KurtGodel（三）

证明草图：此想法是以下内容：设φ（x）是如上一种公式，其中φ（m）在任何m的sn中没有短的证明。 假设我们有一个更高的系统SN + 1，我们可以证明∀xφ（x）。 该证明具有恒定长度。 因此，每个φ（m）通过该逻辑规则∀xφ（x）→φ（t）的一个应用程序来源于该通用语句。 因此，φ（m）在该系统中为所有M个短缺。 我们可以在哪种更强大的系统中提供什么样的更强的系统可以提供∀xφ（x）？ 我们可以考虑二阶逻辑，其中我们可以为这组自然数定义一个谓词n（x），此外可以证明它满足算术的第一订单公式的真实定义的归纳条款的新谓词符号tr（x）依赖于N.然后更强的系统可以证明可提供的算术的第一阶句子满足谓词TR。 通过上述参数，我们可以证明∀xφ（x）满足tr的更强的系统。 然后，通过添加几行，我们可以证明每个φ（n）满足tr。 由于φ（n）的性质，这意味着更强的系统具有φ（n）的（短）证明。 替代系统是PEANO的公理PA，其中我们有一个新的谓词符号TR和公理，说明谓词TR代码对不含TR的词汇的所有句子对所有句子进行满意关系。 2.4哥德尔在集理论中的工作 2.4.1连续假设的一致性和首选的公理 Gödel证明连续性假设与Zermelo-Fraenkel集合理论的公理的一致性是一个巡回赛，可以说是他数学生活中最大的实现。 这是因为除了算术之外，实际上使用的所有技术机器都必须发明AB Initio。 Contuum假设（Hellentforth Ch）由Georg Cantor制定，并是希尔伯特在1900年巴黎的国际数学大会上的二十三个未解决问题中的第一个问题。希尔伯特如下：让A成为无限的实数。 然后a是可数的，或者具有基数2ℵ0，即，a与一组自然数或与所有实数（否则称为连续体）的一组相对对应。 另一种说明连续假设的方法是（第一个无数无限的红衣主教）ℵ1=2ℵ0。 早在1922年，Skolem推测，CH独立于1908年由Zermelo提供的集合理论的公理。然而，希尔伯特在希尔伯特1926年出版了CH的（FALSE）证明。1937年，Gödel经证明它与ZF集理论的公理的一致性。 （因此，我们使用Zermelo-Fraenkel集合理论，ZF和Zermelo-Fraenkel的标准缩写与首选的公理，ZFC。）所示的否定的否定的一致性Paul Cohen于1961年（见Cohen 1963），因此与哥德尔的结果一起成为CH独立于ZF（和ZFC）的结果。 科恩发明了一项迫使其结果的过程中称为迫使的重要新技术; 该技术目前主要用于构建集合理论模型的主要方法。 迫使导致设定理论家之间的形式主义的复兴，多个模型是“设定理论的基本变异性”的指示（Dehornoy 2004），远离概念，即设定理论的预期模型 - 一个透视哥德尔主张自1947年以来，如果不是之前。[14] 最近有迹象表明，CH可能再次将被视为数学上解决的问题（在延伸ZF的一些新的明显公理机关的帮助下）。 （参见例如Woodin 2001a，2002,2001b和foreman 1998.）如果任何提议的解决方案获得接受，这将确认哥德尔的观点认为，CH最终通过寻找ZF公理的ZF公理的延伸来确定集合理论。 与此视图相关的程序称为“Gödel的大型基本计划” 2.4.2Gödel证明连续假设的一致性和选择性的首选公理与Zermelo-Fraenkel集合理论 连续uum问题显示通过发现由可数秩序索引的实际枚举，这一战略被认为是被认为是Hilbert的策略的枚举，这是一致的。[15] 问题，并且证明背后的直觉是建立一个“小”模型，允许一个绝对的最小数量的实际数量，而同时型号足够大，在所有操作下都可以关闭ZF公理断言。 Gödel是一种相对一致的证据，通过与Zf与CH一起构建所谓的“内模拟”而获得。 内模是在考虑仅在M中仅设置在M中的设置时，所有集合V的集合v的副表团，其满足ZF的ZF的公理。 Gödel的内模称为构造套装内模型（见下文），由L表示，无论内模型中是否真实都是符合ZF的原因，因为具有模型的任何理论是一致的。 构造的伪影是：在哥德尔的内模型中，选择的公理（Husthforth Ac）满足，因此由Gödel建立了ZF的AC的一致性。 后来索尔普斯基显示了，AC实际上是广义连续假设或GCH的结果，这些结果是每个κ，2κ=κ+（见Sierpinski 1947）。 Gödel在1939年和1940年出版了这两个版本的这些定理，题为“广义连续性假设的一致性证据”和“选择性的一致性以及广泛的连续统一假设设定理论的原理，”分别为“。 虽然完全明确，但1939年版本缺乏许多细节，最符合的论点，展示如果l内置L本身，则为l结果; 也就是说，缺少所谓的绝对参数。 缺少的证据细节是ZF公理在L中的含量。然而，与第二个不完整定理的情况不同，哥德尔随后在1940年专着的两个定理中完全详细证明。 （1940年的证明与第一个版本大大不同。有关两个证明的详细信息以及读者之间的差异，读者被提到Solovay 1990和Kanamori 2006.） 我们现在使用现代术语绘制CH和AC的一致性证明，使用现代术语。 在草图之前进行一些初步概念：我们首先定义分层设置理论宇宙，表示为V.（v也称为累积层次结构。）通过以空集开头的电源集操作（℘）迭代而获得： v0 =∅， vα+ 1 =℘（vα）， vγ。=。∪β＜γvβ， 其中α，β是任何顺序，γ是极限序数，并且℘（x）表示X的电源集。 终于 v。=。∪α∈ordvα， ord表示所有顺序的类。 可构造的层次结构L同样由常规递归定义。 但是，而迭代全功率集操作以获取累积层次结构，则严格地令人令人知全限制地定义了可构造层次结构的级别，即包括在下一级别的那些集合中使用前一级的参数。 更准确地说，让DEF（a）表示通过A中的一定订单公式的结构＜a，∈＞中可定义的所有子集合的集合，其中包含A中的参数。（有关可明确的是，请参阅此百科全书中的模型理论的条目。） 使用此表示法，可构造的层次结构由Ordinals归纳定义如下： l0 =∅， lα+ 1 =定义（lα）， lγ。=。∪α＜γ1α， 湖=。∪α∈ordlα， 如果x∈L，则据说一个设置的X是可构成的。 请注意，L是一个适当的类而不是集合; 虽然我们将看到，每个Lα都是一个集合，但谓词“x是构造的”实际上是语言可定义的术语。 我们的下一个任务是表明L是ZF的模型。 如果它的元素也是子集，则设置或类是传递的。 通过细致的经细胞细分诱导，Lα可以显示为每个α的传递; 因此，它本身也是如此。 这一事实与观察到L [16]中的一些基本闭合性能保持足以表明L是ZF的模型。 （实际上，正事实证明，L是含有所有顺序的ZF公理的最小传递模型，因此在这个感觉上是规范的。） 详细证明，除了理解公理之外，ZF公理在L中是真实的，可以表明，粗略地说，通过考虑到存在ZF公理主题的属性P的任何设定属性P到L的Relativization PL.（通过∃x（x≠m∧）和每个量化符∀xφ（x∈m→φ）。）至于理解公理，验证它需要表明所存在的设定存在于特定的继承水平Lα+ 1中构建。证明这需要集合理论的重要原则，这些原则在现代术语中称为征收（或ZF）反射原则。 这一原则说，ZF语言中的任何陈述在v中的某些级别的任何持续增加的层次结构都是如此，如L.（对于这一原则的历史，见Kanamori 2006.）征收反思原则给出了水平α集合的元素全部构造。 哥德尔实际上并没有征收反思原则，但使用了原则证明背后的论点。 一旦确定L是ZF的型号，现在可以证明，在L中可以证明CH和AC保持。为此，首先显示L的定义是L的绝对值，其中绝对是如下所示：给定谓词p（x）。对于m，如果只有为所有x∈M，p（x）↔pm（x）是绝对的。 证明谓词“X是构成”是绝对的，需要正式地形成可定义的概念，这反过来需要正式地形成满意度的概念。 这是因为谓词“x是构成的”，对于某个序数α，以及一些公式φ，具有Lα中的参数，x = {lα| lα（y）}。 证据的这一部分是乏味但未解决的。 一旦建立了L的绝对性，就遵循ZF如果它相对于L; 也就是说，ZF⊢（v = l）l。 特别地，如果ZF是，则Axiom V = L是一致的。 我们现在可以了解CH和AC的证明，在ZF + V = L中的证明。2003年。） 如担心CH，IT证明背后的想法只是以下内容：Gödel显示假设v = l，每个实数发生在L-shierarchy的某些可数级别上。 由于每个可数级别都是可数的（毕竟，只有相当多的定义公式），并且存在ω1可数级别，必须只有ω1实数。 这里的困难，如果不是完全证明，则表明每个真实都是在L-Shierarchy的可计数水平上构建的。 为了展示这个哥德尔认为如下：假设A是一个真正的数字被认为是一系列自然数。 通过征收反射原理和LÖWENHEIM-SKOLEM定理的组合，有一个可数亚曲筒＜m，ν＞的＜l，ν＞满足zf公理+ v = l的足够大的有限部分，使得A属于M.通过简单的过程＜m，∈＞可以转换为传递模型＜n，∈＞。 Gödel已经在1937年使用的这种程序被大多数人明确地分离出来（Mostowski 1949）。 得到的模型被称为莫斯特基崩溃。 让我们暂停讨论这一重要技术。 假设是一个良好的扩展性的原始模型。 这是二进制谓词E对m的良好成立的结果，以及经细鳍递归的原理，即等式π（x）= {π（y）| y∈m∧yex}在m上定义一个独特的功能。π的范围n是传递的，对于如果π（a）∈n和y∈π（a），则为Y =π（b），对于一些b = m与bea，whencesπ（b）n.π是＜m，e＞和＜n，χ＞之间的同构之间的事实可以通过在m上的元素上的转铁矿诱导来证明，再次基于E.富有的良好诱导。＜m，e＞是在实践中，通常是＜m，e＞是一些＜vα，ε＞的子模型。 我们现在返回到L中的CH的证明。我们使用莫斯特基崩溃来构建传递集N.事实证，实数A仍然是＜n，∈＞的一个元素。 通过L，＜n，ν＞的基本属性必须是＜lα，χ＞对于一些α。 由于N是可数的，因此也可以是可数的。 （可以表明|Lα| = |α| +ℵ0）因此A在可计数水平上是构造的，这是已经显示的。 至于AC，Gödel展现了可定期的顺序，即设定理论的公式定义，在L中，所有L的顺序定义。令人疑惑地写下但是这个想法是一个简单的一个：一个设置x在一个设置的x之前且仅当任一个x在较早级L-shierarchy中发生的x比y发生在l-shierarch中时，否则它们在相同的级别上发生但x由比y更短的公式定义，否则它们由相同的公式定义，而且x的定义中的参数发生在l中比Y的参数更早。 LOW的L良好的顺序显示了L. 这总结了AC和CH中的一致性证明。 我们注意到，Gödel在1939年和1940年证明了比这里所示的更重要，即他证明了L中的广义连续假设，因此与ZF的一致性。 2.4.3一致性的后果 如上所述，在20世纪20年代，CH可能与ZF或ZFC无关。 在首次推动后，构造性的公理可能是“绝对一致”，这意味着由于他的1947年“哥伦的连续假设是什么样的ZF + v = l，[17]的进一步延伸，而不是伪造的 Gödel劝告CH将被证明是独立的。 因此，哥特尔的结果的主要结果是，就证明了CH的独立性而言，它是它指出了数学家在向设定理论的模型中添加非结构集的方向，以便建立CH的否定否定的一致性。 1961年，达娜·斯科特证明了结构性公理的失败，遵循可测量的红衣主教的存在，与1940年的猜想·朱德尔相反。（参见Scott 1961.据说一个红衣主教κ即可衡量在1963年，κ的电源布尔代数中存在非主体κ完整的超滤器。如上所述，Paul Cohen通过向内模拟添加非结构集来证明了CH的否定的一致性。 Gödel的方法可以解决设定理论的其他开放问题？ Gödel自己注意到了一些后果。 它们与所谓的项目实数和实数序列有关。 最简单的投影集是封闭式集，也称为π10-套。 如果它是真正平面的π1n子集的投影，则设置为σ1n+ 1。 如果它及其补充是Σ1n+ 1，则设置为Δ1n+ 1。 Gödel观察到，没有LEBESGUE可测量的Δ12和无数π11集合，没有L的完美子集。连续体。）Gödel在1951年的哥特式1940年印染的证据中提出了剪影。 它已发述了Axiom v = l几乎完全扩展ZFC。 这意味着除了从哥德尔的不完整定理引起的句子之外，基本上所有设定理论问题都可以通过公理v = L来决定。这不是暗示这样的结果是以任何方式微不足道的。 实际上，尽管它的描述相对简单，但它已经证明L是非常复杂的结构。 至于在L中定居开放的理论问题，主要步骤是Jensen的L（Jensen 1972）的优质结构理论的出现。 回顾该构造层次结构的定义中的继承步骤Lα+1将Lα可定义的Lα可定义的所有子集添加到过（Lα，∈），细结构理论，粗略讲话，从Lα逐步逐步下降Lα+ 1根据定义公式φ的复杂性进入较小的步骤。 Jensen通过他的精细结构建立了一个加强，由Ch的◊，他用来建造L中的Souslin树，以及组合原则□他曾经表明Souslin假设与CH一致。 2.4.4Gödel的构造公理的视图 如果他从一开始就没有以这种方式偶然地思考，哥德尔很快就采用了可令人难以置信的结构性的观点。 当他在1947年结束时评论了“哥伦的连续假设是什么？” ......与暗示连续假设的否定的许多合理命题是非常可疑的，没有一种合理的命题，也不是一个合理的命题，这意味着连续的假设。 （Gödel1990，p。186） 吉尔尼亚丽亚·吉尔（Leibnizian）被迫迫使Leibnizian [18]而不是宇宙是“小的”，也就是说，一个具有最小套装数量，将设定的理论宇宙视为尽可能大的情况更自然。[19]这个想法将以他对最大原则的兴趣反映，即捕捉到直观思想的原则，即设定理论的宇宙在最大的意义上最大化的意义上; 在他的信念中，最大的原则最终将解决像Ch这样的陈述。 由于哥德尔在20世纪50年代后期将其放入乌拉姆的一封信中，关于冯Neumann的最大原则： 这种公理的兴趣在于它是一种最大的原理，稍微类似于几何形状的Hilbert的完整性的公理。 对于粗略地说，它表示，任何没有以某种明确的方式暗示存在不一致的集合。 它是最大原则也解释说，这一事实是该公理意味着首选的公理。 我相信设定理论的基本问题，如哥伦的连续性问题，只有在这种情况下，只有在这种情况下，这在某种意义上是对数学的建构主义解释相反或互动。 （乌拉姆1958年，如哥德尔1990，p。168;原创强调。请注意，这与非常相似的通道Gödel2003b，p.295。） 20年前，1938年，哥德尔似乎不同地写了关于结构性的公理： 作为新公理添加的命题 A（即 V = L）似乎给出了集合论公理的自然完成，因为它以明确的方式确定了任意无限集的模糊概念。（Gödel 1986，第 27 页） 哥德尔在这里所说的“自然完成”可能是指“正确的完成”，或者他可能只是想说可构造性公理以明确的方式确定了集合的概念。无论如何，他在 1972 年与王讨论可构造性时对“自然”一词的使用有所不同（Wang 1996，第 144 页）： 哥德尔更多地谈论了无限公理与可构造宇宙之间的关系……（他观察到）诸如可构造集之类的初步概念对于得出集合之类的自然概念是必不可少的。 这让人想起休·伍丁 (Hugh Woodin) 的一句话，即研究强制可以更好地理解 V——一般原则是研究理论模型不仅有助于理解理论本身，而且有助于更好地了解 V (Woodin 1988)。 有关哥德尔纲领和哥德尔纲领相对于 CH 的更多信息，请参阅 Steel 即将出版的书籍和 Feferman 等人 2000 年的书籍。 有关哥德尔的结果、其历史及其意义的更多信息，请参阅 Floyd/Kanamori 2006 年和 Kennedy 2006 年的书籍。 2.5 哥德尔在直觉逻辑和算术方面的工作 哥德尔对直觉主义的兴趣深远而持久。 虽然他本人并不赞同这一观点，但他对直觉逻辑做出了许多重要贡献。也许他对证据概念的重视（见下文）促使他对此进行了仔细的思考。 我们按时间顺序讨论哥德尔关于直觉逻辑的结果。 2.5.1 直觉命题逻辑不是有限值的 20 世纪 20 年代由 Łukasiewicz 引入的多值逻辑（Łukasiewicz 1970）和 1930 年由 Heyting 形式化的直觉逻辑均不满足排中律。因此，很自然地会问直觉逻辑是否可以表示为多值逻辑，事实上，20 世纪 20 年代的许多逻辑学家都提出了这一点。1932 年，哥德尔给出了一个简单的论证，表明直觉命题逻辑不能被视为有限值逻辑。确切地说，哥德尔证明了两个定理： 定理 7。 没有一个具有有限多个元素（真值）的实现，对于这些元素，H 中可证明的公式是满足的（即，为任意分配产生指定的值）。 （H 是直觉命题逻辑，根据海廷的说法。） 定理 8。 H 和普通命题演算的系统 A 之间存在无限多个系统，也就是说，存在一个单调递减的系统序列，所有这些系统都包含 H 作为子集，并包含在 A 中作为子集。 在他的证明中，他考虑了每个自然数 n＞0 的句子 Fn = ∨1 ≤ i＜j ≤ n pi ≡ pj。 他观察到，在 n 值逻辑中，对于 m＞n，句子 Fm 应该是可导出的。然而，哥德尔证明，对于任何 n，Fn 都不能从 Heyting 公理中推导出来。 随后，Jaśkowski (Jaśkowski 1936) 证明直觉主义命题逻辑可以赋予无限多个真值形式的多值语义。有关多值逻辑的进一步讨论，请参见本百科全书中关于多值逻辑的条目以及 van Stigt 在 Mancosu 1998 中关于直觉主义逻辑的文章。