直觉逻辑的发展（五）

P和+ P之间的区别在P自身的结构中消失，因为只能通过其实际执行来证明结构的可能性。 如果我们将自己限制在那些需要建筑的主张中，可赋予保证性的逻辑功能根本不会出现。 我们可以通过对“P的表现”的命题来说，通过将其拟合拟合其履行的建筑拟合拟议的各种意图来解决这种限制。 必须理解，它在这种意义上，必须了解直观的逻辑，必须理解在没有使用函数+的情况下已经开发到现在的情况下。 （Heyting 1931：115 [Benacerraf＆Putnam 1983：60;翻译改装]）

Königsberg讲座中分离的解释是：

“p∨q”表示何处，只有在满足意图p和q中的至少一个时，才会满足的意图。 （Heyting 1931：114 [Benacerraf＆Putnam 1983：59]）

和否定：

贝克尔之后，Husserl之后，已经非常清楚地描述了它的意思。 为他否定是彻底积极的，易怒的东西。，目的是矛盾的矛盾。 因此，命题“C不是Rational”表示，期望一个人可以从假设[annahme]的矛盾中C是合理的。 值得注意的是，一个命题的否定总是指的是一个导致矛盾的证据程序，即使原始命题提到没有证明程序。 （Heyting 1931：113 [Benacerraf＆Putnam 1983：59]）

Heyting指出，用于分离和否定的这些解释在一起是针对PEM可接受性的即时论点，其中需要一种通用方法，其应用于任何给定的命题P，产生P的证据或¬P的证据。 这里不做的是什么是概括了与暗示否定的这种解释。 此外，请注意，该过程不在P的证明上运行，但从仅仅是P的假设，这通常会提供较少的信息。 两点以后很快得到了照顾。 在1930年10月25日的弗劳登德的信中，Königsberg讲座不久，Heyting写道：

从你的言论来看，我已经清楚地说明了一个→B的简单解释“当我认为a时，我必须认为b”是站不住脚的; 在任何情况下，这个想法也无法作为逻辑的基础。 但也是你的制定：“当A已经证明时，B”所以，对我来说并不完全满意; 当我问自己可能的意思时，我相信也是否定的→B就像否定一样，应该参考证明程序：“我拥有一个源于B”证明证明的建筑物“。 在下文中，我将遵守这种解释。 因此，→B和+ A→+ B之间没有区别。 （Troels 1983：206-207;翻译矿）

这种含义的解释，这是一个成为标准的解释，将仅在Heyting 1934：14中引入印刷; 在他的论文1932c中，Heyting使用了Kolmogorov 1932中给出的解释（见下文）。

通过Heyting这两篇论文都没有含有ex falso的有效性的论据。

5.2对河流的影响

可以提出在尼斯到达证明解释的许多影响（或可能的影响）。 以下是出版物Heyting在1927年被1927年所见，他的论文是指他们的论文（1925：93-94）：

BROROWER 1907（CH.3）和BRORWER 1908C，强行使直觉逻辑涉及保存构造性的观点。 （见上文第2.1节。）

Brouwer于1924年的Bar定理证明，1924年3月29日递交（Brouwer 1924D1：189 [Mancosu 1998：36]），也许也许是1927年的后期版本，其中稿件是稿件1926年4月28日（Brouwer 1927b：75 [van Heijenoort 1967：446]）递交; 两者都展示了如何在数学上以演示作为对象运行。 （参见上面的第3.1.2节。）

1921年的Weyl，其中普遍和存在的定理被认为不是真正的判断，而是“UrteilsanWeisungen”（判断指示）和“urteilsabstrakte”（判断摘要），从而强调这样他们的理由定理需要通过施工方法来备份。 在Weyl的纸张上的笔记中，同意，说：“这只是一个名字的问题，并且当然没有反映我的部分缺乏洞察力”（Mancosu 1998：122）。

进一步的影响力是Brouwer未发表的虚拟订购公理阐明（见上文第3.1.3节）。 Dirk Van Dalen（个人沟通）嫌疑人认为，虽然在这个讲座课程中可能没有出现Heyting，但他听到了Brouwer对另一个场合进行了类似的评论（例如，在1922-1925年期间，尼斯在习惯于他的论文BROROWER，对于该工作也考虑了直觉的订单）。

5.3 Kolmogorov 1932和Heyting 1934

1932年，Kolmogorov提出了一个问题及其解决方案的逻辑，并指出了逻辑本解释验证的验证与1930年的Heyting呈现的直觉命题和谓词逻辑相当于。此外，他建议这一点提供比Heyting更好的解释。

Kolmogorov的想法是：

如果A和B是两个问题，则a∧b表示问题“以解决问题A和B”，而a∨b表示问题“以解决问题A和B中的至少一个问题”。 此外，A 1B是问题“解决B的问题，即将给出的溶液”或等效地“，以将B的溶液降低到”...¬A表示问题“的溶液以获得矛盾，所以提供了A的溶解”...（x）a（x）通常为问题表示一般来说“为（x）的每个单个值X的解决方案，给出一个通用方法”。 （Kolmogorov 1932：59 [Mancosu 1998：329]）

然后，他列出了Heyting的原因逻辑的公理（具有Heyting的编号），并且通过讨论一个例子，可以清楚地清楚地将所有这些全部保持在解释为有关问题及其解决方案的陈述时。 他还指出，a∨¬a是问题

为了给出一种允许每个问题A的一般方法，要么找到一个解决方案，要么推断出于解决方案的存在矛盾！

特别是，如果问题A在一个命题证明中，那么一个必须具有一般方法来证明或减少任何命题的矛盾。 （Kolmogorov 1932：63 [Mancosu 1998：332]）。

在他的论文的第二部分中，Kolmogorov认为，鉴于直觉论的认识论，

直觉逻辑应该被问题的微积分所取代，因为它的物体实际上不是理论命题，而是存在问题。 （Kolmogorov 1932：58 [Mancosu 1998：328]）

他认为他的解释是替代地区的替代品，而且在证明中添加的注释中再次强调：

这种直觉逻辑的解释与尼斯先生在最后一卷Erkenntnis 2,1931：106 [Heyting 1931]中的思想密切相关 然而，在嘿嘿缺少命题和问题之间的明确区分。 （Kolmogorov 1932：65 [Mancosu 1998：334]）

但并不清楚嘿嘿们想要这种区别。 如果主张的概念以这样的方式理解，这个命题是真实的或虚假的，他们独立于我们对这一事实的了解，那么Heyting就会欣然地同意Kolmogorov，一个命题与问题不同; 但是，一旦采用了主张表达履行的意图（以及命令为主）或失望的（和命题是假的）我们的数学建设，这是善于持有的观点，那么似乎没有必不可少的区别命题与问题。 Kolmogorov本人已经表明，问题可能包含在寻找命题的证据时; 利用这一点，人们可以争辩说，以下两个概念的命题一致：

命题表达对建筑的意图

命题通过执行建筑解决的问题姿势问题

基本思想是，有道理1的命题引起了找到满足表达意图的建筑的问题，并且在意义上的命题中提出的问题的解决方案也是为了满足解决该问题的结构的意图; 由于Martin-Löf，在Sundholm 1983：158-159中详细介绍，这在一点争论中完全明确。

在1931年10月12日的封闭函中，Kolmogorov实际上同意尼久性和他之间的差异主要是术语问题（Troelstra 1990：15）。

海底后来声称Kolmogorov的意义解释和他自己的额定相同（Heyting 1958C：107）。 到1937年，Kolmogorov似乎已经来相信同样的信念，就像弗劳德哈尔州和友渡屋之间交流的审查一样（在补充文件反对证明解释的补充文件反对第1节中讨论），他一直发言“意图或问题”（Kolmogorov 1937）。 在这一更换本身，弗洛伊特海尔（1937年：114）曾说过，在尼斯和克尔马戈罗夫的解释之间，“无需差异”。 最后，奥斯卡贝尔在1934年9月的信函中，曾经说过，Heyting的解释是Kolmogorov的概括，作为“问题”及其“解决方案”是一个有意的特殊情况及其履行。 “直观逻辑因此是”意图的微积分“。[30]

然而，Kolmogorov在特定情况下，Kolmogorov也接受了识别Heyting's和Kolmogorov的逻辑解释的并发症。 Kolmogorov说：“一旦¬a就解决了，那么A的解决方案是不可能的，问题→B没有内容的问题”（Kolmogorov 1932：62 [Mancosu 1998：331]），并提出了“证明问题没有内容[由于不可能的假设]将永远被视为其解决方案”（Kolmogorov 1932：59：[Mancosu 1998：329]）。 连同，这会产生ex falso，¬a→（a→b）的理由。

它似乎并不合理地扩展了这种术语“解决方案”的含义，因为就像一个具体的解决方案一样，不可能性证明也提供了可能被称为“认知关闭”的东西：就像一个具体的解决方案，它提供了一种完全说服的原因，无法停止在某个问题上工作。 （这种“高阶”解决方案也熟悉希尔伯特的计划，例如，希尔伯特1900：51.）请注意，前FALSO的理由不需要描述反事实数学施工过程; 因此，1932年的Kolmogorov的理由与他在1925年的拒绝前的地面并不是真正不相容的，即，人们不能建设不可能的事情的后果。 相反，1932年的解决方案介绍了一个规定，实现了逻辑理论的完成。

另一方面，虽然Kolmogorov的规定既不经常不合理，但在Brouwer的逻辑的描述性概念上，当然没有规定的地方。 出于这个原因，“证明解释”似乎是一个更合适的名称，用于解释Brouwerian逻辑而不是“BHK解释”。

然而，在Heyting的解释中，前往Kolmogorov的Ex Falso的理由似乎是不可能的：虽然问题可能会发现一个“高阶”解决方案，但在表明解决方案是不可能的情况下，它没有意义的是说意图发现“更高”订单“履行时，显示它无法满足。 解决方案的概念似乎允许合理的延伸，即履行的概念没有。 在1934年的书中，Heyting在Kolmogorov的条款中解释了Ex Falso，而不是他自己的术语。 在陈述公理¬a⊃（a⊃b）后，他说：

以这种方式解释“减少”的概念是适当的，即在同一时间求解A的不可能性证明减少了任何问题的解决方案。 （Heyting 1934：15;翻译矿）

显然，Kolmogorov自身的解释与Heyting在Kolmogorov的术语中有所不同。 邻居说，¬A证明建立了对A的任何问题的解决方案，Kolmogorov表示，它确实确定减少对A的任何问题的解决方案已经没有内容的问题。 一个人的印象是，他在他对Ex FALSO的解释中的习惯，尽可能地尽可能接近普通意义的解释，而是在先行的具体建设性联系方面的解释; 这甚至更加清晰，他将在1956年给予Ex Falso（见下文第5.4节）。 （请注意，通过在1929年的Glivenko的文件中赋予传统的论点

更一般地说，在Heyting 1934中的逻辑解释是给予Kolmogorov风格的大多数情况，而不是Heyting在意图和他们的履行方面拥有。 （后者仅提到其对含义的解释（Heyting 1934：14）。解决方案还为非直觉主义者提供了一个有用的解释性的正规系统（因为直觉主义者他们来到同样的事情）。 在他的短篇小说1932c中，标题为“直觉逻辑的应用到逻辑微积分的定义”，heyting使用kolmogorov的解释而不是他自己的解释。 鉴于主题，这就是人们可能期望的。

5.4 Heyting 1956

在他有影响力的书中的直觉。 1956年的介绍，Heyting解释了如下所逻辑的连接（97-98,102）：

“数学命题P总是要求具有某些给定属性的数学结构; 它可以在进行这种建筑之后立即被声明“。

“如果可以断言P和Q两者，则可以断言p∧q”。

如果且仅当可以断言第一个命题P和Q中的至少一个“时，才可以断言p∨q。

“如果我们拥有从开展建筑P的假设的构造，则可以断言¬P，导致矛盾”。

“可以断言暗示P→Q，如果我们拥有建筑r，那么加入任何施工的结构R（假设后者所做的），将自动实现施工Q”。

“⊢（∀x）p（x）表示q [x范围内]的每个x为真的p（x）; 换句话说，我们拥有一般的结构方法，如果选择Q的任何元素A，通过专业化施工P（a）“。

“（”

请注意，这些解释不是在证明条件方面，而是具有断言条件。 这可能对含义的解释进行差异，而不是仅在任何条件下计数作为P的证据下的信息，我们现在也可以考虑到，通过假设，已经实现了对P的具体结构。 正如我们在第3.1.2节所看到的那样，对BRORWER对酒吧定理的证据来说至关重要。

在相同的页面中，Heyting也给出了ex falso的理由：

Axiom x [¬p→（p→q）]可能看似直观地清晰。 事实上，它增加了含义定义的精确度。 如果我们拥有连接到施工P的结构，则只有，如果我们拥有建筑物，可以证明，可以先掌握P→Q. 现在假设⊢¬p，也就是说，我们已经推断出P概述的矛盾。 然后，在某种意义上，这可以被认为是一种结构，即加入P的P（不存在）的证据，导致Q的证据。 （Heyting 1956：102）

一个容易识别良好的努力，尽可能沿着与其他影响相同的线条来解释EX FALSO，即，通过提供从前所未有的混凝土建筑。 在其尝试提供“某种意义义”的建筑中，解释显然与1932年的Kolmogorov的规定显然没有与Kolmogorov的规定相同。但它不适合在建筑和建筑指示的意图方面对逻辑的原始解释。履行这种意图。 为了满足针对特定施工的意图，我们必须展示该建筑; 我们将不得不表现出一种将任何P证据转换为Q之一的结构。 但是如何从假设P到达矛盾的建筑物，因此一般来说不在Q，导致Q？ 它不会说这样的建筑物存在“有道理”。 一个建筑“在某种意义上”的建筑，尼斯帮助自己到这里，没有建筑。

即使在直觉运动中，也不是每个人都同意Heyting对逻辑的解释。 这是在补充文件中讨论的：

反对证明解释

最后，此条目还没有讨论前体，讨论Brouwer的前体，更复杂的Brouwer的“强大的反例”，反对证明循环性和Impriticativity的解释，或证明周围的后期发展解释。 这些将是未来更新的主题。