直觉逻辑的发展（四）

Heyting的论文涵盖了命题逻辑，谓词逻辑，算术和Brouwerian集理论或分析。 有人会认为，能够实现这一目标，尼斯必须对如何直观地解释逻辑连接来说有相当精确的想法。 然而，Heyting与弗洛登列尔在1930年的通信表明，在1930年之前，Heyting尚未在暗示解释中明确要求转型程序（见下文第5.1节中的报价）。

由于原始手稿似乎不幸存下来，对Heyting的工作讨论必须从1930年开始修订和公布的版本作为其出发点; 见下文。

Heyting派遣他的稿件到Brouwer，他在1928年7月17日的一封信中回答，他发现它“非常有趣”，并继续：

到目前为止，我已经开始欣赏你的工作，因为我想要求你以德语为德语为数学的安纳伦（最好是延伸而不是缩短）。[21]

有趣的是，Brouwer还建议（有目的是选择序列理论的形式化）

并且，随着§13的眼睛，也许也可以正式化“法律”的概念。

然而，似乎，那种良好的方向没有努力。

1930年，Heyting的纸张确实会尽快发布; 不在数学卫生店，作为BROROWER，然后不再是其编辑委员会，而是在普鲁士科科学院的诉讼程序中。 然而，在出版之前，Heyting的工作已经成为已知的。 Heyting在1928年与Glivenko相信（见下文），Tarski和Łukasiewz于1928年谈到了博洛尼亚会议的伯尼亚，教会在1929年的一封信中提到了它（Hesseling 2003年：274）。

4.3 Glivenko 1928和1929年

在反应Barzin和Errera的情况下，曾认为Brouwer的逻辑是三维价值，而且这导致它在1928年的Valerii Glivenko [22]旨在通过正式手段证明他们是错误的。 他给出了下列直觉命题逻辑的公理列表：

p→p

（p→q）→（（q→r）→（p→r））

（p∧q）→p

（p∧q）→q

（r→p）→（（r→q）→（r→（p∧q）））

p→（p∨q）

q→（p∨q）

（p→r）→（（q→r）→（（p∨q）→r））

（p→q）→（（p→¬q）→¬p）

从这些公理中，他然后证明了

¬¬（p∨¬p）

¬¬¬p→¬p

（（¬p∨p）→¬q）→¬q

前两人已经被Brouwer（1908C，1925E）非正式地争辩说; 第三是新的。 现在假设在直觉逻辑中，一个命题可能是真的（p holleds），false（¬pholds），或者具有第三真值（p'保持）。 显然，p→¬p'和¬p→¬p'，因此（¬pəp）→¬p'; 但是，在上面的LEMMATA中的第三个和列表中的AXIOM 8，¬P'。 正如P是任意的，这意味着没有命题具有第三真值。 （1932年，哥德尔将表明，更一般地，直观的命题逻辑是任何自然数N的N值逻辑;请参阅补充文件的第1节转向Heyting的正式逻辑和算术。）

就像1925年的Kolmogorov一样，正如我们将在1930年看到的那样，Glivenko没有详细解释这些公理的直觉有效性。

Glivenko立即继续使用第二短文，Glivenko 1929，他展示的第二篇短文，他展示了一个富裕的直觉命题逻辑系统：

如果P在经典命题逻辑中可以提供，则¬¬p在直觉的命题逻辑中可提供;

如果¬p在经典命题逻辑中可以提供，那么它也可以在直觉主张逻辑中提供。

第一个定理不是通常的意义上的翻译（作为Kolmogorov的），因为它没有翻译p的子算法; 但它足以表明有问题的古典和直觉系统是等分的。

直觉命题逻辑系统比Glivenko的之前的纸张更丰富，因为它现在已经添加了以下四个：

（p→（q→r））→（q→（p→r））

（p→（p→r））→（p→r）

p→（q→p）

¬q→（q→p）

有趣的是，Glivenko在他的论文中提到，“这是A. Heyting先生，曾首先让我看到Brouwerian Logic中的两个公理C和D的适当性”（Mancosu 1998：304-305N.3）。 这两者何时进入通信，何时在Glivenko 1928的出版物上，Heyting发送了Glivenko一封信（Troelstra 1990：11）。 1925年的Kolmogorov已明确拒绝EX FALSO，没有“直观的基础”。 从Glivenko的信到1928年10月13日的Heyting，我们知道Glivenko意识到这一点（Troelstra 1990：12）。 然而，在他的论文中，他稍后完成，他根本没有提到Kolmogorov。 相反，他刚刚引用了关于尼斯的言论，然后通过说这是原则的结果（p∨¬q）→（q→p），他认为“相当明显”的可否受理。[23] 然而，从布鲁瓦的角度来看，原则是令人反感的，因为ex falso。[24] 值得注意的是，当尼斯在嘿嘿1956年在1956年享受了他的ex falso的理由时，他并没有吸引Glivenko使用的原则（1932年的Kolmogorov）。 来自1928年10月18日的Glivenko的信，一个人获得了这一原则并不是争论尼斯常有说服他的争论：

我现在被你的理由说服了直觉数学不需要拒绝这一原因，使得所有考虑因素都可能超越我们现在主题的极限。 （Troels 1990：12;翻译矿）

Heyting于1928年在Mathematische Annalen从1928年获得了计划出版的计划出版的计划出版物。 1928年10月30日，Glivenko要求Heyting如果他也将包括结果，如果P在经典命题逻辑中可以证明，则¬¬p可在直觉的命题逻辑中提供; 因为如果他愿意，那么Glivenko就不会出版他自己的手稿。 两周后，Glivenko改变了他的思想，写信给11月13日的嘿嘿，即使这个结果“只是一个几乎琐碎的言论”，“它的严谨示范有点长”，他想独立于Heyting的纸张发布它。 事实上，Glivenko的纸张首先出版，在它的出版中宣布了Heyting的形式化; 当Heyting在1930年发表了他的论文时，他列入了Glivenko 1929，陈述了它的两个定理，他还承认使用Glivenko 1928的结果。Heyting的注意事项“直观逻辑”，也来自1930年，开始于1928年和1929年的Glivenko的“两个优秀文章”。

4.4 Heyting 1930

海泰的（部分）在Heyting 1930，Heyting 1930a和Heyting 1930b中的直觉逻辑和数学的形式化，也许是，就逻辑的零件而言，这是最有影响力的直觉出版物，与他一起书直觉：1956年的介绍。

Heyting的形式化包括直觉的命题和谓词逻辑，算术和分析，共同在一个大系统中（只有任意物体的变量）。 有关分析的部分不仅是其预期的解释（涉及选择序列），而且没有正式，没有其经典对应的子系统; 这种解释为什么它引发了没有一般感兴趣的时间。 （我们上面所指出的结果是，Brouwer的强烈的反例从不影响辩论。）因此，在基本辩论中的其他参与者中，这部分良好的形式化被遗忘。[25] 这对于逻辑和算术的零件不同。 正式发言和忽视其预期的解释，从这些可能蒸馏他们的经典对应物的子系统，它只缺少PEM（或双否定消除）。 毫无疑问，这鼓励许多人符合这些系统成为一个明确的角色，因为尼斯在纸张开始时被评为逻辑的直觉概念，他们不能拥有：

直觉数学是一种心理活动[“denktätigkeit”]，而对于它的每种语言，包括形式的，只是一个用于沟通的工具。 原则上不可能建立一个相当于直觉数学的公式系统，因为思想的可能性不能减少到提前设置的有限数量的规则。 因此，通过后者Vis-in-Vis普通语言的更高的简明和确定来重现形式的最重要部分的尝试是合理的; 这些是有助于渗透到直觉概念的属性以及在研究中使用这些概念。 （Heyting 1930：42 [Mancosu 1998：311]）

然而，尼斯本人稍后写过五十年，

我很遗憾我的名字现在是与这些论文有关的一天，这是一个非常不完美的，并包含许多错误。 他们在我致力于我生命中的斗争中有点帮助，即更好地了解和欣赏布鲁沃的想法。 他们将注意力从潜在的想法转移到正式的系统本身。 （Heyting 1978：15）

因此，担心可能被转移的注意力确实在三篇论文中的第一个本身中表达了：

第4节[否定]从古典逻辑大大出发。 在这里，我无法避免给人留下这一部分所在的差异构成了直觉主义者和形式主义者之间的最重要的冲突点（一个由上面的开始所作的议案的声明）; 这种印象是因为形式主义不适合表达更重要的冲突点。 （Heyting 1930：44 [Mancosu 1998：313]）

对于完整的系统，包括谓词逻辑和分析，读者称为Heyting的原始论文。 海线的直觉主张逻辑是：

一个→（a∧a）

（a∧b）→（b∧a）

（一个→b）→（（a∧c）→（b∧c））

（（一个→b）∧（b→c））→（一个→c）

b→（一个→b）

（a∧（一个→b））→b

一个→（a∨b）

（a∨b）→（b∨a）

（（一个→c）∧（b→c））→（（a∨b）→c）

¬a→（一个→b）

（（一个→b）∧（一个→¬b））→¬a

在给Oskar Becker的一封信中，Heyting描述了用于获得这些公理的方法，以及谓词逻辑的方法，如下：

我筛选了Principia Mathematica的公理和定理，并在那些被发现的人的基础上寻找独立公理系统。 鉴于Principia的相对完整性，在我的脑海中，以最好的方式确保我系统的完整性。 事实上，作为一个原则，不可能确定一个正式系统中的所有可接受的推论模式。 （海泰到Becker，1933年9月23日（草案）[Van Atten 2005：129]，原始斜体，翻译矿）

作为嘿，在这里强调，普林尼岛数学的定理也必须看，即使在给出的经典证据时，定理也可以直观地接受。[26] 值得注意的是，Heyting使用这种过境方法，也是Kolmogorov，而不是直接从Brouwer意义上的数学结构上的一般考虑来确定逻辑。 （在某种程度上，Kreisel试图在20世纪60年代系统地做到这一点。）在他对投影几何的直觉公理化的论文中，通过乘坐经典的公理系统作为指导来发展直觉系统的友好然后调整它。[27]

在2006年的薄荷（第2节）中，已经观察到Russell 1903（第18节）通过识别Peirce的法律并使用它来分离暗示PEM的原则来预期直觉的命题逻辑。 似乎尼斯当时没有意识到这一点; 在Heyting 1930中给出的参考文献中，罗素的书没有出现。

Heyting展示了他的公理的独立性使用伯尼给出的方法（1926）; 这种使用非预期解释的元素目的毫不犹豫地接受了，但他认为，这种元素对我们[直觉主义者]不太重要“，而不是所有公式被认为是有意义的主张（Heyting 1930：43 [Mancosu 1998：312]）。

Heyting States Glivenko从1929年的两个定理，没有给出证据。

与Kolmogorov不同，但像Glivenko一样（由Heyting令人信服），Heyting接受了Ex Falso（上面的公理10）。 他对这一点有所详细阐述，而不是他们是：

公式A→B通常意味着：“如果A正确，则B也正确”。 如果A和B是恒定的关于众所周知的正确命令，这种命题是有意义的......如果想到在指定的意义上证明了语句A→B之后，就可以想到的情况下，这表明B总是正确的。 一旦接受，公式A→B就必须保持正确; 也就是说，我们必须将一个含义归因于符号→即→B仍然存在。 在此后来的情况下可以评论同样的问题是始终是假的。 出于这些原因，公式[5]和[10]被接受。 （Heyting 1930：44 [Mancosu 1998：313]）

但是，该论点是不完整的。 它是无关紧要的，一旦证明了→B→B，就应该留下后面¬a被证明。 但为什么→B如果尚未证明，就应该通过建立¬a来证明？ （约翰逊在1935年向Heyting的一封信问了这一点; [28]见对证明解释的补充文件异议的第1节）。 显然，那么，需要对直觉逻辑的解释来完成进一步的工作。

在尼斯的一系列论文出版后，可以采取三条道路，确实是（参见第1992册）：

阐述并制定出于Heyting System的意义解释;

从Heyting系统蒸馏出正规系统的元素研究;

寻找独立于直觉主义者的地区系统的（部分）的替代动机，而且在某种意义的建设性（例如，Lorenzen的对话语刊）中也是如此

BY ANDLY，这三条道路导致非常不同的区域，具有相应的不同历史，其中可以预期没有统一的帐户。 （但是，在Distica解释中，如哥德尔的提议和理解（1958年，1970年，1972年），它们彼此接近。）在本账户的主要主题之后，我们的主题将仍然是逻辑的直观意义解释。 但是，在本补充文件中介绍了正式转弯的一些早期亮点：

转向Heyting的形式化逻辑和算术

5.证明解释明确

5.1 Heyting 1930,1931

嘿嘿告诉van dalen，他介绍了（直觉）建设的概念，以指导他在1927年设计了他对直觉逻辑和数学的形式化。在他正规化的公布版本中，他没有详细阐述连接; 所有他都在那里解释了一个→B的一般含义是“如果A是正确的，那么B也是正确的”（Heyting 1930：44 [Mancosu 1998：313]）。 1930年的Heyting和Freudenthal之间的对应表明，嘿嘿嘿，直到那时没有更加精致的解释; 我们稍后会在本节稍后回到这一部分。

Heyting开始阐述了1930年写的两篇论文中的联系人的含义。第一个，嘿嘿1930c发表于同年，第二年，他于1930年9月在Königsberg讲课的文本发表于明年（heyting 1931）。

第一种论文是对Barzin和Errera的反应，即Brouwer的逻辑是三个值（Barzin＆Errera 1927）。 解释Heyting文件中连接含义的相关要点是以下。 首先，给出了断言的解释：

然后，这是P的Brouwerian断言：已知如何证明p。 我们将通过⊢p表示这一点。 “以证明”的词语必须在“施工中证明”的意义上。 [原始斜体]（Heyting 1930C：959 [Mancosu 1998：307]）

然后直觉否定：

⊢¬p将意味着：“已知如何将p减少到矛盾”。 （Heyting 1930C：960 [Mancosu 1998：307]）

Heyting继续解释，虽然在这些解释旁边有第三个案例旁边，即人们既不知道如何证明p如何否则如何拒绝它，但这并不意味着有第三个真值值：

这种情况可以由P'表示，但必须意识到P'几乎不会成为一个明确的陈述，因为有必要考虑到P证据或¬P可能有一天成功的可能性。 如果一个人不希望禁止撤回所说的内容，就在P'一个人不应该说明任何东西。 （Heyting 1930C：960 [Mancosu 1998：307]）

这反应了Barzin和Errera的争夺。 请注意，这些点也都在Brouwer的着作中。 事实上，Heyting（1932：121）对象对Barzin和Errera的术语“Heyting的逻辑”，称“那个逻辑的所有基本思想来自Brouwer”（翻译地雷）。 但是，Heyting的论文将找到比Brouwer更广泛的受众。 反过来，Brouwer对1930C的纸张荷兰语非常积极，并写信给它出现的日记的编辑（Brouwer到De Donder，1930年10月9日）：

在为公告中准备关于直觉主义的笔记，[29]我很惊喜地看到我的学生尼斯先生的出版物的出版物，以言语方式阐明我想要的积分揭示了自己。 我相信在嘿嘿答案之后，仍然待被说。 （Van Dalen 2005：676）

Heyting还提出了一种可保释的运营商+，其中+ P意味着“P是可提供的”。 如果一个人认为（至少一些）命题与我们的数学活动无关，P和+ P之间的区别是相关的。 在这种情况下，可以继续并开发可保释逻辑，例如哥德尔（参见补充文件的第1节转向Heyting的形式化的逻辑和算术。）这不是直觉的概念，以及众所周知，如果是P的P需要建筑，然后P和+ P之间没有区别。 他补充说，在否定的直觉解释上，¬p和+¬p之间的差异确实没有区别，因为¬p的证据被定义为减少p到矛盾的结构。 但是，Heyting并未概括了所有直觉逻辑的这一评论。 本文的最后一部分是对可保释营运者的逻辑进一步讨论，特别是其与否定的相互作用（例如，⊢¬+ P是P是无法移动的断言）。 但是，随着直觉主义的任务是所有数学的重建，嘿，嘿，同时没有发现该命题的例子，这是必要的这个可加工的运营商表达他们的地位（例如，表达绝对不可思议），不能被问及他们开发这种逻辑的直觉主义者（Heyting 1930C：963 [Mancosu 1998：309-310]）

Königsberg讲座于1930年给出并于1931年发布，指定了p，¬p和p∨q的含义。 这次Heyting与现象学明确连接：

我们在这里区分主题[澳大利亚人]和断言[Sätze]。 断言是一个主张的肯定。 数学命题表达了一定的期望。 例如，命题“欧拉的常数c是rational”表示我们能够找到两个整数A和B，使得C = A / B。 也许是由现象学家创造的“意图”一词表达了更好的意思......一个命题的肯定意味着达成意图。 （Heyting 1931：113 [Benacerraf＆Putnam 1983：58-59]）

与1930年写的早期纸相比，关于可保释算子的重点被扩大：