维特根斯坦的数学哲学（五）
然而，后来的Wittgenstein希望“警告”我们的思想与“[A]巡检作为数字的自然历史（矿物学）的想法饱和（RFM IV，§11）。 例如，当Wittgenstein讨论索赔不能按级别排序的声明时，他说这听起来“显着”，以至于差分微积分的平凡命题没有，对于后一种命题与物理学中的应用相关，
而这一命题......似乎关注......数学对象本身的自然历史。 （RFM II，第40节）
维特根斯坦强调，他试图“警告我们对此的”方面“ - 以至于，上述部分”向数学世界介绍了我们的奥秘介绍了“数学世界”的想法，这是一个完整的整体，等待我们的刺激和我们的发现。 我们将数学命题视为数学对象和数学调查的事实“作为这些物体的探索”是“已经数学炼金术”，索赔Wittgenstein（RFM v，§16），以来
不可能向数学中的标志的意义上诉[Bedeutung]，因为它只是数学，它给了他们的意义[bedeutung]。
根据Wittgenstein的说法，柏拉图派危险地误导了，因为它表明了一种完全与我们在实际检查和描述数学和数学活动的情况下完全具有与我们发现的赔率完全有所存在的预存，预先确定和发现。 “我希望能够描述”，Wittgenstein（RFM IV，第13节），“它是如何谈论数学现在作为数字领域的自然历史，现在再次作为规则的集合”。
然而，维特根斯坦并不努力反驳谷仓。 相反，他的目标是澄清柏拉图主义是什么以及隐含和明确地（包括谷仓的变体，例如，例如，如果在公理系统中可以证明一个命题，则已经存在路径[即，从公理到该命题的证据（RFM i，§21; marion 1998：13-14,226; Steiner 2000：334）。柏拉米尔主义是“仅仅是真实的”（LFM 239），Wittgenstein说，或者它是一个“图片”，包括“无限的阴影世界”（LFM 145），因此缺乏“效用”（参见PI§254），因为它没有解释并在每次转弯时误导。
3.2 Wittgenstein后来的有限的建构主义
虽然评论员和批评者不同意后来的Wittgenstein仍然是一个精神犯，但如果他是，他的精神主义是作为他的中间拒绝无限数学量化（Maddy 1986：300-301,310），压倒性的证据表明，后来的Wittgenstein仍然拒绝实际无限（RFM v，第21节;Zettel§274,1947）和无限的数学延伸。
第一个，也许最明确的，迹象表明后来的维特根斯坦保持他的精神主义是他继续和一致的坚持认为，不合理的数量是构建有限扩展的规则，而不是无限的数学延伸。 “数学命题中无限小数的概念不是系列的概念”，Wittgenstein（RFM v，§19）表示，“但是序列的无限技术”。 我们被“[t]函数的幂局部定义，实数等等”误导。 （RFM v，§35），但一旦我们识别Dedekind切割为“一个伸展图像”，我们会看到我们没有“导致
√
2
通过切割的概念“（RFM v，§34）。 在后来的Wittgenstein的账户中，没有属性，没有规则，没有整理的每个非理性数量的系统手段，这意味着没有标准“对于完整的非理性数”（Pr§181）。
与他的中间位置一样，后来的Wittgenstein声称“χ0”和“无限系列”从普通语言中使用“无限”（RFM II，第60节）来获得他们的数学用途。 虽然在普通语言中，我们经常使用“无限”和“无限很多”作为问题的答案“多少？”，虽然我们将无穷大与极大的大量联系起来，所以我们制作'无限'和'无限'的主要用途是谈论的无限制（RFM V，第14节）和无限制的技术（RFM II，§45;PI§218）。 事实上，这一事实是“学习ℵ0符号的技术与学习100,000标号的技术不同”（LFM 31）。 当我们说，例如，“有一个无限数量的偶数”，我们的意思是，我们有一个数学技术或规则，用于产生无限值的数量，这与用于生成有限数量的有限技术或规则的有限技术或规则显着不同，例如1-100,000,000。 “我们学到了无尽的技术”，Wittgenstein（RFM v，第19节），“但是这里有问题不是一些巨大的延伸”。
例如，无限的序列不是巨大的延伸，因为它不是扩展，“ℵ0”不是基数，因为“与微积分连接的这张照片如何与微积分相连”，因为“它的连接不是图片的那样” | | | 有4“（即，给定'ℵ0'没有连接到（有限）扩展）？ 这场节目说，Wittgenstein（RFM II，第58节），我们应该避免数学中的“无限”这个词似乎似乎对微积分施加意义，而不是从微积分中获取其含义及其在微积分中。 一旦我们看到微积分没有任何无限，我们就不应该“失望”（RFM II，§60），但简单地注意（RFM II，第59节），它不是“真的必要的......要召唤无限的图片（所以）大大大）”。
第二次强烈迹象表明，后来的维特根斯坦维持他的精神主义是他继续和一致地治疗“在π的十进制膨胀中连续三个连续7个连续7个连续7s”（以下）。[4] 在中期，PIC（及其推定否定，¬pic，即“，”π“）在十进制扩展中连续三个连续7个是有意义的数学”陈述“（WVC 81-82：注1）。 在Wittgenstein的中间视图中，图片类似的Flt，GC和代数的基本定理 - 不是数学命题，因为我们没有携手合作，我们可以在特定的微积分中决定它。 因此，我们只能有意义地说明关于π的膨胀的有意义的主要主张，例如“在π的膨胀的前10,000个位置中存在三个连续7s”（WVC 71; 81-82，注1）。
后来的Wittgenstein在RFM的各种段落中保持这种职位（伯尼亚1959：11-12）。 例如，对于那些说“扩展规则”的人完全“完全”，“它必须隐含地确定关于系列结构的所有问题”，Wittgenstein回复：“您正在考虑有限系列”（RFM v，§11）。 如果pic是数学问题（或问题） - 如果它是有限的限制 - 它将是算法可判定的，它不是（RFM V，第21节; LFM 31-32,111,170; WVC 102-03; WVC 102-03）。 正如Wittgenstein所说的那样（RFM v，§9）：“问题......改变其状态，当它变得可判定”时，“[f]或连接内置，以前没有”。 此外，如果一个人调用被排除的中间法则，建立PIC是一个数学命题 - 即，即，通过说出这些“两张图片......必须对应于这一事实”（RFM v，§10） - 只乞求问题（RFM v，§12），因为如果我们对PIC的数学状态有疑问，我们将不会被一个断言“pic∨¬picpic”的人摇摆（rfm vii，§41; v，§13）。
维特根斯坦的精神主义，建构主义和数学脱钩性的概念有趣地连接（RFM VII，第41节，第2-5章）。
做了什么危害。 通过说上帝知道所有不合理的数量？ 或者：他们已经存在，即使我们只知道某些人？ 为什么这些图片无害？
一方面，他们隐藏某些问题 - （女士124：139; 1944年3月16日）
假设人们继续计算π的扩张。 所以上帝，谁知道一切，都知道他们是否会在世界末日达到'777'。 但他的无所作用可以决定他们在世界末日之后是否已达到它？ 它不能。 我想说：即使是上帝也可以通过数学来确定数学的东西。 即使对他而言，只有扩张规则也无法决定它不为我们决定的任何东西。
我们可能会如此：如果已经给出了扩张规则，则计算可以告诉我们第五位有一个“2”。 上帝可以知道这一点，没有计算，纯粹来自扩张的规则？ 我想说：不，（女士124，PP。175-176; 1944年3月23日至24日）
这里的Wittgenstein意味着上帝的无所欲样，通过计算发现'777'在时间间隔[n，n + 2]时，但另一方面，未经'777'，上帝可能会继续计算。 由于π不是完整的无限扩展，可以通过无所不在的存在完全调查（即，无所不知的思想来说不是一个事实），即使上帝也只有规则，所以上帝的无所作为在这种情况下都没有优势（LFM 103-04; CF.Weyl 1921 [1998：97]）。 像我们一样，凭借我们谦虚的思想，无所不知的心灵（即，上帝）只能计算Π到一些十进制地方的扩张 - 我们的n是分钟，上帝的n是（相对）巨大的 - 而且在没有n次的小数地方正确的结论是，因为'777'没有出现，因此永远不会出现。
3.3后来的Wittgenstein对可辨icaby和算法可解脱性
在一个相当标准的解释上，后来的Wittgenstein说，“微积分γ”是相同的“在微积分γ中可以提供”，因此，微积分γ的数学命题是可证明的迹象的串联（在原则）或对微分γ的反驳（原则上）（Goodstein 1972：279,282; Anderson 1958：487; Klenk 1976：13; Frascolla 1994：59）。 在这种解释上，后来的维特根斯坦排除了不可透明的数学命题，但他允许一些未定的表达式是微积分的主张，因为它们原则上是可判定的（即，在没有已知的，适用的情况下决定程序）。
然而，有相当大的证据，后来的Wittgenstein保持他的中间位置，即只有在给定的微积分和IFF中，表达式的表达是一个有意义的数学命题，我们通过它可以通过它来决定的适用和有效的决策程序来实现这一目标。 例如，虽然Wittgenstein在“PM”和“PM”（RFM App上的PM“和”证明“（RFM App）之间摇摆不佳。他这样做，他这样做是为了使用前者考虑涉嫌结论的哥特式证明（即，存在真正但无法移动的数学命题），然后他随后用他自己的鉴定”在微积分γ“中的”真实γ“的识别（即，而不是”在Calculusγ中提供的“）（王1991：253; Rodych 1999a：177）。 这种构建被Wittgenstein拒绝所接受的观点的众多段落都是证实，因为他认为（RFM III，§31,1939）这样的证明“使新的联系方式”如此，他确实如此“，”[i] t并没有建立他们在那里“因为”他们不存在，直到它成为他们“，当他说（rfm vii，§10,1941）”[a]新的证明给出了一个新系统中的一个地方时。 此外，正如我们所看到的那样，Wittgenstein将PIC作为非命题拒绝，因为它没有算法可判定，同时承认PIC的有限版本，因为它们是算法可判定的。
也许是最令人信服的证据表明，后来的Wittgenstein将算法可解脱性保持在他的数学命题的标准中，因为，在（RFM v，1942年），他以两种明显的方式说数学“问题”可以变得可判定，当发生这种情况时，一个新的Connexion是“制作”的，以前不存在。 事实上，Wittgenstein注意到我们通过说“看起来好像是决定已经存在的理由”，事实上，“它尚未发明”。 这些通道强烈地防范权利要求：后来的Wittgenstein授予该命题φ在微积分γIFF中可判定，其原则上是可证明的或经细。 此外，如果Wittgenstein举行此职位，他将申请矛盾（RFM v，§9），因为它简单地（总是）是可判定的，问题或命题不会变得可判定。 如果它是可证明的，我们根本就不知道这是这种情况，那么我们之间已经有一个联系，我们的公理和规则以及有问题的主张。 然而，Wittgenstein所说的是，可证明和反驳的方式是现实的阴影形式 - 数学的可能性不是现状（PR§§141,144,172; pg 281,283,299,371，466,469; LFM 139）。 因此，Wittgenstein同意中级Wittgenstein，即唯一一个未定的数学命题（RFM VII，第40,190,1944节）的唯一意义上是可判定的，我们知道如何通过适用决策程序。
3.4 Wittgenstein后来的集合理论批评：非统治性与非不可抗拒性
在主要是他的反基础主义和对延伸 - 内涵混合的批评，Wittgenstein的后来对集合理论的批评是高度辅音（Pr§§109,168; pg 334,369，469; LFM 172,224,229;和RFM III，§43,46,85,90; vii，§16）。 鉴于数学是数学是“证明技术的杂色”（RFM III，§46），它不需要基础（RFM VII，§16），不能给予不言而喻的基础（PR§160; WVC 34＆62; rfm iv，§3）。 由于设定理论被发明以提供基础的数学，因此，不需要。
即使不需要设定理论，它仍然可能构成数学的坚实基础。 然而，在他对集合理论的核心批评中，这是Wittgenstein否认这一点，说对角线证明不证明不可逆转的性，因为“[i] t意味着什么，x数字不是不可贬值的”（RFM II，§10）。 当对角线被解释为更大且较小的无限套装的证据时，它是一个“膨化的证据”，它是Poincaré（1913：61-62），声称证明或显示出超过“其手段允许它”（RFM II，§21）。
如果据说：对角度的考虑削减你的概念“实数”的比喻比我们的概念“基数”比我们被某些类比误导，倾向于相信，这将具有良好和诚实的意义。 但只有相反的事情发生：一个人假装将实数的“设置”与基数的数量相比。 通过倾斜表达形式表示两个概念之间的类型的差异，作为延伸的差异。 我相信，希望，未来一代人会嘲笑这个Hocus pocus。 （RFM II，§22）
时间的疾病是通过人类生命模式的改变来治愈...（RFM II，第23节）
对角线证明的“Hocus Pocus”休息，一如既往地在延伸和内涵的混合中，在未能正确区分集合作为生成扩展和（有限）扩展的规则的情况下。 通过这种混淆“实物差异”（即，无限制的规则与有限扩展）“由表达倾斜形式表示”，即作为两个无限延伸的基数的差异。 对角不仅可以证明一个无限集的基数比另一个无限集更大，根据维特根斯坦，没有什么可以证明这一点，只因为“无限集”不是扩展，因此不是无限的延伸。 但是，诚实地解释了克陀号的对角线证明，我们认为“展示比无限”的数字展示，这“让整个思想旋转，给予了令人愉快的悖论”（LFM 16-17）-A“眩晕当我们在执行一块逻辑雪橇时，我们在逻辑雪橇时思考定理” - “时攻击我们”（PI§412;§426; 1945）。 这种讽刺和宽松的悖论感，瓦特根斯坦（LFM 16）表示，“可能是[设定理论]发明的主要原因”。
虽然Cantor的对角线不是不可贬值的证据，但是当它以建设性的方式表达时，因为Wittgenstein本人表达它（RFM II，第1节），“它对数学命题感到有意义，即所以的数学命题与系统的所有这些不同”（RFM II，第29节）。 也就是说，证据证明了非统一性：它证明，对于任何给定的确定实数概念（例如，递归实际），一个人不能枚举“所有”这样的数字，因为可以始终构建对角线数，这在相同的概念下掉落，而不是在枚举。 “人们可能会说”，Wittgenstein说，
我叫号码概念x不可贬值如果已经规定，无论在这个概念下排列在系列中，这个系列的对角线也在该概念下降。 （RFM II，§10; CF.II，§§30,31,13）
根据Wittgenstein（RFM II，第33节）的说法，从中获悉的一课，即“在数字线中存在多种非理性点系统”，每个都可以通过递归规则给出，但“没有非理性数字的系统”和“也没有超级系统，没有”高阶无穷大的非理性数“。 官员表明，我们可以构建“无数”的非理性系统系统，但我们无法构建所有非理性数的详尽系统（RFM II，第29节）。 随着Wittgenstein在（121,71R; 1938年12月27日，1938年12月27日），段落（RFM II，§57）之后的三页：
如果您现在称Canorian程序一个制作一个新的实数，您现在将不再倾向于谈论所有实数的系统。 （斜体添加）
然而，从CANTOR的证据中，定位理论家错误地得出结论，“非理性数量”的多个枚举比任何非理性（或理性集合）的枚举更大，当时唯一的结论是没有所有的东西非理性数。 真正危险的方面“命题”如“真实数字不能在系列中排列”和“集合......不是可去赎回”的是，它们使概念形成[即，我们的发明]“看起来像一个自然的事实”（即，我们发现的东西）（RFMII§§16,37）。 尽其所能，我们对“实数”的概念有了一个模糊的思想，但只有我们将这个想法限制为“递归实数”，才能识别出具有概念并不意味着拥有一组所有递归的实数。
3.5额外数学应用作为数学有意义的必要条件
从中间到以后的数学的校长和最显着的变化是Wittgenstein（Re-）引入了一个额外的数学应用标准，用于区分仅仅从数学语言游戏中的“标志游戏”。 “[i] T对数学至关重要，即其标志也在Mufti”，Wittgenstein国家，
[i] T是在数学外部的使用，因此标志的含义[Bedeutung]，使标志游戏变成数学。 （即，数学“语言游戏”; RFM V，§2,1942; LFM 140-141,169-70）
正如Wittgenstein所说的那样（RFM V，§41,1943），
[c]也必须发生在“必要”命题中发生的onepts，并在非必要的中存在[bedeutung]。 （斜体添加）
如果两个证据证明了同样的命题，这意味着“两者都将其作为相同目的的合适仪器”，这是一个相同目的的仪器“，这是一个在数学之外的东西的暗示”（RFM VII，§10,1941;斜体添加）。
正如我们所看到的，该标准存在于Tractatus（6.211）中，但在中间时期明显不存在。 这种缺席的原因可能是中级维特根斯坦想强调在数学中，一切都是语法，没有什么是意义。 因此，在他对希尔伯特的“内容性”数学（Hilbert 1925）和Brouwer依赖直觉中的依赖以确定（特别是不可裁定）数学命题的有意义内容，因此他在强大的形式主义中的优化性建构主义，强调数学微积分不需要额外数学应用（Pr§109; WVC 105）。
