维特根斯坦的数学哲学（三）

为了维持这个职位，Wittgenstein区分（有意义的，真正的）数学命题，这些命题具有数学意义，并且通过规定表达式是一个有意义的（真实）命题的表达，有意义的（'sinnlos'）表达式数学微积分IFF我们知道证明，驳斥或适用的决策程序（PR§151; PG 452; PG 366; AWL 199-200）。 “只有解决方法的方法[找到解决方案的逻辑方法]]是否有一个[数学]问题”，他告诉我们（PR§§149,152; pg 393）。 “我们只能在数学中提出一个问题（或制作猜想）”，他补充道（PR§151），“答案运行的地方：'我必须把它搞砸'”。

在（PG 468）中，Wittgenstein显然强调了算法可解密性的重要性：

在数学中一切都是算法，没有什么意义[bedeutung]; 即使它看起来不那样，因为我们似乎正在使用单词来谈论数学的东西。 即使这些单词也用于构建算法。

因此，当Wittgenstein说（PG 368），如果“被排除的中间的法律”应该不持有，我们已经改变了命题的概念“，他意味着如果我们知道适用的决定程序，表达只是一个有意义的数学命题决定它（pg 400）。 如果尚未确定真正的数学命题，则被排除后的中间的法律持有我们知道我们将通过应用适用的决定程序（PG 379,387）来证明或反驳这个命题。

对于WittGenstein，在数学中的语法和语义之间没有区别：一切都是语法。 如果我们希望在“数学命题”与“数学命题”之间进行划分，就像我们一样，那么确保没有有意义的东西，而且不可思议（例如，独立），命题的唯一方法给定的微积分是规定，如果已经决定或我们知道适用的决定程序，表达在给定的微积分中只是一种有意义的命题（PR§153）。 以这种方式，Wittgenstein在认知术语中定义数学微积分和数学命题。 在规定（PR§202; pg 369）中定义微积分，已知的操作规则和已知的决策程序，并且表达仅是给定的微积分中的数学命题（PR§155），并且仅当该微积分包含（PG 379）一个已知的（和适用的）决定程序，因为“您不能有逻辑搜索您不知道的逻辑搜索”（Pr§148）。

因此，中间威特根斯坦拒绝了两个地面的不可透明的数学命题。 首先，通过无限域量化的数字 - 理论表达式不是算法上可判定的，因此没有有意义的数学命题。

如果有人说（作为BROROWER确实）的（x）f1x = f2x，也有，也没有，也是不可思议的情况，这意味着'（x）......'是基础的，我们可能会谈到所有x发生的情况有一个财产。 然而，在真理中，无法谈论这种情况，并且在算术中的“（x）...”无法延伸。 （PR§174）

“不可思议的是”，说：Wittgenstein（PR§174）“假设......桥不能用符号制作”，当实际上，当存在但不能被符号变换表示的符号之间的[a]连接是一个无法被认为的思想“，对于”[i] f连接，...必须看到它“。 拟定算法可解脱性，Wittgenstein应力（PR§174）“[w] e可以断言可以在实践中检查的任何东西”，因为“这是一个检查可能性的问题”（斜体添加）。

Wittgenstein拒绝不可思议的数学命题的第二个原因是它是一种矛盾的。 维特根斯坦争辩（Pr§173），由于在一些实际微积分中不可解除的表达，因此不是一种数学命题，因为“数学中的每一个命题必须属于微积分以来数学”（PG 376）。

这种关于可解除性的激进位置导致各种激进和反向直观的陈述，关于不受限制的数学量化，数学诱导，特别是新证明的数学命题的感觉。 特别是，维特根斯坦宣称，无辅助的数学猜想，例如Goldbach的猜想（以下“GC”）和Orshile猜想“Fermat的最后定理”（以下）'flt'），没有任何意义（或者，也许，没有决定性的意义）并且这种猜想的不系统证明使其是一种以前没有（pg 374），因为

当我有证据时，我应该承认我应该承认，这是一个正是这个命题的证据，或者归纳的证据。 （PR§155）

因此，Fermat的[最后定理]毫无意义，直到我可以搜索到基数中的方程式的解决方案。 和“搜索”必须始终意味着：系统地搜索。 关于金戒指的外观上无限空间的蜿蜒缺陷是没有搜索。 （PR§150）

我说：所谓的'Fermat的最后定理'不是一个主张。 （即使在算术的命题的意义上也不是。）相反，它对应于诱导。 （PR§189）

为了了解Fermat的最后定理是如何命中的命题以及它如何与归纳相对应，我们需要检查Wittgenstein的数学归纳。

2.4维特根斯坦的数学诱导和算法可解读性的中间叙述

鉴于一个人不能通过无限数学域量化，问题出现了：如果有的话，通过数学归纳的任何数字证明实际上是证明？

在标准视图上，数学归纳的证明具有以下范式形式。

归纳基础：φ（1）

归纳步骤：∀n（φ（n）→φ（n + 1））

结论：∀nφ（n）

但是，如果“∀nφ（n）”不是一个有意义的（真正的）数学命题，我们要制造这个证据是什么？

Wittgenstein对这个问题的初步答案是明显的。 “诱导是算术普遍性的表达”，但“诱导本身并不是一个命题”（PR§129）。

我们并不是说当F（1）保持和当f（c + 1）从f（c）遵循时，因此命题f（x）因此的所有基数都是如此：但是：“命题f（x）为所有基数数字保持”意味着“它持有x = 1和f（c）”遵循f（c + 1）。 （PG 406）

在通过数学归纳的证据中，我们没有实际证明“命题”[例如，∀nφ（n）]，其通常被解释为证明的结论（pg 406,374;pr§164），而是这一伪命题或“声明”代表“无限可能性”（即“，”归纳“），我们通过证明（WVC 135）来”见“。 “我想说”，Wittgenstein的结论是，“一旦你有归纳，它就还在了”（PG 407）。 因此，在维特根斯坦的账户中，应以下列方式理解数学归纳的特定证明。

归纳基础：φ（1）

归纳步骤：φ（n）→φ（n + 1）

代理声明：φ（m）

这里的感应证明的“结束”[即“，”将被证明“（PR§164）]使用'm'而不是'n'表示'm'代表任何特定数字，而'n'代表任何任意数字。 对于WittGenstein，代理声明“φ（m）”不是一个数学命题，即“断言[S]其一般性”（PR§168），它是被证明的电感底座的可消除的伪命题代理和归纳步骤。 虽然归纳证明不能证明“申请无限可能”（PR§163），但它使我们能够构建“感知”直接证明任何特定主张（PR§165）。 例如，一旦我们已经证明了“φ（1）”和“φ（n）→φ（n + 1）”，我们不需要重复模式Ponens M-1次以证明特定的命题“φ（m）”（Pr§164）。 例如，直接证明“φ（714）”（即，没有713次迭代的Modus Ponens）“不能有一个更好的证据，说明我的衍生来到这个命题本身”（PR§165）。

第二个，对于维特根斯坦的基本建构主义对数学诱导的局部地位非常重要的推动是他对不可判定的数学命题的拒绝。

在讨论数学命题的可加素中，有时表示有很多关于数学主张，其真实或谎言必须仍未确定。 那些说不要意识到的人是这样的命题，如果我们可以使用它们并想称之为“命题”，并不像在其他情况下被称为“命题”的情况一样; 因为证明改变了一个命题的语法。 （PG 367）

在这段经文中，Wittgenstein暗示了Brouwer，早在1907年和1908年，国家首先，“Tertii Exclusi的有效性的问题相当于不可检测的数学问题的问题存在”第二，这里的“[t]不是一个证据来定罪......即存在没有无法解决的数学问题”，并且第三，存在有意义的命题/“问题”，例如“在π的十进制扩展中发生了有意义的命题/”问题“无数的连续相等的数字对？”，被排除的中间的法律不适用，因为“它必须被视为不确定是否像[此]是可解决的问题]（Brouwer，1908 [1975：109-110]）。 “Fortiori难道不确定任何数学问题都可以解决或证明是无法解决的”，Brouwer说（1907 [1975：79]），“虽然希尔伯特，在”Mathematische问题“中，相信每一个数学家都深刻地相信它”。

Wittgenstein采用相同的数据，在某种程度上取得相反的结论。 如果，随着Brouwer所说，我们不确定所有或一些“数学问题”是可解决的，那么我们知道我们没有一个适用的决定程序，这意味着所谓的数学命题在这里和现在都不会判定可判定。 “与真正的问题有什么”的数学问题“，Wittgenstein说（Pr§151），”只是他们可以回答“。 这意味着如果我们不知道如何决定表达，那么我们不知道如何使其证明（真实）或驳斥（假），这意味着被排除的中间“不适用”，因此，我们的表达不是数学命题。

在一起，维特根斯坦的精神主义及其对算法可解脱性的标准，对他的高度争议言论，关于诸如FLT和GC等规定有意义的猜想的高度争议言论。 GC不是数学命题，因为我们不知道如何决定它，如果像G. H. HARY这样的人说他“相信”GC是真的（PG 381; LFM 123;PI§578），我们必须回答他/他/他“对目前系统的扩展可能性有所了解”（LFM 139） - 如果一个人知道如何证明它，那么只能相信这种表达是“正确”。 可以证明GC（或FLT）的唯一感觉是它可以“对应于诱导校验”，这意味着未经制剂的归纳步骤（例如，“G（n）→g（n + 1））和表达”∀ng（n）“不是数学命题，因为我们没有寻找感应的算法手段（PG 367）。 在感应验证之前，“一般命题”是毫无遗忘的“因为如果在发现特定证据之前已知的一般决定方法”（pg 402），则该问题仅是有意义的。 未经证实的“诱导”或归纳步骤并不有意义的命题，因为被排除的中间的法律没有持有我们不知道决定程序的意义，我们可以证明或反驳表达式（PG 400; WVC 82）。

然而，这个职位似乎抢劫了任何理由，以寻找一个无意义的“表达”（如GC）的“决定”。 中级威特根斯坦只说“[a]数学家是......由......与前一个系统的某些类似物”，如果有人与Fermat的最后定理感到疑问，那就没有“错误或非法”（WVC 144）。

如果是。 我有一种查看满足等式x2 + y2 = z2的整数的方法，则公式xn + yn = zn可以刺激我。 我可能让公式刺激我。 因此，我会说，这里有一个刺激 - 但不是一个问题。 数学问题总是这样的刺激。 （1931年1月1日的WVC 144）

更具体地说，数学家可能会让毫无意义的猜想，例如flt刺激她/他，如果s /他希望在不改变其公理或规则的情况下延长微积分（LFM 139）。

以下是[o] n [尝试决定gc]是构建微积分的不系统尝试。 如果尝试成功，我将在我面前再次进行微积分，到目前为止，我只有不同的微积分。 （WVC 174-75; 1931年9月21日;斜体补充）

例如，如果我们通过数学诱导成功地证明了GC（即，我们证明“G（1）”和“G（n）→G（n + 1）”），我们将掌握归纳步骤，但自感应以来步骤未预先算法可判定（PR§§148,155,157; pg 380），在构建我们构建了新的微积分的证据时，我们现在知道如何使用这款新的“机器 - 部分”（RFM VI，§13）（即，无系统地证明的归纳步骤）。 在证据之前，感应步骤不是一种有感觉的数学命题（在特定的微积分中），而在诱导步骤之后，归纳步骤是一种数学命题，具有新的，确定的意义，在新创建的微积分中。 没有数学意义的表达划分和证明或驳斥了一个特定微积分中的确定感应的命题，是从1929年至1944年以1929年至1944年以无数不同的方式阐明的维特根斯坦在无数不同的方式中观察。

是否最终可防止 - 这对维特根斯坦的数学哲学是绝对关键的问题 - 这对维特根斯坦的算法可解除性，证明和意义的这种强烈反向直观的方面数学命题是他在数学中拒绝预训练的作品。 即使我们在算法地决定数学命题的情况下，由此制造的连接也不会预先存在算法决策，这意味着即使我们通过决策过程决定的“数学问题”，即使是通过决策过程决定的，则该表达式只有在确定时的确定决定。 在Wittgenstein的账户中，中间和后期，“[A]新的证据给出了一个新系统的一个地方”（RFM VI，第13节），它“在整个计算系统中找到它”，虽然它“没有提及，但肯定没有描述，整个计算系统，它落后于命题并提供意义”（RFM VI，第11节）。

这里的非正统的职位是一种结构主义，这些结构主义部分地由他对数学语义的拒绝来源的。 我们错误地想到，例如，GC具有完全决定的感觉，因为给定“误导性方式的误导性方式，其中单词语言的表达方式代表数学命题感”（PG 375），我们呼吁介绍虚假的照片和错误的照片和错误数学命题的参考概念，GC是一个数学现实，所以只是一个决定性的感觉，因为“宇宙中的其他地方存在聪明的众生”（即，一个确定的命题，无论是真实还是假的，我们是否知道真实价值）。 Wittgenstein在这一传统中断，在所有形式中，强调，在数学中，与特遣队（或经验）命题的境界不同，“如果我知道Fermat的最后一个定理所说的一个主张”，我必须知道它的真理标准。 与实证主张的真理标准不同，在决定之前可以知道，我们无法知道未定的数学命题的真理标准，尽管我们“熟悉类似命题的真实性”（RFM VI，第13节）。

2.5 Wittgenstein的中间陈述非理性数

中级维特根斯坦花了很多时间与真实和不合理的数量搏斗。 这有两个截然不同的原因。

首先，我们许多人不愿放弃数学中实际无限的概念的真正原因是一个必然是无限延伸的非理性数的普遍概念。 “”实际无限“的概念中的困惑”（第471页）表示，“斜体”（第471页），

从不确定的非理性数目的概念，即从逻辑上非常不同的事实中被称为“非理性数”而没有任何明确的限制。

第二，更根本地，中级威特根斯坦以这种细节摔跤与非理性，因为他反对基本主义，特别是其对“无形数学连续体”的概念，其概念的实际数字的概念（汉族2010）和集合理论观念和“证明”作为算术，实数理论和整体数学的基础。 事实上，Wittgenstein对非理性的讨论是他对集合理论的批评，因为他说，“[M]渴望通过凭借设定理论的有害性成语骑行，例如”人们讲述一条系列的方式要点“，事实上，”[a]线是一个法律，并不是由所有内容组成的（Pr§173;PR§§181,183，191; pg 373,460,461，＆473）。

2.5.1维特根斯坦的反基础和真正的非理性数量

自从维特根斯坦的条款以来，数学专门包括扩展和契切（即“规则”或“法律”），这是一个非理性只是一个延伸，因为它是一个标志（即，“数字”，这样作为'

√

2

'或'π'）。 鉴于没有作为无限数学延伸的东西，它遵循非理性数不是唯一的无限扩展，而是一个唯一的递归规则或法律（PR§181），其产生了合理的数字（PR§186;PR§180）。

锻炼的规则

√

2

本身是非理性数的数字; 我在这里谈到'number'的原因是，我可以用这些标志（某些规则建造理性数字），就像我可以与合理的数字本身一样。 （PG 484）

然而，由于他的反基础主义，Wittgenstein采取了根本的位置，即并非所有递归真实数字（即，可计算数）是真正的实数 - 一个区分他的观点的位置。

正如Wittgenstein所看到的那样的问题，就是数学家，特别是基础学家（例如，设定理论家），以“描述”数学连续体（PR§171）的理论来满足物理连续性。 例如，当我们思考持续运动和（仅仅）的理性的密度时，我们应该推理，如果物体从A从A从A移动到B，并且它只传播标记为“合理点”的距离，那么它必须跳过一些距离（间隔或点）没有标记为合理的数字。 但是如果连续运动中的物体行进距离不能单独的理性测量的距离，则在理性（PG 460）之间必须有“差距”，因此我们必须先填充它们，首先填充它们，然后使用递归非理性，然后，因为“所有人的集合递归非理性”仍然留下空白，具有“无法无天的非理性”。

[T]连续uum的谜团出现了，因为语言误导我们申请它的图片不适合。 设定理论保留不连续的不恰当的图片，但是对其违背了这幅画的陈述，这是它在偏见的印象的印象下; 虽然应该做些什么，但要指出图片只是不适合......（PG 471）