维特根斯坦的数学哲学（二）

在1918年完成Tractatus之后，维特根斯坦在1929年2月2日之前没有哲学工作，在荷兰Mathematician L.E.J的讲课后十一个月。 布鲁韦。

2.中间维特根斯坦的过度建构主义

毫不犹豫地毫不基本士被L.E.J.的邀请。 1928年3月10日，1928年3月10日维也纳讲座“科学，数学和语言”（Brouwer 1929），他参加了F. Waismann和H. Feigl，但这是说他回到的总夸张由于这讲座或者他对数学哲学的中间兴趣主要来自Brouwer的影响。 事实上，维特根斯坦回归哲学和他对数学的中级工作也是由于与Ramsey和Vienna Circle成员的对话，以维根斯坦与Ramsey的分歧以及其他几个因素的分歧。

虽然Wittgenstein似乎在完成Tractatus之前没有读过任何希尔伯特或Brouwer，但到1929年初，Wittgenstein肯定通过Brouwer，Weyl，Skolem，Ramsey（并且可能是Hilbert [显然，他于1928年与Brouwer有一个或多个私人讨论（Finch 1977：260; Van Dalen 2005：566-567）。 因此，在罗素和弗赖尔斯在罗素和弗赖吉的基本治疗数学的基本治疗，在中期的数学（1929-1933）上取得了成功，在20世纪20年代的工作受到强烈影响Brouwer，Weyl，Hilbert和Skolem。

2.1维特根斯坦的中间建设性形式主义

为了最好了解维特根斯坦的数学哲学，必须充分欣赏他的强烈形式主义的变体，根据该形式主义，根据该形式的“[w] e制造数学”（WVC 34，注1;PR§159）发明纯粹的数学Calculi，具有“规定”的公理（PR§202），转型句法规则，以及使我们通过算法决定所谓的数学的命题来发明“数学真理”和“数学虚假”的决策程序'（Pr§§122,162）。

Wittgenstein的形式主义从1929年（如果不是1918）到1944年的核心思想是数学是基本上是句法的，没有参考和语义。 这个观点中最明显的方面，这是由无数评论者指出的，这些人没有将Wittgenstein称为“形式主义者”（Kielkopf 1970：360-38; Klenk 1976：5,8,9; Fogelin 1968年：267; Frascolla 1994：40; Marion 1998：13-14），是对抗柏拉图，数学微积分的标志和命题不提及任何内容。 随着Wittgenstein所说的（WVC 34，注1），“[n] umbers不是由代理代表的; 数字是“。 这意味着不仅在使用中存在数字，这意味着数字是数字，对于“[a]竞争不谈论数字，它适用于数字”（pr§109）。

什么算术涉及的是模式||||||。但是算术谈论我用铅笔在纸上画出的线条吗？ - 批分法不谈论线路，它与他们一起运行。 （PG 333）

在类似的静脉中，Wittgenstein说（WVC 106）“数学总是机器，微积分”和“[A]微积分是算盘，一个计算器，一个计算机器”，“通过笔划，数字工作”等等“。 根据Wittgenstein（WVC 105）的说法，“正式主义的正式主义方面”是，数学符号“缺乏意义”（即，Bedeutung） - 他们不会“去代理”他们的意思是“的”事情“。

你可以说算术是一种几何形状; 即，几何是纸上的结构，在算术中是计算（在纸上）.-你可以说它是一种更普遍的几何形状。 （PR§109;PR§111）

这是维特根斯坦终身形式主义的核心。 当我们证明定理或决定一个主张时，我们以纯粹的句法方式运作。 在做数学时，我们不会发现“已经存在的情况下没有一个人知道”（第481页） - 我们发明数学，逐点点。 “如果你想知道2 + 2 = 4意思是”，Wittgenstein说：“你必须问我们如何解决它”，因为“我们将计算过程视为必要的东西”（PG 333）。 因此，数学命题具有系统内含义的唯一含义（即，感觉），其完全由其对微积分的其他命题的语法关系决定。

中级维特根斯坦强烈形式主义的第二个重要方面是他认为额外数学申请（和/或参考）不是数学微积分的必要条件。 Mathemical Charmuli不需要额外数学应用程序，因此Wittgenstein辩称，因为我们“可以完全自主地发展算术，并且它的应用从任何地方都适用时，我们也可以应用它”（Pr§109; CF.PG 308，WVC 104）。

正如我们不久所看到的，中间威特根斯坦也被毁林问题的新问题所吸引到强大的形式主义。 无疑受到Brouwer和David Hilbert的作品的影响，Wittgenstein使用强大的形式主义来伪造数学意义和算法可解脱性之间的新联系。

等式是语法的规则。 这并没有解释为什么我们不能在数学中有问题，这是原则上不可否认的？ 因为如果语法规则不能掌握，它们根本没有使用...... [这]可以理解形式主义的尝试将数学视为与迹象的游戏。 （PR§121）

在第2.3节中，我们将看到Wittgenstein如何通过以一种限制对算法可判定的表达的方式限制数学命题的方式来超越希尔伯特和Brouwer。

2.2维特根斯坦的中间精神学

早期和中间威特根斯坦之间的最重要差异是，在中期，维特根斯坦拒绝在无限数学域中的量化，陈述，对抗他的牵手观点，这些“命题”不是无限的连词和无限的剖钉只是因为没有这样的东西。

Wittgenstein制定过度的数学哲学的主要原因如下。

数学作为人类发明：根据威特根斯坦的中间，我们发明了数学，从而遵循了数学和所谓的数学对象与我们的发明无关。 无论是什么数学都基本上是人类活动的产物。

数学计算专门包括加重和扩展：鉴于我们仅发明了数学延伸（例如，符号，有限集合，有限序列，命题，公理）和数学强化（例如，推理和转型规则，非理性数量为规则），这些延伸和强度，以及它们所在的计算，构成了全部数学。 （应该指出的是，对于数学，Wittgenstein的使用情况与标准的当代使用量显着不同，其中谓词的延伸是满足谓词和谓词的内涵的集合。是谓词的含义或表达的谓词。简化简洁地，Wittgenstein认为，从存在（即，物理）对象的域到所谓的“数学对象”域的概念和扩展的概念的扩展基于a有缺陷的类比和加剧概念混乱。见下面的＃1。）

这两个原因对维特根斯坦的数学哲学至少有五次立即后果。

拒绝无限数学扩展：假设数学扩展是符号（'符号'）或符号延伸的符号的有限级联，数学强度和（有限）数学扩展之间存在分类差异，从而遵循“数学无限”仅在递归规则（即，加重）中居住。 无限的数学延伸（即完成，无限数学扩展）是一种矛盾

拒绝在数学中的无界量化：鉴于数学无限只能是递归规则，并且鉴于数学命题必须有意义，因此不能存在无限的数学命题（即，无限逻辑产品或无限逻辑和）。

算法可辨icability与未定名性：如果各种的数学延伸是有限的，那么原则上，所有数学命题都是算法可判定的，从中脱节，从中遵循“未定定的数学命题”是一种矛盾的条件。 此外，由于数学基本上是我们所拥有的以及我们所知道的，Wittgenstein限制了算法解锁，以了解如何确定具有已知决策程序的主张。

反基础知识的实数：由于没有无限数学扩展，因此不合理的数字是规则，而不是扩展。 鉴于无限集是递归规则（或归纳），没有这样的规则可以生成所有数学家呼叫（或想要调用）“实数”的规则，所以遵循的是没有一组'所有'的实数，也没有像数学那样的东西连续。

拒绝不同无限基数：鉴于无限数学延伸的不存在，Wittgenstein拒绝了陈哥对角线证明的标准解释，作为无限的大型和较小基数的证据。

由于我们整体发明数学，我们不会发现预先存在的数学对象或事实或数学对象具有某些属性，因为“一个人无法发现已经存在的数学或数学或逻辑部分之间的任何连接”（PG 481）。 在将数学视为纯粹的人类发明中，Wittgenstein试图确定我们所发现的究竟是什么，为什么在他看来，我们错误地认为有无限的数学延伸。

如果首先，我们会检查我们发明的内容，我们看到我们已经发明了由有限扩展和密集规则组成的正式计算。 更重要的是，我们努力确定为什么我们认为存在无限的数学延长（例如，为什么我们认为实际无限是数学的内在），我们发现我们将数学强度和数学混合延伸，错误地认为“法律和无限系列遵守它的双重”（PR§180）。 例如，我们认为，因为实际数字“无休止地产生十进制分数的地方”（PR§186），它是“整体”（WVC 81-82，注1），当实际上，“[A] N不合理的数字不是延伸无限十进制分数，......这是”收益延长“（PR§186）的法律”（PR§181）。 法律和一个名单从根本上不同; 既不能“给出”另一个给出的东西（WVC 102-103）。 实际上，“设定理论方法中的错误组成了时间，并再次将法律和枚举（清单）视为基本相同的东西”（PG 461）。

与这种加重和延伸的混合密切相关的是，我们错误地行动了“无限”这个词，因为在普通话语中，我们回答了“多少？多少？” 两者（pg 463; cf.pr§142）。 但“”[i] nfinite'不是数量“，Wittgenstein坚持（WVC 228）; “无限”单词和数字字，如'five'，没有相同的语法。 “有限”和“无限”单词不起作用在“类”或“设置”（WVC 102）上的形容词，用于以完全不同的方式（WVC 228）以“有限类”和“无限类”使用“类”。 无限类是递归规则或“归纳”，而有限类的符号是列表或扩展名（PG 461）。 这是因为诱导与我们错误地称之为无限级别的有限类的多个级别（PR§158）。

总之，因为数学延伸必须是有限符号序列，所以无限的数学扩展是一种矛盾。 这是维特根斯坦的精神主义的基础。 因此，当我们说，例如，“无数偶数数量”时，我们并没有说“偶数偶数的无限数量”与我们可以说“这所房子有27人”; 无限系列的自然数量只不过是“有限系列的无限可能性” - “[i] t无知，谈论整个无限数系列，好像它也是一个延伸”（Pr§144）。 当据了解，而不是数量，而是作为“无限可能性”（PR§138）时，无限地理解无限。

鉴于Wittgenstein对无限数学延伸的拒绝，他采用了有关数学量化，数学可解脱性，实数的性质，以及Cantor对对角线证明无限套装更大的对角线证明基数。

由于数学集是有限的扩展，因此我们无法通过无限数学域定量量化，仅仅因为没有无限数学域（即，集成，设置），并且衍生地，无限的东西连词或剖钉（G.E. Moore 1955：2-3; CF.AWL 6;和PG 281）。

[i]现在仍然看起来好像量词没有任何意义。 我的意思是：你不能说'（n）φn'，正是因为'所有自然数字'不是有界概念。 但是，这两者都不应该说一般的命题，从一个关于数字的性质的一个主张中遵循。

但在这种情况下，在我看来，我们根本不能在数学中使用一般性 - 全部等。 没有“所有数字”这样的东西，只是因为有绝对的许多人。 （PR§126;PR§129）

断言“extenionalists”谁断言“ε（0）。ε（1）。向下或枚举无限结合中所包含的所有合并只是一个”人类弱点“，因为上帝肯定会这样做，而上帝肯定会在一目了然地调查这样的联合并确定其真实价值。 然而，根据维特根斯坦的说法，这不是人为限制的问题。 因为我们错误地认为“无限的结合”类似于“巨大的联合”，我们错误地说，就像我们无法确定一个巨大的结合的真实价值一样，因为我们没有足够的时间，我们同样不能因为人为的限制而确定真相 - 无限结合（或分离）的值。 但这在这里的差异不是学位之一，而是善良的：“在不可能检查无限数量的命题的意义上，也不可能尝试这样做”（PG 452）。 根据Wittgenstein的情况，这适用于人类，但更重要的是，它也适用于上帝（即，无所不知），因为即使是上帝不能写下或过度调查，因为他也是不是结束或者无限，因此“任务”不是一个真正的任务，因为原则上不能这样做（即，“无限很多”不是一个数字词）。 正如Wittgenstein所说的那样（PR 128; CF.PG 479）：“”“”上帝知道所有的地方的Π？'对学生来说是一个很好的问题要问“，因为这个问题严格”毫无意义“。 由于我们不久，在Wittgenstein的账户上，“关于所有数字的声明不是通过命题，而是通过归纳的方式表示（WVC 82）。

类似地，没有关于一些数字的数学命题，没有这样的事情作为在无限域（Pr§173）上存在量化的数学命题。

这种数学命题是'（∃n）4 + n = 7'的含义是什么？ 它可能是一个分离 - （4 + 0 = 7）∨（4 + 1 = 7）∨等.DIF。 但这意味着什么？ 我可以用一开始和结束了解一个命题。 但是，人们也可以理解一个没有结局的命题吗？ （PR§127）

我们特别引起的感觉或信念，即无限数学脱位在我们可以提供用于生成无限序列的每个下一个成员的递归规则的情况下，无限的数学脱位在良好的情况下发挥了良好的意义。 例如，当我们说“存在一个奇怪的完美数字”时，我们断言，在无限奇数序列中，（至少）一个奇数是完美的 - 我们是断言'φ（1）∨φφ（3）∨φ（5）∨和所以“我们知道会使其成为真实，并且将其变为假（pg 451）。 根据Wittgenstein（PG 451）的说法，这里的错误是，我们隐含地“将命题”（∃n）......'与命题进行比较......“这个页面上有两个外来词'”，它没有提供前者'命题'的语法，但只表明了各自的规则中的类比。

在Wittgenstein的中间精神主义上，在无限域上量化的表达式永远不是一个有意义的命题，即使我们已经证明了特定数字N具有特定财产的情况也不是有意义的命题。

重要的一点是，即使在我给出32 + 42 = 52的情况下，我也不会说'（∃x，y，z，n）（xn + yn = zn）'，因为基地毫无意义地采取了毫无意义的，并且整体落实这不提供证明它。 不，在这种情况下，我应该只表达第一个等式。 （PR§150）

因此，Wittgenstein采用自由基位置，即所有表达式量化在无限域，无论是“猜想”（例如，Goldbach的猜想，双重奖励）或“证明一般定理”（例如，“欧几里德的素数定理”，代数的基本定理，毫无意义（即，“毫无意义的”;'Sinnlos'）表达与“真正的数学命题”相反“（Pr§168）。 根据维特根斯坦的说法，这些表达不是（有意义的）数学命题，因为被排除的中间的法律不适用，这意味着“我们不处理数学命题”（PR§151）。 至关重要的问题为什么和究竟是什么意义，被排除的中间的法律不适用于此类表达，将在下一节中得到解答。

2.3维特根斯坦的中间精致性和算法可解脱性

中间威特根斯坦有其他理由拒绝数学在数学中，对于他的特殊账户，我们必须区分数学符号的四类级联。

在特定数学微积分中证明了数学命题（不需要“数学真理”）。

在特定数学微积分（无需“数学虚假”）中驳斥的数学命题。

我们所知道的数学命题我们掌握了适用和有效的决定程序（即，我们知道如何决定它们）。

非任何数学微积分的符号的级联，因此，因此，这不是数学命题（即，非命题）。

在他的2004年（第18页）中，Mark Van Atten说

...... [i] ntuitionally，有四个[“关于真相一个主张的可能性”]：

P已经历过真实

P已经历过FALSE

尚未发生1点也不是2，但我们知道一个决定p（即，将证明p或provo¬p的程序）的过程

尚未发生1点也不是2，我们不知道一个决定p的程序。

关于Wittgenstein的#：1-3和Brouwer的#：1-3（Brouwer 1955：114; 1981：92）是什么样的什么是巨大的相似性。 然而，对于所有协议，＃4中的分歧绝对至关重要。

作为各自的＃3S，Brouwer和Wittgenstein同意，如果我们知道适用的决定程序，未定的φ是一个数学命题（对于特定数学微积分的Wittgenstein）。 他们还同意，直到φ决定，它既没有真实也不是假（但是，对于Wittgenstein，'真实'意味着不超过“在微积分γ”中）。 他们不同意的是普通数学猜想的地位，例如Goldbach的猜想。 Brouwer承认它是一个数学命题，而Wittgenstein则拒绝它，因为我们不知道如何进行算法决定它。 像Brouwer（1948 [1983：90]），数学中没有“未知的真相”，但与Brouwer不同，他否认了这样的理由存在“不可思议的命题”“命题”将没有“有道”，“”这一结果恰恰是逻辑的命题失去了他们的有效性“（Pr§173）。 特别地，如果存在未定定的数学命题（作为BROROWER维持），则至少一些数学命题不是任何存在的数学微积分的主张。 然而，对于Wittgenstein，它是数学命题的定义特征，即通过在数学微积分中通过已知的决策程序来确定或解密的数学命题。 正如Wittgenstein所说的那样（Pr§151），

在被排除的中间法律不适用的情况下，任何其他逻辑法则也适用，因为在这种情况下，我们不处理数学命题。 （针对Weyl和Brouwer）。

这里的重点不是我们在数学中需要真理和虚假 - 我们没有 - 而是已知每个数学命题（包括所知道的适用决定程序的那些）是数学微积分的一部分。