KurtGodel（二）
在旁边，在Löwenheim-skolem定理证明，特别是定理的一部分，其中一个构建一个满足句子的模型，Löwenheim和Skolem的树木结构或多或少地看起来相同哥德尔的论文。 在1967年的郝王信中，哥德尔注意到他的完整性证明在1923年的Skleme几乎获得了他的完整性证据。虽然van Heijenoort和Dreben（Dreben和Van Heijenoort 1986）的评论是“整个20世纪20年代的大部分是不是语义完整性，而是定量有效性的决策问题，这是施罗德和Löwenheim的工作的问题，即学习量化理论的主导问题”（这些结果的例子将包括第一个结果的决定程序根据Behmann，（Behmann 1922）），Skolem没有获得完整证明的原因是不同且哲学上的原因，与当时的主导偏见和针对无限的偏见有关的不同。方法：
数学定理的完整性定理确实是Skolem 1923的几乎琐碎的后果。然而，事实上，当时，没有人（包括Skolem Homenself）既不从Skolem 1923也不是我所做的结论，也不是我所做的结论他自己的类似考虑因素......这种失明（或偏见，或任何你可能称之为什么）逻辑学家确实令人惊讶。 但我认为解释并不难。 在那时，它在普遍缺乏缺乏对元化学和非联合推理的情况下缺乏所需的认识论态度。 （Gödel2003b）。
在Van Atten和Kennedy 2009中，Skolem对完整性定理的贡献的贡献得到了广泛的讨论，以及Van Atten 2005。
2.2不完整定理
哥德尔提到了对1929年论文已经有关真实问题的无法解决的可能性，以反对希尔伯特的形式学原则，即一致性是存在的标准。 事实上，给出了分析一致性的合同证明是那么被称为希尔伯特计划的关键缺乏，以及证明其完整性。 因此，这是哥德尔的转向这些问题，尤其是第一个问题，这让他带到了两个不完整的定理。 （对于Hilbert计划的讨论，读者称为标准参考：Sieg 1990,1988,1999; Mancosu 1998，Zach 2003，Tait 1981和Tait 2002.）
第一个不完整性定理通过展示算术陈述来为完整性提供了一个Consternexample，这在PEANO算术中既不可证明也不会用，但在标准模型中是真实的。 第二个不完整性定理表明，算术本身不能证明算术的一致性。 因此，如果特征是那些特定的追逐，一致性和完整性，则哥德尔的定理展示了希尔伯特计划的不可行性。
除了在哥特德之前，von neumann可以通过这种方式了解这两个定理。 事实上，Von Neumann在观察到他们完全展现了古典数学的不可行性。 正如他在1931年6月写信给查克：
因此，今天我认为1.Gödel表明了希尔伯特的计划不熟化。 2.没有更多的理由拒绝直觉（如果一个人无视审美问题，那么在实践中也将是我的决定性因素）。 因此，我认为Königsberg的基础讨论状况过时，因为哥德尔的基本发现使得一个完全不同的水平。[9]
之前的秋天冯Neumann甚至更强大地写给哥德尔：
因此，我认为，您的结果已经解决了否定的基础问题：对古典数学没有严格的理由。 （Gödel2003b，p。339）
这将需要几年来才能看到希尔伯特计划的这些方面被他的结果果断地驳斥（Mancosu 2004）。
2.2.1第一个不完备定理
在他的逻辑旅程中（王1996）郝望发表了物料吉尔的全文（王的要求）关于他发现不完整定理的发现。 这种材料形成了王的“关于KurtGödel的一些事实”的基础，并被哥德尔的阅读和批准：
1930年夏天，我开始研究古典分析的一致性问题。 它是神秘的为什么希尔伯特希望通过合理方法直接证明分析的一致性。 我看到了两个可区分的问题：通过合理数量理论证明数字理论的一致性，并证明了数量理论分析的一致性......因为统治性人数理论的领域没有明确定义，我开始解决下半场......我通过数量谓词代表了实数理论......发现我不得不使用真理（数字理论）的概念来验证分析的原理。 通过给定系统内的符号，句子和证明的枚举，我很快发现算术真理的概念无法在算术中定义。 如果有可能在系统本身中定义真相，我们将有类似骗子悖论的东西，显示系统不一致......请注意，这一论点可以正式化以显示未定定命题的存在而不提供任何单独的情况。 （如果没有任何不可确定的命题，所有（且）所有（且）的真正命题将在系统内提供。但是，我们会矛盾。）......与真理相反，在给定的正式系统中的可证明是系统的某些句子的明确组合属性，它通过合适的基本方法正式鉴定.....
我们看到哥德尔首先试图减少对算术的分析的一致性问题。 这似乎需要算术的真理定义，这反过来导致悖论，例如骗子悖论（“这句话是假”）和浆果的悖论（“没有由十四个英语单词组成的表达式的最少的数字）。 然后，如果通过可证明的情况取代了真相，这种悖论不一定会出现这种悖论。 但这意味着算术真理和算术可被证明性并不共同广泛 - 这是第一个不完整定理。
这一事实后，哥德尔发现的这个帐户被告知到郝王; 但在Gödel与伯尼和Zermelo的当代对应中，基本上与给出定理的路径相同的描述。 （另见Gödel2003a和哥特尔2003b分别。）从那些账户中，我们看到算术中的真理不可或缺，结果归功于Tarski，可能在1931年以某种形式获得了一些形式。但他既不宣传也不是宣传发布结果; 偏见逻辑人们当时有关真理概念的概念表达，当Tarski宣布1935年正式系统中的真理未定例的结果时，激烈地偏离的偏见，可能是威尔德尔的威慑力对该定理的出版物。
2.2.2第一个不完整定理的证明
我们现在描述了两个定理的证明，在Peano算术中配制了哥特的结果。 Gödel本人使用了与Principia Mathematica中定义的系统相关的系统，但包含Peano算术。 在我们介绍第一和第二个不完整定理的情况下，我们将Peano算术称为P，遵循哥特克尔的符号。
在继续进行正式证明的细节之前，我们定义了Gödel在第一个不完整性定理中使用的ω-一致性的概念：P是ω-一致的，如果所有N的P⊢φ（n）意味着p⊬xφ（x）。 当然，这意味着一致性，并且遵循自然数字满足PEANO算术的公理。
证据中使用的主要技术工具之一是Gödel编号，该机制将自然数分配给我们正式理论P的条款和公式。有不同的方式。 最常见的是基于自然数量的独特表示作为素质的权力。 数字理论的每个符号S以固定但是任意方式分配了正自然数＃（例如）。
＃（0）= 1。＃（=）= 5。＃（¬）= 9
＃（1）= 2。＃（（）= 6。＃（∀）= 10
＃（+）= 3。＃（））= 7。＃（vi）= 11 + i
＃（×）= 4。＃（∧）= 8
对应于序列w = ＜w0，...，wk＞的自然数是
⌈w⌉= 2＃（w0）·3＃（w1）·...·pk＃（wk），
PK是k + 1件素数。 它被称为它的哥特号码并用⌈w⌉表示。 通过这种方式，我们可以将Gödel号码分配给公式，公式的序列（一旦采用一个公式结束并且另一个开始的用于区分的方法），并且最值得注意的是。
这里的基本点是当公式被解释为自然数时，对应于该自然数的数字可以作为公式的参数发生，从而使语法能够“将”称为自身，从而说话（即，当数字被替换为公式时吉尔数量代表的号码）。 这将最终允许哥德尔将骗子悖论（以“证明”代替“真实”）代替“真实性”），该公式代替说，“这是代码为X的公式，其代码为X，无法移动”其自然数代码（或更准确地相应数字）。
执行正式化所需的另一个概念是数字化学理论谓词的数字表义的概念。 数字 - 理论公式φ（n1，...，nk）在p如果自然数的每个元组（n1，...，nk）中是数字的数字，则是数字
n⊨（n1，...，nk）⇒。p⊢（n1，...，nk）
n¬φ（n1，...，nk）⇒。p⊢¬φ（n1，...，nk）
其中n是表示自然数n的正式术语。 （在p中，这是s（s（0）......），其中n是应用于常量符号的后续函数的迭代次数。）主要目标之一是numeralwise表示谓词
prf（x，y）：'带Gödel号码x的序列是与Gödel号码y句子的证据
达到这一目标涉及定义四十五个关系，每个关系都在前面的方面定义。 这些关系都是原始递归。[10] 其他所需的关系是由Sb（Ru1 ... Unz（x1）...... z（xn））表示由公式中的公式（Ru1 ... Unz（x1）...）表示的序列或公式或公式，或者是代码的关系。代码r通过代替其自由变量UI，即i = 1，...，n。 定义的第四十五的原始递归关系是prf（x，y），第四十六是
Prov（y）：'具有哥特数y的句子可提供p'
然而，在不存在原始递归的情况下，通过存在量化x从PRF（x，y）获得。 （箴言（y）只满足数字的数字表达的“正”部分，而不是负面部分;但是不需要负部分。）
在他的论文的定理V中，Gödel证明了原始递归的任何数字理论谓词在P中是数字，因此由于PRF（x，y）和替代是原始递归，因此在封闭术语被替换时由p决定对于自由变量x和y。 这是我们将看到的事情的核心。 关于数字的另一个关键点是，尽管我们非正式地解释了例如PROP（SB（RU1 ... UNZ（X1）... z（XN））），通过：'如果XI TH的哥特号码，则提供Gödel号码的公式数字代替了我的变量，“理论上的正式声明既不是我们证明它对这一含义的任何东西都不证明。 相反（SB（RU1 ... UNZ（x1）... z（xn））），是一种无意义的逻辑和算术符号字符串。 由于Gödel在他对定理v的介绍中，“可以含糊地制定的事实是通过说在系统p中可定义的每一个递归关系来制定（如果通常的含义给出该系统的公式），则以精确的语言表示通过以下定理（V）（vödel1986，p.171，斜体Gödel），参考P的任何解释。
吉尔在他的不完备定理中使用了一种在德尔德的定期定理中所谓的方法。 虽然Gödel在证明不完整定理过程中构建了一个定点，但他没有明确地说明定期定理。 定点定理如下：
定理2（Gödel的定点定理）
如果φ（v0）是数字理论的公式，则存在一个句子ψ，使得p⊢ψ↔φ（⌈ψ⌉），其中⌈ψ⌉是与⌈ψ⌉自然数代码对应的正式术语。
证据：让σ（x，y，z）是数字表示的数字理论谓词y是通过在术语z'中替换的公式中的可变v0获得的公式的Gödel数。 设θ（V0）是公式∃v1（φ（v1）σ（v0，v1，v0））。 设k =νθ（v0）⌉和ψ=θ（k）。 现在直接通过施工P⊢ψ↔φ（⌈ψ⌉）。
如果其否定是可证明的，则判刑是从理论中反驳的。 第一个不完整的定理作为哥德尔说它如下：
定理3（Gödel的第一个不完整性定理）
如果p是ω-一致的，那么有一个句子既不可从P.
证明：通过上面提到的语法的明智编码，写下数字理论的公式PRF（x，y）[11]，在p中表示
n代码φprf（n，⌈φ⌉）的证明。
和
n不编码¬prf（n，⌈φ⌉）的证明。
让Prov（Y）表示公式∃xprf（x，y）[12]。 通过定理2，有一个属性的句子φ
P⊢（¬prov（⌈φ⌉））。
因此，φ说'我不是可证明的。'我们现在观察到，如果p∈φ，那么（1）就没有n这样p≠prf（n，⌈φ⌉），因此p⊢prov（⌈φ⌉），因此，by（3）p⊢¬φ，所以p是不一致的。 从而
pφφ
此外，通过（4）和（2），我们具有所有自然数n的p =¬prf（n，⌈φ⌉）。 通过ω-一致性p∃xprf（x，⌈φ⌉）。 因此（3）给出p⊬φ。 我们已经表明，如果P是ω-一致的，则φ与P型无关
在结束前定理的证明，“我们可以很容易地看到刚刚给出的证据是建设性的; 这是......以直觉上不可禁令的方式证明......“（Gödel1986，第177页）。 这是因为，正如他所指出的那样，所有存在的陈述都基于他的定理V（为原始递归关系提供数字递归关系的数字，这是直观地不可禁令的。
2.2.3第二个不完整定理
第二个不完整性定理在数字理论中建立了不可行的数字理论的一致性。 首先，我们必须写下表示公式的数字定义公式。 这令人惊讶地简单。 我们只是让con（p）是句子¬prov（⌈0=1⌉）。
如果P是一致的，则定理4（Gödel的第二个不完整定理），然后不可从P.
证明：让φ如（3）中一样。 推出的推理用于推断'如果P =φ，那么P≠0≠'不会超出基本数字理论，因此尽管有很多努力（见下文），请以P的正式形式化→¬CON（P）），因此由（3），P∞（CON（P）→φ）。 由于Pφφ，我们必须具有p⊬配置。
上述第二个不完整性定理的证据（草图）是避免形式化的巧妙简单。 严格的证据必须建立'如果p =φ，那么p≠0×1'的证明。
值得注意的是，在哥德尔的第二个不完整定理证明，不需要ω-一致性。 另请注意，¬CON（P）不可提供的，通过P的一致性和现在称为LÖB的定理，P⊢PROP（⌈φ⌉）意味着p⊢。
在1936年，rosser消除了第一个不完整性定理中的ω-一致性的假设，并被较弱的一致性概念所取代。 rosser的概括涉及将固定点定理应用于公式R（x）：'为所有z：z不是Zödel号码X的公式证明的Gödel数量，或者否定的证据短于z（配方Gödel号码）x'（参见rosser 1936）。
关于第二个不完整定理，这些论点部分依赖于我们所看到的第一个不完整定理的证明。 在Gödel1931中省略了这一步骤。他计划在第二部分II（见Gödel1931的脚注48a）中包含该步骤。 但不是写它，他转向连续性问题。[13] （第二部分是在其他要点中详细说明：“不完整性的真正原因”，以及两个定理对其他系统的适用性。）他可能没有被迫使参加正规化的练习，而依赖于说服的非正式论点（成功地）。 然而，这一步骤原来有点不琐碎。 正如Kleene在他对非正式介绍的介绍中，“当然，”Xi（一致性）的论点的想法非常令人信服; 但事实证明，这些细节的执行需要更多的工作和关心而不是预期的。“ （参见哥德尔1986年的第126-141页。Löb在他的Löb1956中给出了定理，随后在他的1960年“普通环境中的Metamathematics算术”（Feferman 1960/1961）中，对第一个简洁而完全一般的治疗和第二个定理。 但请参阅补充文件：
不完整的定理是反驳希尔伯特的计划吗？
有关更详细的讨论，请参阅Gödel不完整定理的条目。
2.3加速定理
Gödel的1936年“加速”定理，在摘要上发表了“关于证明的迹象”，虽然某些算术句是真实但无法移动的，但还有其他句子可提供，但即使是最短的证明比提前给出的任何绑定作为句子的递归函数。 更准确：
定理5。
给定任何递归函数f的算术φφ，使得最短的证明大于f（⌈φ⌉）。
我们将概述的证据对我们用于证明长度的特定概念敏感。 另一种可能性，而哥德尔记得的另一个可能性是证据中的公式数量。 公共汽车（见下文）在任何一种情况下都证明了定理，因此这两种情况都得到了解决。
证明：让F是总递归功能。 通过Gödel的定点定理，有一个公式φ（n）陈述'φ（n）在PA短于f（n）'中没有证据。 如果长度由符号数量测量，则这是一个令人指向的，因为我们只需要在短于f（n）的最多证明。 注意，对于所有n为真，对于φ（n）为false，则φ（n）的短证据，因此通过soundnessφ（n）是真的，因此矛盾：φ（n）均为真和假。 这可以在PA中正式化，因此我们得到了每个N的结果，句子φ（n）可提供在PA中。 由于所有n为真的，因此它不能在pa中具有短于f（n）。
加速定理是考虑和阐述不完整定理证明的结果。 它将定点技术应用于不可滑动的概念，而不是应用定点定理仅仅是不可行的原始理念。 证明具有与不完整定理证明相同的风味。 有趣的是，它与rosser造成的建筑日期，这消除了第一个不完整定理中的ω-一致性的使用; 与哥德尔的加速定理一样，Rosser的建筑利用短期和长期的问题。 Gödel从未提交过速度定理的证据。 多年来，几个相关证据发表了几个相关的证据，但哥德尔原始结果的第一个完整证明只在1994年由他的山姆公共汽车在哥德尔的定理上，我：算术的线条数和加速。'（巴士1994）。 公交车还给出了定理的第二个证明，避免了由于Statman导致的技术之后的自我参考。 吉尔测量公式数量的证明长度; 但还有其他可能性，例如证明中的符号数量。 通过符号数量的尺寸测量的速度定理的情况是由1952年的大部分基数（Mostowski 1982）证明了符号数量。 有关类似结果的证明，请参阅Ehrenfeucht和Mycieleski 1971和Parikh 1971.尽管这两种措施都可以是测量证据的长度的同等自然候选者，从而证明了由符号数量测量的长度的定理避免了另一种措施引入的技术复杂性：只有一个有限的许多证据，具有给定数量的符号，而无数有许多具有给定数量的公式的证据。
哥特（Gödel）与上述方式不同的速度定理。 让Sn是第n个订单的逻辑系统，第一级的变量被认为是在自然数上的范围内。 在此设置中，第二级范围的变量范围在自然数等集中等。 哥德尔的配方是：
定理6。
让n是自然数＞0.如果f是可计算的功能，则无限多种公式A，在SN中可提供，使得如果k是SN中的最短证明的长度，并且L是SN + 1中最短的最短证明的长度，那么k＞f（l）。
