KurtGodel（一）

KurtFriedrichGödel（1906年，1978年）是数学逻辑中现代元素时代的主要创始人之一。 他因其不完整的定理而众所周知，这是二十世纪数学的少数地标定理之一，但他的工作触及了数学逻辑的每个领域，如果它不是在大多数情况下他们的原始刺激。 在他制定和捍卫数学柏拉力主义的哲学工作中，数学是一种描述性科学，或者认为数学真相的概念是客观的。 在该观点的基础上，他为集合理论奠定了概念分析计划的基础（见下文）。 他秉承希伯特在数学中的“原始理性概念”（当他打电话）; [1]他是预期并强调大型红衣主教在其重要性变得清晰之前在集合理论中的重要性。

1.传记素描

2.Gödel的数学工作

2.1完整性定理

2.1.1简介

2.1.2完整性定理证明

2.1.3完整性定理的重要后果

2.2不完整定理

2.2.1第一个不完备定理

2.2.2第一个不完整定理的证明

2.2.3第二个不完整定理

补充文件：不完整的定理是反驳希尔伯特的计划吗？

2.3加速定理

2.4哥德尔在集理论中的工作

2.4.1连续假设的一致性和首选的公理

2.4.2Gödel证明连续假设的一致性和选择性的首选公理与Zermelo-Fraenkel集合理论

2.4.3一致性的后果

2.4.4Gödel的构造公理的视图

2.5Gödel在直觉逻辑和算术中的工作

2.5.1直观的命题逻辑不是有限估值的

2.5.2古典算术是在季节算术中解释的

2.5.3直觉命题逻辑在S4中可解释

2.5.4 Heyting算术可解释为有限类型的可计算功能。

补充文件：Gödel的文件

3.Gödel的哲学观点

3.1哥德尔的理性主义

3.2Gödel的现实主义

补充文件：Gödel转向现象学

补充文件：关于数学内容的哲学论证

参考书目

主要来源

哥德尔的着作

KurtGödel的收集纸

kurtgödel的选定作品

二次来源

学术工具

其他互联网资源

相关条目

1.传记素描

KurtGödel出生于1906年4月28日，然后是奥匈共安的奥匈族城市，现在是捷克共和国的布尔诺。

哥德尔的父亲鲁道夫八月是一名商人，他的母亲玛丽安娜是一个受过良好受过良好受过良好教育和培养的女人，哥德尔在他的一生中保持密切关注，如同宽阔而广泛的对应之间所见证。 这个家庭很好，哥德尔的童年是一个不行的一个，一个重要的例外; 即，从大约四个哥德尔遭受了健康的频繁发作，以及他所遭受的健康问题以及各种各样的其他人都会困扰他的一生。

尽管如此，哥德尔的卫生问题被证明是小学的一个示范学生，以后的体育馆，特别优秀，特别是在数学，语言和宗教中。 1924年Brno毕业于Brno的Gödel们在维也纳大学招生，参加物理学，他的初始兴趣领域，由海因里希·格莫兹和讲座给出的哲学讲座论数学。 哥德尔在本科的岁月中占据了一些物理课程，如他的大学成绩单见证; 这是值得注意的，鉴于哥特于1947年的相对论的贡献。菲利普Furtwängler，德国德国福尔姆Furtwängler的堂兄，是他的数学教授之一，确实如此Furtwängler课程田野理论的课程几乎诱惑哥德尔在该地区追求他的研究。 哥德尔从Rudolph Carnap和Hans Hahn获得了他的逻辑，最终毕业于Hahn和Dr.Phil。 在1929年的数学中。他论文的主要定理是一阶逻辑的完整性定理（Gödel1929）。[2]

哥德尔大学几年也标志着他在维也纳圈的会议上出席的开始，这是一个莫里茨·施洛克周围的一群，这很快被称为“逻辑实证主义者”，这是一个由Feigl和Blumberg的一个术语在1931年“逻辑”实证主义：欧洲哲学中的一个新运动“（Feigl和Blumberg 1931）。 虽然哥德尔不是他自己是逻辑的实证主义者，但这些讨论是一个至关重要的形成性影响。

20世纪30年代是哥德尔的一个令人惊叹的十年。 在1930年出版1929年的论文后，他于1931年发表了他的突破性的不完整定理，于1932年，他于1933年获得了1933年维也纳大学的私有化文献。

在十年的数学成就中，近距离选择的首选公理和克朗的连续假设的一致性，分别在1935年和1937年获得了Zermelo-Fraenkel公理的首选和克罗诺连续体假设的一致性。 哥德尔还在此期间发表了一些关于模态和直觉逻辑和算术的重要文件，其中委托人是他的“直觉算术和数字理论”（Gödel1933e），其中他表明古典首先订单算法是通过简单的翻译算术中的解释。 20世纪30年代的其他出版物包括关于谓词微积分的决策问题的那些，在证据的长度和差分和投射几何形状上。

到十年结束时，哥特·顾问汉斯哈恩和莫里茨施洛克已去世（后者被前任学生暗杀），这两个事件导致了哥德尔的个人危机。 此外，他在大学的任命，私有化到私有德内特，被取代，被“多塞尔Neuer Ordnung”所取代，只有在通过种族考试后才批准候选人。[3] 在十年期间，哥德尔的三次绊倒了美国的调查。 （参见西格蒙德2006.）最后，1939年被纳粹政府发现甘德尔适合军事服务。

当他和他的妻子阿德利移民到美国时，所有这些事件都对影响他的决定不会在1940年离开奥地利的决定性。 这一漫长而困难的剧集在他们的生命中由John Dawson在他的哥德尔传记中致辞，称为“逻辑困境”（Dawson 1997）以及“哥德尔的生命和工作”（Feferman）1986）向两者都被提及到读者。

抵达后，哥德尔将被任命为高级研究所的普通成员; 他将于1946年成为该研究所的常任理事国，并于1953年获得了他的教授。（哥德尔及其妻子于1948年4月批准了美国公民身份。）他将在1976年退休之前留在该研究所。该哥德尔斯从未回到欧洲。

哥德尔的初年在该研究所与他的日常行走合作伙伴Albert Einstein的密切友好是非常友好的，以及转向数学的哲学，哥德尔开始专注于几乎完全集中的领域1943年。随后终身参与哲学的初始期限是一项富有成果的（在出版物方面）：1944年，他在题为“罗素的数学逻辑”（Gödel）发表了第一个哲学论文（Gödel1944年），1947年，他发表了他的第二个，题为“什么是哥伦的连续假设？” （Gödel1947）。 1949年，他发表了第三，题为“关于相对论理论与理想主义哲学之间的关系的评论” （Gödel1949a）。 后一篇论文恰逢1949年获得的相对论中旋转宇宙的结果，该升级是在题为的一篇文章中首次发表的：“引力的Einstein现场方程的新型宇宙解决方案的示例 （Gödel1949）。

在Gödel的其他重要哲学作品中，20世纪40年代必须依靠他的1941年题为“在什么意义上是直观逻辑建设性？”的讲座 （Gödel* 1941）其中概念：“有限类型的可计算功能”是介绍的。 一份基于题为“übereeinebishernochnichtbentbenützteerweiterung des finiten standpunks”的讲义的纸张仅在1958年出版，并将Heyting算术解释为量词在本文发表的日志（Gödel1958）的日志之后，它被称为“Dialectica解释”被称为“Dialectica解释”（Gödel1958）。 （对于从1972年开始修订，见Gödel1995

20世纪50年代看到哥德尔的哲学参与深化：1951年，哥德尔在布朗大学提供了一种哲学讲座，通常被称为吉布斯讲座，题为“一些基本定理的吉布斯讲座数学基础及其哲学含义”（Gödel* 1951）。 从1953年到1959年到1959年，哥德尔曾在鲁道夫卡纳普上申请题为“是语言的语法？”的鲁道夫卡纳普的苏尔普普卷的提交 （Gödel* 1953/9-III，Gödel* 1953/9-V）。 哥德尔终于出版了这两个重要的手稿，尽管两者都会出现在GödelNachlass的两个名单上，题为“是IchpublizierenKönnte” （英文：“我可以发布的。”这两个手稿最终出现在Gödel1995年。）由十年的CloseGödel对现象学产生了严重的兴趣。[5]

哥德尔的最后几年是由于他对两份手稿的流通：“有些考虑因素，导致连续统一体的真正力量是ℵ2，”（哥德尔* 1970a，* 1970b）他试图推出了衍生的价值来自豪斯多夫的所谓规模公理的连续体，以及他在1970年委托到达纳·斯科特的“Ontologischer Beweiis”（Gödel* 1970）（尽管它似乎是早些时候写的）。 占据了两份手稿是适合某人的最后一句话，在五十年的参与数学和哲学中，追求或更准确地说，寻求追求这两个受试者的理由：“STRENGE Wissenschaft” - 从1929年开始，从哥德尔开始到达的心灵的转向，当时在二十三岁时，他开启了一些哲学言论的博士论文。

1978年1月14日在普林斯顿去世，在71岁时在普林斯顿去世。他的死亡证明记录了死亡的原因是“由于人格障碍而饥饿和未经内疚” 他的妻子阿黛尔幸存了他三年。

对于进一步的传记材料，请参阅Gödel1987，Kleene 1987，Kreisel 1980，Taussky-Todd 1987和Yourgrau 2005。

2.Gödel的数学工作

以下是考察逻辑和集合理论的一些主要贡献。 这种治疗Gödel的技术工作并非详尽无遗，省略了Gödel在物理学中的工作和他对决策问题的工作。 这些将在续集中对此入口处理。

对于Gödel工作的完整年表，读者被称为John Dawson在Gödel收集的作品的卷（Gödel1986，第37页）编制的。

2.1完整性定理

2.1.1简介

第一阶谓词微积分的完整性问题是精确的，并在1928年由希尔伯特和Ackermann在他们的文本Grundzügeder Theoretischen Logik（希尔伯特和Ackermann 1928）中进行印刷，哥德尔本来熟悉的文字。[6]

Hilbert和Ackermann姿势的问题是针对第一阶谓词微积分的某一明确给出的AxioM系统是完整的，即从它的所有逻辑公式都是正确的，可以衍生出来......“（van heijenoort 1967年，第48页）。

2.1.2完整性定理证明

我们在博士论文中展示了Gödel自己的证据（Gödel1929）。 与早期努力的基本差异（下面讨论在其他地方，例如，在Zach 1999），是哥德尔暗中定义了所有相关的基本概念。

Gödel术语中的“逻辑表达”是一个没有身份的良好的第一订单公式。 如果在某些解释中的每一个解释中是真的，那么表达式是“反驳”如果在各种解释中是真实的，如果在某些解释中是真的，则“有效”。 完整性定理说明如下：

定理1。

每个有效的逻辑表达式都可提供。 等效地，每个逻辑表达式都是可疑的或反驳。

哥德尔的证据微积分是希尔伯特和Ackermann的文字。 如果在开始时发生所有量词，则表达式处于正常形式。 表达或公式的程度是公式开始在公式开始时的量化器的交替块的数量，假设以通用量词开始。 Gödel表明，如果完整性定理，则持有的正式k，它必须持有等级k + 1的公式。因此，完整性问题减少到学位1的公式。即，可以表明1度的正常公式（Q）φ也是如此满足或对比，其中“（q）”代表（非空的）通用量词块，后跟一个（可能为空的）存在的存在块。

Gödel定义了一份簿记设备，从需要满足φ的所有变量组成的所有变量的顺序定义，如（Q）所示。 例如，如果（q）φ是∀x0∃x1ψ（x0，x1），我们列出了无量词的公式ψ（xn，xn + 1）。 （或者更精确地，这些在增加长度中的有限连词。在下面见。）然后在任何域中，由不同xn的值组成，其中每个ψ（xn，xn + 1）为true，句子（q）φ显然是真的。 一个关键的LEMMA要求公式（Q）φ→（QK）φK的每k的可证实，其中量化的公式φk断言所有组成元组的真实性（q）（q（QK）φK是φK的存在闭合。 （请参阅下面给出φK的定义的示例。）这种引理是由于Löwenheim和Skolem的疑录各种先前尝试中缺少的主要步骤，并且在一阶逻辑的完整性定理的背景下，呈现语法和语义之间的连接完全显式。

让我们考虑如何发现特定公式的例子是可满足的或其否定可提供的，遵循Gödel的方法：考虑φ=∀x0∃x1ψ（x0，x1），其中ψ（x0，x1）是无量词的。 我们表明这是有效的或满足。 我们进行以下定义：

φ0是表达式ψ（x0，x1）

φ1是表达式ψ（x0，x1）∧ψ（x1，x2）

...

φn是表达式ψ（x0，x1）∧...∧（xn，xn + 1）。

如上所述的关键引理表明，来自φ我们可以导出每个n，∃x0...∃xn+1φn。

案例1：对于某些n，φn不可满足。 然后，使用已经已知的Printional逻辑的已知完整性定理来争论Gödel，[7]¬φn可提供，因此是∀x0，...，xn + 1-φn。 因此，¬∃x0...∃xn+1φn可提供，因此¬φ可提供，即，φ在希尔伯特-Ackermann系统中是反复化的。 （除了已经提到的那些情况下，关于所谓的逻辑的一些部分结果包括由于邮政（1921）而引起命题微积分的语义完整性，以及1918年的伯尼亚伯尼亚的相同的更全面的完整性定理;后者出现在伯尼亚1918年未发表的Habilitationsschrift;另请参阅伯尼亚1926年。）

案例2：每个φn是满足的。 只有许多可能的型号，具有宇宙{x0，...，xn + 1}。 Gödel通过将型号M定义为低于模型M'如果m是m'的子模型来命令它们作为树。 通过这种方式，我们获得了一个有限分支但无限的树。 作者：König的Lemma有一个无限的分支B.（在证明中，哥德尔明确地构建了König的引理的分支而不是用名字引用它。）B上模型的联盟与Universe {X0形成模型M，x1，...}。 由于M满足每个φn，因此原始公式φ保持在M.所以φ是满足的并且我们完成。

请注意，该模型在Gödel证据的可满足性案例中，总是可计算。 因此，这种完整性定理的证明还给出了Löweheim-Skolem定理（见下文）。 Gödel将结果扩展到数量多的公式以及具有身份的第一阶逻辑的情况。 他还证明了公理的独立性。

1930年，哥德尔根据他的论文（Gödel1930）出版了本文（Gödel1930），也可以纳入紧凑性定理，该论证仅在论文中隐含地说明。 由Gödel1930中所述的定理如下：如果只有当这些公式的每个有限子集是满足的，则只有当这些公式的每种有限子集是满足的，可以确定的无限量化公式。 Gödel使用紧凑性来得出完整性定理的概括。

1936年，Maltsev（参见Mal'cev 1971），致密度定理延伸到Maltsev的不可数词汇表的情况，从中立即遵循UpwordLöwenheim-Skolem定理。 紧凑型定理将成为模型理论的刚刚捕获主题中的主要工具之一。

2.1.3完整性定理的重要后果

如果它只有一个模型，据说一个理论是分类的，这是同构的一个模型; 它是λ分类，如果它只有一个基数λ模型，直到同构。 完整性定理的主要后果之一是Peano算术和Zermelo-Fraenkel集合的分类失败。

详细地，关于第一订单PEANO公理（从此后PA），它们的非标准模型实际上与紧凑性一起遵循完整性。 一个构造这些模型，它包含无限大的整数，如下所示：将新的常量符号c添加到算术的语言中。 通过添加到新的理论PA *通过添加到新的理论Pa *，即无限的公理集合：{c＞0，c＞1，...}，其中，例如3是s（s（0）））。 PA *是有限一致的（即，每个PA *的每个有限子集是一致的）因此一致，因此通过它具有模型的完整性定理。

关于PEANO算法模型的简单事实没有被Gödel在与那段完整性定理相关的任何出版物中指出的，并且似乎没有被一般逻辑社区注意到以后的大小。 Skolem可明确的Ultapower建设从1933年（见Skolem 1933）直接构建了非标准算术模型（延长了Peano算术，是自然数中的算术句子。 但是，Skolem从未提及这样的事实，即这种模型的存在遵循完整性和紧凑性定理。 他在他的评论中（1934C）的Skolem的论文也没有提到这一事实，而是观察到算术的分类失败，遵循不完整的定理。

至于集合理论，1923年的Sklem已经注意到分类的失败，因为它遵循Löwenheim-Skolem定理（当年的Skolem来到了;基于Skolem 1923Löwenheim1915和Skolem 1920）：任何具有模型的可数语言的首次订单理论具有可数模型。

Skolem的观察说，分类失败设定理论，因为它具有可数模型现在被称为Skolem Paradox。[8]在Skolem的论文中强烈强调观察，这是“对公理基础的观察”在其结束时写道的情况下，他在第1915册内尚未指出集合理论的相对性，因为：

......首先，我的同时占据了其他问题; 其次，我相信这是如此明确的是，在套件方面的公理化不是数学的最终基础，即数学家将在大多数情况下，并不是非常关注它。 但最近，我惊讶的是，这么多数学家认为，集合理论的这些公理为数学提供了理想的基础; 因此，我似乎是时候出现了批评。 （van heijenoort 1967，p.300）拍摄的英文翻译