，两个= 2，而不是 - （0 = 2）保持。 牧师表明，这些模型采取了某种一般形式，见牧师（1997）和（2000）。 严格来说，牧师在包括“Clique Models”的情况下有点太远。 这是由巴黎和帕尔曼纳森（2006年）纠正的，并延伸到巴黎和Sirokfskich（2008年）的无限。 即使是最近，泰德德（2015）就获得了具有不同背景逻辑，澳大利亚州的有限折叠模型的公务疗法，澳大利亚州售价为Adron的A3。

3.分析

一个人可能几乎不忽视分析的例子及其特殊情况，微积分。 对于这些地图的模型 - 理论方法，参见Mortensen（1990,1995）。

现在迈耶的原始方法是自然数，即R＃，是公理而非模型理论。 McKubre-Jordens和Weber（2012年）也被采取了公理方法。 在用帕克凯伦语逻辑的基础上的公理分析中，他们的论文将Meyer通过R＃进一步推动算术的方法。 这些同样的作者（2017）使用Paraconsistent推理，返工集成的整合理论，因为它采用了耗尽方法。 这给出了结果“达到不一致”，这意味着一个人能够证明“古典结果或矛盾”。 然后可以看到古典结果被应用于经典错误（不一致）第二分散的古典移动脱血三段。

追求这个方向肯定是重要的，但这里进入温和的小心：公理项目与不一致数学有点不同。 如前所述，Meyer在这一阶段是一致主义的 - 他寻求一致的理论，具有宽容不一致的逻辑。 具有类似的动机，他还担心尝试解决他所谓的“伽玛问题”，这基本上是公理理论r＃是否可以被证明包含经典的PEANO算法作为子理论的问题。 如果这是如此，那么他对R＃的非凡程度证明会立即产生一个新的否定常量算法的否定一致性证明！ 请注意，这与戈德尔的第二个定理不相反，因为大概是伽玛结果的证明不会被限制在有限技术。 （在迈耶的理论的情况下，事实证明是不是那么。）

在整个分析中证明是许多地方，其中有截然不同的见解。 本节剩余部分中的示例是从Mortensen（1995）中的。 例如：（1）罗宾逊（1974）非标准分析基于无穷大的分析，量小于任何实数，以及它们的倒数，无限数量。 这具有不一致的版本，这对于能够丢弃高阶无穷无尽的次数来计算一些优点。 有趣的是，差异化理论原来有这些优势，而整合理论没有。 使用不同的背景逻辑的类似结果是由Da Costa（2000）获得的。 （2）另一个地方寻找分析中不一致的应用的地方是拓扑，其中容易观察切割和粘贴被描述为一个边界的空间与另一个边界的制作的做法。 人们可以表明这可以在不一致的理论中描述，其中两个边界都相同而不是相同的，并且可以进一步说明这是对实践的最自然的描述。 （3）另一个应用程序是不一致的连续功能类。 并非所有经典不连续的功能都是不一致的治疗方法; 但是，对于所有x≥0，有些是，对于所有x＜0和f（x）= 1，例如f（x）= 0。 不一致的扩展替换了第一个＜×≤，并具有独特的结构属性。 这些不一致的功能可能很好地在动态系统中具有一些应用，其中存在不连续的跳跃，例如量子测量系统。 区分此类功能导致DIRAC施加到量子测量研究的达达功能。 （4）接下来，存在众所周知的线性方程系统不一致的系统，例如系统（i）x + y = 1，加（ii）x + y = 2。 这种系统可能在自动控制的背景下出现。 在经典逐渐完成工作来解决这些系统，但可以表明在不一致的矢量空间内有良好表现的解决方案。 （5）最后，人们可以注意到拓扑和动态的进一步应用。 鉴于似乎可以想到的假设，即无论发生什么或者是真的，在一个开放的（时空）点上发生或是真的，那么一个动态可能的路径的逻辑是打开的集合逻辑，也就是说直觉逻辑，支持不完整的理论卓越。 这是因为这种空间中一个命令的否定的自然陈述表示，它持有由持有的原始命题的一组积分的布尔值补充所载的最大开放集，这通常小于布尔的补充。 但是，通过其关闭的集合指定拓扑空间是每位的，就像指定其开放集一样合理。 然而，已知关闭集的逻辑是滞假的，即。 支持不一致的非活动理论; 例如，查看Goodman（1981）。 因此，鉴于似乎也可以想到的（替代）假设，即无论在一组封闭的点上都是真的，那么一个不一致的理论可能很容易保持。 这是因为否定了一个命题的自然来陈述，即它在包含对该命题的布尔否定的最小封闭集上，这意味着在重叠边界上的命题及其否定持有。 因此，动态理论确定了自己的可能主张的逻辑，以及可能不一致的相应理论，并且当然是他们不完整的对应物的自然。

在封闭式逻辑和边界作为矛盾理论的自然设置，见Mortensen（2003,2010）。 Weber和Cotnoir（2015年）还探讨了边界的不一致，从三个原则（i）的不相容中产生了界限，（ii）空间是拓扑连接的，（iii）离散实体可以接触（即，它们之间没有空间）。 这是一个非常有趣的问题，因为这三个都是合理的; 特别是，似乎在我们的世界中似乎是界限。 这个账户的最初令人惊讶的特征是边界出来“空”; 毕竟，零实体违背了模特的精神。 但这并不令人震惊，因为它表明他们只是空虚，因为他们的成员不一致。

类别理论在许多数学结构上投掷光线。 它肯定已被提议作为数学的替代基础。 这种普遍性不可避免地与集合理论的理解类似的问题犯罪; 参见例如Hatcher 1982（第255-260页）。 因此，存在不一致的解决方案的可能性。 还有一个重要的分类结构集合，拓扑，支持开放式逻辑以完全并行方式设置支持布尔逻辑。 许多人已经采取了许多人来说是数学直觉主义的基本观点的辩护。 但是，可以证明，拓扑支持封闭的集合逻辑，随着它们支持开放集逻辑，才能日期为滞后逻辑的唯一类别 - 理论语义。 然而，这不应该被视为对直觉主义的反对意见，这是一种争论，即不一致的理论与数学研究项目同样合理。 见Mortensen（1995年第11章，共同作者紫菜）。 Estrada-González（2010年，2015年，2015B），现已升起，延长和干燥地捍卫该职位。 同一作者（2016年）承诺提供琐事理论的类别理论描述，目的是表明琐碎性并不是对数学理论具有这种不感兴趣的特征。 目前作者仍然不相信，因为琐碎的理论肯定是数学计算的肯定; 但必须承认参数的聪明才智。

不完整性/直觉主义与不一致/缓释之间的二元性至少有两个方面。 首先存在上述拓扑（开放/关闭）二元性。 第二个是Retley *二元性。 一组句子的Retley Star *定义为S * = DF {A：〜A不在S}。 Routleys（1972）发现作为相关逻辑的语义工具，*操作De Morgan逻辑大型自然类别的不一致和不完整理论之间的操作。 例如，主演的PEANO算法给出了包含所有PA的推出闭合的不一致的完整非琐碎的经典算术理论，这对戈德尔不完整结果提出了一个有趣的挑战，请参阅Mortensen（2013）。 两种二元性也是相互作用的，其中*为开放式和封闭式算术理论提供了独特的二元性和不变性定理。 在这些结果的基础上，争辩说，两种数学，直觉主义者和滞假情况都是同样合理的。

4.几何不一致

几何开发是解释不一致图片现象的应用。 这些最着名的是M. C. eScher的杰作贝尔维德，瀑布和升序和下降。 事实上，传统回到了庞贝城。 eScher似乎派生了他在1934年开始他不一致的工作的瑞典艺术家OscarReutersvärd的许多直觉。escher也积极与英国数学家罗杰·彭罗斯合作。 有几次尝试描述使用经典一致数学的不一致图片的数学结构，由Cowan，Francis和Penrose等理论家。 然而，正如在Mortensen（1997）中所说的那样，没有一致的数学理论可以捕捉一个人看到不可能的事情。 只有一个不一致的理论可以捕捉该感知的内容。 这增加了对解释的认知理由的吸引力。 然后可以继续显示不一致的理论，这些理论是此类不一致内容的候选者。 在这一点上有一个类比数学：投影几何是一种经典一致的数学理论，这是有趣的，因为我们是有眼睛的生物，因为它解释了为什么它是他们在观点来看的那样。

在Mortensen（2002A）中进一步开发了不一致的几何研究，其中应用了类别理论，以给出各种理论与其一致的削减和不完全的双重关系之间的关系。 对于一个突出显示视觉“悖论”与语言等哲学更常见的悖论之间的非正式账户，例如骗子，参见Mortensen（2002b）。

最近，已经获得了几类不一致的数字的不一致数学描述，例如由eScher的立方体（在他的印刷elsblvedere中找到），Reutersvärd-penrose三角等。 见Mortensen（2010）。

这提出了另一个有趣的问题。 自从Euclid以来，在几何证明中已经彻底利用了净化的方法（假设他与您想要证明的内容相反并推断出矛盾）。 但是在这里，我们有一个不同的技术（采用矛盾来描述如何看待数据看法，以证明内容是真正矛盾的）。 如果成功，这是人类概念化超出仅可能（一致）的示范。 讨论见Mortensen（2019,2022）。

再一个点：这些几何悖论是否借给全拨型主义的支持？ 答案是否定的。 如果您可以绘制矛盾的图片，那么存在不一致的东西。 并且，不同的不一致数字意味着ECQ不允许的矛盾类型之间的区别。 但这不应该推得太远。 没有什么说，因为图片有内容，那个内容必须以某种方式是真的：很多图片都在内容中虚构。 有关此主题的更多信息，请参阅Mortensen（2019A）。

5.块和渗透

最近，出现了一般与矛盾处理的替代技术。 棕色和牧师（2004年）提出了一种他们称之为“块和渗透物”的技术，其中通过将假设分成一致的理论（块），从而导致适当的后果，然后通过（渗透）那些对不同块的后果以获得进一步的后果。 他们建议牛顿在微积分中取代衍生的原始推理是这种形式。 这是一种有趣和新颖的方法，尽管它必须符合相信在此基础上获得的结论的反对意见，但一个人应该相信平等的所有前列; 因此，应该最终即将到来，对所有没有支付它们的所有前提是更常见的形式，吸引了所有常见的争论。 因此，反对意见是块和渗透物是发现的背景的一部分，而不是理由的背景。