时间逻辑（五）

已经提出了在实数的结构上的各种度量扩展，这已经提出了实数的结构，从而产生所谓的实时逻辑。 这些逻辑引入了额外的运算符，例如以下内容，它可以启用句子的不同形式化“每当P保存在未来时，Q将在三个时间单位内持有”：

时间有限的运算符，例如：g（p→f≤3q）;

冷冻量词（类似于混合逻辑参考指针），例如：GX。（P→FY。（q∧y≤x+ 3））;

随着时间的变量，例如：∀xg（p∧t= x→f（q∧t≤x+ 3））的量词。

这种实时扩展通常是非常富有表现力的并且通常导致具有不可确定的决定问题的逻辑。 一种恢复可辨可辨的方法是通过涉及时间间隔的要求放宽涉及精确时间持续时间的“准时性”要求。 有关详细信息，请参阅e.g. koymans（1990）; Alur和Henzinger（1992年; 1993年; 1994年）以及Reynolds（2010; 2014）在实时线性时间逻辑RTL和Survey Konur（2013）。

7.3量化的命题时间逻辑

命题时间逻辑可以通过原子命题与量子的延伸。 例如，公式f∀p（p→fp）可以用来表示有一个未来的时间，使得案例的一切将来会在将来再次是这种情况（参见Rescher和urquhart 1971，第Xix第Xix）。 在理论上，这种量子范围在各个原子命题的所有估值上范围，因此对Monadic二阶量子相连。 由此产生的语言非常富有表现力，并且各自的逻辑通常是不可透明的（通常不会递归滑动的）。 值得注意的扩展包括逻辑QPT1，LTL的量化命题版本（虽然是非基本复杂性的解辨别），以及CTL *的扩展（参见法语2001）。 在Kesten和Pnueli（2002）和法国和雷诺（2003）中介绍了定量的命题时间逻辑QPTL（带有没有过去的运营商）的完整的公理系统和可解辨率结果。 另见FRITZ（2024），用于具有命题量化的模态逻辑的系统研究。

8.一阶时间逻辑

对象存在于时间，并且它们随时间更改其属性。 命题时间逻辑并不表达足以捕捉世界的这一方面：与时间瞬发相关的所有内容是一组非结构化的原子命题，这些原子命题被认为是真实的。 所需要的是世界上历史的更细粒度的模型，可能具有某些关系的物体和某些关系。 因此，除了时间运算符之外，该语言还应包含对象，变量和量子的名称，而不是对象的范围，以及表示属性和关系的谓词。 这是一阶时间逻辑提供的。

8.1及时存在和量化

及时存在是时间哲学中的重要主题。 通常，物体在一个时间点处于一个时间点，并在稍后的时间出来。 但是，一个物体及时存在的是什么？ 只有存在的对象存在，因为呈现者将保持，或者在更广泛的意义上被理解，包括过去和未来的物体，因为一个永恒主义者会说？ 呈现和永恒主义之间的争议伴随着持久性的辩论，即关于对象如何通过时间存在的问题。 它们存在于它们存在的每个瞬间的对象 - 一种被称为跨核的视图 - 或者它们在不同时刻在不同的时刻在不同的时间阶段持续存在 - 一个称为刚性的观点？ 有关这些辩论的详细概述，请参阅例如 堤坝和贝加登（2013年）; Meyer（2013）; Correia和Rosenkranz（2018年）以及随时间的时间，时间零件和身份的条目。

在一阶时间逻辑的背景下出现类似的问题，尽管在不同的幌子下。 关于存在和身份的存在问题，随着时间的推移，在时间运算符和单个量化器的互动中揭示了自己。 例如，句子“哲学家将成为国王”可以用几种不同的方式解释：[6]

∃x（哲学家（x）∧fking（x））

现在是哲学家的人将成为一个未来的国王。

∃xf（哲学家（x）∧king（x））

现在存在一个在未来时间的人既是哲学家和国王。

f∃x（哲学家（x）∧fking（x））

将存在一个哲学家，后来将成为国王。

f∃x（哲学家（x）∧king（x））

存在与哲学家和国王同时存在的人。

所有上述读数都预先假定定量域相对于时间瞬间，并且相同的单独可能在多次存在。 为了适应这个想法，我们需要将我们的模型用每次时刻t的对象D（t）的本地域装备，将各个量化器的范围限制为该域，并结合了一种使我们能够识别跨不同时间的对象的机制。

此外，该示例表明，给定时间即时的本地域包含实际上存在的那些具有实际情况的人。 然而，有替代方法可以理解与时间瞬间相关的局部域，这在时间镜像不同的存在概念。 以下是四种自然选项：

第一个视图对应于上面草图的视图：对象在一个时间点处于一个时间点，并在稍后的时间内出现，即，它们只存在于一段时间内。 通过假设本地域仅由本发明组成，可以正式捕获该想法。 局域网随着时间的推移而变化。

物体实际上只存在于一段时间内，但一旦他们停止存在，它们仍然存在于世界的时间历史。 在此帐户中，本地域不仅包括当前对象，而且还包括所有过去的物体; 随着时间的推移，他们的增加和新的物品已经增加。

或者，人们可以坚持认为所有将存在的对象最初是世界的时间历史的一部分，但一旦他们停止存在，就会辍学。 也就是说，本地域包括所有现有和未来的物体; 随着时间的推移和物体出现，它们会减少。

过去，存在和未来的对象同样存在。 这是一个永恒的感觉存在的存在概念。 正式捕获此想法的一种方法是通过规定，本地域包含所有对象是世界的时间历史的一部分。 因此，随着时间的推移它们是恒定的。

概念上不同但技术上密切相关的问题涉及量化范围。 我们在时间设置中量化了什么？

仅在当前时间即时存在的那些对象，如上面的示例中所预设的？

在世界的颞历史上，过去和未来的对象在世界历史上？

采用术语“现实主义量化”和“可能的定量量化”到临时案例，我们可以引用第一种量化作为展示量量化，并使用术语永恒主义量化后者。 根据这些选项之间的选择，句子“每个人诞生于1888年后”出来真假。 如果我们只量化目前活着的人，但如果我们在世界的颞历史中的所有人类量化，那么这是假的，那么这是假的，包括那些曾经活着的人。 进一步的问题涉及虚构实体，例如圣诞老人或Pippi longstocking，这在任何时候都没有真正存在。 尽管如此，可以说它们以更广泛的意义存在，并且可能希望将它们包含在量化领域中。 我们在此处将此问题设置在一起，将读者转换为自由逻辑上的条目，这是允许引用非现有实体的逻辑（CF.1.6）。

关于存在的存在和量化的许多问题，在这里产生的莫代一阶逻辑中的众所周知的问题，在那里，对这些问题的广泛讨论已经开始与弗雷格和罗素开始，并在R. Barcan的作品中达到了20世纪40年代至1950年代-Marcus，R.Carnap，W. Quine，R. Montague等人（参见Modal Logic的条目）。 一阶模态逻辑中的中央主题是所谓的Barcan公式的有效性或无效性。 在时间设置中，公式的版本（指的是未来）可以如下光泽：“如果在未来的某个时间会有Q的东西，那么现在有一些东西将在未来的某个时间。” 保证是否保证这一陈述是至关重要的，这取决于各个时刻的局域如何被解释，我们的量词范围内容。 此外，时间逻辑产生了两个版本的Barcan公式，一个是未来的一个版本，一个是过去的一个版本。

8.2 FOTL的语言和模型

一阶时间逻辑（FOTL）的基本语言是操作员P和F的给定的一阶语言的扩展，而在命题时间逻辑原子命题中被认为是非结构化的实体，则在一阶时间逻辑原子从表示个人和谓词符号表示属性和关系的术语建立了公式。 此外，该语言通常包含量子范围的量词。 （简要概述了普通的一阶逻辑，在补充文件一阶关系结构和语言中提供。）在下文中，我们考虑通过具有各个量化器和平等的关系一阶语言（无功能符号）来考虑FOTL。 该组式公式定义如下：

φ：= r（τ1，...，τn）| τ1=τ2| ¬φ| （φάφ）| ∀xφ| Pφ| fφ，

其中R（τ1，...，τn）和τ1=τ2是原子公式。 实际功能连接∨，→和↔，逻辑常量⊤和⊥，以及时间运算符H和G可以像往常一样定义。 此外，∀的双∃由∃xφ：=¬∀x¬φ定义。

FOTL模型基于时间帧，其中每次瞬时都与一阶关系结构相关联。 正式地，一阶时间模型是Quintuple M =⟨t，≺，u，d，i⟩：

t =⟨t，≺⟩是一个时间框架;

你是模型的全球域名（宇宙）;

D：t→p（u）是一个域函数，它分配给每次即时t∈t，即本地域dt⊆u，使得u =⋃t∈tdt。[7]

我是一个解释函数，用于为每个时间提示分配：

对象（c）∈u到每个常数符号c;

一个n-ary与每个n-ary谓词符号r的关系

注意，即使在本地定义常量和谓词符号的解释，因为它们被依赖于给定时间即时，它们的扩展范围在全局域上。 这种方法允许参考目前不存在的物体，并且能够适当地治疗跨颞关系，例如，在句子中，“我的朋友是征服者威廉威廉的追随者的后代”。

四肢=⟨t，≺，u，d‖被称为模型M的增强时间帧（或骨架）。由于该模型应该代表世界的时间历史，与不同时间瞬间相关的本地域必须适当地连接底层增强时间框架。 有四种自然案例可区分，这与上文第8.1节中讨论的四个存在的概念有关

不同的域名：没有限制适用;

扩展（增加）域名：对于所有T，t'∈t，如果t≺t'，那么dtədt';

萎缩（减少）域名：对于所有T，t'∈t，如果t≺t'，那么dt'⊆dt;

局部恒定的域：对于所有t，t'∈t，如果t≺t'，则dt = dt'。

因此，如果且才有局部恒定的域F具有局部恒定的域，且仅当它都具有扩展和缩小的域。 我们说，如果所有本地域都等于全局域，则F具有常量域。 注意，由于全局域需要是所有本地域的结合，因此具有局部恒定的域意味着在该组时间阶段形成时间连接的结构的情况下，具有恒定域。

8.3 FOTL的语义

一阶模态逻辑有各种语义，可以调整到一阶时间逻辑，包括对手语义，捆绑语义，元帧语义，可接受集合语义等。我们在这里提供时间版本配件和MendelsoHn提供的一阶模态逻辑的标准语义（2023）。

与所谓的时间逻辑一样，在时刻本地评估FOTL的公式。 然而，由于FOTL公式可以包含变量，因此在一阶时间模型中的给定时间即时的评估也取决于可变分配。 让我们通过VAR和该集合通过术语表示FOTL的单个变量（即变量和常数）。 给定一阶时间模型m =⟨t，≺，u，d，i‖，m中的可变分配是映射v：var→u，它为全局域U中的对象v（x）分配给每个变量x∈var。这样的分配可能是唯一的延长到相对术语估值，如下所示：

vt（x）：= v（x），vt（c）：=它（c）。

虽然可变分配在时间段常量，但是常量符号的解释取决于各个时间瞬时。 （也研究了变量也在本地评估的版本，例如，参见例如Gabbay等人2009.）

现在定义相对于可变分配V（表示的M，t⊨vφ）在一阶时间模型M中的给定时间瞬时T的FOTL的任意式φ的真实性如下：

M，t⊨vr（τ1，...，τn）iff（τ1），...，vt（τn）⟩∈it⟩∈it（r），

对于任何N-ARY谓词符号R和术语τ1，...，τn∈term;

m，t⊨vτ1=τ2iff vt（τ1）= vt（τ2），对于任何术语τ1，τ2∈term;

m，t⊨v¬φm，t⊭vφ;

m，t⊨vφ∧ψiff m，t⊨vφ和m，t⊨vψ;

m，t⊨vpφm，t'əvφ，这是一个t'∈t;

m，t⊨vfφm，t'əvφ为t'ət这样t≺t';

m，t⊨v∀xφiff ..

展示量定量：每一个a∈dt的m，t⊨v[a / x]φ;

永恒主义量化：每一个au的m，t⊨v[a / x]φ，

其中v [a / x]是可变分配v的变体，它分配给变量x对象a，即v [a / x]（x）= a。

正如我们之前提到的那样，在时间逻辑中定量两种自然方法：呈现量量化和永久主义量化。 从技术上讲，呈现量化量在给定的时间瞬间在本地域上量化，而Erearalist量化被解释为在全局域上的量化。 相应地阅读双重的各个语义子句如下：

m，t⊨v∃xφiff ..

呈现量化：... m，t⊨v[a / x]φ用于一些a∈dt;

永恒主义量化：... M，t⊨v[A / X]φ用于一些AUU。

注意，呈现量量化自然地表明了具有不同域的一阶时间模型。 在基于ETERERALIST量化的语义中，本地域不会发挥任何重要作用。 事实上，EteralAlist量化对于假设模型具有恒定域，即所有本地域等于全局域。 在下面的情况下，我们经常将主题量化的语义称为不同的域语义和与永恒师量化的语义为恒定域语义。

在这些语义中的每一个中，据说FOTL公式φ在一阶时间模型M IFF中有效，在每次瞬间相对于每个可变分配时都是如此 它在增强的时间框架IFF中有效，它在基于该帧的每个模型中有效; 它是有效的iff，它在每个模型中都有效。

采用一个或其他方法来量化影响有效性的概念，即使对于非时间原则。 例如，句子∃x（x = c）在一阶逻辑中有效，它也有效地在恒定域语义中。 但是，它在不同域语义中不再有效，因为分配给常量C的对象可能不属于本地域。 从普通的一阶逻辑区分这两个语义的另一个原则是通用实例化的方案（其中τ是任何术语免费用于换φ的x）：

∀xφ（x）→φ（τ），

在恒定域语义中同样有效，但在不同的域语义中无效，有类似原因。 然而，两种语义之间的主要区别反映在涉及临时运营商和单个量化器的互动的原则中，例如巴尔卡公式模式及其对话。 在以下两个部分中，我们仔细看看各个语义中的有效性。

8.4永恒的量化和恒定域语义

让我们考虑恒定域语义中的一些FOTL有效性和非有效性，即在语义中具有永恒的量化量化。 我们表示⊨cd的恒定域语义中的有效性。

所有FOTL实例的有效一阶公式都是CD-WALIB。

特别是，通用实例化方案是CD-Valived：

⊨cd∀xφ（x）→φ（τ），对于任何术语τ可自由用于换φ的x。

未来的Barcan公式[8]计划，BFG是CD-VANIP：

⊨cd∀xgφ（x）→g∀xφ（x）或等效，

⊨cdf∃xφ（x）→∃xfφ（x）。

匡威未来的Barcan配方计划CBFG是CD-Valid：

⊨cdg∀xφ（x）→∀xgφ（x）或等效，

⊨cd∃xfφ（x）→f∃xφ（x）。

一些重要的无效条件包括：

⊭cd∀xfφ（x）→f∀xφ（x）和⊭cdg∃xφ（x）→∃xgφ（x）。

类似于上述模式的过去版本，用H和P而不是G和F.具有恒定域语义的最小FOTL的公理系统以及其中的一些重要定理，在补充文件中提供：

具有恒定域语义的最小FOTL的公理系统FOTL（CD）

8.5呈现量化和不同域语义

在不同的域语义中，各个量子的范围仅限于局域。 结果，在不同域中的语义中有效的一些公式在不同的域语义中不再有效。 最重要的是，变化域语义使通用实例化∀xφ（x）→φ（τ）以及未来和过去的Barcan公式模式及其对话。 我们表示⊨vd的不同域语义中的有效性。

事实证明，Barcan公式模式BFG和BFH及其对话CBFG和CBFH在局域上定义条件。 对于任何增强的时间框架F，以下持有：

F具有扩展域IFFf⊨vdbfhIFFf⊨vdcbfg;

F有缩小域IFFf⊨vdbfgIFFf⊨vdcbfh。

请注意，未来的Barcan方案BFG语义对应于匡威过去的Barcan方案CBFH，反之亦然。 从上面的下面，增强时间框架F具有局部恒定的域IFF在F：bfg∧bfh，cbfg∧cbfh，bfg∧cbfg或bfh∧cbfh。

补充文件中提供了一种具有不同域语义的最小FOTL的公理系统：

具有不同域语义的最小FOTL的公理系统FOTL（VD）

8.6存在谓词

虽然呈现派和永恒主义是哲学上明显的本体，但它们的技术表现是互气的。 一方面，通过施加过去和未来的Barcan公式模式的约束和有效的约束，可以从不同的域语义获得与永恒域的量化的恒定域语义，通过呈现过去和未来的Barcan公式模式，并且其对话是有效的（提供了时间帧连接的那样）。 另一方面，通过添加到当前时间瞬间“的存在谓词E的语言，可以在恒定域语义中模拟变化的域语义，以具有以下语义：m，t⊨ve（τ）iff vt（τ）∈dt。 在不同的域语义中，E可以由e（τ）定义：=∃x（x =τ）。

存在谓词使判决的替代形式化“有些人存在签署独立宣言”。 而不是写作

∃x（人（x）∧p（迹象（x））），

我们可以写

∃x（e（x）∧man（x）∧p（迹象（x）））。

假设具有永久性的域语义的恒定域语义，在当前瞬间进行第一公式，而第二个公式是假的。 1777年是真实的。

对于FOTL的每个公式φ，我们可以通过“∀x（e（x）→...）”替换∀x的每次出现，并通过“∃x（e（x）∧......）”。 然后，如果才有常量域语义在恒定域语义中有效，则我们将φ在变化的域语义中有效。 从哲学的角度来看，仍然存在的问题是存在是合法的谓词。 如补充文件中所述，可以沿着自由逻辑线获得具有存在谓词的最小FOTL的公理系统，如补充文件所示：

具有E：免费逻辑版本的最小FOTL的公理