自然扣除系统在逻辑中（二）

ug：

从实例A（a），其中A是特殊术语之一，可以推断出通用量化∀x（a（x））。

在没有限制的情况下使用，这种规则显然是不健全的：它们将从前提∃x（a（x））到结论∀x（a（x））中的一个原因 因此，对规则对所使用的特定瞬间术语进行了预订。 对于一个开始，一个人不能在同一导游中的两个不同的量程实例中使用相同的瞬间术语，但本身就是不够的。 精确地制定将产生声音和完整的规则制度的限制不是琐碎的：COPI的教科书（（1954））经历了多个版本，具有不同的不正确的系统，Quine（1950A）改变了他教科书版本之间限制的措辞（虽然两个版本给出了正确的系统）。 在专业逻辑期刊和一般哲学中发表了几篇文章，并注意到了误差并提供了这种情况的分析。

这些规则背后的想法似乎没有与自然扣除的内在联系：他们不使用子防护（他们更换更多标准系统的涉及的涉及的量化量规则），它们可以与纯粹的命题逻辑系统结合使用。 他们与自然扣除的关联是历史事故的问题：教科书介绍了他们具有自然扣除的其他特征的系统。 尽管如此，他们还有一些实用价值：在经典逻辑系统的上下文中采用（正确限制的版本）的证据，可以比具有标准自然扣除规则的系统中的证明更短简单。 （经典有效的方案

∃x（∃yf（y）→f（x））

和

∃x（f（x）→∀yf（y）），

例如，使用→-I和变体量化规则具有非常短而明显的证据。）另一方面，由于我们在§6中解释：上面提到的经典方案并非直观地说明它们而没有改变的情况下，不能使用它们而没有改变。有效，但他们的简单证据通过了一个系统，将奎奎教科书的量化规则添加到直觉突出逻辑的形式化，以及在规定的模态逻辑制定系统中使用它们的自然尝试导致巴尔卡纳原则的简单推导它的交谈。 在非古典逻辑背景下使用这些（和相关）规则缺乏谨慎导致发表的哲学文章中的错误。

在制定对这些规则的正确限制方面的困难与瞬间术语的任何明显的语义解释有关。 经典地，模型中的∃xf（x）的真实意味着（如果域的每个元素具有名称），则量化具有真实实例，但不是我们可以识别它是哪个实例。 因此，当以其他方式解释语言的证据中使用EI的规则时，构建证据的人可能无法定义瞬时术语：它仍未解释。 然而，适度复杂的模型理论账户已由精细（1985A，B）开发，这允许证明适当限制的EI和UG规则的声音。 （有兴趣使用这些规则以进行简短的证据使用这些规则应该咨询罚款的工作：他提供了规则和限制的简化陈述，并提供了一种简单的算法，他的依赖图，检查证明中的瞬时术语符合限制。）对于那些熟悉希尔伯特epsilon微积分的人（参见Avigad＆Zach 2020），也许看到正确受限制的EI和UG的声音的最简单方法是将瞬时术语视为缩写ε-术语：符合限制的证据中发生的术语可以扩展到适当的ε-术语，而当违反限制时，这种扩展被阻止（参见Hazen 1987，以获取更详细的帐户）。 Cellucci（1995）对与EI和UG相关的各种规则进行了一个有趣的讨论。 Pelletier（1999）叙述了20世纪50年代初期的UG和EI规则的许多重新制定。

4.序列结石和续集自然扣除

Gentzen（1934）介绍了他的自然扣除系统，NJ和NK，用于直觉和古典逻辑（分别），但他对NK并不满意：他没有看到如何在NJ到NJ向标准化定理（下面讨论下面讨论）NK。 因此，他为这两个逻辑引入了另一对系统，LJ和LK（L为Logistisch），他能够为其提供密切相关的Metatheorem的统一证明。 与他对自然扣除的介绍一样，他的一个系统中的证据是一棵树，而是N系统证明中树的节点被单个公式占据，而单个公式占据，而L-System证据中的节点被顺序占据，其中搜索包括顺序一对（可能为null！）公式列表，由特殊符号分隔，⊢。[18] （结果，类似于Gentzen的L-Systems的系统通常称为搜索结算。）Sequence的直观含义是，如果列出左侧的列表的所有公式是真的，那么至少一个右侧列表中的公式（成功公式）是真的，或（使用与自然扣除相关的单词暗示）所有先行公式都是真正的假设证明了至少一个成功的结论公式是真的。 符合所有现代数学中的所有和至少一个中的标准使用，这被解释为涵盖具有空列表的顺序的情况：如果在搜索中没有退缩式公式，则被解释为至少一个成功的意义Formulas是真的，如果没有成功的公式，则搜索被解释为含义至少一个先行公式是假的，如果两个列表都为空 - 所以Sequent只是一个⊢⊢standing必要的虚假。

L样品的初始顺序（树的叶子）是形式φΣφ的身份顺序（这对应于任意假设可以用作N样品中的叶子），并且在较低节点中的顺序遵循搜索的推断规则紧接在它们之上的一个或两个节点。 规则是两种的。 首先，管理列表的结构规则：交汇处（体现了列表中公式的顺序是无关的，收缩（允许从列表中消除公式的重复副本），而变薄（在浇水的意义上：可以将额外的公式添加到列表中）。 其次，与不同的连接（和量子）相关的逻辑规则：每个运算符的两个[19]，处理在先发制公式和成功公式中的运营商。 成功出现的运算符的规则类似于简介自然扣除规则：例如，右手规则允许我们推断一个搜索

γ⊢δ，（φ∧ψ）

从两个顺序

γ⊢δ，φ

和

γ⊢δ，ψ。

简介自然扣除中的规则增加复杂性：通过向早期公式添加运算符来形成简介规则的实例的结论。 相比之下，消除规则简化：通过将运营商删除到结论（或在∨-e中，在使用的子保护的假设）中，通过删除运算符来形成消除规则的前提。 L-Systems没有简化这种规则。 他们的位置是通过在左侧的繁忙规则上拍摄的。 因此，例如，前一种规则为∧∧允许搜索

（φ∧ψ），γ⊢δ

从任何一个顺序推断出来

φ，γ⊢δ

和

ψ，γ⊢δ。

然而，可以在自然扣除的呈现中使用顺序（以及仅具有一个成功式的顺序）的符号：Gentzen（1936）给出这样的系统。 需要对Gentzen树的自然扣除的不同介绍的符号并发症jaśkowski的盒子 - 是为了跟踪其假设的证据公式的假设取决于。 替代方案，允许使用标准的INT-ELIM规则，是用SERUENT替换天然扣除证明中的每种公式：替换的配方静置作为搜索的唯一成功公式，以及它取决于形成前一种的假设。 该系统的系统可以称为Sequent自然扣除系统。

续集自然扣除在实践中非常可用。 通过规定前一种公式的列表简单地是一组公式的表示，可以避免提及互换和收缩的结构规则。 可以配制有两个前提的自然扣除规则，以允许融合前一种：因此，例如，→-e应该允许推断

γ，δ⊢ψ

从

γ⊢（φ→ψ）

和

δ⊢φ。

稀疏仍然有用，可以涵盖在推导稍后的公式中不使用子防护的假设，如在推断的ψ到（φ→ψ）的形式化中。 排出假设的假设规则被制定为删除前一种假设：因此→-I允许推断

γ⊢（φ→ψ）

从

φ，γ⊢ψ

（哪个，给出或采取额外的加工公式的可能性，正是在L-Systems中的右手→-I规则）。

使用这一点作为自然扣除的呈现的主要实际问题是编写和重写所有发生在多个顺序的前提的所有公式的乏味。 在基本的文本中，它显然是在基本文本中注意到，这是一种简单的方法来缩写并参考这些公式：首先，通过用数字识别每个搜索（如果目前在证明中有n个顺序，则下一个搜索将被编号为n + 1）。 其次，通过将标签与证据中使用的标号相关联。 参数的前提的标签与其数字相同; 假设的标签（或“假设”）也与其数字相同; 否则（当通过吸引上诉到先前的搜索时生成新的搜索时）有两种情况，具体取决于规则是“直接”规则或“假设终止”规则。 在前一种情况下，正如∧引入和→-Elimination所示，新的搜索版本的标签是包含规则中使用的两个公式的标签的集合。 在后一种情况下，正如→ - 内容的例子所示，新标签是→后果的数字的标签集的标签集→→antecedent的→antecedent的标签。[20]

我们在Gentzen Tree格式，jaśkowski风格格式和惠誉格式中进行了先前参数的顺序自然扣，在Suppes（1957）的符号中[21]：

{1} 1。（（p→q）∧（¬r→¬q））假定

{2} 2.p假定

{1} 3.（P→Q）1，∧-empl

{1,2} 4.Q。2,3，→-elim

{1} 5.（¬r→¬q）1，∧-empl

{6}6.¬r假定

{1,6}7.¬q。5,6，→-elim

{1,2,6} 8.（q∧¬q）4,7，∧介绍

{1,2} 9.- 6,8，¬-介绍

{1,2} 10.r。9，¬¬-终止

{1} 11.（p→r）2,10，→-Intro

∅。12.（（（（p→q）∧（¬r→¬q））→（p→r））1,11，→-Intro

图5：支持证明示例

我们称之为呈现出证明“续集自然扣除”的方式，以尊重从序列微积分开发的方式。 然而，许多......甚至可能......基本的逻辑教科书，使用这样一个系统作为他们要教授的对象，只需“自然扣除”。 这些书籍，有些甚至采取空间（在授权介绍中，通常）争辩说，这比其他自然扣除的方式优势，尤其是从佩艺的角度来看。 但是，他们不注意这种方法对绅士的单一结论顺序微积分的关系。

另一个有趣的变化使用（基本上）仅右侧（经典）顺序：证明树中的节点被公式的有限序列占据，这可以直观地被认为是解释的拆除。[22]

5.标准化

关于自然扣除的中央Metatheorem是归一化定理，自然扣除系统中的证据可以转化为“正常形式”，以“不是环形交叉路口”而非正调的。 本定理适用于一阶逻辑的完整系统，但在如下我们将进行以下情况，为了给出“味道”的结果和证明它的方法，仅描述命题片段。

5.1直觉逻辑的标准化

Gentzen（1934）评论说明书规则就像逻辑运营商的定义，并且消除规则是他们定义的后果。 提出这句话确切并不容易，但它具有直观的合理性。 在拟域简单的结合案例中，应用∧-i的应用所需的场所只是两个结合，因此规则可以被视为“定义”在其两个混合的情况下“定义”所以的结合。 在∧-e的应用中，结论是如果结合是“定义”的结合，那么结局的结论是一种，因此必须是真实的。 对于其他操作员，它有点不太直接。 →-I所需的后果是从前进者中导致的一种：被认为是一个定义，这表明在B是（不知何故）的情况下，A→B是真的的。→-e的规则可以被视为一种结果：从（主要）Premise A→B和（未成年人）的Premiss A的推断是将A→B视为许可，当给出A时被推断为推断B. （古典逻辑所需的特殊规则更难适应这一框架，我们在和谐的背景下进一步讨论的问题，我们在§7中介绍。）

忽略，目前，定义结缔组织的隐喻（我们将在§7中回到它），这里有一个正式的点。 如果在构造推导方面，则一个使用引入规则获取具有某个主运算符的公式，然后将相应的消除规则与该公式应用于（主要）Premiss，其中一直在讨论中避免“绕路”。 在许多情况下很容易看出，绕道可以避免：以这种方式使用∧-e就是获得（第二份）的公式，该公式已经被用作∧-i的前提。 同样，使用→-e之后→-I之后可以更直接获得：次要前提是将相同的公式发生，作为→-i等的假设，因此只需使用等步骤作为主证明的线路。

绅士看到这可以是概括的，至少对于直觉逻辑的系统。 将“路由直接”修改呼叫到前一段中描述的推导（即，删除“拒绝”结合或有条件，并将前一个引入规则作为结论，或者通过从保护的争论获得结论介绍规则）和对其他操作员的类似修改，立即减少。 然后，他的结果（现在称为归一化定理）是可以通过一系列立即还原成正常形式的序列来改变任何推导，其中没有通过其中一个引入规则获得的公式作为主要的主要部分消除规则。 我们举例说明了图6中立即减少的例子。这是粗糙的，因为在涉及子的消除规则（∨-e，∃-e）的情况下令人讨厌的复杂性。

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

（一）

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

（b）

图6：立即减少的例子。 [图6的扩展描述在补充中。]

并发症有两种变体形式。 （1）公式是通过引入规则获得的，然后重申了潜水，然后用作那里的消除规则的主要前列部分：这种引言淘汰赛的所需立即降低是不可能的，因为所需的材料（主体，处所，后退）不可用∨-e或∃-e。 （请注意，如果我们拥有自然扣除的绅士风格演示，则无法出现此问题：其中，其中粉力风格的推导使用重新开始进行公式的第二份副本，因此Gentzen风格的推导只会重复导致其上方的公式出现。）解决方案是概念上简单的（尽管在某些情况下它可能导致总衍生大小的增加，因为它可能涉及安装许多公式的多个副本）：而不是将公式重新转换为子，重申所需的任何方法，通过外部引入规则来派生它，并继续降低。 （2）∨-e或∃-e推理的结论，也是诸如子防护的最后一行，通过引入规则在外部介绍的规则获得，然后用作主要推导中的淘汰规则的（主要）。 再次，不可能立即减少弯路：结论是在主要推导中，但它的直接推导所需的材料仅在外部可用。 这可能有点不太明显，这种作品的修复，但它再次概念上简单：第二次消除推断在子防护中，所以它的结论是副联的最后一行，然后得出其结论代替原稿作为结论主∨-e或∃-e推理。 调用此排序的修改到推导效力缩减。 然后，Gentzen的定理较少的陈述是，任何导流（在直觉逻辑的自然扣除系统中）可以通过一系列即时和偏移的减少到正常形式的序列来转换，其中没有出现公式是结论介绍规则与淘汰规则的主要前提。 正常形式的推导具有有趣和有用的属性。 也许最值得注意的是Subficalula属性：正常推导中的每一个配方都是未透明假设或最终结论的（即相同的或一部分）的子核实例。

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

图7：偏转减少的例子。 [图7的扩展描述在补充中。]

作为归一化定理的应用的示例，正常导出的事实使Subformula属性具有对决策问题的影响。 在命题逻辑中，仅存在（有限的许多）初始场所和结论的许多子算法，因此正常的衍生可以仅包含有限许多公式的发生。 这（有了更多的工作）意味着有一个有限的上限，在给定的前列的给定结论的可能正常推导的大小上，所以命题逻辑是（原则上！）通过详尽的可能导火搜索可判定（gentzen 1934年证明了直观的主题逻辑的可辨icience，基本上是这种方式，对他的Hauptsatz进行了吸引力的微积分而不是自然扣除的正常化。）转到一阶逻辑，正常的衍生只有一个松动subformula属性：对于每个可用变量，实例f（a）替换为量化的变量的可自由变量作为∀xf（x）和∃xf（x）的子核算。 当然，第一阶逻辑是不可判定的：这表明的是，可以针对需要在给定长度的有效公式的有效公式的证明中所需发生的量化的不同实例的数量来计算上界的数量。

5.2标准化证明

从Gentzen（1934）清楚的是，他知道正常化定理，但他没有发布它的证据，甚至是精确的制定。 似乎似乎暗示了对经典逻辑的自然扣除系统证明了类似结果，因此开发了他的搜索节奏系统。 对于这些来说，他能够证明古典和直觉变体（他的Hauptsatz）类似于归一化定理，对一些相同的应用有用。 普拉韦茨（1965年）终于发表了正常化定理的证据，但事实证明，Genten本人于1933年撰写了详细的证据，这与由普拉维茨给出的那些非常相似。 Jan Von Plato发现了Gentzen的稿件并发布了它（Von Plato 2008）。 （Genten的证明呈现非常明确，并且证明了一个强烈的视觉想象：很高兴阅读。）

5.3变体逻辑

在继续像古典逻辑等困难的事情之前，举例说明这些想法如何广泛化。 在尼尔森1949年，大卫尼尔森呈现出一种直觉逻辑的变种，同意良好的联系和量词，但具有不同的否定运营商。 （一些后续逻辑学家，考虑到两个运营商的系统，请致电Nelson的否定“强烈的否定”。）如果我们允许符合惠誉风格的负面介绍和消除规则，很容易制定尼尔森逻辑的自然扣除规则。 负否定引入和消除允许从A中推断，反之亦然。 否定→规则允许¬（a→b）被视为（a∧¬b）。 否定（结合，差异，通用量级，存在量化）规则并行平行通常（分离，结合，存在量化符，通用量程）规则：例如，¬（a∧b）可以通过¬a或¬b来推断出来并且，结论C，C，¬（a∧b）由¬∧-e从三项：¬（aəb），其中c的源自假设¬a，以及源于该假设的子项目¬b。 由于任何操作员的负INT-ELIM规则以与某些操作员的（普通）INT-ELIM规则之间的关系平行的方式相关，因此可以以类似于GENTZEN的标准直觉逻辑的速度来减少正式证明中的迂回。 因此，可以以标准逻辑的方式以与标准逻辑相同的方式证明归一化定理。 正常导出不会具有与标准逻辑中的正常推导相同的子阶段属性（正常纳尔逊派生的每条公式是弱的那个模子 - 即）的子核实例或内容的否定 - 最终结论或一些内容Premiss），但足够多的技术应用。

5.4古典逻辑中的标准化

通常，通过添加额外的，对天然扣除系统的自然扣除系统来配制用于古典逻辑的自然扣除系统：可以添加各种可能的规则中的任何一种。[23] 在经典自然扣除中的衍生中可以立即和偏转减少，但还有另一个案例需要考虑：逻辑上复杂的公式可以通过思考规则来结束，然后用作消除规则的主要前提。 该公式可能比最终结论或衍生的任何房地更复杂，在这种情况下，它的使用将直观地看起来像通过直觉衍生的正常化所消除的那些“迂回”。 更糟糕的是，如果我们允许这样的绕行，我们将在规范化定理技术应用所需的衍生必需的复杂性上失去“控制”。 因此，在自然扣除古典逻辑的正常推导中，应该被定义为没有结论介绍规则作为消除规则的主要前提（如之前），并且在其中没有通过典型规则获得的公式被用作消除规则的主要前提。 绅士似乎认为不可能减少过程，这将允许经典系统中的任意推导转换为这种正常推导。 （他设想的特定课程规则有可能（见注23）使得比其他配方更难。）