维特根斯坦的数学哲学（六）
似乎有两个原因是后来的Wittgenstein重新引封了额外数学应用程序作为数学语言游戏的必要条件。 首先，后来的Wittgenstein对使用自然和正式语言的不同“生活形式”（PI§23）有更大的兴趣，这促使他强调，在许多情况下，数学的“命题”功能就像它一样“硬化为规则”（RFM VI，§23）的经验命题，并且数学在许多形式的人类活动中发挥不同的应用角色（例如，科学，技术，预测）。 其次，额外的数学应用标准减轻了维特根斯坦中间批判与集合理论的中间批判之间的紧张和他的强烈形式主义，“一个微积台和另一个节奏一样好”（PG 334）。 通过从非数学符号游戏中划定数学语言游戏，现在可以声称，“暂时”，设定理论仅仅是一个正式的标志游戏。
这些考虑可能导致我们说2ℵ0＞ℵ0。
也就是说：我们可以使考虑因素引导我们。
或者：我们可以这么说并将其作为我们的原因。
但如果我们这样说 - 我们接下来要做什么？ 这个命题在哪些实践中锚定？ 它是暂时挂在空中的数学架构中，看起来就像它一样，让我们说，一个楣梁，但不支持任何东西并没有支持任何东西。 （RFM II，§35）
这不是维特根斯坦后来对集合理论变化的批评，它是，相反，一旦我们看到集合理论没有额外数学应用，我们将专注于其计算，证据和散文和“计算对测试的兴趣”（RFM II，§62）。 通过维特根斯坦的“非常重要”的“调查”（LFM 103），我们会发现，维特根斯坦预计，该集合理论是不感兴趣的（例如，“真实”的不令人统计无趣和无用），我们对它的全部兴趣在于“魅力”的误解散文解释其证据（LFM 16）。 更重要的是，虽然有“全部[其]闪闪发光的概念形成的核心核心”（RFM v，§16），一旦我们看到它是“作为思想错误”，我们将看到这样的命题如“2ℵ0＞ℵ0”都没有锚定一个额外的数学实践，“克兰特的天堂”不是一个天堂“，然后我们会离开”我们“自己的符合”（LFM 103）。
然而，必须强调的是，后来的Wittgenstein仍然认为，数学微积分内的操作纯粹是正式的，由语法规则（即形式主义的固体核心）管辖的句法操作。
当然明确了数学家，就像他真的“玩游戏”...... [是]按照某些规则行事。 （rfm v，§1）
要说数学是一个游戏所谓的意思：在证明，我们不需要吸引迹象的意义[bedeutung]，这是他们的额外数学应用。 （RFM v，§4）
在哪里，在中期，在中期，维特根斯坦谈到“算术[arthic [As]一种几何形状”（PR§109&§111），后来的Wittgenstein同样地谈到了“证明的几何形状”（RFM I，APP。III，§14），证明（RFM III，§43）的“几何核心核心”，以及根据“转换规则”（RFM VI）的“几何应用”（RFM VI，§2,1941）显示“当数学剥离所有内容时，仍然可以根据某些规则从其他迹象构成某些迹象”（RFM III，第38节）。 因此，问题是对符号的串联是否是给定的数学微积分的命题（即，具有额外数学应用程序的微积分）仍然是一个内部的句法问题，我们可以通过了解证明和决策程序的知识。微积分。
3.6 Wittgenstein onGödel和不可透明的数学命题
RFM可能是最着名的（in），以Wittgenstein（RFM App.III）为闻名的“真实但无法移动”的数学命题。 早期审稿人表示，“他的论点是野性”（Kreisel 1958：153），即古代的定理......质量差或含有明确的错误“（Dummett 1959：324），（RFM app。III）”在Gödel的工作中扔灯“（Goodstein 1957：551）。 “维特根斯坦似乎希望立法[[Q]完全是关于完整性的影响]，Anderson说，（1958：486-87），事实上，他当然不能丢弃哥特的示威活动”与可证明的真理混淆“。 此外，伯尼亚，安德森（1958：486）和Kreisel（1958：153-54）声称，维特根斯坦未能欣赏“哥德尔的一致性的正式制度的一致性”（伯尼亚1959：15），从而未能理解哥德尔的第一个不完整性定理的条件性质。 关于这四个早期的专家评论者的阅读，Wittgenstein未能理解哥德尔的定理，因为他未能理解哥德尔证据的机制，他错误地认为他可以通过识别“PM”来识别“真实”来反驳或破坏哥德尔的证据（即，Principia Mathematica）与“PM证明/可证明”。
有趣的是，我们现在有两件证据（Kreisel 1998：119; Rodych 2003：282,307），Wittgenstein在1937 - 38年写（RFM App.IT）之后只阅读非正式，“休闲”（MS 126 126-127; 1942年12月13日）引入（Gödel1931），因此，他使用自我参照主张作为“真实但无法动制的命题”，可以基于Gödel的介绍性，非正式陈述即“未定定的命题[r（q）; q]状态...... [R（q）; q]不是可证明的”（1931：598），“[q）; q]关于本身，它不是可证明的”（1931：599）。 令人作呕的是，四个着名评论者中只有两个甚至提到了Wittgenstein（RFM VII，§§19,21-22,941））关于'Gödel的第一个不完整定理（伯尼亚1959：2）的明确评论;安德森1958：487），虽然有缺陷，但捕获了哥尔尼的命题的数量 - 理论和哥德尔编号的运作，可能是因为Wittgenstein读或撇去了身体Gödel的1931年纸。
因此，首先要注意（RFM App.III）的是，Wittgenstein错误地思考 - 再次思考，也许是因为Wittgenstein只读Gödel的介绍 - （a）哥德尔证明有真实但有真实但是PM的无法动产命题（事实上，如果吉尔句法证明，如果PM是ω-一致的，则在PM中的Gödelian命题是不可行的），（b）哥特的证据使用自我参考主张语义上表明PM有真实但无法实现的主张。
因此，Wittgenstein（RFM App.III）有两个主要目标：（1）以自己的条款驳斥或破坏，涉嫌Gödel的真正但无法动产主张的证据，（2）表明，他自己的术语，其中“在微积分γ”中被“证明γ”鉴定，真实但无法动产的微积分γ的概念是毫无意义的。
因此，在（RFM App.IT.III，§8）（以下简单'§8'）中，Wittgenstein开始介绍他所接受的是Gödel的证据，让某人说：
我建立了一个命题（我将在Russell的象征中使用'p'来指定它），并且通过某些定义和转换，可以如此解释它所说：'p是在罗素的系统中不可否认的。
也就是说，Wittgenstein的Gödelian构建了一个语义自我参照的命题，并特别说明了它在PM中没有可证明它。 通过这种错误，自我参照命题P [也在（§10），（§11），（§17），（§18）]，Wittgenstein呈现出与Gödel自己的非正式语义证明“素描”非常相似的校样草图引入了他的着名论文（1931：598）。
我必须不要说这一方的这个命题是真的，另一方面是无法形容的吗？ 假设它是假的; 然后它是可证明的。 这肯定不能！ 如果证明，那么证明它不可提供。 因此它只能是真的，但无法实现。 （§8）
这里的推理是双重还原。 假设（a）在Russels的系统中，p必须是真实的，要么是false，（b）P必须在Russels的系统中提供或无法移动。 如果（a），p必须是真的，因为如果我们认为p是假的，因为p说它本身就是无法推动的，“它是可证明的，如果它是可证明的，那么它必须是真的（这是一个矛盾），因此，给予什么意思或说，P是无法移动的（这是一个矛盾）。 第二，如果（b），p必须是无法移动的，因为如果证明p“，则证明它是不可证明的”，这是一个矛盾（即，PM可提供矛盾，P下午不可提供）。 所以p“只能是真实的，但无法移动的”。
为了反驳或破坏这一证据'，Wittgenstein表示，如果您已经证明¬p，则证明了P是可证明的（即，因为您证明了russell的系统中不可提供的情况并非如此）和“您将现在可能放弃了它是无法移动的解释”（即，在Russels的系统中不可提供'P），因为只有在我们使用或保留这种自称解释（§8）时才证明了矛盾。 另一方面，Wittgenstein争辩（§8），'[i] f你认为这个命题在罗素的系统中可以证明，这意味着在罗素的感觉中是真的，并且再次放弃“P不是证实”的解释“不可否认”，因为，再一次，只有从事矛盾的自我引用解释。 因此，Wittgenstein的“哥德尔证明”的“驳斥”包括：如果我们不将“P”解释在罗素的系统中不可否认，则没有出现矛盾，实际上，没有这种解释，P的证据不会产生证据¬P的证据和¬P的证据不会产生P的证据。换句话说，证据中的错误是错误的假设，即数学命题'p'“可以如此解释，所以它说：'P不是在罗素的系统中提供的”“。 正如Wittgenstein所说（§11）所说，“帽子是构成了这样的句子”。
“哥德尔证据”的“驳斥”与维特根斯坦的数学句法概念完全一致（即，其中数学命题没有意义，因此不能拥有“必要的”自我引用含义）和与他在之前和之后所说的（§8），他的主要目标是展示（2），因为他自己的术语，因为“计算γ”的“真实γ”与“在微积分γ中”相同，因此真正但无法动产的微积分γ命题非常了解是一种矛盾的条件。
要展示（2），Wittgenstein始于询问（§5），他所采取的是，核心问题，即“，”罗素的系统存在真正的命题，这在他的系统中不能证明这一点？“。 为了解决这个问题，他问“罗素的系统中所谓的真正命题是什么......？”，他简洁地解答（§6）：“'P'是真的= P”。 然后，Wittgenstein通过将第（§5）的第二个问题进行重新制定（§5）作为“在罗素的游戏中的命题[i.，System]的主张在哪个命令中澄清了这个答案，他然后通过说：”答案是：他的一件事结束时证明，或作为“基本法”（PP）“（§6）。 这是一个简而言之，是Wittgenstein的“数学真理”的概念：PM的真正命题是一个公理或证明的命题，这意味着“PM”的“真实”是相同的，因此可以通过“PM证明”。
在阐述的是，至少是他的满意度，唯一的真实，非虚幻的“真实”的“真实”，Wittgenstein回答（§8）问题“我必须不要说这个命题......是真的，而且......无法移动..... （重新）对他自己的（§§5-6）“在PM”被证明/可证明/可证明的PM“概念的概念：
据说 在罗素的系统中的“虚假”手段：罗素的系统已被证明是相反的。
这个答案在Wittgenstein问道的（§7）中以一种略微不同的方式给出了“可能没有在这个[russell的]象征中的真正命题，但在罗素的系统中不可提供？”，然后回答“真正的命题”，因此在另一个系统中的命题是真实的，即可以正确地在另一场比赛中断言“。 根据他所说的（§§5,6和8），Wittgenstein（§7）点是，如果一个命题是“罗素的象征主义”，它是真的，它必须在另一个系统中证明/可提供，因为这就是“数学真理”是。 类似地（§8），“如果这个命题在罗素的意义上的一些以外的一些命题是假的，那么它就不相互矛盾，因为它在罗素的感觉中被证明是”，对于“[W]帽子被称为”失败“，可能构成另一个胜利游戏”。 随着Anderson差点所说，这种文本证据肯定是暗示，Wittgenstein拒绝了一个真正但无法动产的数学命题，作为“微积分γ的真实”的矛盾，这不是比“证明的更少的东西）微积分γ”。
关于（自然的）（RFM App.III）的解释，早期审稿人的结论，即Wittgenstein未能理解哥德尔的论点的机制似乎是合理的。 首先，Wittgenstein错误地认为哥德尔的证据基本上是语义，它使用并需要自我参考主张。 其次，Wittgenstein说（§14）“[a]矛盾是不可用的”，“一种预测”，“这样的施工是不可能的”（即，p pm是不可推动的），这至少是，似乎表明Wittgenstein未能欣赏哥德尔证明的“一致性假设”（Kreisel，伯尼，安德森）。
如果事实上，如果维特根斯坦没有通过至少1941年读取和/或未能理解哥德尔的证据，如果他将其理解为（至少）在PM的稳定性上PM在PM中的不可逃号的证据，他将如何回应。 鉴于他的句法概念的数学概念，即使具有额外的数学应用程序标准，他只会说P，Qua表达式句法独立于PM，不是PM的命题，如果它在句子上独立于所有存在的数学语言 - 游戏，这不是数学命题。 此外，似乎没有引人注目的非语言原因 - 无论是系统内的还是数学的，无论是通过在PM中包括它，或通过采用数学真理的非句法观念（如TARSKI -truth（Steiner 2000））。 实际上，维特根斯坦在Nachlass的各种讨论中提出了P的系统内和额外数学可用性，并且在（§19）中，他强调说，人们不能“制定断言的真相['P'或”因此P']对我来说是合理的，因为你不能用它除了做这些位的legerdemain之外“。
在初始，对RFM的分割评论，很少关注Wittgenstein的（RFM App.ITII和RFM VII，§§21-22）讨论Gödel的第一个不完整定理（Klenk 1976年：13）直到Shanker的交感神经（1988B）。 然而，在过去的22年中，评论员和批评者已经为Wittgenstein关于哥德尔的言论提供了各种解释，其中一些在很大程度上是同情性的（Floyd 1995,2001）和其他提供更加混合的评估（Rodych 19999A，2002年，2003年; Steiner 2001;牧师2004; Berto 2009a）。 最近，也许最有趣的是，Floyd＆Putnam（2000）和Steiner（2001年）唤起了对维特根斯坦对不可思来的不可思议，数学真理和哥德尔的第一个不完整性的新的和有趣的讨论定理（Rodych 2003,2006; Bays 2004; Sayward 2005;和Floyd＆Putnam 2006）。
数学哲学对数学的影响
虽然所有评论员都是值得怀疑的（riggley 1977：51; Baker＆Hacker 1985：345; Floyd 1991：145,145,143; 1995：376; 2005：80; Maddy 1993：55; Steiner 1996：202-204），以下段落似乎抓住了维特根斯坦对数学哲学的态度，以及大部分地区，他在大学中观看了他在数学上的工作。
什么将区分未来的数学家从今天的那些将是一个更大的敏感性，而且它会 - 因为它是梅子数学; 由于人们将更加明智，绝对明确比对新游戏的发现。
由于阳光对马铃薯芽的成长，哲学清晰度将对数学的增长产生相同的影响。 （在一个深色的酒窖中，他们长长。）
数学家必然会受到我的数学评论的恐惧，因为他一直受过训练，以避免沉迷于我所开发的思想和疑虑。 他已经学会了将它们视为可鄙的东西，而且......他已经从他们那里被厌恶为婴儿。 也就是说，我跑出了孩子学习算术等的所有问题，发现困难，教育抑制而不解决的问题。 我对那些被压抑的疑惑说：你是非常正确的，继续询问，需求澄清！ （PG 381,1932）
在他的中间和后期的时期，Wittgenstein认为，他在数学概念和数学哲学概念上提供了对数学的方面和部分的哲学清晰度。 缺乏这种清晰度而不是瞄准绝对清晰度，数学家构建新游戏，有时由于对数学命题和数学术语的含义误解。 在数学中的教育和特别高级教育不鼓励清晰度，而是抑制了值得答案的问题，不得被要求或被驳回。 然而，未来的数学家将更加敏感，这将是（反复）的梅花数学延期和发明，因为数学家将认识到新的扩展和创作（例如，Transfinite Cardinal算术的命题）与数学的实体核心或现实世界应用没有良好的连接。 最终，哲学清晰度将使数学家和哲学家能够“降低到黄铜钉”（PG 467）。
