直觉逻辑的发展（三）
例如，使用创建主题方法，例如，BROROWER显示
¬∀x。∈r（¬¬x＞0→x＞0）（Brouwer 1949a）
¬∀x。∈r（x≠0→x＜0∨x＞0）（Brouwer 1949b）
使用这些方法的实际参数不会引入新的逻辑现象，因为这种弱和强的反例也可以通过其他方式给出。 目前，我们提及文献以获取更多详情：Brouwer 1949a，1949b，1954f; Heyting 1956：117-120; Myhill 1966; Dummett 2000：244-245; van Atten 2018.但我们在这里注意到这种方法的一个特定方面。 它似乎通过接受它来引入否定的进一步概念，如果知道创建主题永远不会证明a，那么a是假的。 但这实际上没有与否定概念不同的不同。 启发式，这可以看出如下：鉴于创建主题的自由必须构建它可以构建它，唯一的途径来表明该主题展示A的唯一可能性是表明本身的演示是不可能的。 原则的实际理由是：如果创建主题演示了一个命题A，它就在特定的时刻n; 所以，通过对比，如果它是矛盾的，那么主题演示A的时刻n是矛盾的，那么a是矛盾的。[11]
3.4命题的分类
在Brouwer 1955中，四个可能的情况下命题α可以在任何特定时刻进行显式：
α已被证明是真的;
已被证明是假的，即荒谬;
α既没有被证明是真实的也没有是荒谬的，但是已知一种算法，导致α为真或α是荒谬的决定;
α既没有被证明是真实的，也不是荒谬，也没有知道导致α为真或α是荒谬的陈述的算法。
在1951年的讲座中，Brouwer仅列出了上面列表中的一个例子，2和4，添加了这种情况3“显然是可将其降低到第一和第二种情况”（Brouwer 1981a：92）。 这种评论强调了直觉数学允许的重要理想化：我们可能会使理想化，一旦我们获得了特定命题的决策方法，我们也会了解其结果。
Brouwer还补充说，在某些情况下，某种情况下可能在某些情况下传递到另一个情况的命题，因为我们在此期间找到了一个决策方法，或者因为在该命题α中涉及的对象在此期间获得了允许做出决定的进一步属性（如可能发生的情况）关于选择序列的命题）。
3.5 Brouwer对形式学计划和哥特的不完整定理的看法
1908年，Brouwer表明¬¬（a∨¬a）; 1923年，当希尔伯特的计划充满了全面的挥舞着时，这结果启发了布鲁沃特，说“我们不需要绝望地达到这一目标”[形式化数学的一致性证明]“; 有关完整报价，请参阅上面的第2.1节。 （当时，Brouwer怀疑¬¬A→A比PEM更弱;伯尼斯在给Brouwer的一封信中迅速纠正了这种印象（Brouwer 1925E：252N.4 [Mancosu 1998：292N.4]）。）
1928年，他加入了PEM实例的有限连词的一致性，并考虑了这些结果，“为一致性证据的形式主义项目”提供了一些鼓励“（Brouwer 1928a2：377 [Mancosu 1998：43]）。[12] 基于这些结果的最强烈的陈述，他于1928年的第一个维也纳讲座结束时提出：
因此，这种直觉上非矛盾数学的语言的适当机械化应该正是形式学校所设定为目标的。 （Brouwer 1929a：164;翻译矿）
但是，由于上面说明的原因，这种一致性证明将没有BROROWER的数学价值; 根据View Brouwer草图的说法，可以说最好的古典数学家，是给予相对一致性的证据。
哥德尔的不完整定理表明，希尔伯特的计划，其最雄心勃勃的形式不能成功。 Brouwer的助理Hurewicz在研讨会中讨论了不完整的定理（Van Dalen 2005：674n.7）。 BROROWER在哥德尔的第一个定理中没有评论; 另一方面，当他在1952年写下时，他清楚地铭记了第二个定理
最初由旧式主义者培养的希望根据他们的原则竖立的数学科学将在一天内加冕为非矛盾的证据，从未满足，而且，鉴于过去几十年的某些调查结果的结果我认为，已经放弃了。 （BRORWER 1952B：508）
Hao Wang报告：
在1961年春天，我在家里去了Brouwer。 他在许多科目上广泛讨厌。 在其他事情之外，他说他没有认为G的不完整结果是尼斯的正规化直观推理的形态，因为对他来的结果显而易见（显然是真的）。 （王1987：88）[13]
关于第一个不完整定理，Brouwer的反应是易于理解的。 他已经在论文中，他指出，所有可能的数学建设的整体是“可恶劣地未完成”; 他的意思是
我们永远无法以一种明确的方式构建，而不是贬值的子集，但是当我们构建了这样的子集时，我们可以立即推断出来，在一些先前定义的数学过程中，将被计算为原始集的新元素。 （BROROWER 1907：148 [1975：82]）
在其中一个笔记本上导致他的论文中，他表示，“数学定理的整体是，除了其他事情，也是一种可贬值但从未完成的集合”。[14]
事实上，根据Carnap的说法，它一直是Brouwer的争论，它刺激了哥德尔寻找第一个定理。 在1929年12月12日的日记笔记中，卡内斯认为哥德尔那天和他谈过
关于数学的无穷无尽（见单独的表）。 Brouwer的维也纳讲座，他被刺激了这个想法。 数学并不完全可编程。 他似乎是对的。 （王1987：84）
在“单独的表”中，Carnap写下了哥德尔告诉他的：
我们承认为具有涉及经验的语言语法的合法数学某些思考。 如果寻求正式化这样的数学，那么在每个形式化中都有问题，有些问题，可以在普通语言中理解和表达哪个问题，但不能以给定的形式语言表达。 它遵循（brouwer），数学是取之不尽的东西：一个必须始终从“直觉的喷泉”重新绘制。 因此，没有针对整个数学的特征界限，也没有整个数学的决定程序。 在每种封闭语言中，只有相当多的表达。 连续素只出现在“整个数学”中......如果我们只有一种语言，并且只能制作“阐明”它，那么这些阐明取之不尽，他们总是需要一些新的直觉。 （如同报价，在翻译，在王1987：50）
此记录中包含来自Brouwer在维也纳的两次讲座的特定元素，其中一个人发现哥德尔指的是：一方面，完全连续uum在实际直觉上给出，而另一方面，它不能耗尽通过具有数量多种表达的语言（Brouwer 1930a：3,6 [Mancosu 1998：56,58]）。
另一方面，第二个不完整的定理必须令人惊讶的布鲁瓦尔，在20世纪20年代的乐观方面，他对正式学校的乐观，旨在证明其旨在证明正式的古典数学的一致性（在本小节开始时看到报价）。
在他最终的原始发布论文（1955年）中，Brouwer以他自己的方式，对古典逻辑的研究非常积极。 在表明逻辑（例如Boole，Schröder）中的代数传统的各种原则是直观的，他继续：
幸运的是，逻辑的古典代数与其对数学适用性的问题相比，其优点。 不仅是常见思想技术的正式形象，它具有高度完美，而且本身就像是一个思想的大厦，它是一个特殊的和谐和美丽的事物。 事实上，它的继任者，二十世纪的奢华象征逻辑，目前正在不断提高最迷人的问题，并使最令人惊讶和最令人惊讶的发现，同样是为了为自己的缘故培养的大部分。 （BRORWER 1955：116）
3.6 Brouwer的逻辑和Grundlagenstreit
Brouwer的逻辑仅在Grundlagenstreit（基础辩论）中发挥了作用，只有这种逻辑可以被视为古典逻辑的片段的程度。 这种感觉的建设性逻辑是成功，而且（具有不同的含义），它也成为希尔伯特的课程的基础。 另一方面，特定于Brouwer完全逻辑概念的现象，特别是强大的反例，在基本辩论中没有任何作用。 这可能是，在他们对选择序列的依赖性中，它们使用古典数学不可接受的物体。 （一种更细微的事情是在希尔伯特的有关数学中是可接受的。根据伯纳金，希尔伯特从未在选择序列中取得了职位（Gödel2003a：279），更普遍从未阅读过Brouwer的论文（面包车Dalen 2005：637）。[15]）此外，Brouwer没有以大声或亵渎的方式宣布强大的反例; 当1954年，他终于用争论标题发表（英文）一篇论文 - “典型职能理论中的矛盾榜样” - 基础辩论在社会意义上，长期以来。 直觉逻辑和数学被广泛接受，即他们可以被视为古典数学的建设性的一部分，而典型直观的创新被忽略了。 这并不令人惊讶，即20世纪50年代在20世纪50年代的强大反例的呈现并没有导致重新开放辩论。 有关此事的进一步讨论，请参阅Hesseling 2003和Van Atten 2004a。
4.早期部分形式化和元素
由于Brouwer对开发纯数学的更感兴趣而不是开发逻辑，这对他来说是一种应用数学的形式，他从未对后者进行了广泛的研究。 特别是，他从未制定了直觉逻辑和经典逻辑的系统比较，例如在Principia Mathematica（Whitehead＆Russell 1910）或希尔伯特学校（希尔伯特1923;希尔伯特＆Ackermann 1928）。 有什么动力的是，他人使这种比较是Brouwer在弱势反应范围的国际期刊上出版，这表明这些也影响了非常一般的数学原理，例如实际数字的三分形式（见上文，第3.2节）。
显然，为了使系统的比较可能，需要在正式系统中编写直觉逻辑。 在无法存在的直觉视图上，因为逻辑作为依赖于数学的开放式。 但是一个人可以正形地形式化直觉逻辑的碎片。 这里的相关文件是Kolmogorov 1925，Heyting 1928（未发表），Glivenko 1928，Glivenko 1929和Heyting 1930. [16] 但也许第一个为此问题提供系统的想法是保罗·伯尼。 在1930年11月5日的封闭函中，他写道：
Brouwer教授在Göttingen（首次）的讲座[1924（Van Dalen 2001：305）]，让我解决了如何分开Brouwerian命题逻辑的问题，我到达了结果，可以通过留出单一公式¬¬a⊃a（在您的象征中）来完成。 然后，我还写信给Brouwer教授[在这个公式弱于PEM时纠正BROROWER的印象]。 （Troelstra 1990：8）[17]
（伯尼亚校正是在Brouwer纸上的证明阶段（1925E：252N.4 [Mancosu 1998：292N.4]）的证明阶段。）然而，伯尼耶没有发布他对Brouwerian逻辑的想法。 （Kolmogorov将于1925年发布同样的想法;见下文。）
在建立正式的系统中捕获的情况下，尽管只有部分，但它在布鲁瓦尔的基础中的数据，自然是一些完全获得的意义解释，以作为直观有效性的标准。 然而，Kolmogorov，Heyting和Glivenko的任何论文都没有提到对直觉逻辑的意义解释进行了明确的贡献。 正如我们将看到的那样，论文中给出的解释（这不一定是他们各自的作者所考虑的所有作者）对此来说太模糊了。 那么，这可能并不令人惊讶，系统不等同; 值得注意的是，Kolmogorov被拒绝了Ex Falso，而嘿嘿和格拉斯科接受了它。 我们现在将依次讨论这些文件。
4.1 Kolmogorov 1925
1925年，AndreiKolmogorov在22岁时发表了直觉逻辑的第一个（部分）形式化，并在一个名为“在被排除的中间原则”的论文中，与形式化的古典逻辑进行了广泛的比较。 随着van dalen建议的（黑伦2003：237），Kolmogorov可能通过Alexandrov或Urysohn接触直觉，他们是Brouwer的亲密朋友。 Kolmogorov在任何情况下都是非常知之甚少，甚至引用甚至曾经出现在荷兰科学院荷兰语“Verhandelingen”（Brouwer 1918b，19119a，1921a）中出现的论文。
Kolmogorov任务在论文中设置了自己，是为了解释为什么“在Brouwer着作中透露的”被排除的中间“的非法使用原则”尚未导致矛盾，也是为什么违法行为经常消失没有注意到“（van heijenoort 1967：416）。 实际上，随着其他通道明确（Van Heijenoort 1967：429-430），（未解Os）的目的是表明古典数学是可翻译成直觉的数学，从而提供了古典的一致性证明数学相对于直觉数学。
本文中建立的技术结果是：经典命题逻辑在其直觉上可接受的碎片中可解释。 直觉片段，称为B（可能是“Brouwer”）是：
一个→（b→一个）
（一个→（一个→b））→（一个→b）
（一个→（b→c））→（b→（一个→c））
（b→c）→（（一个→b）→（一个→c））
（一个→b）→（（一个→¬b）→¬a）
系统H（大概用于“希尔伯特”）由B和附加公理组成
¬¬a→一个
在两个系统中，规则是Modus Ponens和替代。
然后Kolmogorov指示并部分执行Hilbert 1923中Hilbert呈现的古典命题逻辑系统的证据。然后，Kolmogorov设计了以下翻译*：
A * =¬¬a。原子a
f（φ1，φ2，...，φk）* =¬¬f（φ
*
1
，φ
*
2
，...，φ
*
k
）用于组成的公式
并证明这种可解释性结果：
如果u∈Hφ那么u *⊢bφ*
你是h的一组公理，你的翻译集（哪个kolmogorov显示在b）中衍生。
Kolmogorov的技术结果预期哥德尔和绅士的“双重否定翻译”为算术（见下文），又一直是他也提出了相当具体的建议如何治疗谓词逻辑。 然而，作为黑塞尔（2003：239）指出，看看Kolmogorov的结果作为直觉数学的翻译与他自己的观点略有不同。 Kolmogorov将其视为“Pseudomathematics”的域名的翻译; 但虽然他没有明确地确定作为直觉数学的一部分，但他本可以这样做。
Kolmogorov获得正式的直觉逻辑的（片段）的策略是从经典系统开始，并从中隔离直觉上可接受的系统。 （注意，虽然Kolmogorov指Principia Mathematica，但他并没有将其作为他的出发点。）这可能（大致）被描述为横穿的方法，这也是1928年的嘿嘿（见下文）。 鉴于Kolmogorov套装自己，这是一种自然的方法。 Kolmogorov的标准是否保持公理是一个命题是否具有“直观的基础”或“具有直观的显而易见”（Van Heijenoort 1967：421,422）; 关于暗示他说，
符号A→B的含义被事实所耗尽，曾经相信A的真相，我们也必须接受B的真实性。 （van heijenoort 1967：420）
没有给出更精确的指示，所以在那个意义上，纸张没有解释直觉逻辑的含义。
ex falso被排除在这个片段之外：Kolmogorov表示，就像Pem一样，Ex Falso“没有直观的基础”（Van Heijenoort 1967：419）。 特别是，他说，前者是不可接受的，因为它是关于不可能的事情的结果的原因（Van Heijenoort 1967：421）。 请注意，这是一个非常强烈的拒绝：它不仅在其全部概括地排除了Ex Falso，而且还规定了特定的实例，例如“3.15是π的初始段，那么3.1是π的初始段”。 它还表明了Kolmogorov的位置不一致：一个不能同时接受→（B→A）作为公理，并且拒绝任何可以断言任何不可能B的后果。
随着van dalen笔记，尚不清楚kolmogorov将他的纸张送到brouwer（van dalen 2005：555）。 多年来，纸张的内容似乎在很大程度上在很大程度上仍然是未知的。 Glivenko提到了1928年10月13日的Heyting的信中提到了本文，如1933年或以后的Heyting的未定信中的Kolmogorov（Troelstra 1990：16）; 但在1934年的Heyting 1934中，与1932年的Kolmogorov后来的文件不同，既不讨论也没有包含在书目中。 JahrbuchÜber死亡的员堡垒1925年，其中包括V.Smirnov（Leningrad）的Kolmogorov（Leningrad）的Kolmogorov（Leningrad）的很短的通知，实际上并没有直到1932年出版（Smirnov 1925）。
4.2 Heyting 1928
虽然Kolmogorov在西方的工作仍然是未知的，但1927年采取了一项独立的直观逻辑和数学形式化的举措，当时荷兰数学社会选择为其年度比赛提出以下问题：
通过其本质，不能在某个Pasigraphic系统中正式衍生的结论来确定Brouwer的集合理论[即通用符号系统]。 然而，在布鲁瓦尔用来表达他的数学直觉的语言中可以观察到某些规则; 这些规则可以在正式的数学系统中编写编码。 它被要求
构建这样的系统并表明其与Brouwer的理论的偏差;
为了研究是否从待构建的系统构建一个双系统，可以通过（正式）（正式）互换Tertii Exclusi和原理矛盾。 （Troelstra 1990：4）
这个问题已由Brouwer的朋友，同事和前老师Gerrit Mannoury制定，他们事先在一封信中向其提出了Brouwer的意见（Brouwer在柏林）; [18]不幸的是，不幸的是，Brouwer没有回复已被发现，但最终的制定与曼纽斯的信相同。
Brouwer的前学生在1925年毕业（暨Laude）毕业（暨Laude），撰写了一篇文章，写了一份提交（黑社2003：274）。 原稿似乎不再存在，但众所周知，它的讲座座右铭是“面包的石头”。[19] 1928年，陪审团加强了尼斯的工作，[20]说明这是“以最知识渊博的方式和令人钦佩的毅力”进行的正式化“（黑貂2003：274;翻译修改）。
