直觉逻辑的发展（一）
“直觉逻辑”是一个不幸收益更大的货币的术语; 它在直觉上传达了一个完全虚假的观点。
-Freudenthal 1937
直觉逻辑是l.e.j的offshoot。 brouwer的直觉数学。 一个广泛的误解使它是直观的逻辑是逻辑潜在的布鲁瓦尔直觉的逻辑; 相反，直觉主义下潜被解释为语言的直觉数学的应用。 直觉数学包括在某种身体上实现精神结构的行为。 这些本身不是本质上的语言，但是当用语言描述施工和结果时，描述可能会展示语言模式。 直觉逻辑是这些模式的数学研究，特别是那些表征有效推论的逻辑。 如果在房屋中的陈述描述直觉数学的真实性时，推理规则是有效的，可以找到构造，使其成为通过应用规则获得的陈述。 因此，逻辑需要保护的原则不是在古典逻辑，独立的真理中，而是精神上的结构。 古典逻辑的各种原则，最重要的是被排除的中间的原理，然后变得不够接地，以及某些经典定理甚至矛盾。 正式与经典定理的直觉逻辑定理依赖于与经典数学不相容的直觉数学的元素; 这说明了在直觉逻辑中是如何基于数学而不是其他方式。
1928年，Brouwer的学生开始了直觉逻辑的系统解释和正式化。这里的“解释”是一个人知道何时了解并正确使用逻辑连接。 自20世纪70年代的良好解释以来，其变体被称为“证明解释”，因为在古典逻辑解释中的思想独立的真实性的作用就在这里通过证明来扮演。 对于Heyting，证据主要是Brouwer感觉的数学施工，并且其次是对其的语言描述。 但事实证明，证明解释也可以基于其他证明概念。 在更一般的意义上理解的证明解释已经在其历史来源之外发现了许多应用，特别是在其他建设性但非直觉形式的数学，哲学，计算机科学和语言学中。 这种应用范围的扩大是可能的，因为原始证明解释主要取决于数学真理的直观概念是验证性质，因此在其他域中的广泛验证主义理论允许对其逻辑的类似解释。
在本文中，主要关注的是在直觉数学的原始背景下发展证明解释。 第1节关于术语的评论。 第2节审查了Brouwer在早期作品中逻辑概念的基础。 第3节介绍了他后来的改进以及他对希尔伯特计划，哥德尔的不完整定理以及20世纪20年代数学基础的辩论。 第4节讨论了直觉逻辑的形式，即使在证明明确解释之前已经开始，并简要了解所获得的形式主义的数学解释。 在1930年至1956年的Heyting的着作中解释的解释在第5节中得到了治疗5.直觉逻辑对数学施工确切概念的敏感性是强烈反对的根本，这是从内部出现的证明解释的一部分直觉主义。 这些在第6节中讨论。最后，给出了将在将来更新中添加的主题。
1.简介
1.1证明解释
1.2解释，解释和名称
2. Brouwer在1907年和1908年对逻辑的看法
2.1数学，语言和逻辑
2.2假设判断
2.3否定
2.4弱的反例（“不可靠性”）并排除中间
2.5没有绝对不可透明的命题
3. Brouwer后来的改进和应用，1921-1955
3.1隐含的证明解释
3.1.1命题逻辑等当量
3.1.2条定理的证明
3.1.3订购公理
3.2扩大了弱势反射的范围
3.3强大的反例和创建主题
3.4命题的分类
3.5 Brouwer对形式学计划和哥特的不完整定理的看法
3.6 Brouwer的逻辑和Grundlagenstreit
4.早期部分形式化和元素
4.1 Kolmogorov 1925
4.2 Heyting 1928
4.3 Glivenko 1928和1929年
4.4 Heyting 1930
补充：转向Heyting的正式逻辑和算术
5.证明解释明确
5.1 Heyting 1930,1931
5.2对河流的影响
5.3 Kolmogorov 1932和Heyting 1934
5.4 Heyting 1956
补充文件：对证明解释的反对意见
参考书目
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.简介
1.1证明解释
直觉逻辑今天的标准解释是BHK-解释（对于“Brouwer，Heyting，Kolmogorov”）或Troelstra和Van Dalen在数学中的建构主义（Troelstra）的证明解释（Troelstra＆van dalen 1988：9）：
（H1）通过呈现A的证据和B的证据来给出A 1B的证据。
（H2）通过呈现B的证据或B的证据来给出A 1B的证据（加上我们想要认为证明作为a∨b的证据）的证据。
（H3）A→B的证据是一个结构，允许我们将任何证据转换为B的证据。
（H4）荒谬⊥（矛盾）没有证据; ¬A的证据是一种结构，它将任何假设证明变为矛盾的证据。
（H5）∀xa（x）的证据是将d∈d（d d）的证据转换为（d）的证据。
（H6）通过提供d∈d给出∃xa（x）的证据，以及（d）的证明给出。
可以以不同的方式理解诸如“建设”，“呈现”和“转型”的概念，并且确实是他们已经存在。 同样，对于如何证明如何合理的文字H3和H4的具体实例确实适用于先行的任何（可能假设的）证明，存在不同的想法。 有效地对这些概念有效的逻辑原则可能对另一个概念有效。 随着Troelstra和Van Dalen表示，甚至可以以这样的方式理解这些条款，以便他们验证古典逻辑的原则（Troelstra＆Van Dalen 1988：9,32-33;另见Sundholm 2004和Sundholm 2004佐藤1997）。 在直觉和建构主义的基本计划的背景下，所有概念当然被理解为有效; 但即使那么有差异的差异也是如此。 这种差异可以具有数学后果。 在一些理解上，直觉逻辑正式地成为经典逻辑的子系统（即，经典逻辑，没有被排除的中间的原则）。 但这并不是对直觉数学家的理解，在分析中，在分析中建立了直观的模式，而是架构的有效实例（px∨¬px-PX），而且在经典上可以没有（参见强大的反例和创建主题的部分（3.3），下文）。
Troelstra和Van Dalen指定了第H1-H6的条文从1934年回到Heyting的解释（因此“H”）。 Heyting的目的是澄清Brouwer在数学的基础计划中逻辑的概念，这将激励添加以下条款：
（H0）通过在Brouwer的感觉中呈现数学结构来给出原子命题A的证据。
事实上，正如我们将看到的，证明解释的一个版本已经在1907年和1908年的Brouwer的早期作品中隐开，并且他在1924年和1927年的酒吧定理证明中被他凭证使用，这是预测的逻辑上的论文。 因此，我们将开始对具有Brouwer的想法的直觉逻辑的历史发展，然后展示如何通过Heyting和其他人来说，现代证明解释达到了。
1.2解释，解释和名称
作为孙尔摩（1983：159）指出，在“BHK解释”和“证明解释”中，通过“解释”来取代“解释”。 对于在逻辑数学上下文中，“解释”已经提到了对另一个正式理论的解释。[1] 在正式系统V中的正式系统U的解释是由翻译“v的公式的翻译”保留可证明的v的公式：[2]
如果u⊢a然后v⊢a'
目前，我们指出，BHK-解释或证明解释并不是这种数学意义上的解释，而且是一种意义解释; 从补充文件第2节中的解释，我们将回到这样的解释和他们的差异，转向Heyting的形式的逻辑和算术。
在接受Sundholm的观点的同时，我们将术语保持自己，考虑到他们可能变得过于普遍。 5.3条以下是解释我们对“BHK-解释”的“证明解释”偏好的适当位置。
在20世纪30年代及以后发表的解释的名称“证明解释”似乎仅在1973年在同一次会议上介绍的van Dalen和Kleene的Propices（Van Dalen 1973a; Kleene）中仅在1973年进行了第一次亮相1973）。 Heyting本人简单地说出了“解释”（1958A：107; 1974：87）或“直觉解释”（1958A：110）的逻辑。
Troelstra（1977：977）创造了“BHK-解释”，其中“K”最初站在“Kreisel”（因为KREISEL 1962），以后为“KOLMOGOOROV”，例如“KOLMOGOROV”。，在Troelstra 1990：6; 这种更换是保持阳光霍尔姆的观点，纠正。
2. Brouwer在1907年和1908年对逻辑的看法
2.1数学，语言和逻辑
在他论文（1907年）中，Brouwer呈现了他对数学，语言和逻辑之间的关系的概念。 逻辑的直觉视图都是基本上无菌的，并且与经典逻辑不兼容的直觉逻辑结果的存在基本上取决于该构思。
对于Brouwer来说，纯数学主要包括制作某种心理建设的行为（Brouwer 1907：99N.1 [1975：61N.1]）。[3] 这些建筑的出发点是直觉的时间流动。[4] 这种直觉，当剥离了所有感性的内容时，让我们能够感知形式“一件事，并介于两者之间”。 brouwer称这种形式，它界定了离散和连续的，“空的二维”。 这是数学的基本直觉; 离散不能降低到连续，也不能与离散的连续（Brouwer 1907：8 [1975：17]）。
随着时间的流逝，可以将空的双字母作为新的两毫安的一部分，等等。 直觉数学的发展在探索中，特定结构的探索空缺和自我展开或迭代允许，这不是：
必须在仔细考虑该建设中唯一可能在这项建设中寻求可能的基础，以观察哪个建筑直觉允许的建筑允许。 （BROROWER 1907：77 [1975：52]）
或者，在heyting的话语中，
[BRORWER]直觉学数的建设更多，而不是对智力达到自展开的最大限制的调查。 （heyting 1968a：314）
BRORWER和其他直觉主义者已经显示了这种基础算术，真实分析和拓扑结构。 此外，Brouwer认为任何确切的思想本身都不是数学是数学的应用。 每当我们有意识地以确切的方式思考两件事，就是这样，在将它们分开的同时认为它们在一起，我们这样做，根据BRORWER，通过将空缺的离散部分投射到它们上（BRORWER 1907：179N.1 [1975：97N.1]）。
Brouwer采取了预期的时间来属于语言前的意识。 因此，数学是基本上的诽谤者。 它是影响非语言结构的活动，这些结构与语言性质不存在。 使用语言我们可以描述我们的数学活动，但这些活动本身并不依赖语言元素，而是对数学建设活动的任何东西都没有归功于某些语言事实。 语言物品（如公理）可能有助于描述精神建筑，但它们不能带来存在。 因此，来自古典数学的某些公理被直觉主义者拒绝，例如真实数字的完整性公理，这表示，如果非空的实数有一个上限，那么它具有最小的上限：我们知道没有允许我们的一般方法构建心理上的最小上限，其存在的公理权利要求。
随着Brouwer后来，“正式的语言伴随着数学，分数伴随着由亨德尔的巴赫或奥拉塞尔的交响乐团”。 （Brouwer等，1937：262;翻译矿）。[5] 相应地，建立正式系统的性质可能有许多用途，但最终对数学没有任何基础意义。 在1923年的讲座中，Brouwer对希尔伯特的证据理论表示乐观，但否认它将对数学具有重要意义：
我们不需要绝望地达到这一目标[正式的数学的一致性证明]，但是将获得数学价值的任何数学价值：理论不正确，即使它不能被驳斥的任何矛盾抑制，也不是较不正确的，就像刑事政策一样，即使任何将由任何将抑制它的法院不能抑制它，也是较少的罪犯。 （BRORWER 1924N：3 [van Heijenoort 1967：336]）
与此同时，Brouwer非常清楚语言的实际需要，无论是为了向他人传达数学结果，并帮助自己在记住和重建我们以前的结果时（BRORWER 1907：169 [1975：92]）。 只有一个完美无限的内存的理想数学家就可以练习纯粹的数学，而无需求助语言（BRORWER 1933A2：58 [van STIGT 1990：427]）。 显然，鉴于这两个语言的实际功能，语言更精确，更好。
逻辑，在此框架中，寻求并系统化了我们数学建设活动的语言记录中的某些模式。 它是数学应用于数学语言。 具体地，逻辑研究表征有效推断的模式。 目的是建立关于数学结构的陈述的一般规则，使得如果原始陈述（房屋）传达数学真理，则申请该规则将获得的陈述（结论; BRORWER 1949C：1243）。 因此，从特定房地到结论的推断保留了什么，如古典逻辑，一种可能的证据超凡的真理，而是结构性。 这个观点在Brouwer论文中非常明确（Brouwer 1907：125-132,159-160 [1975：72-75,88]），但是在1908年的论文中，更令人难忘的通道：
在纯数学结构和转换的情况下，暂时忽略已经竖立的数学系统的呈现，并在伴随的语言建筑中移动，由三段论的原则，矛盾和矛盾的原则为指导Tertium Contusum，总是有信心的，通过瞬间召唤这种推理的数学结构的展示，话语的每个部分都可以是合理的？ （BRORWER 1908C：4 [van Atten＆Sundholm 2017：40]）
（然后他继续争辩说答案是“是”，用于三段论的原则和矛盾的原则，但一般而言，对于被排除的中间（PEM）的原则，“不”是“不”;更多关于这一点，第2.4节。）
但是，如果可以从另一个数学结构中构建，这是一个纯粹的数学事实，并且与逻辑相似。 因此，逻辑因此是描述性的，但不是创造性：通过使用逻辑，一个永远不会获得不可通过直接数学结构获得的数学真理（BRORWER 1949C：1243）。 因此，在直觉的数学发展中，逻辑永远不会起到重要作用。 它从Brouwer的视图中遵循，逻辑属于数学。 数学是从属于逻辑的经典视图与纯逻辑没有特定主题或域的视图密切相关，并且在全部之前。 从那个角度来看，Brouwer依赖数学的逻辑的概念似乎过于严格。 但对于布鲁瓦尔逻辑总是预设数学，因为在他的观点中，就像任何确切的想法一样，是数学的应用。
由此产生的逻辑语言系统又可以在数学上进行研究，甚至可以独立于数学活动及其最初抽象的录音。 迭代这个过程，一个无限的层次结构出现了数学活动，它们的语言记录以及这些录音的数学研究，作为语言对象，独立于他们的原始含义。 Brouwer在他的论文结束时描述了这个层次结构（比我们在这里更多的细节）（Brouwer 1907：173FF），并批评Hilbert不要尊重它。 特别令人兴趣的是区分Brouwer在数学和“二阶数学”之间（Brouwer 1907：99N.1,173 [1975：61N.1,94]），其中一个后者的一个例子是从其原始含义抽取前者语言的数学研究; 这种方式，Brouwer完全明确了数学与（被称为）元化学的区别（例如，Hilbert 1923：153）。 后来，布鲁瓦尔要求优先考虑这种区别，加入了1909年在一系列对话中向希尔伯特解释的脚注（Brouwer 1928A2：375 [Mancosu 1998：44N.1]）。
2.2假设判断
Brouwer意识到（1907：125-128 [1975：72-73]），假设判断似乎对他的观点构成了如上所述的逻辑的问题。 对于假设判断的特殊是什么，Brouwer说，这是逻辑上数学的优先事项似乎是逆转的。 在这些示例中，他指的是在阿波利乌斯问题的基本几何形状中发现的证据。 以下是其中之一：给定三个圆圈，由他们的中心和其半径定义，构造一个与给定三个相切的第四个圆圈。 通常解决的方式首先是假设存在这样的第四个圆圈，然后设置表达它与三个给定圆圈相关的方程，然后通过代数操纵和逻辑到达所需圆的中心和半径的明确定义，以及在相应的数学结构上。 因此，似乎这里首先必须承担所需圈的存在，然后使用逻辑来对其进行各种判断，从而仅仅到达了它的数学结构。
然而，Brouwer辩称，这不是真正发生的事情。 他对这种情况的一般解释如下。 第一次说明，在推理之前至少概念上的逻辑推理伴随或镜子数学活动，BRORWER说：
有一个特殊情况[...]，这似乎真的预先假定了逻辑的假设判断。 这发生在结构中的结构由某些关系定义的情况下，没有它立即清楚如何实现其结构。 这里似乎假设已经实现了所需的结构，并从这个假设中推断出一个假设的判断链。 但这不仅仅是明显的; 在这种情况下，一个人真正做的是：一个人通过构建一个履行部分所需关系的系统，并试图通过Tautologies，其他关系推断出这些关系，以这种方式，这种方式，这种方式，即在迄今为止所带来的关系结合那些尚未实现的方式已使用，产生条件系统，适合作为建造所需系统的起点。 只有通过这种结构，它将被证明可以确实满足原始条件。 （BRORWER 1907：126-127 [1975：72;翻译改装]）
已经提出了这种简洁段的不同读数。 根据一个，Brouwer的通道通过以下方式携带→B→
（α）BROROWER在上面的线路中指出，如果给出了一个条件和规范，那么我们尝试添加更多信息，使得在一定量的结构活动之后，我们可以真正对尊重规范的构造。 一旦完成了这一点，我们就可以转向B的“含义”结构，这会产生B的结构，并嵌入B的结构。（Van Dalen 2004：250-251）
根据解释α，A→B只是意味着Aïb具有额外的信息，即B的构造是从A的结构中获得的。在该读取A→B只有在发现A的结构之后才能置位。 这个想法很清楚：即，为了避免假设的结构，并通过坚持要求提供的建筑物来提供所需的逻辑。 （如将在第2.1节中解释的补充文件反对的证明解释，弗劳登德（1937B）也提出了这一战略，尽管这一策略虽然与Brouwer论文的这段经文不同。）但是，作为面包车达尔坦还注意到，它还有效地拒绝了一般情况下的假设判断，其中一个人不知道是否存在建筑物。
