可证明的逻辑（一）

可证明的逻辑是一种模态逻辑，用于调查算术理论可以以受限制的语言表达的关于他们的保证性谓词。 该逻辑已受到Meta-Momationogs的发展，例如1931年1931年的不完整定理和1953年的莱德的定理。作为模态逻辑，自7月初以来已经研究过可证明的逻辑，并在数学基础上具有重要应用。

从哲学的角度来看，可证明的逻辑很有趣，因为固定算术理论中的可证明性的概念具有独特而非问题的含义，除了在模态和认识逻辑中研究的必要性和知识等概念之外。 此外，可证明逻辑提供研究自我引用概念的工具。

1.可证明逻辑的历史

2.命题可加工逻辑的公理系统

2.1公理和规则

2.2固定点定理

3.可能的世界语义和拓扑语义

3.1表征和模态声音

3.2模态完整性

3.3强完全性的失败

3.4可证明逻辑的拓扑语义

4.可证明逻辑和PEALO算术

4.1算术声音

4.2算术完整性

5.可保释逻辑的范围

5.1边界

5.2解释性逻辑

5.3命题量词

5.4日本的双峰和多种可加工逻辑

5.5谓词可保释逻辑

5.6其他概括

6.哲学意义

参考书目

学术工具

其他互联网资源

论文和演示

其他网站

相关条目

1.可证明逻辑的历史

两股研究导致了可保释逻辑的诞生。 第一个由K.Gödel（1933）源自纸张，在那里他将直觉命题逻辑转化为模态逻辑的翻译（更准确地，进入现在称为S4的系统），并简要提及可证明可证明可证明的系统被视为模态运算符。 甚至早期，C.I. 刘易斯通过将严格的含义作为一种模式来开始对模态逻辑的现代研究，他可能在普林尼亚岛数学的正式系统中有意义，但这并不清楚他的着作。

另一条链从Meta-Mathematics的研究开始：通过编码有趣的属性来说，数学理论可以对自己说什么？ 1952年，L. Henkin在哥德尔的不完整定理引起了一个欺骗性的简单问题。 为了制定Henkin的问题，需要更多背景。 作为提醒，哥德尔的第一个不完整的定理说明，对于像PEANO算术等足够强烈的正式理论，任何句子都是不可行的，实际上无法实现。 另一方面，从“外面”正式理论，可以看到在标准模型中这样的句子是正确的，指出了真实性和可证明的重要区别。

更像地，让⌜a⌝表示算术公式A的Gödel数，这是为A分配数字代码的结果。让PER是PEANO算术的正式的可加速谓词，这是∃pproof（P，X.）。 在这里，证明是PEANO算术的正式证明谓词，并证明（P，X）代表“GödelNumber P代码从公式的PEANO算术的公式的正确证明”。 （对于更精确的配方，请参阅smoryński（1985），戴维斯（1958）。）现在假设PEANO算术证明a↔¬（⌜a⌝），然后由哥德尔的结果，a不可提供PEANO算术，因此是真的，因为实际上是“我不可提供的”的自我指数句子。

另一方面，Henkin想知道什么可以说句子是否归咎于他们自己的可证明性：假设PEANO算术证明b↔prov（⌜b⌝），这意味着B？ 三年后，M.Löb以令人惊讶的方式挑战并回答了Henkin的问题。 尽管所有在PEANO算术中提供的句子都确实是真实的，但LÖB表明，这一事实的正式版本，PROP（⌜b⌝）→B，只能在PEANO的微不足道的情况下证明在PEANO算术中算术已经证明了B本身。 这个结果现在称为Löb的定理，立即回答Henkin的问题。 （对于Löb的定理证明，参见第4节）卢布还显示了他定理的正式形式，即Peano算术证明

省（⌜prov（⌜b⌝）→b⌝）→省（⌜b⌝）。

在同样的论文中，Löb制定了PEANO算术的可加素谓词的三个条件，这对希尔伯特和伯尼在1939年引入的复杂条件进行了有用的修改，以便他们为哥德尔的第二个不完整定理证明。 在下文中，来自PEANO算术的衍生能力由pa⊢a表示：

如果pa⊢a，那么pa⊢prov（⌜a⌝）;

pa⊢prov（⌜a→b⌝）→（省（⌜a⌝）→省（⌜b⌝））;

pa⊢prov（⌜a⌝）→省（⌜prov（⌜a⌝）⌝）。

如今所谓的这些情况似乎在逻辑逻辑调查中呼声，模态◻代表PA中的可证明性。 具有讽刺意味的是，第一次将Löb定理形式的形式版本被称为模态原则

◻（◻a→一个）→◻a

1963年笑脸是关于道德的逻辑基础，这根本没有考虑算术。 然而，在发布Löb的论文后，近二十年来，更相关的调查。 20世纪70年代早期看到了命题可证明逻辑的快速发展，不同国家的几个研究人员独立地证明了最重要的结果，在第2,3和4节中讨论了。命题证明逻辑结果恰好捕获了许多正式的算术理论可以说命题意味着他们自己的可证明谓词。 最近，研究人员已经调查了这种方法的界限，并提出了几个有趣的可加素逻辑的表现较大延伸（参见第5节）。

2.命题可加工逻辑的公理系统

除了命题原子和常规真实功能运营商以及矛盾的符号之外，命题证明逻辑的逻辑语言还包含了矛盾的符号，其中模态运算符◻具有预期含义“在T中可以提供”，其中T是一个足够强烈的正式理论，让我们说Peano算术（见第4节）。 ⬦a是¬◻¬a的缩写。 因此，语言与诸如在进入模态逻辑中呈现的k和s4的模态系统的语言相同。

2.1公理和规则

命题可证明逻辑经常被称为GL，在哥特和öb之后。 （等效系统的文献中的替代名称是L，G，KW，K4W和PRL）。 逻辑GL将以下Axiom添加到基本模态逻辑K：

◻（◻a→一个）→◻a。

作为提醒，因为GL延伸K，它包含所有具有命题重织形式的所有公式。 出于同样的原因，GL包含

◻（一个→b）→（◻a→◻b）。

此外，它在Modus Ponens规则下关闭，这允许从→B和A中派生B，以及泛化规则，这表示如果A是GL的定理，那么也是如此。

概念gl⊢a表示命题可保释逻辑中的模式A的可证明性。 不难看出，模态公理◻a→◻◻a（称为模态逻辑的Axiom 4）确实可以在GL中提供。 为了证明这一点，可以在Axiom（GL）中使用替换a∧◻a。 然后，从◻a中看到所产生的含义的前一种施加，一个人应用分布公理和泛化规则以及一些命题逻辑。

请注意，GL证明许多未与其他众所周知的模态逻辑共享的意外定理，如K和S4。 例如，Axiom G1的一个实例化是◻（◻⊥→⊥）→◻⊥，由其他公理和规则遵循任何公式A和B. [1] 除非另有明确说明，否则在续集中“可保释逻辑”代表命题可加工逻辑的系统GL。

关于证明理论的证明理论，Valentinin（1983）证明了GL Obeys Cutuity的标准序列结石，这意味着大致配制，所以在搜索结石中可提供的每种配方也有一个GL续集证明“没有绕兵”（参见裁切消除精确解释的证明理论的发展。 近年来，对GL的证明理论进行了重新兴趣，参见例如Goré和Ramanayake（2008,2012）和Goré，Ramanayake和Shillito（2021）。 剪切消除导致GL的理想子结子属性，因为无切除证明中出现的所有公式是末端序列的亚胺。

基于不同无切割的顺序计算的最近证明逻辑的证明理论研究（Negri 2005,2014; Poggiolesi 2009）。 Negri呈现了两种等同标记的Sequent Calculi用于GL和剪辑消除的句法证明。 即使由于标签不适用于这些计算，所以可以建立模子属性的通常后果：标记的形式主义允许直接的完整性证明，可用于建立可解锁性以及有限的模型属性，这意味着任何内容不可提供的公式具有有限的反模型。

一个有趣的新证明理论发展是Shamkanov通过允许循环证据（Shamkanov 2014）扩展了续集式证明系统。 考虑用于K4的搜索系统，通过通过较弱的axiom→◻◻a（公理4）更换Axiom G1来实现由GL产生的模态系统。 但是，假设允许打开的假设，只要在证明树中严格地在该假设下方发生相同的顺序。 在技术上制定，可以通过将其非公开叶子与相同的内部节点连接来找到来自普通衍生树的圆形推导。 Shamkanov（2014）证明了由此产生的系统一致，而且通常，如果才有循环K4衍生，则每个搜索都具有GL导出。 循环证据还提供了一种在理论上显示证明的方法，即Lyndon的插值定理持有GL（Shamkanov 2011）。 GL的标准插值已经在不同的方法（Boolecos 1979;Smoryński1978; Rautenberg 1983）之前已经证明了（Shavrukov 1993b，2016年，Bílková2016，Férée等。[其他互联网资源]）。 （有关一阶逻辑的Lyndon插值定理的更多信息，请参阅条目一阶模型理论）。

2.2固定点定理

关于可证明逻辑的主要“模态”结果是固定点定理，D. de Jongh和G. Sambin于1975年独立证明（Sambin 1976，Smoryëski1985，De Jongh即将到来）。 尽管它是由严格的模态方法制定和证明，但定期定理仍然具有很大的算术意义。 在以下意义上，它基本上说自我引用并非真正有必要。 假设给定公式a（p）中的命题变量p的所有出现都在保释算子的范围内，例如a（p）=¬◻p，或（p）= n（p→q）。 然后存在一种公式B，其中P未出现P，使得B中发生的所有命题变量已经出现在（P）中，使得这一点

gl⊢b↔a（b）。

该公式B称为（P）的固定点。 此外，如果存在另一个公式C，则固定点是独特的，或者更准确地，那么我们必须具有gl⊢b↔c。 文献中的大多数证据都给了一个算法，由此可以计算一个固定点（参见Smoryński1985，Boolevos 1993，Sambin和Valentina 1982，Lindström2006）。 可以在Reidhaar-Olson（1990）中找到特别简短的证据，以及计算固定点的非常有效的算法。

例如，假设a（p）=¬◻p。 然后通过这种算法产生的固定点是¬◻⊥，并且确实可以证明这一点

gl⊢¬◻⊥↔¬◻（¬◻⊥）。

如果依据读取这一点，则从左右右到右侧的方向只是哥特的第二个不完整性定理的正式形式：如果像Peano算术一样具有足够强烈的正式理论，那么它不可能以此不证明矛盾。 因此，足够强大的一致算术理论不能证明自己的一致性。 我们将在第4节中更精确地研究可保释逻辑和算术之间的关系，但对于该结束，需要先提供“GL的另一个”模态“方面：语义。

3.可能的世界语义和拓扑语义

可证明的逻辑具有适当的世界语义，就像许多其他模态逻辑一样。 作为提醒，一个可能的世界模型（或克里普克模型）是一个三重M =⟨w，r，v⟩，其中w是一个非空的可能的世界，R是W的二进制辅助功能关系，而V是分配真实值的估值每个世界的每个命题变量为W.该对F =⟨w，r⟩称为该模型的帧。 在世界W，符号M，w⊨a的模型M中的公式A中公式A的真理的概念被归纳地定义。 让我们只重复最有趣的条款，这是可加速运营商的一个：

m，w⊨◻aiff为每个w'，如果wrw'，那么m，w'⊨a。

有关可能的Worlds语义一般的更多信息，请参阅条目模态逻辑。

3.1表征和模态声音

模态逻辑K在所有Kripke模型中都有效。 然而，它的扩展GL不是：我们需要将可能的世界模型的课程限制为更合适的模型。 让我们说公式A在帧F中有效，基于F的Kripke模型M中的所有世界中，IFF A都是真实的。事实证明，可保释逻辑的新公理（GL）对应于框架上的条件，如下所示：

对于所有帧f =⟨w，r⟩，f⊨◻（◻p→p）→◻piffr是传递的，并相反地成立。

这里，传递性是众所周知的属性，即对于所有世界W1，W2，W3，如果W1RW2和W2RW3，那么W1RW3。 相反，AFF的关系是不含无限升序的IFF，即W1RW2RW3R形式的序列。 请注意，相反地创建的框架也是不法验的，因为如果WRW，这会产生无限的升序WRWRWR ......

上述对应结果立即显示GL对传递良好创立的帧的传递上的可能世界模型的类别进行了模态声音，因为GL的所有公理和规则都在这些模型上有效。 问题是完整性也适用：例如，在所有传递帧上有效的公式◻a→◻◻a确实可以在GL中可提供，如第1节所述。但是是所有在所有传递上有效的公式，也可以提供良好创建的框架GL？

3.2模态完整性

没有意识到GL的算术意义，K.Segerberg于1971年证明，GL确实相对于交换良好成立的框架完全完整; D. De Jongh和S. Kripke也独立证明了这一结果。 Segerberg表明，即使关于更受限的有限传递紫外线树，GL是完整的，这是一个事实，这对于Solovay对算术完整性定理的证据非常有用（见第4节）。

模态声音和完整性定理立即引发决策程序，以检查任何模式a是否通过界限深度的不确定的传递树进行深度搜索。 更精确地查看程序，可以说明GL在计算复杂性类PSPACE中可解除，如众所周知的模态逻辑K，T和S4。 这意味着有一个图灵机，给定公式A作为输入，答案是否从GL的遵循; 内存的大小是图灵机的计算所需的计算只有多项式在A的长度中.1可以表明GL的决策问题（再次，就像K，T和S4的决策问题一样）是PSPACE-COMPLED，从而在PSPace中的所有其他问题都没有比决定给定公式是否是GL的定理更难。 （参见Goré和凯利2007 [其他互联网资源]，用于了解GL的自动定理先驱。）

为了提供更大的复杂性视角，在输入的长度中计算的时间多项式的功能P类包括在PSPace中，这又包括在指数时间（参见条目可计算属性和复杂性）中的函数的级别Exptime中。 这两个夹杂物是否严格仍然是一个着名的公开问题，尽管许多复杂性理论家认为他们是。 一些其他众所周知的模态逻辑，如认识逻辑，具有共同的知识，在exptime中可判定，因此它们可能比GL更复杂，这取决于打开问题。

3.3强完全性的失败

许多众所周知的模态逻辑S不仅完全相对于适当的一类帧，但甚至很完整。 为了解释强大的完整性，我们需要从一系列假设的终结性的概念。 一种公式A可从被写入为γ⊢a的模态逻辑S中的假设γ的一组假设γ来衍生，如果A在γ或由Modus Ponens的应用和泛化规则的应用中的公式中的γ和公式的遵循。 这里，概括规则只能应用于没有假设的推导（参见Hakli和Negri 2010）。

现在，如果所有（有限或无限）设置γ和所有公式A：

如果在适当的S框架上，则在所有世界中都是如此，其中γ的所有公式都是真实的，那么逻辑S中的γ⊢a是真实的。

该条件适用于K，M，K4，S4和S5等系统。 如果仅限于有限集γ，则上述条件对应于完整性。

然而，强大的完整性不适用于可保释逻辑，因为语义紧凑性失败。 语义紧凑性是用于每种无限组的公式γ的性质，

如果γ的每个有限子集Δ在适当的S帧上具有模型，则γ也具有适当的S帧的模型。

作为一个反例，采用无限的公式

γ= {⬦p0，◻（p0→⬦p1），◻（p1的→⬦p2），◻（p2的→⬦p3），...，

◻（pn→⬦pn+ 1），...}

然后，对于γ的每个有限子集δ，可以在传递的情况下构建模型，相反地创立的帧和δ的所有公式都是真实的。 因此，通过模态声音，GL不会从δ中证明任何有限ΔΣγ，并且FortiOriG1并不从γ中证明⊥，因为任何GL证据都是有限的。 另一方面，很容易看出，在任何世界的γ保持的所有公式中都有在任何世界上的传递上没有模型。 因此⊥从γ语义上遵循，但不能从它中提供，与强大完整性的条件相矛盾。[2]

3.4可证明逻辑的拓扑语义

作为可能的世界语义的替代方案，可以给出许多模态逻辑拓扑语义。 显然，命题可以被解释为拓扑空间的子集。 还容易看出命题连接∧对应于设定定理操作∩，而∨对应于∪，¬对应于设定的理论互补，→对应于⊆。 模态逻辑包含反射axiom→A的展示似乎是模态运算符的特别自然的解释。 对于这些逻辑，⬦对应于拓扑空间中的闭合操作员，而◻对应于内部。 为了了解为什么这些解释是合适的，注意反射公理对应于每个组包括在其封闭件中并且每个组包括其内部。

然而，可证明的逻辑不证明反射，因为实例化◻⊥→反射的△⊥⊥会导致Axiom（GL）的矛盾。

因此，可证明的逻辑需要一种不同的方法。 基于J. McKinsey和A. Tarski（1944），L. Esakia（1981,2003）的建议调查了⬦作为派生集合运算符D的解释，将SET B映射到其限制点的集合d（b）。 为了解释这种解释的后果，我们需要两个更多的定义，即概念对本身和分散的概念。 如果b⊆d（b），拓扑空间的子集B称为致密自身。 如果没有致密的非空子集，则称为拓扑空间散射。 顺序在其间隔拓扑结构上的散射空间的例子。 Esakia（1981）证明了一个重要的通信：他表明拓扑空间才满足AXIOM GL，如果空间分散。 这封对应力很快导致结果，通过颠覆（1985）和Blass（1990）独立发现，这是可保释的逻辑相对于任何序数≥ωΩ。

在过去的几十年中，可证明逻辑的拓扑语义已经看到了一种名副其实的复兴，特别是在Japaridze的双峰保证逻辑GLB的研究中，GL的延伸（Japaridze 1986）。 逻辑GLB对其可能的世界语义来说是模态不完整，从而在它不对应于任何类别的帧的意义上。[3] 这一特征将双峰GLB与单峰GL鲜明对比，这对应于如上所述的有限传递无限制树的类。 Beklemishev等。 （2009）表明，GLB是关于其拓扑语义的完整（参见BEKLEMISHEV 2009，ICARD 2011）。 在空间和认知逻辑的拓扑研究中甚至可以发现对esakia之间的对应的兴趣混响甚至可以在空间和认知逻辑的拓扑研究中找到（见Aiello等，2007）。 （有关GLB的进一步讨论，请参阅第5.4节）。