时间逻辑（一）

广泛解释，时间逻辑涵盖了代表和推理时间和时间信息的所有正式方法。 更狭隘地，它通常是指在20世纪50年代之前的亚瑟介绍的模态逻辑风格方法，下态逻辑，随后由许多逻辑学家和计算机科学家进一步发展。 时间逻辑已被广泛用作澄清关于时间的哲学问题的形式主义，作为定义自然语言中的时间表达式的语义的框架，作为用于编码人工智能中的时间知识的语言，以及作为规范和验证的工具计算机程序和系统。

在这里，我们提供了一个广泛的代表性和简明，不可避免地不完整 - 概述了过去70年左右推出和研究的丰富各种时间模型和逻辑。

1.从古代到现代日的时间推理

2.正式的时间模型

2.1基于即时的时间模型

2.2基于间隔的时间模型

2.3基于即时的与间隔的时间模型

3.先前的基本时态逻辑TL

3.1先前的时态运营商

3.2 TL的语义

3.3 TL分为一阶逻辑的标准转换

3.4时态逻辑，一阶逻辑和MCTAGGART的时间序列

3.5用于TL的公理系统KT

3.6表达TL和KT的延伸中的时间特性

4.线性时间的TL扩展

4.1添加下一个时间运算符

4.2加入以来，直到

4.3线性时间时间逻辑LTL

5.分支时间时间逻辑

5.1前方的分支时间理论

5.2 PEIRCEAN分支时间时间逻辑

5.3 OCKAMIST分支时间时间逻辑

5.4计算树逻辑CTL和CTL *

6.间隔时间逻辑

7.命题时间逻辑的其他变体

7.1混合时间逻辑

7.2度量和实时时间逻辑

7.3量化的命题时间逻辑

8.一阶时间逻辑

8.1及时存在和量化

8.2 FOTL的语言和模型

8.3 FOTL的语义

8.4永恒的量化和恒定域语义

8.5呈现量化和不同域语义

8.6存在谓词

8.7正确的名称和明确的描述

8.8一阶时间逻辑的一些技术结果

9.结合时间和其他逻辑

9.1颞抑制逻辑

9.2代理人的时间逻辑和逻辑

9.3空间时间逻辑

9.4时间描述逻辑

9.5时间逻辑和其他非古典逻辑

10.时间逻辑的逻辑扣除和决策方法

11.时间逻辑的应用

11.1计算机科学中的时间逻辑

11.2人工智能中的时间逻辑

11.3语言学中的时间逻辑

进一步阅读

参考书目

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.从古代到现代日的时间推理

关于时间的临时和推理讨论返回古代，甚至可以在圣经中找到示例（2014年Boyd 2014）。 Zeno着名的飞行箭悖论是指时间的性质，挑战变革的概念。 然而，许多早期的时间讨论围绕着未来的特遣队的问题，即问题是关于未来事件的陈述，这些事件既不是必要也不是不可能的。 最广为人知的和最多最引用的例子是亚里士多德在解释中讨论的海战情景（第9章）。 亚里士多德认为，如“明天会有海战”的陈述，以及相反的预测“明天不会有海运”，并不是必要的，因此目前缺乏明确的真理价值，同时承认这是必要的明天是一个海运。 在某些时候，哲学家Diodorus Chronus展示了他着名的大师论证中未来特遣队的问题，这使他能够将可能的“是什么或者是案件”。 关于Diodorus论点的详细讨论是在例如侏儒提供的。 Rescher和Urquhart（1971年，第十七章）和未来的竞争对手的进入。

关于时间和未来的时间的哲学讨论继续在中世纪继续，主题由彼得阿韦罗，奥克姆威廉和洛杉矶莫利纳等作家占据着作家。 这里的核心问题是如何通过人类自由的想法来协调上帝的预知。 例如，ockham拥有真实或实际的未来的想法，持有未来的特遣队是真实的或假的，即使只有上帝知道他们的真相价值观。 根据ockham的说法，这并不是说，未来的时间是必要的：人类还有替代的可能性。 后来，几位哲学家和逻辑学家从事有关时间和方式的问题，提出各种不同的解决方案。 C.S.Peirce反对未来的特遣队可以具有明确的真理价值的想法。 他高级观点，只有现在和过去是实际的，而未来是可能性和必要性的领域。 在类似的精神中，J.Łukasiewicz设计了一个三价逻辑，将未来特遣队的真实值视为未确定。 对于更新的开放未来，不确定主义和自由意志的更新哲学讨论，见图。 Belnap等人。 （2001），Correia和IaCona（2013）和Müller（2014年）。

正式时间逻辑的现代时代由Arthur N.之前的精选启动，具有重要的前体，如H.Reichenbach，J. Findlay，J.Łukasiewicz和J.Łoń。[1] 从20世纪50年代初期起，先前介绍并详细介绍了多年的几十多个不同版本的时态逻辑，其中许多在这里讨论。 前态逻辑的发明在很大程度上被哲学考虑因素驱动。 特别是，Diodorus chronus的硕士论证和时间之间的错综复杂的关系，（in）决定论，上帝的预知和人类自由在他的工作中起着关键作用。 事先相信，适当的逻辑方法有助于澄清和解决这种哲学问题。 他引入了时间运算符，学习公制时态逻辑，是混合逻辑的先驱，并设计了两个版本的分支时间逻辑，他分别考虑了OCKHAM和Peirce的观点。 他的作品为发展庞大而多样化的时间逻辑领域的发展方式，不仅在哲学中的重要应用，而且在计算机科学，人工智能和语言学中。 有关先前的观点和工作，请参阅特别问题艾尔布雷滕等人。 （2016），最近的第四卷最近的书籍系列逻辑和时间哲学（Hasle等人。2017; Blackburn等，2019; Jakobsen等，2020; Hasle等，2020）; 并在亚瑟先前进入。 ØHRStrstrøm和Hasle（1995）提供了临时推理和逻辑史的全面概述。 另见ØHRStrøm和Hasle（2006）和Dyke和Bardon（2013年，第I部分）。

2.正式的时间模型

哲学家广泛讨论了时间的本体性质和性质。 辩论的一些方面反映在丰富的各种正式的时期，因为他们在时间逻辑中探讨。 例如，是时间即时或间隔基于间隔？ 它是离散，密集还是连续？ 时间有一个开始还是结束？ 它是线性，分支还是圆形？ 在我们转向时间逻辑及其语义的正式语言之前，我们简要介绍了两种最基本的时间类型的时间，以及他们的一些相关性：基于即时和基于间隔的模型。

2.1基于即时的时间模型

在基于即时的模型中，原始时间实体是时间点，即时间瞬间，它们之间的基本关系是时间优先级。 因此，时间流动由非空的时间瞬间T表示，其中二进制关系≺优先于其：t =⟨t，≺⟩。

存在一些基本属性，可以自然地施加基于即时的时间流。 时间优先关系≺通常需要是严格的部分排序，即不确定，传递，以及非对称关系。 然而，在计算机科学中，一个经常使用优先关系的反射闭合⪯，然后通过反对称取代不对称条件。 下面提供了一个关键属性列表。

基于即时的时间型号的一个基本区别是线性模型之间的区别，其中时间流量被描绘为线条和后线型号，允许树状的表示，支持过去固定的视图（和因此线性）在未来可能是开放的（分支为多个未来可能性）。 在任何一种情况下，时间顺序都可以分别或不包含最小或最大元素，分别对应于第一或最后瞬间。

另一个重要的区别是在离散的时间模型之间，这在计算机科学中普遍存在，致密或连续的，在自然科学和哲学中更为常见。 在前行离散（RESP.SHAVEWARD-CONTONTETITE）模型中，每次瞬间都有一个继承人（RESP。前任）的瞬间具有立即的继任者（RESP。立即前任）。 相比之下，在任何两个后续时间瞬间之间，还有另一个即时。

许多，但不是全部，可以对时间t =⟨t的基于即时的模型施加的属性，≺⟩可以由一阶句子表达，如下所示（其中⪯是x≺y∨x= y的缩写）：

反射性：∀x（x≺x）;

Irfreficlexivity：∀x¬（x≺x）;

传递性：∀x∀y∀z（x≺y∧y≺z→x≺z）;

不对称：∀x∀y¬（x≺y∧y≺x）;

反对称：∀x∀y（x≺y∧y≺x→x = y）;

线性（三分球）：∀x∀y（x =y∨x≺y∨y≺x）;

前线性：∀x∀y∀z（z≺x∧z≺y→（x =y∨x≺y∨y≺x））;

向后线性：∀x∀y∀z（x≺z∧y≺z→（x =y∨x≺y∨y≺x））;

开始：∃x¬∃y（y≺x）;

结束：∃x¬∃y（x≺y）;

没有开始（后序列度）：∀x∃y（y≺x）;

没有结束（前瞻性，无界性）：∀x∃y（x≺y）;

密度：∀x∀y（x≺y→∃z（x≺z∧z≺y））;

前瞻性：∀x∀y（x≺y→∃z（x≺z∧z⪯y∧¬∃u（x≺u∧u≺z））））;

向后离散：∀x∀y（y≺x→∃z（z≺x∧y⪯z∧¬∃u（z≺u∧u≺x）））。

注意，在线性模型中，两个离散条件简化到

∀x∀y（x≺y→∃z（x≺z∧∀u（x≺u→z⪯u）））和

∀x∀y（y≺x→∃z（z≺x∧∀u（u≺x→u⪯z））分别））分别。

不能通过一阶句子表达的属性的关键示例，但需要具有量化的二阶语言，是连续性，排序，有限间隔属性和前进/后向感应。 连续性要求在时间顺序中有“无差距”。 不仅必须致密时间顺序，它也必须是Defeekind完成（即，每个具有上限的非空的时间瞬间具有最小的上限）。 实数的排序符合此条件，但Rational Numbers不会。 要查看这一点，请考虑所有Rational数字的集合小于2，并注意到

√

2

不是理性的。 如果没有无限下降链（即，每个非空的线性的时间瞬间具有最小的元素），则基于即时的时间模型是良好的，并且如果在任何两个可比较的时间瞬间之间存在有限的间隔属性有限地许多瞬间。 自然数是良好的订购良好的，具有有限的间隔属性，整数不是齐全的单数，但具有有限的区间属性，并且既不是良好的订购，也没有有限的区间属性。 最后，如果存在“倒退”，则部分顺序是前进的（倒退）归纳 正如我们将在第3.6节中看到的那样，这些二阶属性可以以命题时间语言表示。

2.2基于间隔的时间模型

与基于即时的时间模型相比，基于间隔的模型依赖于时间间隔，即期间而不是即时作为原始实体。 他们可以通过考虑Zeno的着名飞行箭头悖论的考虑：如果飞行箭头总是处于瞬间，如果在每个瞬间箭头休息，那么运动如何？ 通过将箭头的飞行模拟作为占据时间间隔的事件来说，可以说可以可以说是可以说的。 自然地调用基于间隔的推理的其他例子是：“昨晚爱丽丝在写信时哭了很多，然后她平静下来”和“邮递员来的时候喝茶了。

基于间隔的模型通常预先假定线性时间。 但它们比基于即时的模型更富裕，因为时间间隔之间的关系比时间瞬间是更可能的关系。 例如，基于间隔的时间模型可以包括关系时间优先级≺，包含⊑，并在给定的时间间隔t：正式，t =⟨t，⊑，o∈。 基于间隔关系的一些自然属性包括：

⊑（x⊑x）的反射性;

⊑：∀x∀y（x⊑y∧y⊑x→x = y）的反对称;

⊑的原子性（用于离散时间）：∀x∃y（y⊑x∧∀z（z⊑y→z = y））;

w.r.t.的下调单调性。 ⊑：∀x∀y∀z（x≺y∧z⊑x→z≺y）;

O：∀x∀y（Xoy→Yox）的对称性;

重叠间隔在Subinterval中相交：

∀x∀y（坐标系→∃z（z⊑x∧z⊑y∧∀u（u⊑x∧u⊑y→u⊑z）））;

w.r.t.的单调性。 O：∀x∀y∀z（x⊑y∧xoz→zəyəzoy）。

在艾伦（1983）在AI的基于间隔的时间内本体和推理的一个有影响力的颞型本体论和推理中，认为所有二进制关系的家庭可以在两种间隔以线性秩序之间出现，随后称为艾伦关系。 在表1中显示的这13个关系是相互排斥的和共同详尽的，即它们中的一个，其中一个在任何给定的一对严格间隔之间（不包括点间隔）。 此外，他们结果是可定义的，而不是其中两个，viz。 就“遇见”和“达到”（艾伦1983）而言。

间隔关系。艾伦的符号。HS表示法

┣━━┫。等于{=}

├──┤。之前{＜} / /之后{＞}⟨l⟩/⟨

¯

l

⟩晚

├──╊┫遇见{m} / met-by {mi}⟨a⟩/⟨

¯

一种

⟩后

├─╊┿━┫重叠{o} /重叠{oi}⟨o⟩/⟨

¯

o

⟩重叠

├─╊┫完成 - {fi} / finishes {f}⟨e⟩/⟨

¯

e

⟩结束

├╊╉┤。包含{di} /期间{d}⟨d⟩/⟨

¯

d

⟩在内

┣╉─┤开始 - {si} / starts {s}⟨b⟩/⟨

¯

b

⟩开始

表1：时间间隔和相应的Halpern-Shoham模态运算符之间的艾伦关系（参见第6节）。

更抽象的问题也可以提出：例如，假设我们被提供有由满足某些条件所需的一组间隔关系（任意ARITITE）定义的结构。 可以通过线性时间通过基于具体的基于间隔的模型来表示这种结构吗？ 答案由各种表示定理提供，见图。 梵洁（1983）; Ladkin（1987）; 和探索（1990）。

2.3基于即时的与间隔的时间模型

由于Zeno和Aristotle（ØHrstrstrøm和Hasle 1995）以来，瞬间和间隔之间的选择是颞型本体的主要对象一直是一个高度讨论的哲学主题。 从技术上讲，两种类型的时间本体主义密切相关，它们彼此可降低：一方面，可以通过一对时间瞬间（开始和结束）来定义时间间隔; 另一方面，时间即时可以被解释为退化间隔，viz。 作为一个点间隔，其开头和终点一致。

尽管如此，技术缩减仍不解析问题是否要相对于周期性或间隔评估句子，并且可以争辩说，这两个瞬间和间隔都是相互互补的。 在例如，在例如两排序间隔模型。 Balbiani等人。 （2011年），也已经调查了更复杂的时间模型，包括时间粒度模型（Euzenat和Montanari 2005），其允许时间间隔的不同分辨率（例如分钟，小时，天，年等），公制和分层时间模型（Montanari 1996）等

在这里，我们主要专注于基于即时的逻辑，并讨论基于间隔的逻辑略微更少细节。 进一步讨论时刻的本体主流与时间逻辑中的间隔，见Hamblin（1972）; kamp（1979）; Humberstone（1979）; 盖尔顿（1996年）; 以及梵希姆（1983; 1984年），为两种方法提供了详细的比较探索。 例如，提供了更哲学和历史概述。 Øhrstrstrøm和hasle（1995; 2006）; 堤坝和贝加登（2013年）; Meyer（2013）; 和goranko（2023）。

3.先前的基本时态逻辑TL

在本节中，我们讨论了先前（1957; 1967; 1968）所引入的基本时态逻辑TL的语言，语义和公务化，被广泛认为是颞逻辑的创始父亲。 之前的发明时态逻辑的动机在很大程度上是哲学，他的想法是通过使用自然语言时的使用的启发。 先前方法的创新特征是他将命题视为紧张而不是无张不实症。 从技术上讲，这是通过将时间运算符引入语言来实现的，这是给予模态逻辑样式语义的语言。 鉴于时态在他的框架中扮演的关键作用，事先他将其账户称为紧张的逻辑，而现在更普遍的表达时间逻辑更为普遍。

3.1先前的时态运营商

先前的时态逻辑TL的基本语言将标准命题语言（具有原子命题和真实功能连接）的四个时间运营商扩展到具有预期含义的四个时间运算符，如下所示：

P：“这是（在过去的某些时候）......”

F：“它将（在未来某些时候）是这样的......”

H：“它一直是这种情况......”

G：“这总是如此......”

例如，“将始终是本发明的时态逻辑”的情况始终是TL，作为GP（先前的INVENTS TL），它可以被掩盖为“始终是先前引用时态逻辑的情况”。 不包含时间运算符的公式被认为是张力的。

TL的语言包含过去，P和H的一对时间运算符，以及未来的一对时间运算符，F和G.操作员P和F通常被称为“弱”时算子，而H和G称为“强”。 相应的过去和未来的运营商是彼此的双倍，即，它们是通过以下等量互换的：

pφ≡¬h¬φ，hφ≡¬p¬φ和fφ-g¬φ，gφ-f¬φ。

鉴于这些等效性，通过给定的一组原子命题支柱，可以递归地定义T1的一组公式：

φ：=p∈prop|¬φ|（φ∧φ）|pφ|fφ。

实际功能连接∨，→和↔以及逻辑常数⊤和⊥是¬和∧的可定义。 此外，我们可以定义aφ=hφ∧φ∧gφ，并且双重，eφ=pφ∨φ∨fφ，它们分别在线的线性流量“始终”和“某个”。

如上所述，前面的临时运营商的推出是通过使用时态的自然语言的使用，实际上，自然语言中的各种时态可以在TL中捕获。 例如：

P：“先前（已经）发明了时态逻辑”。

F：“先前将发明时态逻辑”。

PP：“先前已经发明了时态逻辑”。

FP：“先前将发明时态逻辑”。

PF：“先前会发明时态逻辑”。

Hamblin和事先表明，在线性时间的模型中，任何序列运算符序列都会减少到最多两个运算符的序列。 总共确定了15种不同的这样的组合 - 或时态，因为它们称为它们（见事先1967年，第三章）。 这些组合似乎超过了例如言语时态的数量。 英语，但是，还有天然语言的时间特征，无法在TL中捕获：先前的时间运算符不能区分简单的过去和现在的完美（“我写了一封信”与“我写了一封信”），这是一个驾驶的区别Reichenbach的工作。 此外，它们不适合模拟完美和不完美的方面之间的语言区分（“我写了一封信”与“我正在写一封信”），可以在基于间隔的框架中可以说是更充分的处理。 有关详细信息，请参阅Kuhn和Portner（2006）以及紧张和方面的条目。