直觉逻辑的发展（二）

另一种阅读是β：

（β）为了建立→B，必须将A和B设想为结构的条件，并且表明，根据其组成保留数学结构的变换，从一个由B由B的条件获得的条件来表示：如果，通过假设，则施工已经制作，然后我们可以为B（Van Agenten 2009：128）建造建筑。

在这种阅读中，BROROWER对假设判断的解释避免了假设的结构和通过考虑结构上的条件而不是构造本身来伴随使用逻辑。 而不是一个“假设判断链”，其中一个似乎制造了，一个人真正制造了一系列转换，其中来自所需关系（即，给定条件）得到进一步的关系。 当然，这是要求这些转化保留数学结构的要求，并且这种保存本身就是直观的。 条件的作用明确在他的出版职业另一结束时发表的声明：

[t]数学定理的措辞毫无意义，除非它表明了实际数学实体或不兼容的结构中的任何一个（例如，空的两毫级的空缺的身份，其中空统一的空缺的标识）在某种构造条件下假设的数学系统。 （BRORWER 1954A：3）

BROROWER说得不兼容，不兼容由假设的数学系统构建，但在其建筑的某些条件下。

尽管如此，从A到B的构建性的保存对于读数α和读数β至关重要，因此很明显，Brouwer在1907年的暗示中有目的地解释。为了进一步讨论Brouwer对Brouwer的探讨假设的判断和它的两张读数在此提到，参见Kuiper 2004，Van Dalen 2004，Van Dalen 2008和Van Agenten 2009。

2.3否定

直觉地说，一个命题A是真实的主要是说我们已经实现了一个正确描述的结构; 该命题A由建筑做出。 理想化在一定程度上，我们说，如果我们拥有建筑方法，那么如果在实现时，将产生一个正确描述的结构。根据Brouwer，说出一个命题是假的，那么必须意味着不可能实现适当的结构; 符号¬a。 这种不可能性立即被认识到（例如，不可能鉴定1个单元和2个单位）或混合。 在前一种情况下，人们直接观察预期的结构被阻止; 它“不经历”（Brouwer 1907：127 [1975：73]）。 在后一种情况下，人们表示提出A通过减少A到已知误判而矛盾，例如，示出了→1 = 2（BRORWER 1954A：3）。 在实践中，一个定义¬a：= a→1 = 2（因此¬1= 2被视为→a）的特定情况。

“否定是不可能的”的概念被称为“强烈否定”。 一个人谈到A的“弱否定”表达，到目前为止没有发现A证据。 这既不包括稍后发现¬A的证明也不排除。 显然，要断言A的弱否定否则除了真实和虚假的情况下不是要分配真理价值; Barzin和Errera的索赔（见下文第4.3节），其对否定的治疗将Brouwer的逻辑变成了一个三值的逻辑。 弱势和强烈否定之间的区别对于所谓的“弱势反射率”是重要的。

2.4弱的反例（“不可靠性”）并排除中间

随着逻辑规则在语言对象上运行，并且这些语言对象可以与它们描述了真理的精确数学上下文，可以应用逻辑规则并获得新的语言对象，而不为后者提供精确的数学上下文。 换句话说，可以在不指明应用它们的上下文的情况下说明的逻辑原理，从而提出上下文独立性，用于他们对上下文敏感的正确性。 没有一般保证在一个上下文中有效的逻辑原则，在不同的情况下同样有效。 这是布鲁沃特意味着当他谈到“逻辑原则的不可靠性”时，他的精英纸张BROROWER 1908C的标题和主题; 另见BRORWER 1949A：1243。

在1908年的纸质中，Brouwer在他论文中忽略了他忽视的逻辑的一般性看法：PEM，Aï¬a无效。 其建设性有效性意味着我们有一种方法，对于任何A来说，任何一个都可以为我们提供一个结构，或者表明这种结构是不可能的。 但我们没有这样的一般决策方法，数学中存在许多打开问题。 BRORWER国家“每个数字是有限或无限”，作为一般命题的一个例子，迄今为止没有发现建设性证据。 他说，他说，目前还有不确定的问题是否是可解决的：

是否在十进制扩展中的πa数字，这比任何其他人发生更频繁？

是否发生了π无限的十进制膨胀数量相等连续的数字？ （Brouwer 1908C：7 [Van Atten＆Sundholm 2017：44]）

实际上，Brouwer说，我们可以断言这些问题中表达的命题的弱势否定; 因此，这些命题是所谓的“Brouwerian Enternerexamples”或“弱反例”给PEM。 在PEM的建设性读数中，当然，任何尚未解决的问题都是PEM的弱势。 Brouwer仅在稍后（1921A，1924N，1925E）之后，在国际期刊中开始向PEM发布弱势的反例。

在1908篇论文中，PEM无效的事实并不意味着它是假的：¬（a∨¬a）意味着¬¬¬¬¬a，一个矛盾。 换句话说，¬¬（a∨¬a）是正确的。 布鲁瓦尔的结论是，使用PEM总是一致，但它并不总是导致真理。 在后一种情况下，呼吁PEM的论点是不是真理，而是结论的一致性。 Brouwer建议将通常被认为的定理划分为真实和非矛盾的定理（Brouwer 1908C：7N.2 [Van Atten＆Sundholm 2017：44n.14]）。 这不是一个建议，有三个真理价值观，真实，非矛盾，虚假; 对于非矛盾的命题，可能有一天可以证明，从而实现真实。

PEM有效的数学上下文，BROROWER指出，是在给定的有限域中是否可以提供有限特性的给定结构的问题。 在这样的情况下，只有在该建筑的情况下只有许多可能的尝试，每个都会成功或失败，在很多步骤中（为清楚起见，这里的措辞不是Brouwer 1955的短语，而是Brouwer 1955）。 因此，在这些地面上，a∨¬a持有，其中A是表示施工的主张。

Brouwer归于PEM的一般有效性，从这些有限案件（特别是将有限数学应用于日常现象）到无限的有限案件的一般有效性。[6]

在1907年的论文中，Brouwer仍然接受PEM作为Tautology，（MIS）理解a∨¬a→¬a（Brouwer 1907：131,160 [1975：75,88]）。[7] 奇怪的是，他确实在同时实现了没有证据表明，每种数学命题都有可证明或反驳的原则（BRORWER 1907：142N.3 [1975：101]）; 这一原则是建设性地正确阅读PEM。 在1908年的论文中，他纠正了他对PEM的早期了解：

现在，Tertii Explusi的原则：这要求每个假设要么是正确的或不正确的，数学上：可以构建彼此以某种方式的所有方法，可以构建终止或阻塞。 （BRORWER 1908C：5 [van Atten＆Sundholm 2017：42]）

2.5没有绝对不可透明的命题

Brouwer继续下列报价如下：

因此，Tertii Exclusi原则的有效性的问题相当于可能存在无法解决的数学问题的问题。 没有撕掉定罪的证据，有时被提出[这里，布鲁瓦在脚注中涉及到希尔伯特1900]那里没有任何无法解决的数学问题。

在这里，他似乎忽略了，建设性地，声称每个数学问题是可解性的，并且较弱的声称没有绝对无法解决的问题。 前者相当于a∨¬a，后者到¬¬¬（a∨¬a）; Brouwer在同一篇论文中展示了后者的直观有效性。 实际上，在BROROWER存档中，有一个关于1907-1908的同一时期的注释，其中目的是明确的：

一个人可以证明一个命题，它永远无法决定吗？ 不，因为一个通过减少广告荒谬的人必须这样做。 所以人们必须说：假设这个命题已经在感觉a中决定了，从那里推断出矛盾。 但是，本来已经证明是不是真的，并毕竟决定了这个命题。 （van dalen 2001b：174n.a;翻译矿）

Brouwer从未发布过此帖。 1926年的Wavre为特定案例提出了论点，清楚地看到了一般点：

它足以赋予其中许多人不知道它是否是代数或超越的例子，以便同时给出一个数字的一个例子，直到进一步信息进入，既不是一个也不是另一个。 但是，另一方面，它在徒劳的情况下，它在我看来，要定义一个确实既不是代数也不超越的数字，作为唯一的方式，表明它不是代数，表明它是荒谬的是，然后数字将超越。 （Wavre 1926：66;翻译矿）

¬¬（a∨¬a）意味着在Heyting 1934：16中可以指示没有绝对无法解决的问题的显式观察。

3. Brouwer后来的改进和应用，1921-1955

3.1隐含的证明解释

可以给出三个例子，表明，到20世纪20年代中期，Brouwer在实践中与假设判断和诉讼中的诉讼中的证据解释（稍后发布）：在命题逻辑中的等价物，他对订购公理的阅读。

3.1.1命题逻辑等当量

在1923年的讲座中，Brouwer介绍了¬¬¬a↔¬a的证据（Brouwer 1925e：253 [Mancosu 1998：291]）。[8] 这种等价是Brouwer曾经发表过的命题逻辑的一个定理。 该论点通过指出→B意味着¬b→¬a（因为¬b是b→⊥，并且可以组成两个含义，因为它的后果是另一个的前提。 Brouwer如果在他的证明条件下涉及先行证明的情况下，Brouwer是不可能的，因为那么A→B的证据会导致B的证据，从而无法开始建立通过证明其前所未有的¬b，第二种暗示。

后来，Brouwer指出了以下有效性的结果：还原缺陷的证明方法可用于建立负命题¬A（Brouwer 1929a：163 [Mancosu 1998：52]）。 对于¬¬¬A的假设导致矛盾，即至此，等价允许一个将其简化到¬A。 另一方面，还有一般的adsurdum不能用于建立积极的命题a; 来自假设的矛盾¬A的推导仅导致¬¬A，它直觉地弱于A.

3.1.2条定理的证明

Brouwer的酒吧定理对直觉分析至关重要; 有关所涉及的概念和Brouwer证明的详细说明，请参阅Heyting 1956（Ch.3），寄宿1967和范中2004B（CH.4）。 在这里，我们宁愿关注逻辑方面。

BROROWER从1924年的酒吧定理证明（1927年的后期版本，1954年出现）证明了表单的陈述“如果已被证明，则B是可以证明的”（BROROWER 1924D1,1927B，1954A）。 这显然不是一种暗示A→B如果后者被理解为A中的证明条件的转换，因为在前一种情况下，存在通过假设的附加信息，已经证明了A. 换句话说，我们通过假设，通过手头的混凝土证明。 （但是，这两者都是假设的判断，即既不要求我们实际上已经证明A.）可能有可能利用这种额外信息，并且下面将显示出风险如何做到这一点。 （1956年的Heyting还选择了解这种更强烈的意义的暗示，即在断言条件方面;见下文第5.4节。）

一个简单但相关版本的酒吧定理（对于自然数，T）的通用树是：

如果已经证明，通过T的每条路径都与给定的一组节点B相交，那么可以说明通过T的每条路径都有一个与可以批量顺序的节点B'共同的节点。[9]

像B和B'一样的设置称为栏。 BRORWER首先为任何可能被发现的示范制定一个命令“树T包含一个条形”的条件。 这种条件是必须分析该命题的任何证明到某种规范形式中。 然后，BROROWER在分析到该规范形式的情况下，将任何这样的演示进行了一种方法来改变任何此类演示，这使得提示“T包含井条”的数学结构，从而建立了结果。 该策略清楚地表明，Brouwer对→B的含义的操作说明是在介绍中制定的证明解释的条款（H3）的版本，如果我们理解该条款的“证明”为“示范”。

需要进行规范形式所需的先行者的示范或混凝土证明，是实际的或假设的。 原因是提出A的规范证明的存在不能从逻辑上源自A的逻辑上，因为这种规范证明需要的形式可能依赖于A的数学结构的特定非逻辑细节。

在Brouwer的律师定理证明中，转型方法的适用性对先行的任何演示都保证了他制定的那样的条件是必要条件的情况。 Brouwer通过利用他的概念，数学对象，所以在特定的树木和酒吧，是精神上的事实，获得了这一必要条件 这将打开对这些对象及其属性的反映在Mental行为中构建的反映提供了有关它们的信息，这些信息可以提供数学使用，特别是如果此信息包括在这些构造行为的限制。 这就是布鲁沃尔如何抵达他的规范形式。 实际上，Brouwer对酒吧定理的论点是一个超越的论点。 在其他数学概念上，这种考虑因素不需要是可以接受的，并且实际上没有任何（经典有效）的栏定理证明在其他品种的建设性数学中（其中酒吧感应被接受为公理，可能是这样的可能性BROROWER还建议（BRORWER 1927B：63N.7 [VAN HEIJENOORT 1967：460n.7]），或者不接受，如马尔可夫学校）。

有关此事的更详细讨论，请参阅Sundholm和Van Agenten 2008。

3.1.3订购公理

1925年左右，Brouwer介绍了“虚拟排序”的概念。 A（部分）排序<是虚拟如果满足以下公理（BRORWER 1926A：453）：

关系r = s，r＜s和r＞s是互斥的。

从r = u，s = v和r＜s跟随u＜v。

从关系的同时失效r＞s和r = s跟随r＜s。

从关系的同时失效r＞s和r＜s跟随r = s。

从R＜S和S＜T跟随R＜T.

在1925年的订单类型的课程中，其中David Van Dantzig的笔记在Brouwer档案中保留，Brouwer评论：

在建设性意义上将理解公理II至V：如果满足公理的预防，则几乎有序的设定应在结论中提供订单条件的结构。 （Van Dalen 2008：19）

这是一个明确的例子，用于证明解释中的含义。 请注意，Brouwer不包括公布的论文（1926A）的这种阐明，也不包括在后面的演示中。

3.2扩大了弱势反射的范围

正如我们在上面所看到的那样，从1908年的论文中，Brouwer已经给了弱势射击。 在20世纪20年代，Brouwer开发了一种用于构建弱势体积的一般技术，这也使得可以扩大其范围并包括分析原则。 该开发开始于1921年，当Brouwer给出了一个弱势的反例，每个实数具有十进制扩张（Brouwer 1921a）。 该论点通过定义小数点发展取决于π的小数开发的具体开放问题来进行。 BROROWER通过观察，如果这些打开问题可以解决，那么可以定义其他没有小数扩展的实数（BRORWER 1921A：210 [Mancosu 1998：34]）。 从1923年的讲座中明确了一般技术（Brouwer 1924N：3和脚注4 [van Heijenoort 1967：337和脚注5]），并在第一个中达到了“振荡数”方法的完美维也纳讲座于1928年（Brouwer 1929a：161 [Mancosu 1998：51]）。 该方法涉及将数学原理的有效性降低到以下类型的打开问题的可解性：我们有一个可解除的属性p（定义在自然数上），我们尚未显示∃xp（x）nor∀x¬p-p（x）。 这种减少以这样的方式进行，即它只使用P诱发这种类型的打开问题的事实，并且不依赖于P的确切定义; 也就是说，如果解决了打开问题，可以简单地通过另一种类型的类型替换它，并且完全相同的仍然有效。 这种均匀性意味着只要有这种类型的打开问题（并且这实际上在任何时候），就没有相关的数学原理的直观证明。 在20世纪20年代，Brouwer在以下一般数学命题中构建了弱的反例（其中）（其中R代表了一组直觉的实数，并且Q为本型Rationals）：

连续体是完全订购的（Brouwer 1924n）

每组都是有限或无限的（BRORWER 1924N）

Heine-Borel定理（Brouwer 1924N）

∀x∈r（x∈q∨x∉q）（BRORWER 1925E）

欧几里德平面中的任何两条直线都是平行的，或相互作用的（Brouwer 1929a）

每种无限数量的阳性序列会收敛或发散（Brouwer 1929a）

3.3强大的反例和创建主题

一个弱势的反症表明我们现在不能证明一些命题，但它实际上并没有拒绝它; 从这种意义上讲，它不是一个正确的强调。 从1928年开始，Brouwer向经典有效的命题设计了许多强大的反例，即他表明这些命题是矛盾的。 这应该被理解如下：如果一个人遵守经典原则的信，但在其诠释替代其经典同行的直觉概念，一个矛盾地到达矛盾。 因此，Brouwer的强烈的反例是严格意义上没有比他的弱势的弱者（但出于不同的原因）。 查看强大的反应范围的一种方法是它们是不可解释的结果。

这一点可以解释为古典原则的强大的对手，如下所述。 如上所述，在直观的理解上，逻辑属于数学，而典型地是另一种方式。 因此，如果直觉数学包含在古典数学中没有图形的对象和原则，则可能会逐渐介绍这种直觉逻辑，然后它也取决于这些非古典元素，而不是古典逻辑的适当部分。

Brouwer的第一个强大的强大反例是在Brouwer 1928A2上发表的，他展示了：

¬∀x∈r（x∈q∨x∉q）

这是从1923年加强相应的弱势突起，但论点完全不同。 强大的反例取决于直觉分析中的定理，1924年获得，并在1927年得到改善，所有功能都是均匀的连续均匀连续的。 定理中的非古典元素是连续体作为选择序列的传播的概念，以及基于它的律师定理（用于对此概念的进一步解释，请参阅1956（CH.3）和范留架2004B（CHS.3和4））。[10]

从1948年开始，Brouwer还发布了基于所谓的“创建主题方法”的反例。 （他在Brouwer 1948A中提到，他自1927年以来一直在讲座中使用这种方法。）他们的特色属性是他们对执行数学建设的主题来说明确参考其活动的时间结构以及这的关系结构是真理的直觉概念。 这些方法可用于产生弱以及强大的反例。 （在先前的“振荡编号”方法中用于生成弱势体积，创建主体未明确提及。）