自然扣除系统在逻辑中（一）

“自然扣除”表示最初在Gentzen（1934）和Jaïkowski（1934）中描述的一种逻辑系统。 它还指示了这些逻辑系统体现的推理类型。 自然扣除的基本部分，以及（根据大多数作家的话题），与其他证明方法相比，它是“超强” - 部分证据的概念，其中争论取决于临时处所（假设）为此而假设论证“）。 在Fitch-Jaïkowski呈现自然扣除中，防护的方式以一种方式标记为，使它们在书面证明中立即可见; 使用其他演示文稿需要更多的工作来挑选形成保护的公式。 虽然形式主义不同，但潜在的想法是一个能够“假设一个假设A，并看到它导致结论X”，然后得出结论，如果A是真的，那么X就是这样。 （我们还有各种各样的超强我们讨论的。）在这个区域的研究集中在这样的话题上，因为（a）将所有自然扣除证明都放入一些“正常形式”？，（b）不同的逻辑系统需要自由基不同类型的逻辑规则？，（c）不同的逻辑需要完全不同类型的逻辑规则，这表明某些逻辑比其他逻辑更为“更好”？，并且（d）可以使一些逻辑的功能比其他逻辑“更好”，以便在自然中表征逻辑术语（且可能其他人）的含义语言？

1.简介

2.自然扣除系统

2.1 Gentzen和Jaïkowski

2.2现代版本的jaśkowski的方法

3.自然扣除和量词

3.1量化基础

3.2∀泛化和∃实例化问题

4.序列结石和续集自然扣除

5.标准化

5.1直觉逻辑的标准化

5.2标准化证明

5.3变体逻辑

5.4古典逻辑中的标准化

6.用于模态和其他逻辑的自然扣除系统

7. Intelim和一些可能的哲学后果

7.1 Intelim作为正确的逻辑视图

7.2逻辑与语言和形而上学的关系

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.简介

“自然扣除”表示最初在Gentzen（1934）和Jaïkowski（1934）中描述的一种逻辑系统。 自然扣除的基本部分，以及（根据大多数作家的话题），与其他证明方法相比，它是“超强” - 部分证据的概念，其中争论取决于临时处所（假设）为此而假设论证“）。 在Fitch-Jaïkowski呈现自然扣除中，防护的方式以一种方式标记为，使它们在书面证明中立即可见; 使用其他演示文稿需要更多的工作来挑选形成保护的公式。 也就是说，我们在结束地结束时是合理的，没有任何假设，即“如果a然后x”，即（a→x），因为我们可以创建这个等保护。 在一些先前制造的假设中也可以发生这种假设，因此需要有一些方法可以防止混合嵌入的结论。 该示例是可以在教科书以及研究贡献中找到的许多不同类型的“从属证明”类型之一。 在Suppes-Lemmon的证据风格 - 这通常是甚至通常被称为自然扣除风格 - 证据可以又可以看作是用顺序操作的，因此（通过我们的规定定义）并不是真正的自然扣除系统，但（i）它类似于自然扣除系统通过消除规则，而不是在序列左侧引入公式的规则（在此内容中的左侧的顺序计算中的规则），而（ii）当一个有效时，以其他形式的自然扣除（如Gentzen的Searent Calculi NJ和NK）在实践中，它感觉像自然扣除。 （我们在第4节中讨论这种风格。）在本调查中将说明各种样式中的各种风格。

“自然扣除”还指定了这些逻辑系统体现的推理类型，并且它通常是概念概念的概念上的直观，而是特别是在积极推理背后的连接的含义 - 这是通过使用表达式来定义的。 对于像连接等相同的逻辑表达式，他们使用的突出方面是由涉及它们的推理模式给出的。 很多已经写在这个领域，该领域将正式逻辑的一些重要方面分类为表现出这个特征，特别是在自然扣除中最清楚地是最明显的。

虽然自然扣除的第一个正式描述是在1934年，其接受和受欢迎程度并不表现为20世纪50年代和60世纪60年代，当出版了大量的基本逻辑教科书时，使用不同的基础作品的中央观念的变化1934. [1] 我们只能简要触及这些基本教科书的逻辑系统与原始作品不同的方式，但应该指出的是，一些这些差异被认为（由某些学者）与其他类型的其他类型的“真正自然扣除”进行了如此重要的有时也称为自然扣除的形式主义。 （我们描述了§4的这种系统范围差异。）

我们提到其他类型的逻辑系统带来了某些其他类别的逻辑形式主义的主题，其中一些已经在原来（Gentzen 1934）中描述，另一个在Gentzen（1936）中。 我们将使用一些空间讨论这些相关理论之间的各种重要区别。 一些现代理论家称他们所有的“自然扣除”，而其他人（包括我们之一）认为它们是逻辑的明显理论。

当然，大多数逻辑学家和逻辑导向的语言哲学家对小学逻辑的各种形式主义并不特别感兴趣，而是在一些不同逻辑表现的一些传言性质中。 我们考虑了许多自然扣除被认为优于（或者至少，与）潜在逻辑的各种其他形式主义的地方。 其中一些差异纯粹是正式的（如正常化和和谐），而其他人则关注一个真正逻辑[2]，借鉴和各种其他哲学职位的问题。 我们还将查看超出直觉和古典逻辑的自然扣除的扩展，例如模态和相关逻辑。 原来的绅士作品中讨论了一些这些功能，但后来的研究已经进一步阐明了所涉及的复杂性。

2.自然扣除系统

自然扣除允许与直觉逻辑的古典术语尤其明显比较，因为两个逻辑的配方只能对这组规则进行小的更改。 Gentzen，Jaïkowski和惠誉在早期出版物中都注意到了这一点。[3]

在本节中，我们简要描述了Gentzen [4]和Jańkowski的原始系统，也是在初级逻辑教科书的更新鼎盛时期中介绍的很少有影响力的系统。

2.1 Gentzen和Jaïkowski

Gentzen用于自然扣除的方法 - 他的N Calculi - 以树形格式给出，具有出现作为树的节点的公式。 树的根部是要证明的公式，“假设”位于树的叶子处。 以下是定理的校验树

（（（p→q）∧（¬r→¬q））→（p→r））

在绅士的n微分中。 （作为援助在此证明之后，应该提到Gentzen的间接证明的主要规则首先生成⊥（“荒谬命题”）从矛盾的两部分生成⊥（“荒谬命题”），然后产生了对相关假设的否定。[5]

绅士风格证明：链接到下面的扩展说明

图1：绅士风格证明。 [图1的扩展描述在补充中。]

线条指示使用在线右边缘上指示的推断规则从上部公式到沿着线下方的一个。 （我们可能会用垂直或分割线替换这些水平线，以更清楚地指出树枝，并用负责的推理规则标记这些分支，结果看起来更加树木。 绅士使用叶子上的数字作为跟踪子防护的方式。 这里输入要证明的条件的先行（两次，因为与数字有两个单独的事项），使用数字'1'，所以通过数字'2'的主定理的后续的前所未有，而公式¬R在证明的索赔部分中使用）输入数字“3”。 当应用相关的“范围改变”规则时（通过引用该分支的数字指示，作为引用的引用规则的一部分，在括号中）将此数字交叉，表明该等保护完成。

完全独立于Gentzen，Jaïkowski（1934）描述了两种方法。 在本文中对我们感兴趣的是，在冗长的脚注中，他描述了他早先宣布的图案方法。[6] 图案方法涉及校验的部分围绕部分的“盒子”，表示封闭式公式是“仅在假设”下被认为是以下，因为我们可以说，它们是从假定的前提下面遵循的子防护。[7]

Jaskowski风格证明：链接到下面的扩展说明

图2：jaśkowski风格证明。 [图2的扩展描述在补充中。]

制作假设（=假设）和看到它引导的基本概念在Jaïkowski引入了一个盒子，这是一个盒子的第一行，这是假设的所有后果都保留在该盒子里面。 此外，通过生成从属盒子可以在前一个框内进行进一步的假设。 条件化的基本规则是一个条件，其前所未有的是假设，其后果是盒子内的最后一行可以输入到框外的下一行。 构造了一个盒子后，它内没有公式可用于证明盒子外部的任何线路。 类似的假设规则是索赔或否定介绍，规则，同一框内的两个矛盾线可以触发框的完成（关闭），并且将禁止的假设作为框外的下一行。 语言的定理是可以由这些规则生成的公式，并且在所有框之外。 与绅士的证据一样，我们看到Jaïkowski使用规则删除ad荒谬删除了假设的否定标志。 这是Jaïkowski从直觉逻辑到古典逻辑的方式。 （再次，有关加强直觉逻辑到古典逻辑的方法，请参见注23。）

2.2现代版本的jaśkowski的方法

在我们未来的自然扣除例子中，我们将采用更现代化的jaśkowski的方法：惠誉（1952）。 这种方法的变体如今，大多数现代的基本教科书，尽管有一种类型的例外之后是几个作者。 在§4中，我们很快就会看待这个例外。

像Jaïkowski一样，惠誉的方法是图形的，涉及指示Jaïkowski盒子和假设的方法。 规则具有两种类型：引用前一行但在同一框中具有与前一行的新公式的那些类型，以及允许结束框的新公式，并在下一个外部框中使用新的公式。 但不过画整个盒子，惠序方法只是盒子的左侧，而不是假设只是新盒子的第一行，而是通过在短的水平线上方输入它们来表示它们。

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

图3：惠誉样式证明。 [图3的扩展描述是补充。]

本证明中所采用的规则[8]说明了自然扣除的自然扣除的一个方面在自然扣除的骚乱中非常重要：这种语言的每个结缔组织都应该有一个引入规则和消除规则 - 或者有时被放置，而且整个逻辑应该是为每个逻辑运营商组织成对介绍和消除（简称短期）规则。 我们讨论了§5的归一化§5。 我们在此说明，惠誉的确切配方不符合此INT-ELIM要求，因为除了通常的规则，int-emplif的结缔组织的int-emp规则，即结缔组织的否定。 因此，具有¬（φ∧ψ），¬（φν）和¬（φ→ψ）的公式类型的INT-SIMP规则：

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

（一）

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

（b）

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

（c）

图4：FICH-SIQUE的否定终端规则：负面int规则是其中的反转。 [图4的扩展描述在补充中。]

这影响了关于自然扣除的语义意义的论据，略微复杂化了一些传言论发展，但惠誉的负面INT-ELIM规则是以足够许多标准结果的类似物的方式配对（如§5.3）。 有可能指出，格雷滕的介绍往往是在技术证明理论上的作家倾向于首选，但是惠誉由小学教科书作家的介绍。 学习了一个自然扣除的人通常最初发现别人不透明，但经验“翻译”成为日常生活。 一种自然扣除的证据转变为另一个风格是一种简单的切割和粘贴的问题（或者也许，因为绅士的树形呈现通常需要多种公式，切割，复印和粘贴的多个副本）。 但是，呈现自然扣除系统，它们具有两种类型的规则。 有推断规则，通过该规则可以从一个或多个先前的公式推断出公式。 （一些系统还允许“零前置”规则，通过该规则可以写入所需的任何地方的公式：实际上，逻辑公理方案。）通常推理的常规规则包括以下内容：

∧介绍：可以从两种合并中推断联合。[9]

∧消除：可以从联合推断出一个结合。[10]

∨介绍：可以从解除剖析中推断出脱位。[11]

→ - 可以从两个场所A和（A→B）中推断出来

消除：可以从一对矛盾的房地，a和¬a推断出任意式b。[12]

还有什么Jaïkowski呼叫假设规则，其中得出结论，而不是从早期的公式推断出来，而是从存在一个或多个指定的子项的存在。 通常（在惠誉术语中描述）这些包括：

→ - 介绍：（A→B）可以在具有其假设和B和B作为线的后面的副本之后断言。

∨消除：在三项之后可以断言任意式c：一个分离，（a∨b），一个具有作为其假设的子，用c为线，并且具有b作为其假设的子，用c为一条线。

¬-介绍：否定，¬A可以在副后，作为其假设，含有一对矛盾的公式，B和¬B，如行。[13]

正如逻辑的公理配方一样，对于特定逻辑，可以选择特定逻辑的不同选择性的不同选择，可以选择制定自然扣除系统。 特别地，在其他人存在中，一个或多个假释规则可以通过推理规则替换。 因此，例如，可以使→-i [14]作为唯一的假设规则，任何其他人被推断规则替换，其中包括总结原始规则的子防护的条件。 （小学生可能会发现更容易学习推断规则，而不是学习假设规则，在这种情况下，这种系统可能是基本教科书的理性选择。）或者，可以作为唯一的假设规则，→-i被规则替换为唯一允许（A→B）从¬（a∧¬b）推断出来。 其他选择也是可能的。 D'Agabbay和Modgil（2020）为经典命题逻辑提供了一个非常优雅的系统，其中唯一的假设规则是“排除中间”规则：如果在一对子中的每一个中导出，则可以断言公式，一个人的假设是对另一方的假设的否定。

3.自然扣除和量词

量化器的规则必须更复杂，但标准使用的人可以被视为自然（虽然是类似的）∧和∨规则的扩展。

3.1量化基础

思考通用量化为（有种）与域中的每个元素的一个结合的结合，我们自然地获得了一项规则

∀-e：

可以从通用量化，∀x（a（x））从通用量化推断出任意实例a（t）。[15]

相应的介绍规则不太明显：域可能是无限的，只有在正式证明中只能发生许多混合！ 我们更致力地进行。 首先，我们假设特殊术语的“字母”（各种称为免费变量，参数，虚拟常量，......）。 接下来，我们定义了一种特殊的子防护，子防护，对特定术语来看来自该字母：在惠誉的符号中，这些子防伪被标记为垂直线顶部旁边的相关术语的发生。 这些子保护受到重新缩义的限制：不能重新将特定一个特殊条款中的公式相对于该术语重新纳入副总署。 然后我们可能会说明规则

∀-我：

通用量化，∀x（a（x））可以在对特殊术语的一般A，没有假设的一般，其中包含该术语的定量实例，a（a）。[16]

这种规则的声音很容易看到。 对一般子保护的重新判断的限制意味着术语A上没有特殊的假设可以被践踏于相对于a的子防护一般。 因此，可以看出，可以看出，显示模式（假装域中的每个元素具有名称[17]）的模式，可以由每个元素的量化的实例构建。

存在量化的标准规则是分离规则的类似模拟扩展。 引言规则很容易：

∃-我：

存在量化，∃x（a（x））可以从其任何情况下推断出（t）。

∨-e的规则允许我们推断出在给出的超声中的结论，示出了如何在任何分裂的假设上推导出结论的结论。 使用一般的保护，如前所述，为扣除扣除的架构，从任意的“disjunt”，我们

∃-e：

结论，C，可以在存在量化，∃x（a（x））和相对于术语中的子酮一般的情况下断言（其中不发生在c），其中实例a（a）作为其假设和含有c作为一条线。

再次，假装域名的每个元素都有名称，这些规则的声音很明显。 （鉴于古典逻辑的否定规则，赋予了否定规则的一个有效练习，表明∃（对于∀）的规则可从∀（for∃）的规则以及∃x（a（x））的定义为¬∀x¬（a（x））（∀x的定义（a（x））为¬∃x¬ - （a（x）））。限制后，子防护的特殊项在∃消除的结论中出现，这完全是对重新重复到一般子保护的限制。）

有关这些规则的一些评论是有序的。 一个是，由于仅在给定的规则的特定应用程序的证据的有限部分中仅发生许多术语，所以我们可能要求在任何包含的子项目的假设中出现在∀-i或∃-e的应用中使用的特殊术语a。规则申请（或在整个证明的任何前提下）：在讨论绅士的树木类的自然扣除的术语中，在规则申请之上的假设中不能发生，除非这一假设已经被一些早期的假定申请出院了。 这将略微简化整体框架，通过不需要对一般子防护的限制。 另一方面，在构建一个非常长的正式证据时，允许自己重新使用特殊条款是方便的。 如果我们确实没有了解重申的限制，我们可以在没有提及特殊的保护的情况下重新格式化∀介绍。 我们可以说∀x（a（x））可以在（a）之后断言，只要a在未出院的早期假设中不发生（许多流行的本科教科书通过本课程）。 这将简化规则的陈述一点（尽管不是构建证据的过程：检查在“禁止的”假设中未发生的问题将是耗时的构建长目词）。 另一方面，它会掩盖∀和∃规则之间的关系。

∀-i统治有另一个奇怪的奇怪。 我们最初引入了代表假设推理的防护的思想：一种保护从假设中扣除。 但在∀ - 我使用的是一个没有假设的后期！ 如果这似乎是令人逆情的奇怪，我们可以说防止应用的应用程序，确实有一个假设，但是一个不稳定的，金属语言学，一个：假设（否则未解释的）术语A代表域中的某些元素。 这不是似乎是任意的：如果我们修改规则以提供普遍的自由逻辑（见NOLT 2020） - 那么，从域是非空的普通第一阶逻辑的假设中，量化的量化逻辑被解除，并且所有单数术语都表示IT的元素 - 这个假设进入了对象语言，并明确说明。 自由逻辑最容易配制，存在谓词，e！，规则变成了

免费∀ - 我：

通用量化，∀x（a（x））可以在对特殊术语中的一个等一般术语之后断言，具有e！（a）作为其假设，其中包含量化的实例，a（a）为一行。

存在假设和房屋将添加到其他量化规则中：∀-e和∃-我成为双重预定的规则，用e！（t）作为第二个前提，并且∃-e的后期最终有两个假设，a（a）和e！（a）。 许多排序的量化逻辑的配方（对于经典陈述，1967年，1960年的哲学申请弗氏2019年）可以遵循相同的模式，额外的假设和最终是指相关术语或参数代表某事特定变量的范围。

3.2∀泛化和∃实例化问题

许多教科书（Quine 1950b，一些版本的Copi 1954以及Kalish＆Montague 1964，也许是最着名的数量规则。 更简单的规则，∃-i和∀-e不变，但我们刚被调查的两个外部涉及的规则由规则所取代（QUINE）我们将参考存在的实例化（EI）和通用概括（UG）：

ei：

从存在量化∃x（a（x）），可以推断出一个例子，其中a是从特殊的“字母”的一个术语。 （瞬时常数或瞬时术语通常用于该常量而不是参数等）