时间逻辑（四）

从技术上讲，可以通过用具有足够富有的原始历史组的分支时间结构来克服基于世界的方法和基于分支时间的方法的差异，该历史集足够覆盖整个结构，即所谓的捆绑。 捆绑树被定义为三重⟨t，≺，b⟩，其中t =⟨t，≺⟩是树，束b⊆h（t）是一个非空历史集，使得每个瞬间属于b（伯氏虫）的某些历史1978年; 1980年）。 OCKamist语义直接推广到捆绑树木，唯一的区别在于历史的量化现在仅限于捆绑的历史。 捆绑树有效性相当于kamp有效性（Zanardo 1996; Reynolds 2002），但弱于全面的ockamist有效性。 Reynolds（2002）提供了以下公式的例子，该公式是ockhamist有效但捆绑树木的谬论（假设即时的原子命题）; 在例如，在例如，提供了进一步的反征。 Burgess 1978和Nishimura 1979：

◻g（p→◊fp）→◊g（p→fp）。

直观地，该公式的前进允许一个人构建一个“限制历史”，其中P始终保持。 捆绑树木中可以省略这种限制历史，这使得有关这些框架的充分性的哲学讨论（参见例如Nishimura 1979; Thomason 1984;和Belnap等，2001）。

Zanardo（1985）和Reynolds（2002; 2003）给出了捆绑树有效性的完整公理化。 寻找对OCKAMIST有效性的完整公理化，结果更加困难。 已经表明，捆绑树木的班级植物树的班级不是可定定的（Zanardo等，1999）。 在Reynolds（2003）中，提出了对ockamist有效性的公理化，并勾勒出完整性。 在该系统中，通过基于上述公式的无限公理方案来处理紧急历史的问题。 但是，完全证明从未出现在印刷中，因此问题似乎仍然是开放的。 此外，已知捆绑树有效性可判定（参见Burgess 1979）。 在基于即时的原子命题的假设下，相同的持续性有效性（参见Gurevich和Shelah 1985a; 1985b;和雷诺2002）。 我们不了解结果与历史依赖性原子命题建立脱钩性或不可逃号的性能。 Reynolds'（2003）捆绑树有效性的公务化和他提出的延伸到OCKHamist有效性在补充文件中提供：

reynolds的僵局的公理系统

最近，已经提出了OCKAMIST分支时间逻辑的概括，通过一组历史替换OCKAMIST历史参数。 在Zanardo（1998）中，树T =⟨t，≺⟩配备了一个无法区分的函数，可以分配给每时瞬间通过该瞬间的历史集合的分区，而瞬间的真相是相对的难以区分的细胞，即一组历史。 有关详细信息，请参阅Zanardo（1998）和Ciuni和Zanardo（2010）。 一种类似的精神的账户是Rumberg（2016）中提出的过渡语义。 在该框架中，可能的活动课程被解释为当地未来可能性的链条，viz。 过渡，可以延长到未来。 过渡语义介绍了第二个当地的视角，它 - 与Zanardo（1998）的苦限相比 - 可以独立地转移到时间瞬间，与Macfarlane（2003; 2014）不同评估 - 在语义中纳入了正确的。 该语言包含一个所谓的稳定性运算符，允许人们在时间的时间内发生瞬时变化，允许捕获公式的真实值。 有关详细信息，请参阅Rumberg（2016; 2019）和Rumberg和Zanardo（2019）。 分支时间逻辑逻辑，具有难以区分的功能和转换方法，将Peireceanism和Ockhamism归结为限制性案例，即在语义评估中考虑的历史集合的情况是单身，resp。 通过给定的即时的所有历史集合。 基于转换方法的简要概述在补充文件中：

过渡语义

5.4计算树逻辑CTL和CTL *

分支时间逻辑广泛用于计算机科学。 最受欢迎的是计算树逻辑CTL和CTL *，它们分别是PEIRCEAN和OCKAMIST分支时间逻辑的变体。 它们被解释在所谓的计算树类上，每个历史都有自然数的顺序类型。 这些树是自然的作为离散转换系统的树展开，并且代表在这种系统中产生的可能无限计算。 像往常在计算机科学中一样，它们是基于优先关系的反思关闭≺。 虽然CTL历史上述了CTL *，但是现在，CTL通常被视为CTL *的片段，我们在此处遵循此约定。

完整的计算树逻辑CTL *是OCKHamism的计算变体，由艾默生和Halpern（1985）引入。 CTL *的语言包含（反射版本的）未来运营商g和u（直到）以及下一个时间运算符x（没有过去的运算符），现在解释在计算树上。 与一般的OCKAMIST分支时间逻辑一样，评估对瞬间（这里称为状态）和历史（这里称为计算路径，或只是路径）。 我们注意到，在计算机科学中，通常假设基于即时的原子命题，即原子命题的评估仅取决于国家。

计算树逻辑CTL是Peireceanism的计算变量，它是由艾默生和克拉克（1982）引入的。 CTL是CTL *的片段，其中每个时间运算符G，U和X紧接在模态运算符，◻或◊之前，这里通常由路径量子∀和∃表示。 也就是说，CTL的语言使用组合的模态∀gφ，∀（φuψ），∀xφ和∃gφ，∃（φuψ），∃xφ来递归地建立。 CTL的前体是由本ari等人介绍的逻辑UB。 （1983），您不会发生。

由于其在模型检查的良好的计算属性中，逻辑CTL广泛使用，这在输入公式的大小和输入模型的大小（作为有限转换系统）中具有线性复杂性。 然而，CTL并不总是具有足够的表现力，导致其扩展CTL *。 逻辑CTL *更具富有敏感性，并归入线性时间时间逻辑LTL，但它具有更高的模型检查（PSPACE）复杂性，并且决定可满足性（2Exptime）。 有关可辨别性的更多详细信息和证明，请参阅Emerson和Sistla（1984）; 艾默生和Halpern（1985）; 艾默生（1990）; 戈尔博特（1992）; 斯特林（1992）; Gabbay等人。 （1994）; 手指等人。 （2002）; 和demri等。 （2016）。

通过通过其路径量化的版本替换LTL的公理可以获得CTL的完全腋化。 有关完整性，请参阅艾默生（1990）和Goldblatt（1992）。 对于CTL *必须添加更多的公理以解释时间和模态运算符的交互，并强制执行树的极限关闭属性。 CTL *的完整公理化由Reynolds（2001）获得，在Reynolds（2005）中建立了与过去的运营商延长CTL *的完整性结果。 有关CTL和CTL *的更多信息，请参阅Demri等。 （2016）。 CTL的公理系统的草图包含在补充文件中：

CTL的一个公理系统

6.间隔时间逻辑

基于瞬间的基于间隔的时间模型推出了两个不同的时间本体，即使它们在技术上互动地还原，这并不能解决语义问题：应当将关于时间瞬间或间隔解释为时间的主命令？

在哲学逻辑文献中存在基于间隔的时间逻辑的各种探索。 重要的早期捐款包括Hamblin（1972）; Humberstone（1979）; Röper（1980）; 和伯爵（1982b）。 后者为基于间隔的时间逻辑提供了一个公共化，其间隔与Rationals和Reals之间的优先关系。 基于间隔的时间推理方法在人工智能中非常突出。 这里有一些显着的作品包括艾伦（1984）规划，Kowalski和Sergot（1986）的事件微积分，Halpern和Shoham（1986）模态间隔逻辑。 它还在计算机科学的某些应用中具有特点，例如实时逻辑和硬件验证，特别是MoSzkowski（1983）间隔逻辑和周，胡闹和RACN的持续时间微积分（参见汉森和周1997）。

在这里，我们简要介绍了Halpern和Shoham（1986）提出的命题模态逻辑风格方法，下文称为HS。 HS的语言包括⟨x⟩形式的一系列一系列的⟨x⟩，一个用于allen的线性时间的间隔关系。 各个符号列于表1（第2.2节）。 鉴于一组原子命题支柱，公式由以下语法递归定义：

φ：=p∈prop|¬φ|（φ∧φ）|⟨x⟩φ。

间隔逻辑HS从基于即时的模型开始在线时间，并且间隔被认为是定义的元素。 设t =⟨t，≺⟩是具有优先关系的时间帧，它在该组时间瞬间T上引起严格的线性顺序。T中的间隔定义为有序对[A，B]，使得A，b∈t和≤B。 T中的所有间隔集合由I（T）表示。 请注意，根据Halpern和Shoham（1986）的原始提案，该定义允许开始和结束点重合的“点间隔”。 有时只考虑“严格”的间隔。

至关重要的是，在基于间隔的时间逻辑中，相对于时间间隔而不是瞬间评估公式。 间隔模型是三重M =⟨t，≺，v⟩，由严格的线性时间帧T =⟨t，≺⟩和估值v，它分配给每个原子命令p∈prop，这一组时间间隔v（p）⊆i（t）被认为是真的。 间隔模型M中给定间隔[A，B]的任意式φ的真实性由公式上的结构感应定义如下：

M，[A，B]⊨p[A，B]∈v（P），用于p∈prop;

m，[a，b]⊨¬φm，[a，b]⊭φ;

m，[a，b]⊨φ∧ψiff m，[a，b]φ和m，[a，b]⊨ψ;

m，[a，b]⊨⟨x⟩φm，[c，d]φφ用于某个间隔[c，d]，使得[a，b] rx [c，d]，其中Rx是与模态运算符⟨x⟩对应的Allen的间隔关系（CF.表1）。

也就是说，新的间隔运算符通过相关的Allen关系给出Kripke风格的语义。 例如，对于艾伦关系“遇到”，我们有：

m，[t0，t1]⊨⟨a⟩φm，[t1，t2]φφ对于某些间隔[t1，t2]。

对于每个钻石模态⟨x⟩，相应的盒子模块被定义为其双重：[x]φίγ。 有时它有助于包含点间隔的额外模态常量，表示π，具有以下真实定义：

m，[a，b]⊨πa = b。

一些HS模态是可可定义的，并且对于具有和没有点间隔的语义，已经识别了最小的片段，其表现为足以定义所有其他运算符。 摘要在补充文件中展示了捕获一些HS模态的交织性的等效性集合：

HS模式的互结性

逻辑HS具有超过一千个涉及一些模态运算符的表现力的非等效片段（参见Della Monica等，2011年进行调查）。 其大部分碎片都是非常表现力的，并且有效性的各自概念通常是不可察明的（在一些额外的假设下甚至高度不可察到的假设，π

1

1

-complete）。 但是，已经确定了一些非琐碎的HS可判定的碎片。 可能最好的研究是邻域间隔逻辑，涉及运营商⟨a⟩和⟨

¯

一种

⟩（Goranko等人。2003）。 用于⟨a⟩的公理的一个例子是⟨a⟩⟨a⟩⟨a⟩p→⟨a⟩⟨a⟩p，称任何两个连续的右相邻间隔都可以加入一个右相邻的间隔。

除了与艾伦二进制关系相关的联合HS间隔模式之外，还有一些较高的arity自然出现。 例如，存在将间隔切入两个子宫内的操作，这导致了在Moszkowski（1983）中提出和研究的三元间隔关系'Chop'，并在Venema（1991）中延伸到逻辑CDT，涉及“Chop”（c）旁边，两个残留的'切碎'运算符d和t.逻辑CDT在Venema（1991）中完全公开化; 另见Goranko等人。 （2004）和Konur（2013）。

基于线性阶L上定义间隔L的对的思想，存在间隔时间逻辑的自然空间解释，可以被认为是L×L平面中的点的坐标。 然后将间隔之间的关系被解释为相关点之间的空间关系。 这种解释已经效果习惯于转移间隔和空间逻辑之间的各种技术结果，例如未索引性，参见例如，参见。 VIVEMA（1990）和Marx和Reynolds（1999）。

最后，关于间隔时间逻辑和一阶逻辑之间关系的几句话。 先前的基本时态逻辑TL转化为一阶逻辑的标准转换（第3.3节呈现）自然地扩展到间隔逻辑，其中原子命题由二进制关系以一阶语言表示。 事实证明，HS的一些碎片可以转换为一阶逻辑的两个可变片段FO2，最终意味着它们的可解锁性。 表现最强的这样的间隔逻辑是邻域间隔逻辑，证明是为了表达地完成FO2（Bresolin等，2009）。 HS的其他片段需要至少三个不同的变量进行标准翻译。 但即使是完整的逻辑HS也比一阶逻辑的三变量Fo3的表达更不富有表现力，Venema（1991）表明逻辑CDT表现为表现性。

在间隔时间逻辑上，请参阅Halpern和Shoham（1986）; VIVEMA（1990）; Goranko等人。 （2003; 2004）; Della Monica等。 （2011）; 调查Konur（2013）和其中的参考文献。

7.命题时间逻辑的其他变体

到目前为止，我们讨论了传统的命题时间逻辑系列，但有许多变化和替代发展，为各种应用提供了有用的形式主义。 我们在这里简要介绍了其中一些：混合时间逻辑，度量标准和实时时间逻辑，以及量化的命题逻辑。

7.1混合时间逻辑

一个值得注意的时间逻辑系列，丰富传统框架，是混合时间逻辑，其将命题时间逻辑与一阶逻辑的元素组合，从而大大增加了语言的表现力。

混合时间逻辑中最重要的概念是标称值。 名义上是特殊原子符号：它们被认为是真实的时间模型的一个瞬间。 因此，人们可以想到一个名义的a说“现在是一点”。 因此，名义上有时也称为“时钟变量”。 名义上的想法可以追溯到之前（1967年，第1968章，第十一章），他考虑了识别即时命题的瞬间的可能性：即时可以被认为是所有这些命题的结合在那瞬间。 杂交时间逻辑的第一个数学探索在公牛（1970）中给出。 除了标称的外，混合语言通常通过进一步的句法机制来增强，例如满意度运营商，标称值和标称的量词，以及参考指针，我们简要介绍下面。 在前事先的工作中已经发现了满意度运营商和标称的量词（参见Blackburn 2006），并在通讯和Tinchev（1985）中独立重新发明。 参考指针仅在Goranko（1996）之后仅推出，并且在Alur和Henzinger（1994）中发现了类似的参考机制。

满意度运营商：满意度运营商@i允许人们表示在由标称I表示的时间瞬间在瞬间是真实的。 也就是说，M，t⊨@iφiff m，v（i）⊨φ，其中v（i）是我是真的唯一的瞬间。 在时间模型的即时的真理概念导入到对象语言。

符号符合标称值：标称量词∀i表示在给定的时间瞬间是真实的，无论是哪个瞬间我表示。 更正式，M，t⊨∀iφ[I→S]，用于M中的任何即时S的t⊨φ，其中M [I→S]是通过重新分配I的表示来从M获得的模型。 一阶量化的全部力量被带入时间语言，而其许多命题美德则被保留。

参考指针：参考指针↓（也称为“粘合剂”）提供了一种用于参考当前时间瞬发的机制，即“现在”。 在给定的时刻T IFFφ是真实的，在φ中的标称I的所有出现时，在T的IFFφ处为真。 也就是说，m，iff m [i→t]，t⊨φ。

可以考虑混合时间逻辑运算符的其他操作员是通用模态，差异模态和命题量词。 通用模态A表示，在时间模型的每个瞬间都是真实的给定公式，因此捕获模型中有效性的概念：m，t⊨aφ。 另一方面，差异模态D指出给定的公式在其他瞬间是真实的。 请注意，两种方式都远离潜在的可访问性关系。 命题量词∀p将二阶量化引入命题语言，并在下面的第7.3节中讨论它们。

混合语言是非常富有表现力的。 这只是两个例子：

在TL中不可以表示的优先关系的逆反线性可以用I→¬fi或@ IFI的满意度运营商的帮助以具有名义的语言表达。

操作员S和U常用于具有标称和参考指针的语言：φuψ：=↓if（ψ∧h（pi→φ）），同样适用于S.

虽然混合逻辑的较弱版本 - 具有标称，满意度运营商，通用模态和差异模当 - 仍然可判定，更具表现力 - 与标称值或参考指针上的量词通常是不可义的。 有关详细信息，请参阅Goranko（1996）; 和Areces和Ten Cate（2007）。

还研究了混合时间逻辑的分支时间版本。 有关杂交时间逻辑品种及其历史发展的概述，请参阅Blackburn（1993）; Gargov和Goranko（1993）; Blackburn和Seligman（1995），Blackburn和Tzakova（1999）以及混合逻辑的条目。

7.2度量和实时时间逻辑

公制时间逻辑也返回到之前（参见之前的1967年第VI章）。 他使用了符号pnφfor“这是这种情况，即φ”（即φ是φ的情况前的情况，对于“这将是间隔n的情况，即φ”（即φ是φ的情况因此单位）。 这些运营商预先假定时间具有一定的公制结构，并且可以被刻为颞单位，这可能与时钟时间（例如小时，天，年，日等）相关联。 例如，如果相关单位是日子，例如，运营商F1读取“第二天”（或明天'）。

之前注意到PNφ可以定义为F（-N）φ。 案例n = 0相应地到现在时态。 度量标准运算符验证组合原则，例如：

fnfmφ→f（n +是）φ。

按照以下等效性捕获的度量标准和非度量版本的相互关联：

pφ≡∃n（n＜0∧fnφ）fφ≡∃n（n＞0∧fnφ）

hφ≡∀n（n＜0→fnφ）gφ≡∀n（n＞ 0→fnφ）。

在例如，基于即时的度量时间逻辑进行了研究。 Rescher和Urquhart（1971，第十章）; Montanari（1996）; 和Montanari和Policriti（1996年）。 对于公制间隔逻辑，请参阅Bresolin等人。 （2013）。