时间逻辑（六）

8.7正确的名称和明确的描述

一阶时间逻辑产生的进一步问题涉及对个别条款的解释。 根据我们处理的术语，我们可能会或可能不想让他们的解释随着时间而异。

在上面概述的语义中，可变分配在全局定义，因此单个变量始终挑出相同的对象。 换句话说，它们是刚性的指定器。 另一方面，在本地指定常量符号的解释，即相对于时间即时指定。 如果我们希望将常量视为适当的名称，也很自然地将它们视为刚性指定者。 然后可以使用常量符号来识别跨不同时间的对象。 例如，将A作为亚里士多德的名称处理，句子“亚里士多德坐着，但现在他站立”可以正面被形式化为psit（a）遵守架（a）。 注意，如果常量被视为刚性指示器，则标识τ1=τ2→a（τ1=τ2）的必要性原理是有效的，对于两个变量和常数（召回αφ=hφ∧φ∧gφ）。

但还有单独的燕鸥没有僵硬。 Prime示例是明确的描述，例如“教皇”，其可以在不同时间挑出不同的物体。 显然，正确的名称和明确的描述将需要不同的语义治疗，并且不是自由互换的。 例如，“教皇在阿根廷出生”是假的2012年的假，而“Jorge Mario Bergoglio诞生于阿根廷”是真的。 此外，在时间设置中，问题出现了如何处理指出不再或尚未存在的对象的明确描述，例如“在2050年南非的第一个孩子”。 这些问题在分支时间设置中甚至更复杂，其中时间和模当的情况。 例如，请注意，时间上刚性的一些明确的描述可以是模态非刚性的。 在时间逻辑背景下，有关明确的描述及其挑战，请参阅Rescher和Urquhart（1971年，章节，XIII和XX）和Cocchiarella（2002）。

处理明确描述的一种方法是从延伸到个人术语的密封帐户。 也就是说，而不是在每次即时分配给每个术语，即，来自域的对象，可以分配给每个术语一个内涵，即从时刻到对象的函数。 一个总体框架，其中各个术语被分配扩展和强度是Belnap和Müller（2014A; 2014B）中提出的案例密集的一阶逻辑（CIFol）。 在CIFOL中，身份是扩展的，预测是强烈的，并且可以在不使用刚性指定的情况下识别各个。 该框架在持续存在的辩论中也变得有趣，因为它对整体领域中包含的物体的确切性质保持了形而上学的中立：它可能是真正的个人，但它也可以是时间阶段。

8.8一阶时间逻辑的一些技术结果

一阶时间逻辑是非常富有表现力的，这通常具有高计算价：这些逻辑可以减少非常复杂，通常是强度不可识别的（参见Merz 1992; Gabbay等，1994; Hodkinson等，2002）。 具有恒定域语义的一阶时间逻辑，例如，只有两个变量和一元关系符号，不仅是不可透明的，而且甚至不递归滑动（Cf.Börger等，1997; Hodkinson等。2000）。

迄今为止已经确定并调查了很少的公理 - 甚至更少的可解除的可判定 - 一阶时间逻辑的自然碎片。 这些包括一阶时间逻辑，直到所有线性流量的类别和术语的阶级，而不是理性的顺序（Merz 1992; Reynolds 1996），Fotl的片段T（FOS），其中时间运算符在内部可能不会发生单个量化的范围（Gabbay等人1994，第14章）以及单一的片段，只允许在时间运算符范围内具有大多数自由变量的公式（参见Hodkinson等，2000; 2001; 2002年和Wolter和Zakharyaschev 2002）。 仍然是如后一篇论文所示，已经具有平等的单码片段不再递归滑动。 对于适当限制的FOTL碎片的进一步可判定性，请参阅Hodkinson等。 （2000）。 在Gabbay等人中提供了额外的技术参考。 （1994年，第14章）和Kröger和Merz（2008年）。 对于一阶模态逻辑的完整性结果，请参阅拟合和MendelsoHN（2023）和模态逻辑的条目。

有关一阶模态和时间逻辑的进一步哲学讨论，请参阅Rescher和Urquhart（1971，第XX章）; Mcarthur（1976）; 加尔森（1984年）：Linsky和Zalta（1994）; 梵洁（1995年，第7节）; 配件和孟德尔索（2023）; Wölfl（1999）; Cocchiarella（2002）; 以及Lindström和Segerberg（2007年）。

9.结合时间和其他逻辑

逻辑用于建模世界各个方面，包括可能随时间动态变化的方面。 例如，在认知逻辑中研究的知识概念，机构逻辑的行动潜在逻辑的想法，或空间逻辑中的空间概念都承担了与时间的贴心关系。 因此，自然地向这些逻辑添加时间维度并用时间运算符装配相应的语言。

从技术角度来看，有几种方式结合模型和逻辑系统：产品，融合等（参见结合逻辑的条目）。 这些结构提供了临时化逻辑的不同机制。 关于逻辑属性转移的通用问题，例如公理性和可解脱性，例如可解脱性通常在融合中保存，而逻辑系统的产品往往损失。 有关临时化逻辑系统和临时逻辑的属性的一般性讨论，请参阅手指和Gabbay（1992; 1996）; 手指等人。 （2002）; 和Gabbay等人。 （2003）。 在这里，我们简要介绍一些最受欢迎的临时逻辑系统案例。

9.1颞抑制逻辑

时间认知逻辑带来时间逻辑和（多代理）知识逻辑。 通过将认知方式k（“代理知道”）与时间运算符组合，可以自然地表达一些有趣的属性。 这只是两个例子：完美召回：kφ→gkφ（如果代理现在知道φ，那么代理将始终知道φ在将来），没有学习：fkφ→kφ（如果代理在未来的某个时间知道φ，则代理已经知道φ现在）。

在20世纪80年代开发了各种颞抑制逻辑，由Halpern和Vardi（1989年）进行了统一的研究。 他们认为各种96个颞抑制逻辑上所谓的解释系统，即在每个特工的历史欺诈性关系中的过渡系统中的时间运行。 该品种基于几个参数：代理数量（一或多），语言（有或没有共同知识），正式的时间模型（线性或分支时间），召回能力（无召回，界限召回或完美召回），学习能力（学习或学习），同步（同步或异步），唯一的初始状态。 根据这些参数的特定选择，这些逻辑的决策问题的计算复杂性从PSPace完成到高度不可识别（π

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-complete）。 有关详细信息，请参阅Halpern和Vardi（1989）; Fagin等人。 （1995）; 除了近期Van Benthem和Pacuit（2006），该克劳工（Pacuit（2006））对时间内认知逻辑进行了调查，并说明了与其他方式对计算复杂性的时间结合如何。

9.2代理人的时间逻辑和逻辑

时间推理是有关代理商及其行为的重要方面。 可能是哲学中最有影响力的逻辑逻辑家族，是所谓的拼写逻辑的家庭，来自Belnap和Perloff的工作（1988年）。 这些逻辑包含形式斑纹的公式，读取“代理看到它φ”，这让一个人推理了代理人的行动选择如何影响世界。 拼写逻辑的原始版本不涉及时间运算符。 然而，它们的语义基于OCK amist树模型，其中代理在给定时间即时的一组选择由通过该瞬时传递的历史集合的分区来表示。 粗略地，公式StITφ在瞬间T对于历史H IFF在瞬时T的历史上的历史中的函数H而不是历史H的选择，保证φ，即I.如果φ是相对于包含h所选择单元中的所有历史的φir。 详细讨论了品种符号逻辑及其历史发展，见Segerberg（1992）; Belnap等人。 （2001）和行动逻辑的条目。 在Broersen（2011年）和Lorini（2013）中提出了Qtit逻辑的时间扩展：在Broersen（2011）中，拼证明算子与下一个时间运算符X组合到一个操作员中，该操作员要求下一步中满足目标，虽然在Lorini（2013）中，分别处理了拼证制和时间运营商。 此外，在Broersen（2019）中，将空间尺寸添加到时间尺寸。

另一个重要的时间族代理逻辑是Alur等人介绍的交替时间逻辑ATL和ATL *。 （2002）。 ATL和ATL *是计算树逻辑CTL和CTL *的多代理扩展，并且它们已成为多功能系统中的战略推理的流行逻辑框架。 交替时间逻辑以战略路径量词丰富的语言⟨⟨c⟩⟩φ，直观地说“联盟C具有集体策略，以保证满足目标φ”，其中目标φ是一个时间公式。 也就是说，在由C的集体策略启用的每条路径中，都需要公式φ。虽然在分支时间，ATL和ATL *上构建的符号逻辑被解释为所谓的并发游戏结构，其中路径被视为由生成的状态序列所有代理商的集体行为。 ATL和STIT理论的组合在Broersen等人开发。 （2006）。 分支时间逻辑CTL和CTL *可以被视为ATL和ATL *的单档版本。 尽管后者更具表现力，但它们通常保持前者的良好计算特性。 有关详细信息，请参阅Alur等人。 （2002年），以及Goranko和Van Drimmelen（2006），其中建立了ATL的完整的公理化和可解锁性结果。 Demri等人提供了从时间逻辑透视图中的ATL概括。 （2016年，第9章）。

9.3空间时间逻辑

空间和时间在物理世界中密切相关，他们已经在现代物理理论中保持不可分割。 虽然早期的物理理论，最终在牛顿的经典力学中，预先假定了绝对的时间概念，其独立于空间，爱因斯坦的相对论观点视图时间和空间，如Minkowski的四个 - 模型尺寸空间歧管。

关于时空和特殊相对论的早期思考已经在前面的工作中找到（见前后的青年思想和1967年以来他成熟工作的讨论。）在Goldblatt（1980）中，Diodorean Modal Logic Minkowski空间时间是研究的，并证明是模态逻辑D4.2，如先前猜测。 Uckelman和Uckelman（2007）提供了进一步的结果。 已经进行了逻辑调查，也已经进行了一般相对论理论，参见例如。 Andréka等。 （2007）。

在人工智能中，在过去几十年中，时空推理一直在积极发展，特别是在时空本体本体，数据库和约束网络的背景下。 这里的主要重点是时空模型，计算复杂性和表现力的逻辑表征（Gabelaia等，2005; Kontchakov等，2007）。

另一个有趣的研究线是由分支空间时间的理论引发的，最初在Belnap（1992）中开发。 该理论涉及时空，正如前提的分支时间理论与线性时间相关; 也就是说，它结合了不确定的空间推理。 可以在Belnap等人中找到分支空间时间的广泛演示。 （2022）。 有关直观的介绍，请参阅Belnap（2012）。

9.4时间描述逻辑

描述逻辑基本上是模态逻辑的变化。 它们涉及概念（偶然谓词）和角色（二进制谓词），用于描述各种本体和它们之间的概念之间的关系（参见例如Baader和Lutz 2007）。 例如，描述逻辑术语philosopher⊑∃read.book说，每个哲学家都读了一本书。 描述逻辑可以以各种方式临时化。 例如， 临时化的版本G（PhiloSopherëprove.Book）允许我们表达它始终是哲学家的每个人都读过书籍。 有关时间描述逻辑，请参阅Artale和Franconi（2000）; Wolter和Zakharyaschev（2000）; 和lutz等。 （2008）。

9.5时间逻辑和其他非古典逻辑

时间推理可以自然地与各种非古典逻辑系统组合，导致例如在多价时间逻辑（Rescher和Urquhart 1971，第XVIII章），直观的时间逻辑（Ewald 1986年），建设性和恶作剧的时间逻辑（kamide和2010; 2011），概率颞逻辑（Hart和Sharir 1986; Konur 2013）等。

10.时间逻辑的逻辑扣除和决策方法

存在各种扣除系统和决策方法，用于此处提到的时间逻辑等等。 希尔伯特风格的公理系统，如第3.5节和第4.3节中提供的结构，是时间逻辑最常见的扣除系统。 但是，已经提出了许多自然扣除系统，搜索结算，基于分辨率的系统和语义TableAux系统。 我们简要介绍下面的后者。 关于时间逻辑的演绎系统的一些普遍参考（除了本文中的其他地方提到的更具体的参考文献）包括：Rescher和Urquhart（1971）; Mcarthur（1976）; Burgess（1984）; 艾默生（1990）; 戈尔博特（1992）; Gabbay等人。 （1994）; 范·宾馆（1995）; BOLC和SZALAS（1995）; Gabbay和Guenthner（2002）; Gabbay等人。 （2003）; Fisher等人。 （2005）; Blackburn等人。 （2007）; Baier和Katoen（2008）; Kröger和Merz（2008年）; 费舍尔（2011）; Demri等。 （2016）。

最重要的逻辑决策问题之一是确定给定公式是否有效，分别是满足的。 对此目的特别有效，实际上是基于TableAux的方法，来自Beth，HITIKKA，粉碎和拟合的开创性工作。 与公理系统不同，语义TableAux Calculi是基于驳斥的系统：为了证明有效性，一个否定输入公式并表明否定是不可取的。 这是通过对满足模型的系统，树的搜索来完成的，并且保证搜索可以在存在时找到这样的模型。 如果找不到否定模型，则输入公式必须有效。 Goré（1999）提供了对许多时间逻辑的Tableaux系统调查。 更具体的参考包括：Ben-Ari等。 （1983）用于分支时间逻辑UB; Emerson和Halpern（1985）的计算树逻辑CTL; Wolper（1985）用于线性时间呈现时间逻辑LTL; kontchakov等。 （2004）关于临时化的Tableaux; Reynolds（2007）用于带有捆绑树语义的CTL; Goranko和Shkatov（2010）为ATL; Reynolds（2011）为全计算树逻辑CTL *; Reynolds（2014）对于实时时间逻辑RTL等。

除上述证明系统之外，还可以解决逻辑决策问题的另一种计算强大的方法是基于自动机的方法，自20世纪90年代初以来一直在积极发展。 这些方法将时间公式转换为Infinite单词（用于线性时间逻辑）或无限树（用于分支时间逻辑）的自动机构，并表示逻辑的模型作为关联自动机的输入对象（无限单词或树）。 因此，公式的可靠性等同于接受至少一个输入的自动机，即自动机的语言是非空的。 该方法基于经典结果，关于天然数（Büchi）和无限二叉树（通过Rabin）的Monadic二阶理论的可解锁性。 例如，在艾默生和Sistla（1984）中，使用无限树木和拉比定理的自动机用于获得CTL *的决策程序。 有关详细信息，请参阅Vardi（2007）。

关于可辨赖性结果和各个时间逻辑决策程序的重要提及包括：Burgess（1980）和Gurevich和Shelah（1985）用于分支时间逻辑; Burgess和Gurevich（1985A; 1985B）线性时间逻辑; Goldblatt（1992）对于线性和分支时间逻辑; Montanari和Policriti（1996）用于公制和分层时间逻辑; 法语（2001）对于一些定量的命题分支时间逻辑。

虽然大多数命题时间逻辑是可判定的，但添加一些额外的句法或语义功能可以使它们计算地爆炸并变得不可思议。 除了与其他富有态度逻辑的组合之外，时间逻辑的最常性最常见的原因包括：网格式模型; 沿多个时间线的时间运算符; 时间逻辑产品; 基于间隔的逻辑，没有地方假设; 时间参考机制，例如混合参考指针并冷冻量词; 算术特征，例如时间添加，确切的时间约束等。这种负面结果具有对如何驯服时间逻辑和恢复可解锁性的广泛研究，例如添加句法和参数限制（例如，在命题的数量上变量或嵌套深度），强加合适的语义限制（例如，间隔逻辑的位置），识别可解除的片段（例如，古典一阶逻辑的双变量片段FO2，守护的碎片，Monodic碎片）等

11.时间逻辑的应用

时间逻辑是一个领域，其早期发展在很大程度上受到哲学考虑因素的推动。 然而，在一个令人惊讶的短时间内，应用了时间逻辑，并进一步在各种不同的学科中开发，从计算机科学，人工智能和语言学，自然，认知和社会科学。 在本节中，我们简要介绍了计算机科学，人工智能和语言学中的时间逻辑的一些应用。

11.1计算机科学中的时间逻辑

在Rescher和Urquarart（1971年第十四）的过程和事件的过程和事件中存在应用时间推理对确定性和随机转换系统的分析的想法已经存在。 然而，它与Pnueli（1977）的精灵纸上，时间逻辑在计算机科学中变得重要。 Pnueli提出了时间逻辑在反应和并发计划和系统的规范和验证中的应用。 为了确保反应性程序的正确行为，其中计算是非终止（例如操作系统），必须正式指定和验证该程序的可接受的无限执行。 此外，为了确保并行程序的正确性，其中两个或更多个处理器并行工作，有必要正式指定和验证它们的交互和同步。

可以按时间模式捕获的无限计算的关键属性是活力，安全和公平（参见Manna和Pnueli 1992）：

活性属性或事件涉及形式FP，Q→FP或G（Q→FP）的时间模式，其确保如果最初满足特定的预处理（Q），则最终将达到所需的状态（满足P）计算过程。 示例是“如果发送消息，则最终会传递”并且“每当被激活打印作业时，它最终将完成”。

安全性或不变性属性涉及形式GP，Q→GP或G（Q→GP）的时间模式，这确保了最初满足特定的预处理（Q），因此永远不会发生不良状态（违反安全条件P）。 例子是：“不超过一个过程将在任何时刻的关键部分”，“一个资源永远不会被两个或多个进程同时使用”，或者，给出更实际的例子：“交通灯永远不会在两个方向上显示绿色”，“火车永远不会通过红色信号量”。

公平性能涉及组合形式GFP的时间模式（“无限地通常p”）或FGP（“最终总是P”）。 直观地，公平要求，每当若干分享资源同时运行的过程时，他们必须由操作系统，调度程序等公平地处理。典型的公平要求表示，如果一个过程持续到发送请求时（例如，请继续发送一遍又一遍），它的请求最终将被授予。

无限计算由线性时间时间逻辑LTL的模型正式表示。 非确定性系统由树结构建模。 因此，LTL和计算树逻辑CTL和CTL *都变得有助于反应和并发系统的规范和验证。

以下示例是指单个计算，并结合活性和安全性：“只要达到警报状态，警报被激活并保持激活，直到最终达到安全状态”。 此属性在LTL中表示