时间逻辑（三）
φsψ。“φ自壳的时间以来一直是这种情况。”
φuψ。“φ是这种情况，直到ψ就是ψ的时间。”
例如，句子“我将继续尝试，直到我成功”是：TryUsucceed。 作为另一个例子，“米娅离开家来，乔一直不开心，一直喝酒直到失去意识”翻译为：
（乔不开心（乔喝u¬（joe意识）））s（mia离开）。
S和U的正式语义在时间模型M =⟨t，≺，v⟩中由以下两个条款给出：
m，t⊨φsψiff。m，s⊨ψ是某些s这样s≺t
和m，U'φ为每个你这样的s≺u≺t;
m，t⊨φuψ。m，s⊨ψ是一些这样的t≺s
和m，u∈φ为每个你这样做的。
这些是S和U的“严格”版本，普遍存在哲学中。 在计算机科学中，通常考虑了语义子句的反身版本。
先前的时间运算符P和F在S和U方面可定义：
pφ：=⊤sφ和fφ：=⊤uφ。
在不确定的，前离散的线性时间顺序没有终点，S和U也允许下次运算符X的定义：
xφ：=⊥uφ。
这种定义失败了反射时间顺序，这表明S和U的严格版本比其反射对应物更具表现力。[4] 其他操作员可以根据S和U定义，例如之前，由φbψ：=¬（（¬φ）uψ）具有直观读取的“如果ψ将来是ψ，则φ”。
颞型语言以来，直到提供了伟大的表达力量。 Kamp（1968）证明了以下显着结果：
每个时间运算符在一类连续，严格的线性排序，在一阶逻辑中可定义，在S和U方面是表示的。
通过引入两个额外的操作员，稍后通过STAVI扩展到所有线性订单。 但是，事实证明，没有有限数量的新运算符可以在所有部分排序上使得临时语言在所有部分排序中进行，如Gabbay所示。 查看gabbay等。 （1994）概述了这些结果。
Burgess（1982A）提供了一个完整的公理系统，以此以来 - 直到直到所有反射线性排序的逻辑都由Burgess（1982A）提供，并进一步通过XU（1988）简化。 通过Venema（1993）和Reynolds（1994; 1996）获得了对严格的线性排序的这种公务化的扩展。 有关详细信息和相关结果，请参阅Burgess（1984）; Zanardo（1991）; Gabbay等人。 （1994）; 手指等人。 （2002）; 和霍奇森森和雷诺兹（2007年）。 补充文件中介绍了Burgess-XU公理系统和一些扩展：
Burgess-XU公理系统以来，直到直到和一些延伸
4.3线性时间时间逻辑LTL
计算机科学中最受欢迎和广泛使用的时间逻辑是线性时间呈现时间逻辑LTL，其在Pnueli（1977）中在精灵纸上提出，并首先在Gabbay等人中明确公正和研究。 （1980）。 在LTL中，时间流量被视为离散的线性时间阶段，其被认为代表计算机系统运行的连续状态。 更精确的是，LTL被解释在自然数⟨n，≤⟩的排序的反射闭合上，并且语言涉及运营商g，x和u（没有过去的运算符）。
逻辑LTL对于表达反应系统中的无限计算的性质非常有用，例如在11.1节中布局的安全性，活力和公平性。 例如，规范“每次发送消息时，最终将返回收据的确认，并且在返回的收据确认之前不会被标记为”发送“消息”可以在LTL中正式化：
g（发送→（¬markedsentU AckReturned））。
LTL的公理系统通过用于G，K-AXIOM和X的功能公理的K-AXIOM延伸经典命题逻辑，以及提供了G和U的反射版本的固定点特征的公理性：
（公斤）g（φ→ψ）→（gφ→gψ）
（kx）x（φ→ψ）→（xφ→xψ）
（功能）x¬φ↔¬xφ
（空腹血糖）gφ↔（φ∧xgφ）
（gfpg）ψ∧g（ψ→（φ∧xψ））→gφ
（的FPU）φuψ↔（ψ∨（φ∧x（φuψ）））
（lfpu）g（（ψ∨（φ∧xθ））→θ）→（φuψ→θ）
推断规则仅涉及MODUS Ponens和G的必要规则。在技术方面，AXIOM（FPG）表示Gφ是由γg（θ）=φίαxθ定义的操作员γg的固定点，而（GFPG）表示Gφ是（根据其设定的理论扩展）最大的γG后固定点。 同样地，公理（FPU）表示φuψ是由γu（θ）=ψ∨（φνxθ）定义的操作员γu的固定点，而（lfpu）表示φuψ是最小的预先定点γu。 补充文件中提出了该公理系统的一些变体：
用于LT1的分析系统的一些变化
Rescher和Urquhart（1971）和Mcarthur（1976）中介绍了线性时间的时间逻辑的早期研究。 可以在Gabbay等人中找到上面给出的公理系统的变化的完整性。 （1980; 1994年）; 戈尔博特（1992）; 和手指等。 （2002）。 本节中提到的所有逻辑都具有有限的模型属性（通常相对于非标准型号），因此是可解除的（请参阅完整性的引用）。
5.分支时间时间逻辑
先前的时态逻辑的工作很多是由Diodorus Chronus的硕士争议及其致命结论的动机。 面对以下Trielemma
有关过去的每一个真正的命题都是必要的。
不可能从可能的情况下遵循。
两者也不是也是可能的。
Diodorus继续定义可能的“案例是什么或者是什么”（见事先1967年，第3.1章）。 事先出发，表明Diodorus的论点错了。
之前对不确定和开放的未来等主题感兴趣; 他这里的一个目标是允许人类自由。 为了分析和澄清主论依据的假设，他选择了时间和方式的相互关系的分支代表，这是1958年克里普克的一封信中向他建议的（见Ploug和Øhrstrøm）2012）。[5] 作为线性时间的量化作为量化的偶极偶像的概念被放弃并被树的图片替换，其分支描绘了未来的替代可能性。 事先（1967年，第7章）考虑了两种不同版本的分支时间逻辑，他分别与Peirce和OCKAM的历史观点相关联。 Thomason（1970年）和Burgess（1978年）提供了对这些想法的早期正式待遇。 从那时起，已经提出了许多技术结果和进一步的发展，我们提到了以下部分，包括计算树逻辑CTL和CTL *。
对于对不确定主义和人类自由的前瞻性看法，请参阅ØHRStrøm和Hasle（1995，第2.6和3.2章）和Øhrstrstrøm（2019）。 关于分支时间理论的哲学方面的详细讨论包含在例如分支时间的哲学方面。 Belnap等人。 （2001）; CORREIA和IACONA（2013年）; 以及未来的特遣队的进入。
5.1前方的分支时间理论
在前面的分支时间理论中，时间和模态的相互关系表示为树形性地向过去和分支成分为多个可能的期货。 向后线性捕捉到过去固定的想法; 前进分支反映了未来的开放性。 在每个时间点，可能存在多于一个导致未来的分支，并且每个这样的分支代表未来的可能性。
正式地，树（或分支时间结构）是时间帧T =⟨t，其中时间优先关系≺是在一组时间瞬间t上的后线性部分顺序，使得任何两个瞬间具有常见的≺ - 前任也就是说，每次在树中即时都有一个线性有序的≺ - 前辈，并且任何两个时刻都有一些常见的过去。 前一个条件缩短了后向分支，而后者确保了“历史联系”。 在哲学文献中，时间优先关系≺通常被认为是不法验的，即严格的部分秩序，而在计算树逻辑中，它的反身闭合被利用，因为我们将在第5.5节中看到.5。
树t =⟨t，≺⟩描绘未来在统一结构中的替代可能性，它可以刻为多个历史。 T中的历史是一种最大（即不可扩展的）一组时间瞬间，它由≺线性排序，即穿过树的整个路径; 它代表了一个完整的事件过程。 我们表示H（t）的所有历史集合，并且我们使用H（t）来通过给定时间瞬间t的历史集合。
一些哲学家批评了标签的“分支时间”作为一个错误称话，争论时间不会分支，而是线性地发展。 在Rescher和Urquhart（1971）中发现了这些线的早期批评，Belnap等人提出了类似的观点。 （2001），谁建议名称“分支历史”。 这种批评还对这里使用的术语“时间瞬间”表示怀疑，以指的是树的原始点。 由于均匀性的原因，我们坚持术语。 在分支时间文献中，中性表达的“时刻”普遍存在，在Belnap等人。 （2001）（2001）时间和时刻之间的区别正式化：分支时间结构与线性有序的时间瞬间相关联，其中即时被定义为跨不同历史的同时发生。
5.2 PEIRCEAN分支时间时间逻辑
先前的基本时态逻辑TL仍然是关于时间结构的中性。 然而，在具有替代未来可能性的分支时间设置中，未来操作员F的原始语义不再充分捕获未来的真理。 在这样的设置中，未来的运营商F仅仅读取“可能是...”。 因此，（1967年，第7章）因此考虑了未来运营商的两种替代语义，即分别导致PEIRCEN和OCKAMIST分支时间时间逻辑。
在PEIRCEAN分支时间逻辑PBTL中，未来运营商F的直观含义是“必然是......”。 也就是说，未来的真理是在所有可能的期货中被视为真理。 在这种新的阅读中，未来的运营商F不再是强大的未来运营商G，它保留其原始语义，但现在需要将其作为额外的原始操作员包含在语言中。 给定一组原子命题支柱，可以递归定义PBTL的一组公式如下：
φ：=p∈prop|¬φ|（φ∧φ）|pφ|fφ|gφ。
PBTL的公式在树T =⟨t，≺⟩上的时间模型M =⟨t，≺，v⟩中进行评估。 像往常一样，V是一个估值，它分配给每个原子命令p∈prop的一组时间速度v（p）⊆t被认为是真的。 然后，对PBTL在PEIRCEAN模型M中的PBTL的任意式φ的真实性被电感地定义。 实际功能连接的语义条款¬和∧，过去的运算符P和强未来的操作员G以及TL（参见第3.2节），我们只提供新的未来运营商F的语义子句：
m，t⊨fφ。对于所有历史，h∈h（t），有一些时间
即时t'∈h这样t≺t'和m，t'⊨φ。
因此，根据PEIRCEAN语义，在通过T通过T的瞬时T IFF中的瞬时T IF函数包含一些稍后的时刻t'，因此Fφ的公式是真实的。 强大的未来运营商G隐式包含历史的通用量化，读取“必然总是如此......”。 G的双重是TL的原始未来操作员，现在由F表示，而PEIRCean F的双重是常写的G（CF.Burgess 1980）。 因此，所有未来的运营商（隐含地或明确地）涉及历史的量化，并且是模态的：他们表达了有关未来的可能性和必要性。 没有实际的未来，因此，没有明显的未来真理的概念。 由于这与Peirce持有的视图符合良好，以前被称为这个系统'Peircean'。
在PEIRCEAN时间逻辑中，公式φ→HFφ不再有效：现在不需要在过去必要时情况。 这会阻止Diodorus Chronus的主参数在先前的重建上，其中公式数字作为额外的前提（见事先1967年，第3.1章）。 此外，在Peireanism保留了比极性和中间排除的原则，而IT呈现出所有表达未来特征的公式虚假，因此使未来的原则无效地排除了中间FφFφFφFφf。 这一原理被解释为表示最终φ或¬φ将是这种情况，并且通常判断直观有效（参见例如Thomason 1970）。
Burgess（1980）给出了Peircean分支时间时间逻辑的完全有限的公共化，使用所谓的Gabbay Irrflexives规则的版本。 Zanardo（1990）提供替代的公理化，其中Gabbay Irreflexives规则被无限的公理列表所取代。 在Burgess（1980）中建立了Peireceanism的可删除性。 Burgess'（1980）PBTL的公理化在补充文件中提供：
BBTL的BURGESS的公理系统
5.3 OCKAMIST分支时间时间逻辑
虽然先前有利的Peireceanism，他的替代OCHHAMIST分支时间颞逻辑变得更具影响力。 在OCKAMIST分支时间逻辑失真中，真理不仅要在树中的时间瞬间（但也是通过该瞬间的一个历史，而未来的运算符F沿着该历史记录评估。 因此，F的直观含义变为“关于给定的历史，就是这样的情况......”。 除了时间运算符f和p之外，detl的语言还包含一个模态运算符◊及其双重◻，它被解释为历史的量词。 给定一组原子命题支柱，可以递归地定义彼此的obsl的组形型
φ：=p∈prop|¬φ|（φ∧φ）|pφ|fφ|◊φ。
在OCHHAMIST语义中，将在树T =⟨t的模型中评估这些公式，其成对（t，h）组成的时间瞬时t∈t和包含该瞬间的历史h∈h（t）。 当然，问题出现了如何评估模型中的原子命题：他们的真实值只取决于给定的时间即时，还是依赖于历史参数？ 这个问题的答案至关重要地铰接原子命题可能包含“未来的痕迹”（事先1967,124）。 关于文学中的原子命题的治疗（CF.Zanardo 1996）没有共识，并且先后自己娱乐了一种具有两种不同的原子命题的双重语言的想法，每个原子命令各自需要不同的待遇（事先1967年，第7.4章）。 在这里，我们将允许原子命题的真实值取决于时间瞬间和历史。 通过施加方案p↔◻p对p∈prop有效的附加要求，可以获得基于即时的命题的更具体的情况。
因此，OCKAMIST树模型是三重M =⟨t，≺，v⟩其中t =⟨t，≺⟩是树，v是分配给每个原子命令p∈prop的估值，该组可允许的即时历史对对v（p）⊆t×h（t）被认为是真的。 在OCKamist树模型M中的给定的即时历史对（T，H）处的Antl的任意式φ的真实性如下定义如下：
m，（t，h）⊨p（t，h）∈v（p），用于p∈prop;
m，（t，h）⊨¬φm，（t，h）⊭φ;
m，（t，h）⊨φ∧ψiff m，（t，h）⊨φ和m，（t，h）⊨ψ;
m，（t，h）⊨pφm，（t'，h）⊨φ一段时间瞬间t'h这样t'ət;
m，（t，h）⊨fφm，（t'，h）ξφ一段时间瞬间t'∈h这样t≺t';
m，（t，h）⊨◊φiff m，（t，h'）⊨φ用于某些历史h'∈h（t）。
时间运算符基本上被解释为线性时间逻辑：评估的瞬间简单地向后移动并转发给定的历史记录。 请注意，由于没有向后分支，因此要求“t'∈h”在语义子句中是多余的。 然而，它至关重要，但是，在未来运营商F的条款中，通常，强的时间运算符H和G分别定义为P和F的双重。 模态运算符量化通过当前瞬间的一组历史。 操作员◊是该集合的存在量词，捕获可能性，而其双◻涉及通用量化，表达“不可避免的”或“历史必需品”。
我们说，obll公式是ockamist有效的iff，所有ockamist树模型中的所有可接受的即时历史对都是如此。 显然，所有在线性模型有效的时间公式也是OCKAMIST有效。 因此，Ockhamism验证了未来中间的未来原则fφf-φ（在时间不结束的假设下）以及公式φ→hfφ。 然而，它使得过去Pφ→◻pφ的必要性的原则，因此，像Peireceanism一样，阻止Diodorus的主参数，尽管有不同的原因。
虽然在Peirecan分支时间逻辑PBTL未来的真理中，但在OCKamist分支时间逻辑中overl未来的真理和模态分开。 PEIRCEAN公式Fφ和Gφ分别相当于ockhamist和◻gφ。 事实上，PBTL可以被视为obtl的适当片段，即包括使用真实功能连接和组合方式◻f和组合模式◻f和组合方式递归地构建的所有和唯一的那些公式的片段。◻g（带有双重的◊g和◊f）。 事实上，Peircean语言严格表现不如ockhamist一个，缺乏例如o. 相当于◊gfφ（有关证明，请参阅Reynolds 2002）。
通过将真理瞬间对树中的历史中，OCKAMIST分支时间逻辑提供了平原未来真相的概念。 然而，从哲学的角度来看，对历史的依赖化并不完全是不统一的。 基本上有两种不同的方法来解释ockamist历史参数。 首先，人们可以将其视为参考可能性树中的实际事件过程，并且由于这种想法与OCKHAM对未来的看法很好地，先前选择了标签的“OCKHamism”。 这个实际历史的这个想法已经引发了各种所谓的“薄红线”理论（参见Belnap和Green 1994; Belnap等，2001;和ØHrstrøm2009）。 其次，人们可以将历史视为不能在上下文中初始化的真理的辅助参数：话语的背景唯一地确定话语的时间瞬间，但如果未来是真实的，则不能单一的历史才能换一个历史。 这一思路已经引起了“语义后的”账户，这旨在通过引入超级真理的概念来弥合递归语义机械和背景之间的差距，最符合的托马逊的监督裁决（Thomason 1970）和Macfarlane的评估敏感后的语义（Macfarlane 2003; 2014）。 这些帐户牺牲了二价，但它们保留了被排除的中间φ∨¬φ的原理和未来排除的中间fφf¬φ。
从一个逻辑的角度来看，分支时间的ockamist方法强烈地类似于T×W帧的概念的想法以及kamp框架的更一般概念，在托马逊（1984）中讨论，以及一个定义在Zanardo（1996）中引入的Octhamist框架。 这些帧在非空的可能世界中构建，每个都是赋予内部线性时间结构的，并且假设可能的世界之间的相对，历史可访问关系。 也就是说，历史的重叠被可访问性取代，并且可能的世界被认为是基元元素，而在分支时间历史中，在即时定义。 因此，如果我们合并由历史相关的世界组成的框架进入树，则可能出现新的历史，这与任何可能的世界（对于施工，参见例如reynolds 2002）。
