维特根斯坦的数学哲学（四）

我们通过“完成”具有伪非理性和无法无天的非理性的实际数字理论来添加差异和整数计算所需的任何内容，因为数字线上没有间隙（PR§§181,183,83; pg 373,460,461，＆473; WVC 35）和第二，因为“连续统一体”理论不需要这些所谓的非理性数量，因为没有数学连续体。 由于后来的Wittgenstein说（RFM v，§32），“[t]他的数字线的图片是一个绝对自然的一个，直到一定程度; 也就是说，只要它不用于真实数字的一般理论“。 我们通过将几何线的性质作为连续收集点的持续收集，每个都有一个相关的实数，这使得我们已经远远超出了数字线的“自然”图片，以寻找“汉族2010”的“一般理论”（HAN 2010）。

因此，Wittgenstein拒绝某些建设性（可计算）数量的主要原因是它们是在数学（特别是集合）中发出概念混淆的不必要创作。 Wittgenstein的主要旨在讨论Rational Numbers和Pseudo-Irrationals的漫长讨论是表明据称是伪理论，据称是数学连续体所需的。

为此，Wittgenstein要求（a），实际数量必须“比较[能够[能够]随机拍摄的任何Rational数量”（即，“它是否可以建立它是否大于，小于或等于Rational Number）（Pr§191）和（b）”[a]号码必须衡量，如果是“数字”将其留给理性，我们不需要它“（pr§191）（Frascolla 1980：242-243; Shanker 1987：186-192; Da Silva 1993：93-94; Marion 1995A：162,164; Rodych 1999b，281-291; Lampert 2009）。

为了证明一些递归（可计算）实际不是真正的实数，因为它们未能满足（a）和（b），Wittgenstein定义了推定的递归实数

5→3

√

2

通常“构建十进制扩展

√

2

，用'3'替换'5'的每次发生（pr§182）; 他类似地定义了Π'

7→3

π

（PR§186），在后续工作中，重新定义π'

777→000

π

（PG 475）。

虽然伪非理性的诸如π'（在任一定义上）是“作为不含糊的...π或

√

2

“（第476页），根据Wittgenstein是”无家可归“的，因为，而不是使用”算术的成语“（Pr§186），它取决于特定系统的特定的”偶然“表示法（即，在一些特定基础）（PR§188;PR§182;和PG 475）。 如果我们谈论各种基本符号系统，我们可能会说Π属于所有系统，而Π'则只属于一个，这表明Π'不是真正的非理性，因为“不存在不同类型的非理性数”（Pr§180）。 此外，伪非理性不衡量，因为它们是无家可归的，人工结构寄生在可以用来测量的微积分中具有自然位置的数字。 我们根本不需要这些像差，因为它们与理性和真正的非理性不够相当。 根据Wittgenstein的标准，他们不是非理性的数字，它定义了Wittgenstein，有趣的是断言，“在名称”非理性数字“（PR§191）中正是意味着或寻找的。

出于完全相同的原因，如果我们定义了“无缝的非理性”，如（a）某些基地的非规则治理，非定期，无限扩张，或（b）“自由选择序列”，Wittgenstein拒绝了“无缝的非理性”，因为，只要他们不规则管理，它们与理性（或非理性）没有可比，而且不需要它们。

[W]不能说，根据法律制定的小数部分仍然需要补充一组无限的不规则无限小数分数，如果我们要将自己限制在法律产生的那些，那么

Wittgenstein认为，对于“[W]这里有这样的无限十进制，没有法律产生”[A] Nd我们将如何注意到它缺失？“ （PR§181; CF.PG 473,483-84）。 同样，自由选择序列，如“无尽的直接”或“无穷分解”的配方，不是无限复杂的数学法律（或规则），而是根本没有法律，因为在每个人的一次掷硬币之后，这一点仍然是“无限制不确定”（PR§186）。 出于密切相关的原因，Wittgenstein在中期（PR§146）和后一段时间内剥离乘法公理（首相）和后期（RFM v，第25节; vii，§33）。

2.5.2维特根斯坦的真实数字基本派与集合理论的危险

至少，至少，似乎Wittgenstein正在提供基本主义的论证，所以结论是实际数量算术不应以这种方式扩展。 真实和非理性数量的这样一个基本主义账户似乎与实际的自由数学家冲突，与维特根斯坦的中级索赔（PG 334）“[F]或[他]一个微积分和另一种微积分一样”Wittgenstein接受复杂和虚数。 Wittgenstein的基础评论家（例如，设定理论家）无疑会说我们已经将术语“非理性数量”延长到了即时和伪理性，因为它们是数学连续体需要的，因为这些“可想象的数字”“更像是规则的非理性，而不是理性。

虽然Wittgenstein强调其他人看到相似之处（LFM 15）的差异，但在他对伪非理性和基本主义的中间攻击中，他不仅强调了差异，他正在攻击集合理论的“有害成语”（Pr§173）及其“最令人讨厌的微积分误解”（PG 469-70）试图溶解“误解，没有任何[设定理论]永远不会被发明”，因为它是“没有其他用途”（LFM 16-17）。 复杂和虚数在数学中有机种植，他们已经证明了他们在科学应用中的勇气，但伪非理性是仅为错误的基础主义目标而仅发明的无机创作。 Wittgenstein的主要观点不是我们无法创建进一步的递归实数 - 事实上，我们可以创建尽可能多的东西 - 他的观点是我们只能通过规则枚举的实数（RFM II，第33节）的不同系统（套装），并且任何试图谈论“所有实数”或任何零碎的尝试添加或考虑新的递归实际（例如，对角线数）是基于基于基础误解的无用和/或徒劳的努力。 事实上，在1930年的稿件和打字（以下，分别的MS和TS）对非理性和哥伦的对角线上并不包括在PR或PG中的段落，Wittgenstein说：“概念”非理性的数字“是一个危险的伪概念”（MS 108,176; 1930; TS 210,29; 1930）。 正如我们在下一节中看到的那样，在Wittgenstein的账户中，如果我们不正确地理解非理性，我们不能才能促进构成集理论的错误。

2.6维特根斯坦的中级批判理论

维特根斯坦的集合理论批判在Tractatus中开始良好，他谴责逻辑主义并说（6.031）“[T]他的课程理论在数学中完全多余地”，因为至少部分地“数学所需的普遍性不是偶然的一般性”。 在他的中期，Wittgenstein就开始了一个完全攻击，就绝缘论的理论从未休息过。 他说，设定理论是“完全无稽之谈”（PR§§145,174; WVC 102; PG 464,470），'错误'（PR§174），“可笑”（PG 464）; 它的“有害性成语”（PR§173）误导了我们，并且最可能的误解是其发明的推动力（HINTIKKA 1993：24,27）。

Wittgenstein的Transfinite Set理论中间批评（以下，“设置理论”）有两个主要组成部分：（1）他对内涵延期区别的讨论，（2）他对非不可逆转性的批判为基数。 在中期迟到，维特根斯坦似乎更加了解他强大的形式主义（PG 334）之间的难以忍受的冲突，以及他作为纯粹的非数学微积分（Rodych 1997：217-219）的集合理论的诋毁，就像我们一样应在第3.5节中看到，导致使用额外的数学应用标准从数学计算中划分经菲尼亚特集理论（和其他纯粹正式的标志游戏）。

2.6.1集合，扩展和集合理论的虚构象征

寻找实际数字和数学连续性的全面理论导致了“虚构的象征主义”（PR§174）。

设定理论试图掌握更普通的水平，而不是对实数的法律进行调查。 它说你根本无法通过数学象征主义掌握实际的无限，因此只能描述和没有表示。 ......人们可能会说出它在戳戳中购买猪。 让无限的是在这个盒子里容纳自己，就可以了解它。 （PG 468; CF.PR§170）

随着Wittgenstein将其放在（PG 461），

设定理论方法中的错误组成了时间，并再次将法律和枚举（清单）视为基本相同的东西，并将它们安排在并行系列中，以便一个人填充另一个留下的空白。

这是一个错误，因为它是“无稽之谈”说：“我们不能枚举所有人的所有人，但我们可以给出描述”，对于“[t]一个不是替代对方的替代品”（WVC 102; 1930年6月19日）; “没有法律和无限系列遵守它的二元主义”（PR§180）。

“设定理论是错误的”和荒谬的（PR§174），因为它占据了无限标志（PG 469）的虚构象征，而不是具有有限迹象的实际象征。 集合理论的宏观暗示，它从“Dirichlet的函数的函数”（WVC 102-03）开始，是我们原则上可以代表一个由枚举设置的无限，而是因为人类或身体限制，我们将反而整理地描述它。 但是，Wittgenstein说，“这在这里不能成为数学的可能性和现状”，用于数学是一种实际的微积分，“只关注它实际运行的标志”（PG 469）。 随着Wittgenstein将其置于（PR§159），“我们无法描述数学，我们只能”在“和”中，本身就取消了每一个“设定理论”。

也许这一现象的最佳例子是Defekind，他们将他的“无限级别”的“定义”为“一个类似于自身的适当子类”（PG 464），“尝试描述无限阶级”（PG 463）。 但是，如果我们尝试将此“定义”应用于特定类别，以确定是否是有限或无限的，如果我们将其应用于一个有限的类，例如“一排树”，那么如果我们将它申请，则“可笑”“一个无限的类”，因为我们甚至无法尝试“协调它”（pg 464），因为“关系m = 2n [不]将所有数字的类与其中一个子类（pr§141）相关联，它是”无限进程“哪个”与另一个任意数量相关联“。 所以，虽然我们可以在规则上使用m = 2n来生成自然（即，我们的域），从而构造成对（2,1），（4,2），（6,3），（8,4）等，所以我们不相关两个无限集或扩展（WVC 103）。 如果我们尝试将Dedekind的定义应用为用于确定给定集是无限的标准，通过在两个归纳规则之间建立一个“无限扩展”，其中一个是另一个的“扩展子集”，我们不能当我们将“标准”应用于两个归纳规则时，可能会学习我们何时尚未知道。 如果dedekind或其他任何人坚持呼吁归纳规则，他和我们必须仍然标志着这样一个集合和有限集之间的分类差异，并确定有限的基数。

事实上，在维特根斯坦的账户上，未能正确区分数学延伸和强度是克朗对对角线证明的根本原因，作为无限较小和更大的基数存在的证据。

2.6.2免于不可逆转

Wittgenstein对非不可抗拒性的批评主要是在中期隐含的。 只有在1937年之后，他才提供声称展示的具体论据，例如，陈列赛的对角线不能证明一些无限的套装比其他人更大的“多重性”。

尽管如此，中间维特根斯坦显然拒绝了非可恶化的无限套装在基数上大于可销售性无限的套件的观念。

当人们说'所有超越号码的集合大于代数数字'时，这是胡说八道。 该集合是不同的。 它不是“不再”可贬值，这根本不是不可否认的！ （PR§174）

与对真正非理性和乘法公理的中间视图一样，Wittgenstein在这里看出“一组超越号码”的对角线证明，只显示超要数字不能递归枚举。 他说，从保证的结论开始，这些数字不是原则上的结论，总是令人令人令人令人令人令人令人遗憾地，这一组超然数量大于基数的基数比这组成像数量更大，这是递归令人享有的。 我们这里有两个非常不同的数字类型概念。 在代数号的情况下，我们有一个决定程序，用于确定任何给定的数字是否是代数，我们有一种枚举代数号码，使得我们可以看到“每个”代数“将”将“枚举。 另一方面，在超越号码的情况下，我们有一些数字是超越（即非代数）的证据，我们有一个证据表明我们无法递归地枚举每件事，我们将呼叫“超越号码”。

在（PG 461）中，Wittgenstein同样地讲述了集合理论的“数学伪概念”，导致了一个根本的困难，当我们无意识地预先假定有意义上，通过尺寸来排序理性的想法 - “试图思考” - 同样地思考，可以枚举真实数字，我们将发现是不可能的。

虽然中级维特根斯坦肯定对所谓的证据似乎非常重要，但是一些无限的套装（例如，真实）的基数比其他无限套装更大，但他于1929年2月和6月讨论了“对角线程序”1930（MS 106,266; MS 108,180）以及对角线图，这些和其他早期的反向不使其进入PR或PG的标注。 随着我们将在第3.4节中看到，后来的Wittgenstein在一些细节中分析了Cantor的对角线和非不可原形性的权利。

3.后来的威特根斯坦对数学：一些预备

关于Wittgenstein的后期数学哲学的第一个也是最重要的是，RFM于1956年首次出版，包括从许多稿件（1937-1944）中获取的选择，大多数大型类型术语（1938年）和三个简短的类型（1938），每个短篇大论构成（RFM i）的附录。 出于这个原因，因为没有用于数学（例如，MS 123）的一些稿件，但根本没有用于RFM，因此哲学家们没有能够阅读Wittgenstein的后期对数学的言论用于RFM的ManScripts，他们没有访问（直到2000-2001在CD-ROM上的Nachlass发布）到Wittgenstein的大部分工作后的数学。 因此，必须强调的是，这条百科全书的文章正在过渡期间正在编写。 直到哲学家使用了Nachlass建立了一系列威特根斯坦的完整和数学哲学的全面形象，我们将无法明确地说，这将在后来的威特根斯坦保留，他改变了，他掉了他的改变。 在临时，本文将概述Wittgenstein的后期数学哲学，主要在RFM上绘制，在可能的LFM（1939次剑桥讲座）中更大的程度上，在可能的情况下，以前未发布的材料Wittgenstein的Nachlass。

它还应该注意到，评论员不同意维特根斯坦中期和数学哲学的连续性。 有些人认为，后来的观点与中级观点有很大差异（Frascolla 1994; Gerrard 1991：127,131-32; Floyd 2005：105-106），而其他人则认为，在大多数情况下，威特根斯坦数学哲学从中间到后期的时间从中间的时间内发展而没有重大变化或重新变化（riggley 1993; Marion 1998）。 本文的其余部分采用第二次解释，透析了维特根斯坦的后期数学哲学，与他的中间视图相比，其在很大程度上与他的中间视图除外，除了重要的介绍数学应用标准。

3.1数学作为人类发明

也许是维特根斯坦的数学哲学中最重要的常量，中期和迟到，他一直保持数学是我们的，人类发明，而且，实际上，发明了数学中的一切。 正如中间维特根斯坦所说“[W] e制作数学”，后来的维特根斯坦说，我们“发明了”数学（RFM I，§168; II，§38;§§5,9和11; PG 469-70）和“数学家不是发现者：他是一个发明家”（RFM，附录II，§2;（LFM 22,82）。除非我们发明了，否则没有任何数学存在。

在争论数学发现时，维特根斯坦不仅仅是拒绝柏拉图主义，他还拒绝了一种相当标准的哲学观点，根据哪些人类发明数学计算，但一旦发明了微积分，我们此后的探索了很多它无限的许多可证实和真实的定理。 随着Wittgenstein自己问（RFM IV，§48），“可能没有说规则以这种方式领导，即使没有人去过它？” 如果“有人制作了一个”的证据[goldbach的定理']“，[c]不是一个人说”，Wittgenstein要求（LFM 144），“这种证据的可能性是数学现实领域的一个事实” - 这“[i] n命令[to]找到它，必须在某种意义上是” - “[i] t必须是一个可能的结构”？

与数学的许多或大多数哲学家不同，维特根斯坦抵抗“是”的答案，我们发现关于在我们发明的演算的那一刻（PR§141; PG 283,466; LFM 139）。 Wittgenstein拒绝了莫代尔的能力，因为现实的可能性 - 通过争辩说，通过争论与柏拉图主义者来说是最不错误的，因为“可以在任何两点之间绘制直线，......线路即使没有人绘制它” - 在普通世界中说“[W]帽子，我们召集的可能性是在几何世界的现实中”（LFM 144; RFM I，第21节）。 一个人可能说，Wittgenstein建议（第374页），即“仅仅必须发现国际象棋，它总是在那里！”

在MS 122（3V; 1939年10月18日），Wittgenstein再次强调虚幻数学发现与真正数学发明之间的差异。

我想远离制定：“我现在了解更多关于微积分”，并用“我现在有不同的微积分”来替换它。 这一点的意义始终保持在一个人的眼前，在数学知识和非数学知识之间的全部规模。[3]

与中期一样，后来的Wittgenstein同样地说（MS 121,27R; 5月27日，1938年5月27日），“[i] T如果一个人帮助：不得发现Fermat命题的证明，而是被发明”。

“人类学”与数学账户之间的差异是，首先，我们不想谈到“数学事实”，而是在这个账户中，事实从不进行数学，永远不会使数学命题是真或假的。 （MS 117,263; 1940年3月15日）

没有数学的事实就像没有（真正）的数学命题一样。 后来的Wittgenstein重复他的中间视图（MS 121,71V; 1938年12月27日）：“数学包括[CALCULI | 计算]，不是命题“。 这种激进的建构主义的数学概念提示维特根斯坦做出臭名昭着的备注 - 备注，几乎没有其他人会成为臭名昭着（RFM v，§9）：“但是它听起来很奇怪，这是一个非理性的进一步扩张数字是数学的进一步扩张”。

3.1.1 Wittgenstein的后来反柏拉米士：数量的自然历史和柏拉米桩的空性

与中期一样，后来的维特根斯坦坚持认为数学基本上是句法和非参照，其本身就是为柏金塔国主义的数学反白金主义的数学哲学成为观点数学术语和命题是指对象和/或事实，并且通过达成数学事实，数学命题是真实的。