维特根斯坦的数学哲学（一）
Ludwig Wittgenstein的数学哲学无疑是他哲学欧洲哲学最为未知的和不受欢迎的部分。 事实上，来自1929年至1944年的一半以上的Wittgenstein的着作致力于数学，这是一项事实，即Wittgenstein自己在1944年通过写作他的“主要贡献已经在哲学中数学”（1990：466僧侣）。
Travico Logico-Philosophicus（1922年）的核心非常多的数学概念非常多，他的主要目标是通过确定语言所需的内容来解决语言现实连接语言用法，即关于世界。 威特根斯坦部分地回答了这个问题，部分地通过断言我们可以用来使对现实的断言的唯一真正命题是偶然的（“经验”）命题，如果他们同意现实和假（4.022），这是真实的（4.022，4.25,4.062,2.222）。 由此看，所有其他明显的命题都是各种类型的伪命题，并且“真实”和“真实”的所有其他用途显着地偏离了与现实相关的真实对应（或协议）。 因此，从TrActatus至少到1944年，维特根斯坦认为，“数学命题”不是真正的命题，并且“数学真理”基本上是非参考和纯粹的句法。 在Wittgenstein的观点上，我们发明了数学计算，我们通过计算和证明来扩展数学，尽管我们从一个特定方式通过某些规则来源自定理可以从公理派生定理，但这种校验路径前的情况 - 推荐我们的建设。
正如我们所看到的那样，维特根斯坦的数学哲学在Tractatus的基本上开始，在中期发展成为一个有限的建构主义（哲学言论（1929-30）和哲学语法（1931-33）分别;此后的PR和PG分别），并进一步以新的和旧方向在用于数学基础（1937-44;以下RFM）中的讲话中的令人争论。 随着Wittgenstein对数学的实质性看法于1918年至1944年，他的写作和哲学风格从Tractatus的断言，动脉般的风格发展到中间的更清晰，争论的风格，到了辩证，rfm中的中间样式和哲学调查（以下，pi）。
1.威特根斯坦在Tractatus的数学上
2.中间维特根斯坦的过度建构主义
2.1维特根斯坦的中间建设性形式主义
2.2维特根斯坦的中间精神学
2.3维特根斯坦的中间精致性和算法可解脱性
2.4维特根斯坦的数学诱导和算法可解读性的中间叙述
2.5 Wittgenstein的中间陈述非理性数
2.5.1维特根斯坦的反基础和真正的非理性数量
2.5.2维特根斯坦的真实数字基本派与集合理论的危险
2.6维特根斯坦的中级批判理论
2.6.1集合，扩展和集合理论的虚构象征
2.6.2免于不可逆转
3.后来的威特根斯坦对数学：一些预备
3.1数学作为人类发明
3.1.1 Wittgenstein的后来反柏拉米士：数量的自然历史和柏拉米桩的空性
3.2 Wittgenstein后来的有限的建构主义
3.3后来的Wittgenstein对可辨icaby和算法可解脱性
3.4 Wittgenstein后来的集合理论批评：非统治性与非不可抗拒性
3.5额外数学应用作为数学有意义的必要条件
3.6 Wittgenstein onGödel和不可透明的数学命题
数学哲学对数学的影响
参考书目
维特根斯坦的着作
关于Wittgenstein的讲座和记录对话的说明
二次来源和相关主要文献
学术工具
其他互联网资源
相关条目
1.威特根斯坦在Tractatus的数学上
Wittgenstein的数学命题和术语的形式主义的概念在Tractatus开始。[1] 事实上，只要他在Tractatus草图中草图的基本哲学，他通过与真正（或有）命题，感觉，思想，命题标志及其主张造成对比数学和数学方程式进行造成数学和数学方程式组成名称，以及符合真理。
在Tractatus，Wittgenstein声称，美国搁置在公约后的真正命题被美国宣称，这是一种事态（即小学或原子事实;'Sachverhalt'）或事实（即，多个事务状况;'tatsache'）在一个人唯一的世界中获得。 一个基本命题对可能的状态是可能的，它用于表示：它必须包含尽可能多的名称，因为可能存在对象。 一个基本命题是真正的IFF它可能的事态（即，它的“感觉”;'SINN'）获得。 Wittgenstein明确地说明了这对应的真理理论（4.25）：
如果基本命题是真的，事态存在; 如果基本命题是假的，事态不存在。
但主张及其语言部件在自己身份中，死亡，一个命题只有感觉，因为我们人类已经赋予了传统意义（5.473）。 此外，命题标志可用于做任何数量的事情（例如，侮辱，抓住某人的注意）; 为了断言事态获得，一个人必须“项目”命题感觉 - 它可能的事态 - 通过“思考”（例如，描绘）其感觉，因为一个人说话，写作或思考命题（3.11）。 Wittgenstein通过说“如果我们用它说出以某种方式站在，并且他们做的事情”（4.062;斜体添加），“如果我们用它可以说出一个命题，那么这个命令就是如此。
真正（或有）命题和（原始和）真理核心概念的牵手概念用于构建逻辑和数学“命题”的理论。 大胆地聪明，直言不讳，tautologies，矛盾和数学命题（即，数学方程式）既不是真实也不是假的 - 我们说他们是真的还是假，但在做的那样，我们在非常不同的情况下使用“真实”和“假”的单词从某种意义中感测，其中偶然命题是真或假的。 与真正的命题不同，tautologies和矛盾“没有”主题“问题”（6.124），“缺乏感觉”，“没有”关于世界（4.461），而且类似地，数学方程是“伪”命题“（6.2），当”真实“（'正确';'richtig'（6.2321）），”仅仅是... ['两个表达式']“（6.2323）。 鉴于“[T]自身和矛盾是限制案例 - 确实是崩解的迹象组合”（4.466;斜体添加），在哪里
与世界的协议条件 - 代表关系 - 互相取消，以便[他们]做[]不符合任何与现实的代表性关系，
Tautologies和矛盾不是界定现实或可能的事物和可能的事实（4.462）。 不同地说，Tautologies和矛盾没有意义，这意味着我们不能使用它们来制作断言，这又意味着它们不能是真或假的。 类似地，数学伪命题是方程，其表示或表明两个表达式在含义中等同，因此是惰性的。 实际上，我们通过“替代方法”到达数学方程式：
从许多方程开始，我们通过根据方程式代替不同的表达式来前进到新的方程。 （6.24）
我们证明了数学“命题”“真实”（“看到”那个表达式具有相同的含义，它“必须在两个表达式中表现出来”（6.23），并通过相同的含义代替一个表达。 正如“人们可以认识到['逻辑命题']是从单独的符号中的真实”（6.113）“（6.113）”（6.113）“的可能性”的数学命题意味着我们可以感知他们的正确性，而不必与事实进行比较“他们表达的东西”（6.2321; CF.RFM应用程序。III，§4）。
或者可以用来正确或错误地代表世界各地的划分，以及可以以纯粹的正式，句法方式决定的数学命题由维特根斯坦维护，直到1951年死亡（Zettel§701,1947; PI II，2001年版，PP。192-193E，1949）。 鉴于语言和象征的惯例，偶然命题的真实价值完全是世界的函数，而数学命题的“真实价值”是其组成符号的函数和它的正式系统是一部分。 因此，陈述这一界限的第二个，密切相关的方式是通过纯粹正式的手段（例如，计算）来说，数学命题是可判定的，而偶然的命题是关于“外部”世界，只能决定，如果大自一程，那么通过确定特定事实是否获得（即，提出的命题外部以及其所在的语言）（2.223; 4.05）。
具体而言，数学的牵手形式的数学理论是正式运营的理论。 在过去的20年里，维特根斯坦的运营理论得到了相当大的考试（Frascolla 1994,1997; Marion 1998; Potter 2000;和Floyd 2002），它已经有趣地联系在一起和与元素的算术算术理论。Alonzo教堂的λ-微积分和R. L. Goodstein的公正微积分（Marion 1998：第1章，2和4章）。 非常简短地说，维特根斯坦礼物：
......为一系列形式A，O'a，O'o ...的符号'[a，x，o'x]'，O'a，O'a ...... （5.2522）
...操作ω'的一般形式（
¯
η
）[作为]
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ξ
，n（
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）]“（
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）（= [
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η
，
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，n（
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）]）。（6.01）
......一个命题的一般形式（“真实性函数”）[如] [
¯
p
，
¯
ξ
，n（
¯
ξ
）]。 （6）
整数[自然数]的一般形式[AS] [0，ξ，ξ+ 1]。 （6.03）
添加该号码的“他的概念是......一个数字的一般形式”（6.022）。 正如弗拉斯洛拉（和他之后）所指出的那样，“一个命题的一般形式是”操作“一般形式的一个特别的案例（Marion 1998：21），以及所有三种一般形式（即，运作，命题和自然数）是在（5.2522）（Marion 1998：22）上的变量上建模。 定义“[a] n操作[AS]其结果和其基础的结构之间的关系的表达”（5.22），Wittgenstein指出，而“[A]函数不能成为自己的论点，......操作可以将其其它结果之一作为其基础。（5.251）。
关于Wittgenstein（5.2522）的“[A，X，O'X]的叙述，
括号化表达的第一项是表格系列的开始，第二是从序列任意选择的术语x的形式，第三[O'x]是立即遵循序列中的术语的形式。
鉴于“他的连续应用程序的概念相当于概念”等等“（5.2523），可以看出如何通过自然数的一般形式的重复迭代来生成自然数量，即'[0，ξ，ξ+1]'。 同样，可以生成真理功能命题，因为拉塞尔在介绍Tractatus（P.XV）中，来自一个命题的一般形式[
¯
p
，
¯
ξ
，n（
¯
ξ
）]'通过
采取任何选择原子命题[其中P“代表所有原子命题”; “变量上的杆表示它是所有值的代表”（5.501）“，否定它们，然后拍摄任何选择现在获得的任何命题，以及任何原始的主题[其中x”代表任何一个命题“] - 等等无限期。
在FraScolla（1994年：3FF）账户上，
数值标识“T = S”是算术定理，如果才能证明只有在逻辑运营理论的语言中伪造的相应等式“ωt'x=ωs'x”，则只能证明。
通过证明
等式“ω2×2'x =ω4'x”，它将算术标识“2×2 = 4”转换为操作语言（6.241），
维特根斯坦从而概述了“数值算术的翻译成一种一般的行动理论”（Frascolla 1998：135）。
尽管Wittgenstein显然不会试图以罗素的方式或弗赖吉的方式减少数学，或者对于Tautologies，尽管Wittgenstein批评Russell的逻辑学（例如，类型的理论，3.31-3.32;还原性的公理，6.1232等）和Frege的逻辑学（6.031,4.1272等），[2]相当多的评论员，早期和最近，已经解释了Wittgenstein的数学的牵手理论作为逻辑中的变种（Quine 1940 [1981：55]; BenaCerraf和Putnam 1964A：14; Black 1964：340; Savitt 1979 [1986：34]; Frascolla 1994：37; 1997：354,356-57,361; 1998：133; Marion 1998：26和29;和波特2000：164和182-183）。 这种解释有至少有四种原因。
Wittgenstein说“[M] athematics是一种逻辑方法（6.234）。
Wittgenstein说，通过逻辑命题在Tautologies中显示的世界的逻辑，在数学方程中显示“（6.22）。
根据Wittgenstein的说法，通过单独的符号（即，通过纯粹的正式行动）来确定数学和逻辑主张的真实性，而不会产生任何（'外部'，非象征）的事务或世界事实的观察。
Wittgenstein的迭代（归纳）“作为操作变量的指数的数字解释是”运行理论的减少“，其中”操作“被解释为”逻辑操作“（斜体添加）（Frascolla 1994：37），这表明”标签“无课程逻辑”“算术的TRACTATUS观”（Frascolla 1998：133; 1997：354）。
尽管在过去的20年内，在过去的20年内至少出现了三个逻辑主义解释，但以下考虑（Rodych 1995; Rodych 1995; Wrigley 1998）表明这些原因尤其涉及。
例如，在说“[m] athematics是一种逻辑方法中，可能只有Wittgenstein只是说，由于自然数量和一个主张的一般形式的一般形式是（纯粹正式）操作的一般形式的情况，就像真实一样可以使用主题的一般形式构建功能命题，（真的）可以使用自然数的一般形式来构造数学方程。 或者，维特根斯坦可能意味着数学推论（即，不是替代）均符合或利用逻辑推断，并且在数学推理中，数学是逻辑的，是一种逻辑方法。
同样，在说“世界的逻辑”时，Tautologies和真正的数学方程（即，＃2）所示，Wittgenstein可能会说，因为数学是为了帮助我们计算和衡量，而不是它使我们能够从偶然命题推断出来的命题（S）（见下文6.211），从而反映了偶然的事实和“世界逻辑”。 虽然逻辑 - 这是自然的逻辑（'日常'）语言（4.002,4.124）并且已经演变为满足我们的交际，探索性和生存需求 - 不是以相同的方式发明的，有效的逻辑推断捕获在可能事实和声音逻辑推断之间的关系捕获存在的事实之间的关系。
关于＃3，黑色，救世主和弗拉斯罗拉争辩说，由于我们确定了Tautologies和数学方程的真相，而不对“事务”或“事实”或“事实”，真正的数学方程式和Tautologies是如此类似的可以“恰当地”描述“Traveratus算术的哲学......（Frascolla 1994：37）。 rejoinder是弗拉斯洛拉，黑色和救世主识别的相似性不会使维特根斯坦的理论是“种类的逻辑论”，因为Wittgenstein没有在弗赖奇的“逻辑上”定义数字“逻辑上”方式或罗素的方式，Tautologies和真实数学方程之间的相似性（或类比）既不是一个身份也不是还原性的关系。
最后，批评者争辩说＃4的问题是，没有证据表明相关操作在Wittgenstein或Russell的或Frege的术语中逻辑 - 似乎是一个纯粹的正式，语法操作。 “WVC 218（WVC 218）表示，”用命题，算术算法进行逻辑运算“ “[T]他的逻辑操作是一个命题，算术的结果是一个数字”。 总而言之，逻辑学家对TrActatus解释的批评者认为，#：1-4没有单独或共同构成逻辑主义的逻辑理由来解释Tractatus。
在（6.211）中捕获了数学牵手理论的另一个关键方面。
确实在现实生活中，数学命题绝不是我们想要的。 相反，我们只利用来自不属于数学的主张的推论，同时不属于数学的引发。 （在哲学中的问题中，'我们真正使用这个词或这个命题是什么？'反复导致宝贵的见解。）
虽然数学和数学活动纯粹是正式和句法的，但在Tractatus Wittgenstein中默许地区分纯粹正式的比赛与迹象，这些迹象没有申请或有命题，以及用于制造的数学命题和数学命题从偶然命题推论到偶然命题。 然而，Wittgenstein没有明确地说，没有真正命题的数学方程如何在从真正命题到真正命题的推论中（Floyd 2002：309; Kremer 2002：293-94）。 正如我们将在§3.5中看到的那样，后来的Wittgenstein返回额外数学应用的重要性，并使用它来区分从真正的数学语言游戏中的“标志游戏”。
简而言之，这是Wittgenstein的数学的牵手理论。 在介绍Tractatus，Russell写道，Wittgenstein的“数量的数字”“需要更大的技术发展”，主要是因为Wittgenstein没有表现出它如何处理Transfinite号码（Russell 1922 [1974]：xx）。 同样，在他对Tractatus的审查中，Frank Ramsey写道，Wittgenstein的“账户”不会部分地涵盖所有数学，因为Wittgenstein的等式理论无法解释不平等（Ramsey 1923：475）。 虽然这是一个值得怀疑的是，1923年，维特根斯坦会认为这些问题有问题，但它肯定是真实的，即若要的数学理论基本上是一个草图，特别是与维特根斯坦在六年后开始发展的比较。
