自然扣除系统在逻辑中（三）

普拉维茨（1965）证明了一系列逻辑运营商古典自然扣系统的规范化定理。 （运营商，∨和∃，他省略的是在古典逻辑中，所以Prawitz的结果足够强大，对于某些应用程序足够强大。）几个后来的作家证明了所有通常的运营商的古典逻辑的标准化结果，但是各种限制。 因此，当Von Plato和Siders（2012）能够为包括所有通常的运营商提供一个非常简单的常规规范化定理的逻辑社区，因此令人惊讶的是。

对于Von Plato和Siders的归一化结果，我们将选择，作为我们的典型规则，间接证明的原理：一个配方，可以在具有假设，具有一对矛盾的公式，B之后断言和¬b，作为物品。 正常化的可能性取决于我们能够修改通过间接证明获得公式C，然后用作删除规则的（主要）前提以获取另一个公式的（主要）所在的情况来修改派分，以获得另一个公式：我们可能会在这样的情况下调用Seeuvers推导“追求绕行”。 这在图8中示出。

惠引风格证明：链接到下面的扩展说明

图8：古典减少的例子。 [图8的扩展描述在补充中。]

（根据详细信息，在新的保护中可能需要进一步减少。）以避免这种弯路，我们使用间接证据来获得D.这种修复程序，对上述讨论的置换减少类似。 新的间接证明保护子将¬d为其假设; 由于D立即衍生（通过消除规则！）来自C，我们可以使用¬-int来推断，之后原始子防护的参数会产生矛盾。

在归一化整个推导过程中，我们可以通过攻击最深层嵌入的迂回弯曲（谁（原始）间接证明保护的那些，没有进一步追求绕道，向外工作。 将其与早期缩减的应用相结合，并不难以看到整个推导可以以正常形式转换为一个。 古典逻辑中的正常导出只有§5.3中提到的弱（但仍有用的！）§5.3与纳尔逊的直觉逻辑变种有关的弱点属性。

鉴于Von Plato和Siders的技术的简单性，令人惊讶的是发现一种规范化自然扣除的方法需要很长时间。 也许障碍是心理学：直觉明显的一部分直觉/普拉维茨正常化的直觉逻辑正常削减，对比度的融合减少被认为是几个规则所需的令人讨厌的技术细节。 因此，也许逻辑学家没有发现自然使用更自然的使用更加自然的减少。 在这方面，冯·柏拉图（2001）曾与具有所谓的一般消除规则的系统合作，这可能是显着的。 在这里，其他消除规则是由∨-E的精神更加赎回规则：结论，这不一定是（主要）前提的即时外部，它在具有相应的介绍规则中获得了足以获得该前提的子假设，并且被采用通过存在保护的主要证明建立。 这当然不是逻辑上必要的先决条件 - 正常化，持有古典自然扣除与一般规则，正如我们所看到的，因为我们看到了古典自然扣除的更标准制定 - 但是心理上可能使您可以轻松了解如何解决问题。

所描述的标准化证据，打开各种顺序的各种减少的应用，细节中等复杂，但概念性地小学：它们（如Gentzen的1934年Hauptsatz的证明）是有限的希尔伯特计划。 （金冠绅士源于Gentzen（1934年）最后一节的Hauptsatz，虽然在哥德尔的不完整性定理之后发表，因此可以被视为希尔伯特计划的成功之后。）

描述的定理，取决于它们对减少的应用顺序所做的，有时被称为弱规范化定理。 还有强烈的归一化定理，以通过在任意顺序的减少（PRAWITZ 1971）的施加来将任何导出转换为一个正常形式的效果。 他们的证据必须不那么基本。 定理和证据中使用的方法类似于λ - 微积分的上下文中所谓的“常规释放”定理（详细讨论，例如，Troelstra＆Schwichtenberg 1996）。 定理较弱的定理，称为正常形式定理，说明对于任何推导，存在与来自相同房屋相同的正常形式的衍生，而不会对将非正常推导转换为正常的程序的程序。 例如，通过证明系统限制为正常衍生的系统的完整性，可以证明这些定理。

6.用于模态和其他逻辑的自然扣除系统

自然扣除系统最初由Gentzen和Jańkowski描述，用于直觉和古典的一阶逻辑：正式化直觉和古典数学理论所需的逻辑框架。 然而，该技术可以广泛地拓展到广泛的其他逻辑。 我们将简要介绍一些这些扩展。

历史上第一个似乎是模态逻辑的自然扣除系统。 熟悉的模态逻辑中的必要性和可能性运算符的逻辑行为具有深刻的模拟，与普遍和存在量子的逻辑行为。 （当然，这是什么使得“可能的世界”语义为模当的语义，其中一个命题的必要性被解释为其在某种程度上的各个成员中的持有，以及它在至少一个自然的可能性中的可能性。）介绍和消除规则然后，模态运算符可以以类似于量子的方式配制。 必要性的消除规则和可能性的介绍规则（至少对于含有致法的模态逻辑......）很容易：必要的是真的，而且是真实的。 为了必要性介绍，我们可以具备◻a可以在防护（特殊类型：在惠誉的命名法，严格的后勤）之后断言◻a：发生一些限制，不同模态逻辑的配方不同，重申了这些特殊的子。 （直观地，在可能的世界语义解释方面，这个想法是在其事实中可以重申了在其真实性不依赖于实际世界的任何特征之前，以便在其开头之前被重复。）可能淘汰的可能性将类似地涂抹∃-Elim：对于至少一些范围的式B，B，B可以在存在严格的保护具有作为假设和含有B的严格副的αA中推断出B必须满足类似于允许公式的条件的并发症被重新入学中的条件。保护。 （对于许多模态逻辑，制定条件的最简单方法是使B合适，因为它在此之后：如果B是形式♢，则可以在♢和一个严格的保护之后断言，具有作为假设的假设。）惠誉（1952）为模态逻辑S4和T的系统定义了这样的系统（他在书中命名为t，将系统描述为“类似于S2”。）咖喱（1950），并且更详细地，咖喱（1963）给出了S4的类似规则，以绅士风格的而不是狡猾的自然扣除。 惠誉（1966）给出各种含有的含有和故主的模态逻辑的配方; 配件（1983）是对各种模态自然扣除系统及其传言性质的综合研究。

这些模态系统易于使用，它们已包含在一些逻辑教科书中为哲学大学生。 然而，它们通常不如一阶逻辑的自然扣除系统优雅。 经典逻辑的自然扣除规则支持两种量子的交织性：∀xa（x）和∃xa（x）通过使用量化器和¬∃x¬a（x）和¬∀x¬a（x）通过使用量词和否定规则; 何时通过使用否定规则和其他量化的规则来定义何时通过否定规则和其他量程的规则来定义何时派生量词的规则。 对于大多数模态自然扣除系统，类似的结果没有保持，并且必须特别假设等效性。 同样，∃xa（x）∨∃xb（x）通过使用存在量化和分离的规则来源于∃x（a（x）∨b（x）），但对♢-e的限制通常会阻止类似的推导莫代尔自然扣除。 归一化定理是针对某些模态自然扣除系统所知的，但通常它们与一阶逻辑的类似结果并不是强大的：有时正常派生的子从事属性要求将有限数量的模态运算符作为其公式计数前缀为公式计数的结果“荣誉”亚运会。

进一步远处，可以为相关逻辑系统的至少片段给出非常相当的自然扣除系统。 关于这些逻辑的文献中，这些系统的自然是逻辑自然的证据（参见Anderson 1960; Anderson＆Belnap 1962B;随着一些重新排列，Anderson＆Belnap 1962b，被重印在Anderson＆Belnap 1975的第1章中）。 相关逻辑的关键结缔组织是含义：有关或相关的含义。 这些连接性的自然扣除规则是有条件的标准规则的修改：→-e规则的通常Modus Ponens; 对于→-I，具有限制的标准规则的变种（在Anderson＆Belnap 1962b中配制，借助于简单而优雅的符号）确保→-i子保护的假设实际用于导出随之而来的。 Anderson和Belnap（1962B）中定义的纯伸展系统非常优雅，基于它们令人印象深刻的概念论点！ 标准相关逻辑的另一个片段，具有量词和“布尔”运算符¬，∧和∨，但缺乏特征→运营商，也具有很好的自然扣除制定：上面提到的量词和布尔斯的正面和负规则§5.3，但省略EX FALSO QuodLibet版本的IT-E规则。 （在Anderson＆Belnap 1962A中讨论了这种相关逻辑片段的命题部分，其在Anderson＆Belnap 1975年的第3章中转载。）不幸的是，自然扣除系统提供了完整的相关逻辑，包括所有连接，要求可能攻击许多临时的规则和限制。

类似的技术可以适用于恢复（2000）的其他下结构逻辑的制剂。 相关逻辑是缺乏变薄性的逻辑的示例：即，缺乏原则，如果γ⊢b则γ，a⊢b。 非收缩逻辑逻辑 - 其中推断（A→（a→b））到（a→b）被拒绝 - 可以通过对可以使用假设的次数的限制来捕获。 （无收缩和无稀疏逻辑的配方，作为Sequent Calculii类似于Gentzen的LJ和LK省略或限制收缩和变薄的“结构”规则：因此名称“副结构逻辑”。用于副结构的背景逻辑，见旧速2018.）

然后存在非分布式逻辑，其中拒绝推断（a∈（b∨c））到（（a∧b）∨（a∧c））被拒绝：这种逻辑已被提出为量子逻辑。 诸如符合惠誉的版本的这种逻辑的自然扣除系统（基于LEMMON中使用的续集自然扣除的形式），在教科书1987中给出了惠幂型版本）。

7. Intelim和一些可能的哲学后果

已经认为某些特征的自然扣除是一种更一般的哲学兴趣，而不是以高效和明显的形式组织和显示逻辑系统的推导来实现逻辑和显示逻辑系统的衍生。 在这里，我们讨论了两个领域，其中每个结缔组织的引入和消除规则的概念并在其他主题的哲学辩论中讨论。

7.1 Intelim作为正确的逻辑视图

正如我们上面提到的那样，格雷滕看到了他的一组规则，被组织成介绍规则和消除规则。 他还说，引入规则是“喜欢”引入某些东西（即带有给定主要连接的句子）呈现出证明，相应的消除规则是“喜欢”将复杂的句子简化为其组件部分的复杂句子。 这是INT-SIMP组织逻辑规则的理想。 对于一些人来说，这是逻辑应该是什么，并根据一些人再次给出一个重要的线索，这是一个真正的逻辑。 Gentzen（1934）表明，他的直觉逻辑配方具有这种特征，但显然认为经典逻辑所需的额外规则或公理并未表现出这个财产。 （或者至少，不直接的。 （参见Schroeder-ShiSter 2018; Steinberger 2011年，以及Shapiro＆Kouri Kourel 2021的最后一部分，用于了解这一点。另见读取2006年，以便激烈地防御索赔。）

然而，依据意见的优势的优势似乎是一些令人变动或可能是圆形的。 考虑新的二进制结缔组织，吨，提出的（1960），其（完整）含义是由介绍规则给出的：从φ推断（φ吨ψ），以及从（φCONKψ）推断出来ψ。 如果仅在某些介绍和一些消除条件方面给予逻辑规则，则刚刚获得了适当的INT-ELIM定义。 但作为先前的笔记，逻辑变得更加“平等”，与这个新的结合......太平无地，也许是！

先前的文章引发了大量的反应，许多20世纪60年代初在分析页面中。 也许最好的是Belnap（1962），它通过争论“语言含义”响应，而不是简单地提供一些介绍规则和一些消除规则：所提出的结缔组织也能够“适合”其他方面语言。 此外，重要的是，INT-ELIM理想要求消除规则只需要“撤消”引入规则的效果。 但Tonk-E规则显然做得更多。

根据这个视图，如果引入和消除规则是“彼此的反向图像”，因此即将结缔组织的消除规则仅仅是“定义的后果，因为引入结缔组织”，那么Tonk的消除规则需要是以下的一对规则，Tonk-Elf-left和Tonk-Elim-over：

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（一）

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（b）

图9 [图9的扩展说明在补充中。]

毕竟，TONK-E规则应该从（吨B）得出结论，但鉴于TONK-I规则仅仅从之前的公式A引入（A TONK B）公式，显然是纪念消除运作只有“撤消”介绍规则 - 我们需要它是已经需要B的情况。

同样可以使消除规则保持从（A TINK B）推断B-On但改变引入规则，以免消除未添加新信息[24]：

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图10 [图10的扩展说明在补充中。]

这个特征的概括现在被大多数有关理论家称为和谐（见2004年阅读; Steinberger 2011，在许多其他人中，讨论）。 正如我们已经评论的那样，许多人声称这是逻辑规则的“适当”形式：描述了通过逻辑结缔组织的“意味着”的关键，也是一个真正的逻辑的限制是 - 即，它的所有连接都必须举例来财产。 因此，许多理论家都声称直觉逻辑是一个真正的逻辑。 （有关此事有力阐明意见的例子，请参阅2006年，2008年，2010年。）

一个可能是对思想的严重挑战是，和谐是足够逻辑的核心特征来自身份的考虑因素。 身份的引入和消除规则通常如图11所示。

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（一）

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（b）

图11：传统的Intelim Intelity规则。 [图11的扩展描述在补充中。]

它根本并不明显，这= -e规则只是“反转= -i规则的效果”。

在读（2004年）中提出了一个回答这项问题的早期提案，思考通过难以清晰的方式定义身份：∀f（（法向FB）↔a= b）。 这可以投入直觉规则对的形式，如图12所示。当然，对于= -i规则来正确镜像二阶量化的漏洞率原则，F需要“真正的任意”（也许是：一元除了本发明之外的任何假设中不会发生的谓词。 另一方面，= -e规则中的f是语言的任何一元谓词。 关于这一主题的蓬勃发展的文献，它的重点是在所需方式中合并二阶逻辑的特征是合法的。

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（一）

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（b）

图12：读取（2004）Inciscernityity的Intelim规则。 [图12的扩展描述是补充。]

除了在上面引用的作品外，还参见Griffiths 2014; 2019年Klev; 克雷梅勒2007; 阅读2016年。

7.2逻辑与语言和形而上学的关系

和谐int-exim规则的常规图片不仅推动了一个真正逻辑的理论（如读取2006年），而且还是“语义”（正式逻辑和自然语言使用的理论）的支持。 如读（2010：558）把它放了，

传统上，语义一直表示和代表性，从表达到某种范围的物体中的同态估值。 这种方法风险了本体爆炸，首先在超出空名称，谓词，连词，介词等中的声音，然后在寻求非实际事态状态的形式寻求虚假主张的价值。 它也是回归的，因为现在需要标准来确定可能的非实际情况，这只是重复初始问题。 谈论可能的世界是一个有吸引力的比喻，但是很少有用的哲学工作和危害。

相反，借鉴主义是在本体中性的。 如果有规则，表达式是有意义的，特别是引入规则给出了逻辑表达式的含义，指定了包含它们的命题的主张的理由，以及从这些断言中抽取推广的理由。

上面提到的工作有关逻辑中的连接，适用于逻辑中的连接，适用于逻辑的进入“自然扣除”。 但随着阅读（2010年）指出，一般观点是与语言哲学突出的“使用意义的理论”的辅音。[25] 在这里推理链似乎是（类似的东西）：

正式逻辑系统最能具体特征，其自然扣除形式。

最好的自然扣除形式主义是通过一套INT-ELIM规则，将导致我们对证据的常规性并将在其形式中表现出和谐。

鉴于这种国际性的INT-ELIM规则在正式推导中运作的方式，它们应该组织成和谐的对。 很明显，这指定了这种连接的整体含义。

这不仅是逻辑系统中的结缔组织的含义，而且 - 更广泛地 - 与此类逻辑运算符对应的自然语言术语，这是真的：它们的含义也完全由这些INT-exim规则提供。

因此，因此可以假设与引入和消除相关的特征应该是任何（以及所有）自然语言含义的整个含义。

从逻辑到自然语言含义的这个论点让人想起光滑的斜坡推理：可能在任何一个滑动点挑战。 例如，人们可能会争辩说没有真正的原因（=除了尝试建立关于自然语言的整体结论的原因，以更喜欢在Frege-Hilbert公理逻辑的自然扣除制剂。 或者一个人可能指向逻辑系统（以及他们所雇用的推理）和自然语言（以及自然语言本身的各种用途）之间所谓的“巨大的海湾”。 尽管如此，该项目似乎不仅仅是可能，而且是一个直接的调查路径。

在这个想法的非正式方面的一些工作是由Brandom（1994,2000）展示的，下面的“推断主义”; 在法国（2015,2021）的更正式方面，根据“验证理论语义”。 争论正式的一方和这个角度的非正式方面是Dummett（1973年，1977,1991），这对目前对逻辑系统中的推理规则和谐概念概念的兴趣是多大的兴趣语言。

Dummett（1973：453）：学习使用给定表格的陈述涉及学习两件事：一个人在制定声明中有理由的条件; 什么构成它的接受，即接受它的后果。